杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
人教版A版高中数学选修2-3：探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余
的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
C
r n
C r1 n1
Cr n1
3）杨辉三角具有对称性
Cr n
C nr n
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开
式的二项式系数即
(a
b)n
C n0a n
Cn1a b n1 1
C
r n
a
n
b
b
1
C
k k
abk
C k0a k b
C
r k
a
k
r
br
1
C kk 1ab k
C
k k
b
k
1
=
Ck0a k+1
+
(C
1 k
C
0 k
)a
k
b
+ +
(C
r k
+1
C
r k
)a krbb+1
+
+
(C
k k
C
k－1 k
)abk
+
C
k k
b
k
+1
利用组合数的重要性质可得
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品低于中间区 奖品？
最新杨辉三角课件精品课件
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
“杨辉三角”中的一些秘密公开课教案教学设计课件案例试卷
均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉
三角，则第
n
行（n≥2）第
2
个数
n2
n 2
2
.
第1行 第2行 第3行 第4行
1
an1 an n(n 2)
2 2 an1 an n
34 3
47 7 4
第5行 5 11 14 11 5
第6行 6 16 25 25 16 6
…… …… ……
(n 1)(n 2)
关系吗？
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行 第4行
1 3 31 1 4 6 41
第5行 第6行
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
… ……C…nr … …
• • 本节课的学习难点是：根据具体横行、斜
行的数字规律，猜想出一般的结论。
五、学习方法
• 本节课采用的是教师引导探究的探究课类型。使用自主探究 与合作交流相结合的探究方式。
• 探究时采用先思考后小组合作互动的方式，重点在于发现规 律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成 建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生 体会再发现再创造的过程，发展学生的创造性思维。
C2 n1
Cn3
当r
3时，C33
C43
C53
C3 n1
Cn4
探究4 （斜看2） ：按照图示的方法写出斜线上的各行数字的和， 仔细观察这些和，你有什么发现？
杨辉三角的数学结论发现过程概述
杨辉三角的数学结论发现过程概述杨辉三角，那可是数学里相当有趣的一个存在呢。
你看啊，这杨辉三角就像一个神秘的数字金字塔。
最顶端是一个1，就像金字塔的塔尖一样，孤零零地却又无比重要。
下面一层呢，就是两个1，这就像是塔尖下面最初的两块基石。
这杨辉三角里的数字到底是怎么被发现有那些奇妙结论的呢？咱们就从简单的加法角度去看。
就好比你在搭积木，每一块积木的摆放都有它的规律。
在杨辉三角里，除了最边上的那些1啊，中间的每个数字都是它上面两个数字相加得到的。
这就好像是接力赛，上面的两个数字把自己的“力量”传递给下面的数字。
这可不是随随便便的发现哦，肯定是经过了好多人的观察和思考。
咱们再往深里想一点。
假如你是一个探险家，在这个数字的神秘岛屿里探索。
你发现了每行数字的和也是有规律的。
第一行数字和是1，第二行是2，第三行是4，第四行是8，就像每次都乘以2一样。
这多神奇啊！这就像是在一个神秘的魔法世界里，数字按照某种神秘的咒语在排列。
那这些结论是怎么被发现的呢？我猜啊，最早发现的人肯定是个特别爱琢磨数字的人。
他可能一开始就是觉得这些数字排列起来挺好看的，就像我们看到好看的图案会忍不住多看几眼一样。
然后他就开始一个一个地去计算，去尝试找出其中的关系。
就像我们找宝藏，一点一点地挖掘线索。
从这个三角形里还能发现组合数的关系呢。
组合数是啥呢？就好比从一堆东西里挑出几个的不同挑法的数量。
这杨辉三角里的数字竟然和组合数能对应起来。
这就像是两个原本不认识的人，突然发现彼此原来是失散多年的亲人一样惊喜。
这是怎么发现的呢？也许是有人在研究组合数的时候，偶然发现这些组合数的数值和杨辉三角里的数字一样。
这就像是在两个不同的森林里，各自发现了一模一样的神奇花朵。
而且啊，杨辉三角还有很多和二项式定理相关的结论。
二项式定理就像是一个魔法公式，能够展开像(a + b)的n次方这样的式子。
而杨辉三角里的数字呢，就像是这个魔法公式的密码一样。
这个关系的发现肯定不是一下子就蹦出来的。
杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
第 1行 1 第 2行 1 1 贾宪 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
杨辉三角中的一些秘密手算高次方根研究高阶等差级数垛积术研究微积分差分方程无穷级数1010152015213535212856705628368412612684362856705628213535211520151010杨辉三角中的每一个数都是二项式系数都可都可以写成组合数2856705628213535211520151010杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和杨辉恒等式10101520152135352128567056283684126126843610101520152135352128567056283684126126843610152128361020355684153570126215612628841213奇偶
奇异、美丽的图案-----超出想象！来自是工艺美术大师的创作吗？
这是数学 的杰作！
斐 波 那 契
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
再 见
宁波市正始中学 陈碧文
《 开 方 作 法 本 源 图 》 贾 宪
1 1 0 1 左 杨辉三角中的 1C1 C1 1 衺 02 11 2 1 C2 C 2 C 2 每一个数都是二项 乃 10 3 3 1 2 1 3 积 贾宪 3 10C4 1C 3 42C 3 3C 3 式系数，都可都可 6 1 4 数 C45 104 10 4 5 C1 C 4 C C 1 以写成组合数 4 0 1 2 3 4 5 1C5 6 C 5 205 15 5 6 C1 C 5 15 C C 5 右 0 7 21 35 35 3 21 4 1 2 6 1 6 C 6 C 6 C 6 C 67 C 6 C 6 15 C 衺 1 8 28 56 70 56 .. 乃 .......... 28 8 1 0 1 2 r 0 .......... .......... r 隅 Cn 1 C n-1 2C n-1 ...r C n-1 C n-1 ... n2 n- 2 C n 1 1 1 r C n1 1 C n-1 Cn-1 ... C n-1 C1n-r1 ... C n-1 1 n 1 0 0 算C C 1 2C 2 1 . .. C nrC n... ... C nn1 C 1 Cn 1 . .. n Cn n Cn n n 中 0 1 r n n (a b) n Cn a n Cn a n1b... Cn a nr b r ... Cn 1ab n1 Cn b n 藏 者 r 1 杨辉三角中,第n行第r个数为 an ,r Cn 1 皆 廉
1.杨辉三角中的秘密2.赵爽弦图中的不等式性质的再探究
课堂实录1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密浙江省宁波市正始中学陈碧文人教版选修2-3第一章第三节课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密授课教师姓名及学校：陈碧文正始中学一：引经据典，步入新课师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。
“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。
由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。
可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。
当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。
所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。
而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。
二：复习回顾，总结已知师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。
那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。
学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。
贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。
用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。
从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ：这对我们今天的研究非常重要。
师：还有吗？学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。
师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。
高中数学探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密课件
原型——路径问题
甲
不同路径 相同步数 殊途同归
C150 252 C63 20
乙
【数学的灵动美】——做中思玩中学
路径问题
甲 1 1 1 111
1 2 3 456
1 3 6 10 15 21
14 15
10 20 35 56 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252乙
理论
实践
【数学的灵动美】——做中思玩中学
............
C C C 0
1
2
n1 n-1 n-1
...
Cr 1 n-1
Cr n-1
...
Cn2 n-1
C0 n1
Cn0 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn1 n
C n0
杨辉三角中,第n行第r+1个数为
an,r1 Cnr
【数学的规律美】——回顾旧知
对称
Cnr
C nr n
正难则反
斜
121 13 31
C11 1C21 2 C331 C4415C516C7612C871 C82
向 求 和
146 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角优质课件
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(207 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
2 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n ) (C n ) (C n ) (C n ) C2 思考2求证: (Cn n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
m m m 1 C C 这就是组合数的性质 2: C n 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
C , C , C , , C ， , C .
0 n
1 n
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Cnr 1-1Cnr1- Cnr 杨辉恒等式 8
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
0 n
藏 ( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b . C .n r a . n r b r . C .n n 1 . a n 1 C b n n b n
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
Cr1 n1
7
1
11
121
13 31
146 41
1 5 10 10 5 1
方衺 作乃
1
1C860 728C261156C35672.0..3.C5..5..663..21.C.28647
C1
8
5
61
C
6 6
法 本 源 图
,
隅
算C
中
n1 0C1 n0Cn 1 1C n1 Cn 11 n 2 n1CC -C -1C nn 22 C1-n2..-.1...............n .r. .C1 .1 .-...n r .Cn.r.-.1n .1rnC .r1 C-C .nr.-..1.. ...C ...n n C 1 n n 2 - n1 n-C11 2C 1 nC nC1 n0C1
“杨` 辉三角”
中的一些秘密
宁波市正始中学 陈碧文
1
《
圣河易
·
人 则
出 图
系 辞
之洛上
出》
书
2
图 形 ，将 就数 是字 数按 阵一
定 顺 序 排 列 成 一 个
数 阵
3
开方作法本源图
4
贾宪
手算高次方根
研究高阶等差级数（垛积术）
·
艾 萨
顿 克 研究微积分
牛
差分方程、无穷级数
朱世杰
5
第 1行 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
.......... ..........
1
C C 1
2
n-1 n-1
... C
r 1 n-1
Cr n-1
...
C n2 n-1
1
1
C
1 n
C
2 n
. ..
C
r n
...
C n1 n
1
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
…
11
12
奇偶:第1,2,4,8,16…这些行即2k（k是自然数）行的各个数 字均为奇数，
第2k+1行除两端的1之外都是偶数。 13
14
15
16
奇异、美丽的图案-----超出想象！
17
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是工艺美术大师的创作吗？
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20
这是数学 的杰作！
21
斐
波 那
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
6
——
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
11 1C1405C1 43101CC0312410CC621113301C0C144221CC15
1
1
C
2 2
312C 143C杨辉三角来自的每一个数都是二项3 3
式系数，都可都可
C以44 写成组合数
开右
1C
0 5
6
C1551
C20
2 5
15C
3 5
6
C 154
C
5 5
……
9
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126126 84 36 9 1
2
…….
10
111111111 1 123456789… 1 3 6 10 15 21 28 36 … 1 4 10 20 35 56 84 … 1 5 15 35 70 126 … 1 6 21 56 126 … 1 7 28 84 … 1 8 36 … 19… 1… 2…
契
22
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
23
再见
宁波市正始中学 陈碧文
24
贾宪
第 2行 1 1 第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1