第六章 理想流体动力学
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
理想流体模型流体：液体与气体都具有流动性,统称为流体
a1 b1
p2 S2
v1
h1
a2 b2
h2
v2 p2 S2
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现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。 假设流体没有黏性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁 对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。 所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体 对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正 功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
流管：在流体中任何一束流线都可形成流管[图(b)]。
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三、伯努利方程
伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明 了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的 压强p、流速v和高度h三个量之间的关系。
下面用功能原理导出伯努利方程。
如图所示，我们研 究管道中一段流体的运 动。设在某一时刻，这 段流体在a1a2位置，经 过极短时间t后，这段 流体达到b1b2位置
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)
(
1 2
v12
gh1 )]
整理后得
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
v
2
2
gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处， 流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个 常量。在工程上，上式常写成
p v2 h 常量
g 2g
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p
g
、v 2 2g
因为时间t极短，所以a1b1和a2b2是两段极短的位 移，在每段极短的位移中，压强p、截面积S和流速v都 可看作不变。设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是a1b1与 a2b2处流体的压强、截面积和流速，则后面流体的作 用力是p1S1，位移是v1 t，所作的正功是p1S1v1 t，而 前面流体作用力作的负功是-p2S2v2t，由此，外力的 总功是：
流体力学
2008年真题：盛水容器a 和b 的上方密封，测压管水面位置如 图所示，其底部压强分别为pa与pb若两容器内水深相等， 则pa与pb的关系为： （A） pa pb （B） pa pb （C） pa pb （D）不能确定 答案：A
等压面的概念
由压强相等的点连成的面，称为等压面。等压面 可以是平面，也可以是曲面。
第六章 流 体 力 学
6.1流体的主要物性与流体静力学
6.1.1 流体的连续介质模型 1.假设液体是一种连续充满其所占据空间的毫无空隙的连 续体。流体力学所研究的液体运动是连续介质的连续流动。 意义：使描述液体运动的一切物理量在空间和时间上连续， 故可利用连续函数的分析方法来研究液体运动。 2.流体质点：指微观充分大（其中包含大量分子），宏观
连通容器
连通容器
连通器被隔断
2009年真题 ： 1.静止的流体中，任一点的压强的大小与下列哪一项无关？ (A) 当地重力加速度 (B) 受压面的方向
(C) 该点的位置
答案：B 2009年真题：
(D) 流体的种类
静止油面（油面上为大气）下3m深度处的绝对压强为下列哪一 项？（油的密度为800kg/m3，当地大气压为100kPa）
充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束，也叫元流。
性质：微小流束内外液体不会发生交换；恒定流微小流束的 形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将随时间改变； 横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。 任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一 定大小
尺寸的实际水流称为总流。总流可以看作是由无限多个微小
1.渐变流过流断面近似为平面 2.恒定渐变流过流断面上流体动压近似按静压分布，同一 过流断面：z+p/（ρg）=c
6第六章伯努利方程及其应用
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
第六章 理想流体不可压缩流体的定常流动
厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，
与流线形状无关。
QAB
ABVndS
dx dy
AB x
y
B d
A
B A
§4 理想不可压缩流体的平面势流
三、速度势函数
1、速度势函数 存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
v u x y
w v y z
u v 0 x y
u v （连续性方程） x y
udy vdx 0 （流线方程）
根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是 udy vdx 0 成
为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数 。
d dx dy vdx udy
x
y
u
y
v
x
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z4 z5 h z3 h
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g(z3
h)
p3
m gh
(e)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
V22 V12 ( m 1)gh
2
由连续性方程
V2
A1 A2
V1
由一维平均流动伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
(a)
移项可得
V22
V12 2
(gz1
p1
)
(
gz
2
p2 )
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
理想流体动力学
∂ϕ ∂z
利用梯度的概念，可类推出 vl =
∂ϕ 。 （参加书上的推导方式） ∂l
2.存在势函数的流动一定是无旋流动 设某一流动，存在势函数 设某 流动，存在势函数 ϕ ( x, y, z, t ) ，其流动的角速度分量：
1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂v y ∂vx ∂ ∂ϕ ωz = ( ) = [ ( ) − ( )] = ( − )=0 − 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂y
这说明， 一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢 量与流向平行 可推知流线与等势面是正交的 量与流向平行，可推知流线与等势面是正交的。
4.势函数是调和函数（满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数） ，对 不可压缩流体，连续性方程为： 缩 连
∂v x ∂v y ∂v z + =0 + ∂x ∂y ∂z
从上所见，在不可压缩流体有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续 性方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，转化为求解一定 边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 Laplace l 方程是一个线性方程，其解具有可叠加性，如： 方程是 个线性方程 其解具有可叠加性 如 ϕ1 ，ϕ 2 是 方程的解，则ϕ1 + ϕ 2 也是方程的解。利用这一性质，分析研究一些简单 的势流 然后叠加可组成比较复杂的势流 的势流，然后叠加可组成比较复杂的势流。 三、流函数 在三维、理想、不可压缩无旋流动中，由于存在速度势函数ϕ ，而 使问题大为简化。 对于不可压缩流体的平面运动（有旋、无旋） 缩 体 平 动 有旋 无旋 ，还存在另一个表征 存在另 个 征 流动的函数—流函数。且不同的流函数数值代表不同的流线。如下图所 示：
将用势函数表示的速度分量：v x = 得：
第六章 理想流体动力学(2)
ρ
+
2
=
ρ
∞
+
∞
将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布： 将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布：
2 1 Γ 2 p = p∞ + ρ v∞ − −2v∞sinθ − 2 2π r0
9
2 1 Γ 2 p = p∞ + ρ v∞ − −2v∞sinθ − 2 2π r0
r02 ∂ϕ = v∞ 1 − 2 cosθ vr = ∂r r
2 r0 ∂ϕ Γ vθ = = −v∞ 1 + 2 sinθ − r ∂θ 2π r r
这说明，流体只有沿着圆周切线方向的速度，流体与圆柱体 这说明，流体只有沿着圆周切线方向的速度， 圆周切线方向的速度 没有分离现象，满足流体不能穿入和不能穿出的条件， 没有分离现象，满足流体不能穿入和不能穿出的条件，即圆 柱面的绕流条件。 柱面的绕流条件。
11
D = Fx = − ∫
2π
0
pr0 cosθ dθ
L = F柱表面压强表达式代入上式得： 将圆柱表面压强表达式代入上式得： 表面压强表达式代入上式得
2 2π 1 Γ 2 D = − ∫ p∞ + ρ v∞ − −2v∞ sinθ − r0 cosθ dθ = 0 0 2 2π r0
r0和 v∞ 不变的情况下，θ 分 只与 Γ 有关。 不变的情况下， 有关。
6
以下分三种情况讨论： 以下分三种情况讨论： 1、 当 Γ < 4πr0 v∞ 时， 、
sinθ < 1， sin(− θ ) = sin[- (π − θ )]
第六章流体动力学积分形式基本方程
的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
A w nwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。
第六章 不可压缩理想流体平面无旋流动
ϕ = xV∞ cos α + yV∞ sin α + c1 ∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy = −V∞ sin α dx + V∞ cos α dy
∂x ∂y
ψ = − xV∞ sin α + yV∞ cos α + c2
令通过原点的流函数及势函数及势函数的值为零，则 c1 = c2 = 0 ，最后得到均匀场速度势与流函数为
V×V = 0
将V = ∇ϕ 及 V = ∇ψ × k 代入，得
V × V = ∇ϕ × (∇ψ × k ) = (∇ϕ ⋅ k )∇ψ − (∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = −(∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = 0
∇ϕ ⋅ ∇ψ = 0
所以
§ 9-4 不可压理想流体平面无旋流动的 复势与复速度
一.复势与复速度
2 2
1 d[(x − x0 ) +(y − y0 ) ] 2 2 σ 1 2 d ln σ 2
Γ φ = ∫ dφ + const = − ln σ + const 2π Γ ln σ φ= − 2π y − y0 Γ arctg ϕ= 2π x − x0 Γ ' ϕ= ε 2π
Γ ' ⎛ Γ ⎞ χ = ϕ + iφ = ε + i ⎜ − ln σ ⎟ 2π ⎝ 2π ⎠ iΓ ⎡ iε ⎤ =− ln σ + ln e ⎥ ⎣ ⎦ 2π ⎢ iΓ iε =− ln σ e 2π iΓ =− ( z-z0 ) 2π iΓ χ ( z ) = − ( z-z0 ) 2π
一、流函数的定义
∂ρ + ∇i( ρV ) = 0 ∂t ∇iV = 0 ∇i( ρV ) = 0 ∂ = 0 ,Vz = 0 ∂z 1 ⎛ ∂h2 ρV1 ∂h1ρV2 ⎞ ∇iV = + ⎜ ⎟=0 h1h2 ⎝ ∂q1 ∂q2 ⎠
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第六章 理想流体动力学工程实际问题中事实上不存在无粘性的理想流体，但是在分析研究工程中的流动现象时，有时将流体视为理想流体以简化研究，由此得到的结果在适当修正后仍有相当高的工程精度。
在本章以下讨论中，都将忽略流体的粘性。
本章同时假定研究的流动是定常的，因而先后通过同一空间点的流体质点的物理量都不随时间变化，由于这些物理量，如压强，速度分量都以欧拉法表示，因此它们都是空间或平面上点的位置的坐标函数，与时间无关。
§6.1 流体微团的运动分析6.1.1 亥姆霍兹速度分解定理在定常流动中，以欧拉法表示的流体质点速度的三个投影x v ,y v ,z v 都是质点所在位置的坐标x,y,z 的函数。
设一空间点0M 的坐标为x,y,z ，它邻域内另一空间点1M 的坐标为,,x dx y dy z dz +++，在一确定时刻，0M 处流体质点的速度投影x v 是以这点坐标给出的函数值，同一时刻，位于1M 处水质点速度在x 轴上投影x v '是1M 点坐标按同一函数确定的另一确定值。
由于x v 是一多元函数，x v '的近似值可以按台劳展开原则以x v 及其导函数表示：x x xx x v v v v v dx dy dz x y z∂∂∂'=+++∂∂∂ 根据需要，将上式整理成为：1111()()()()2222x x y x z x z y x x x v v v v v v v v v v v dx dy dz dz dy x y x z x z x x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂'=++++++---∂∂∂∂∂∂∂∂∂或x x xx xy xz y z v v dx dy dz dz dy εεεωω'=++++-上式中,,,,xx xy xz y z εεεωω的定义见式（6-2）同样，1M 处流体质点的速度矢量在y,z 轴上投影y v '和z v '也可以导出类似的表达式，现将三个投影表达式写出如下：x x xx xy xz y z y y yx yy yz z x z z zx zy zz x y v v dx dy dz dz dyv v dx dy dz dx dz v v dx dy dz dy dxεεεωωεεεωωεεεωω'=++++-'=++++-'=++++- （6-1） 式中，1()21()21()21()21()21()2x y zxx yy zz x yxy yx y zyz zy z xzx xz z yx x zy y xz v v v x y zv v y x v v z y v v x z v v y z v v z x v v x yεεεεεεεεεωωω∂∂∂===∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂==+∂∂∂∂==+∂∂∂∂=-∂∂∂∂=-∂∂∂∂=-∂∂，， （6-2）不难理解，由式（6-2）定义的各个系数，在定常流动中，都是地点坐标x,y,z 的函数且应取0M 处的坐标值。
式（6-1）表明，0M 点邻域内1M 点处流体质点的速度投影可以用0M 处速度投影及它们在0M 处的导数近似表示，这一表示称为亥姆霍兹速度分解定理。
6.1.2 速度分解的物理意义下面分析式（6-2）定义的各项的物理意义。
为清楚说明问题，考查一结构较简单的平面流动。
这种情况下，流体质点都在xoy 平面上流动，速度矢量在z 轴投影0zV =，在定常流动的欧拉表达式中，速度在x,y轴上投影,x y V V 只是平面坐标x,y 的函数。
于是，式（6-2）中z z y z z y εεε===0z x x z x y εεωω====，方程（6-1）简化为dxdy dx v v dy dy dx v v z yy yx y y z xy xx x x ωεεωεε+++='-++=' （6-3）在xoy 平面上取一各边与坐标轴平行的矩形流体微团，通过分析这一平面流体微团的运动与变形即可认识式（6-2）中各非零项的物理意义。
这里应说明，流体微团与流体质点是两个不同的概念。
流体质点指可以忽略尺寸的流体最小单元，大量连续分布的流体质点构成了一流体微团，流体微团在随流运动中可以改变其空间位置和形状。
1.平移运动。
图6.1a 中，平面矩形流体微团四个顶点A 、B 、C 、D 所在点坐标为(x,y)，(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy).A 点处流体质点速度的在x,y 轴投影分别为,x y V V ，假设方程（6-3）中0xx yy xy yx z εεεεω=====，方程（6-3）成为x x y yv v v v '='=′′d)c)图6-1 平面流体微团速度分解这表明，A 点邻域矩形流体微团中任一流体质点与A 点处流体质点运动速度完全相等，流体微团象刚体一样在自身平面作平移运动。
2.线变形运动由于平面上B 点与A 点的x,y 坐标差分别为dx 和0，由台劳展开，B 点处流体质点速度x 投影x v '可以用A 点处的投影值x v 及其导数表示：x xxx x xx v v v v dx dy v dx x yε∂∂'=++=+∂∂。
经过dt 时间段，A 处流体质点向右水平位移x v dt （假定x v >0），B 处流体质点水平右移()x x xx v dt v dx dt ε'=+，两质点在水平方向距离由原来的dx 改变成为()x xx x xx v dx dt dx v dtdxdt dx εε++-=+，水平距离的改变量为()xx xx dxdt dx dx dxdt εε+-=，那么，在单位时间单位距离上两流体质点水平距离的改变量显然为/xx xx dxdt dxdt εε=，这就是xx ε一项的物理意义。
同样可以说明，yy ε是铅垂方向上两流体质点在单位时间单位距离上距离的改变量。
如果xx ε和yy ε都不等于0，原矩形ABCD 的长边与短边都将随时间伸长或缩短，变成一新的矩形D C B A '''，如图（6-1b ）。
矩形边的这种伸缩变形叫流体线变形运动。
由于刚体的固体质点之间连线长度不会变化，因而刚体在运动中不存在这种线变形运动。
3.旋转运动设A 点处流体质点静止，即0x y v v ==，B 点与A 点y 坐标差0dy =，令0x x y y εε==，即流体无线变形运动，再假定0==yx xyεε，由式（6-3），B 点处流体质点0,x y z v v dx ω''==，即B 点处流体质点向上运动；在类似假定下，可以得到D 处流体质点,0x z y v dy v ω''=-=，质点D 向左运动，（假定0z ω>）或者说，AB 和AD 以相同的角速度z ω绕A 点同向旋转，因而流体微团以这一角速度逆时针绕A 点旋转。
如图（6-1c ）。
这种运动与刚体作绕轴旋转的方式一致。
4.纯剪变形运动设A 点处流体质点静止，即0xy v v ==，同时假定0xx yy z εεω===，即流体微团设有发生线变形，也未绕A 点旋转。
B 点与A 点y 坐标之差dy =0,由方程（6-3）可得到流体质点B 点的0,x y yx v v dx ε''==，即质点B 向上运动（设0yx ε>），在类似假定下，可以得到D 点流体质点,0x xy y v dy v ε''==，D 处流体质点向右运动（设0xy yx εε=>），B 、D 两流体质点这种运动的结果，使原平面矩形微团ABCD 变成一平行四边形A B C D ''''，如图（6-1d ）。
流体微团的这一运动称为纯剪变形运动。
这种变形运动也是流体特有的，刚体固态质点不可能出现这种运动。
上面分析了平面流体微团的变形形式，即微团除平面平移和旋转外，还可能发生线变形和纯剪变形运动，这些运动实际是同时发生的。
这一分析可以推广到空间，式（6-2）定义的全部符号的物理意义在分析中得到了说明。
空间或平面每个点处都分布了一流体质点的速度矢量v ，同时还可以在每个点处定义一旋转角速度矢量ω，它在x,y,z 坐标轴上的投影分别是,,x y z ωωω，即ω=x ωi +y ωj +z ωk ，由于,,x y z ωωω都是空间或平面上点的坐标x,y,z 的函数，因而旋转角速度矢量也是以欧拉法表示的。
如果一个流动区域内处处ω都是零矢量，即0xy z ωωω===，或者说由式（6-2），下面关系成立z yx zy xv v y z v v z x v v x y∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ （6-4） 这一区域内的流动称为无旋或有势流，否则流动是有旋的。
有旋流动与无旋流动是两类性质有较大差别的流动。
值得注意的是，从上面分析还可以看出，一点处的旋转角速度矢量是描述局部流体微团旋转特征的一个物理量，一点处这一矢量不为零矢量，说明这点处的流体微团围绕微团中某一点旋转。
流动是有旋或无旋与流动的宏观流线或迹线是否弯曲无关。
§6.2 速度势函数与流函数6.2.1 速度势函数在无旋的空间流动中，每点处的旋转角速度矢量ω=x ωi +y ωj +z ωk 都是零矢量，这就要求0x y z ωωω===，即式（6-4）给出的关系成立。
由数学分析可知，如果三个关于x,y,z 的函数,,x y z v v v 满足关系式（6-4）时，x y z v dx v dy v dz ++是一个x,y,z 的函数(,,)x y z ϕ的全微分，即x y z d v dx v dy v dz ϕ=++ （6-5）另一方面，ϕφ的全微分ϕd 又等于d dx dy dz x y zϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂ （6-6） 比较式（6-5）和（6-6）可以得到x y z v v v x y zϕϕϕ∂∂∂===∂∂∂， ， （6-7） 满足式（6-7）的由流动无旋条件确定的函数(,,)x y z ϕ称为无旋流动的势函数。
这是无旋流又叫有势流的原因。
对一个无旋流，如果求解出它的势函数，由式（6-7）就可以找到流场的速度分布，进一步可以得到流场的压强分布。
寻求一个函数表达式显然要相对容易一些，这就是在无旋流中引入势函数的原因。
势函数有如下一些特征。
1.不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。
不可压缩三维流动的连续性方程为0x y zv v v x y z∂∂∂++=∂∂∂ 将式（6-7）代入上式得到()()()0x x y y z z ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂ 或 2222220x y zϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂ 上面这一方程叫拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数叫调和函数，不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。