数学分析-第三讲-连续与一致连续
第三讲 连续与一致连续
一、 知识结构
1、 函数连续的概念和定义
函数连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，并且函数)(x f 的图象是连续不断的，我们称函数)(x f 在区间I 上连续.
(1) 函数)(x f 在点0x 连续的相关定义
定义1 设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，如果)()(lim 00
x f x f x x =→，则
我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00
x f x f x x =→.
定义1′设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，对0>?ε，?0>'δ，当
δδ<'<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连
续.
定义 2 设函数)(x f 定义在);(δ0x U +内，对0>?ε，?0>'δ，当
δδ<'<-≤00x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0
x 点连续. 记作)()(lim 00
x f x f x x =+
→.
定义 3 设函数)(x f 定义在);(δ0x U -内，对0>?ε，?0>'δ，当
δδ<'<-≤x x 00时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0
x 点左连续. 记作)()(lim 0_
x f x f x x =→.
(2) 函数)(x f 在区间I 上连续
定义 1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，则我们称函数在区间),(b a 内连续.
定义1′固定),(0b a x ∈, 对0>?ε，?
0>δ，当δ<-0x x 时
(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间
),(b a 内连续.
定义 2 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续, 则我们称函数)(x f 在区间],(b a 连续.
定义 3 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间),[b a 连续.
定义 4 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续、点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间],[b a 上连续.
2、 函数一致连续的概念和定义
函数一致连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，函数)(x f 的图象是连续不断的，并且函数)(x f 的图象没有铅直的渐进线，我们称函数
)(x f 在区间I 上一致连续.
例如，函数x
x f 1
=
)(在区间),(10内连续，但不一致连续. 定义1对),(0b a x ∈?, 0>?ε，?0>δ，当δ<-0x x 时
(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间
),(b a 内一致连续.
定义1′设函数)(x f y =在区间()b a ,上有定义，x x ''',是区间()b a ,内的任意一点, 对0>?ε，?
0>δ，当δ<''-'x x 时，有
ε<''-')()(x f x f ,则我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续.
说明: 对给定的0>ε, 由于区间()b a ,内的点对x x ''',有无穷多个, 所以对每一对x x ''',均存在一个δ, 进而有无穷多个δ, 无穷多个δ中有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续. 无穷多个δ中没有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上不一致连续.
定理 1 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则函数)(x f 在闭区间
],[b a 上一致连续.
说明: 如果函数)(x f 在开区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在开区间
()b a ,内不一定一致连续.
3、 函数)(x f 的间断点（不连续点）
定义1 如果)()(lim 00
x f x f x x ≠→，我们称函数在点0x 间断.
(1) 第一类间断点
定义2 如果极限)(lim x f x x 0
→存在，但不等于)(0x f ，我们称点0x 为函
数的可去间断点.
定义2 如果极限)(lim x f x x +→0
与)(lim x f x x -
→0
都存在但不相等，我们称点
0x 为函数的跳跃间断点.
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.
(2) 第二类间断点
非第一类间断点称为第二类间断点，即)(lim x f x x 0
→不存在，或)
(lim x f x x +
→0
不存在，或)(lim x f x x -
→0
不存在，具体情况如下：①∞=→)(lim 0
x f x x ；②
∞=→)(lim 0
x f x x 趋向于两个以上的数；③∞=+→)(lim 0
x f x x ；④)(lim x f x x +→0
趋向
于两个以上的数；⑤∞=-→)(lim 0
x f x x ；⑥)(lim x f x x -
→0
趋向于两个以上的数.
例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数???=为无理数时
，当为有理数时，，当x x x D 01
)(定
义域
()
+∞∞-,上的任意一点为第二类间断点. 因为
??
?=→为无理数时
当为有理数时当x x x D x x ,0,
,1)(lim 0
,所以)(lim 0x D x x →不存在. 再例如,对函数x 1
sin
,00=x 是函数的第二类间断点. 因为x x x 10
sin
lim +
→不存在(x x sin lim +∞
→不存在前面已证).
连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上. 二、解证题方法 1、连续 例
1
(
天
津
大
学
2006
年
)
证
明
:
函
数
??
??
?=≠-+--=4
2142424
322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续(用δε-语言证明).
证明因为)
(624
21242432
2+-=--+--x x x x x x , 对0>?ε, 存在{}
118,min εδ=, 当
δ
<-4x 时, 有
ε≤-≤+-=--+--184624
21242432
2x x x x x x x )(, 所以函数
??
??
?=≠-+--=4
2142424
322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续.
例
2 (天津大学2005年)证明: 函数
??
?=为无理数
为有理数x x x x f ,
,
,
sin )(0π在n x =处连续(用δε-语言证明).
证明 因为0==→ππn x n
x sin sin lim , R x ∈, 所以, 对0>?ε，
?0>δ，当δ<-n x 时，有επ<-0x sin . 又因x x f πsin )(≤, R x ∈, 所以ε<-0)(x f . 故函数??
?=为无理数
为有理数x x x x f ,
,
,
sin )(0π在n x =处连续.
例3 (复旦大学2002年)证明函数x
x f 1
=)(在区间],(10上不一致连续. 证明 取n x n 1=
,1
1+=n y n ,Λ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为,)()(1=-=
-n
n n
n n n y x x y y f x f 所以, 存在10=ε,对所有0>δ,当
δ<-n n y x 时, 有,)()(1≥-=
-n
n n n n n y x x y y f x f 故函数x x f 1
=)(在
区间],(10上不一致连续.
证法 2 取n x n 1=
,1
1
+=n y n ,Λ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而1=-∞→)()(lim n n n y f x f ,所以函数x
x f 1
=)(在区间],(10上不一致连续.
例4(中北大学2005年)证明函数x
x x x f 1
12sin )(++=在区间),(10内不一致连续, 在],[21与),[+∞2上均一致连续.
证明 取πn x n 21=
,2
21
ππ+=n y n ,Λ,,,321=n ,则),(,10∈n n y x .
因为0=-∞→n n n y x lim ,而22
42
28=++++=-∞→∞→ππππn n y f x f n n n n lim )()(lim ,所
以函数x
x x x f 1
12sin )(++=在区间),(10上不一致连续.
由于函数x
x x x f 1
12sin )(++=在区间],[21上连续, 所以函数
x
x x x f 112sin )(++=在区间],[21上一致连续.
由于函数x
x x x f 1
12sin )(++=在区间],[12+A 上连续, 所以函数
x
x x x f 112sin )(++=在区间],[12+A (2>A )上一致连续.
因为01
12=++=+∞→+∞→x
x x x f x x sin lim )(lim ,对2>A ,当A x x >''',时,有
ε<''-')()(x f x f . 进而函数x
x x x f 1
12sin )(++=
在区间),[+∞A (2>A )上一致连续.
例5 (北京工业大学2005年)设)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数，试证明{})(),(max )(x g x f x F =为区间()b a ,上的连续函数.
证明 因为
{}[])()()()()(),(max )(x g x f x g x f x g x f x F -++=
=2
1
， 所以只要证明)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数即可.对
()b a x ,∈?0,由于)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数, 所以,对
>?ε，
?0
>δ，当
δ
<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,
ε
<-)()(0x g x g .
又
因
ε20000<-+-≤---)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f ,
所以)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数.
例6(江苏大学2006年)设函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,其值域为
[])(),(b f a f ,证明)(x f 在],[b a 上连续.
证明 因为函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,所以函数)(x f 在],[b a 上任意一点的极限都存在.
如果函数)(x f 在],[b a 上不连续,则函数)(x f 在],[b a 上存在间断点
0x ,如果a x =0,则00>-+)()(a f a f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调
性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(0+a f a f 上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果b x =0,则00<--)()(b f b f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(b f b f 0-上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果()b a x ,∈0，则不等式
0000<--)()(x f x f 及0000>-+)()(x f x f 至少有一个成立,不妨设0000<--)()(x f x f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)
(x f 无法取到[])(),(000x f x f -上的值, 这与函数)(x f 的值域为
[])(),(b f a f 矛盾. 故函数)(x f 在],[b a 上连续.
例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程)
()()(y f x f y x f =+
的惟一不恒为零的连续函数是指数函数()+∞∞-∈=,,)(x a x f x
,其中
01>=)(f a .
分析:要说明函数)(x f 是指数函数x
a ,应证明①0>)(x f ;②
[]c
x f cx f )()(=,其中c 是实数;③01>=)(f a .
证明首先证明①
>)(x f .因为
222222
≥??
?
?????? ??=??? ????? ??=??? ??+=x f x f x f x x f x f )(,
又因为
0000≠==-?)()()()()(x f x f f x f x f (因为)(x f 在()+∞∞-,上不恒
为零,所以存在()+∞∞-∈,0x ,使00≠)(x f ).所以0≠)(x f ,进而
0>)(x f .
其次证明[]c
x f cx f )()(=,其中c 是实数.
a) 当0=c 时, 由)()()(0000f x f x f =≠得10=)(f 得10=)(f . b) 当
n
c =,
n
为正整数
时,[]n n n x f x f x f x x f nx f )()()()(==???? ??++=4484476Λ48476Λ.
c) 当n
m
c =,m n ,为正整数时,
m
m m n x f n x f n x f n x n x f x n m f ???
?????? ??=??? ????? ??=?????
? ??++=??? ??4484476Λ48476Λ,
又因为n n n n x f n x f n x f n x n x f x n n f ?????????
??=??? ????? ??=?????
? ??++=??? ??4484476Λ48476Λ,所以
[]n x f n x f 1
)(=???
??.进而()[]n m
x f x n m f =??
?
??. d) 当n
m
c -
=,m n ,为正整数时, ()[][]n m n
m n
m n m x f x f x f f x f x n m f -
=??
????=??????=-=??? ??-)()()()(10, e) 当c 为无理数时,有有理数列{}n c ,使得c c n n =∞
→lim .因函数)(x f 连
续,所以
[][][]c c c n n n x f x f x f x c f cx f n n n )(lim )()(lim )(lim )(====∞
→∞
→∞
→. 最后证明01>=)(f a .
因为0>)(x f ,所以01>=)(f a .
例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数)(x f 是区间
()+∞∞-=,R 上的单调函数，定义)()(0+=x f x g .证明函数)(x g 在区
间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.
分析：不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.要证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续，只要证明对任意一点
R x ∈0，0>?ε，?0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有ε<-≤)()(00x g x g .
证明 不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.设0x 是区间()+∞∞-=,R 上的任意一点, 因为)0()(00+=x f x g ,即
()00)(lim )0(0
x g x f x f x x ==++→,所以,对0>?ε，?0>δ，当
δ
≤-≤00x x 时，有
ε
δ<-+)()(00x g x f ,即
εδε<-+<-)()(00x g x f .
εδδ<-+=-+)()()()(0000x g x f x g x f ,又因函数)(x f 是区间
()+∞∞-=,R 上的单调增函数, 所以)()()(δ+≤+=00x f x f x g ,故ε<-)()(0x g x g .又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数,
所以())()()(x g x f x f x g =+≤+=0000,进而ε<-)()(0x g x g .所以函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.
例9(中北大学2005年)设函数()
???
??
??????>?
?? ??+--+=<-=,
0,41ln 1
,0,
6,0,arcsin arctan )(23
x x x ax x e x x x
x ax x f ax 问:(1)a 为何值时,)(x f 在0=x 处连续;(2) a 为何值时, 0=x 是
)(x f 的可去间断点.
解 (1) 因为
()()
2
12203
030113lim arcsin lim arcsin arctan lim -→→→--=-=---
-
x
ax x x ax x x ax x x x
()
()
()
a x
a x
x ax x
x ax x x x 616lim
16lim
13lim
2
320
2
320
2
3220
-=--=--=--=-→-→-→-
-
-
,
41
lim 41ln 1lim 2020x x ax x e x x ax x e ax x ax x ?--+=?
?
? ??+--++
+→→
422
12lim 212lim 2200+=+=-+=+
+→→a e a x a x ae ax x ax x ,
所以,当64262
=+=-a a 时,即1-=a 时,函数)(x f 在0=x 处连续.
(2)当66422
≠-=+a a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.即2-=a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.
例10设函数(
)22
22220,(,)0,0
x y x y f x y x y ?++≠?=??+=?
,试
讨论(,)f x y 在点()0,0的连续性、偏导数存在性、可微性. 解 （1）连续性 因
为
()()
()()(
)22
,0,0,0,0lim
(,)lim sin 0(0,0)x y x y f x y x y f →→??=+==???，所以
(,)f x y 在点()0,0连续.
（2）偏导数存在性 因为
()()
()()()x
x
x x
f x f y x y x ???=?-?+→??→??1
sin
lim )
0,0(0,0lim
20,0,0,0,()()01sin
lim 0,0,=???
? ????=→??x x y x ，
()()
()()()y
y
y y
f y f y x y x ???=?-?+→??→??1
sin
lim )
0,0(0,0lim
20,0,0,0,
()()01sin
lim 0,0,=???
? ????=→??y y y x ， 所以)0,0(x f 与)0,0(y f 均存在，且都等于零. （3）可微性 因为
ρ
ρdf
f -?→0
lim
()()[]()()[]
ρ
ρdy f dx f f y x f y x 0,00,00,00,0lim
+--?+?+=→
()
()ρ
ρ001sin lim 2
22
20
+-???????
??+??+?→y x y x 01sin lim 1
sin
lim 0220=???? ??=???
? ???+?→→ρρρρρy x ， 所以()f df o ρ?-=，进而函数(,)f x y 在点()0,0可微. 练习
[1] (电子科技大学2005年)设函数)(x f 定义在()b a ,上,()b a c ,∈,又设
)(x H 和)(x G 分别在),[],,(b c c a 上连续且在),(c a 和()b c ,内是)(x f 的
原函数.令??
?<≤+<<=b
x c C x G c x a x H x F ,
)(,
),()(0,其中选择0C 使)(x F 在
c x =处连续,就下列情况,回答)(x F 是否是)(x f 在()b a ,上的原函数.
(1))(x f 在c x =处连续;
(2) c x =是)(x f 的第一类间断点; (3) c x =是)(x f 的第二类间断点. 解
(1)
当
)
(x f 在
c
x =处连续时,因为
)()(lim )(lim )
()(lim
)(c f x f x F c
x c F x F c F c x c x c x =='=--='→→→,所以)(x F 是
)(x f 在()b a ,上的原函数.
(2)因为 c x =是)(x f 的第一类间断点,且)(x F 在c x =处连续, 所以
)()(lim )(lim c f x f x f c x c
x ≠==
+→→或)(lim )(lim x f x f c
x c
x =
+→→≠.当)()(lim )(lim c f x f x f c
x c x ≠==
+
→→时,
由
)
(lim )(lim )
()(lim )(x f x F c x c F x F c F c x c x c x +
++
→→→+='=--='得
,
)()(lim )(c f x f c F c
x ≠='+
→+,所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.当)(lim )(lim x f x f c
x c
x =
+→→≠时, )(c f 不存在,即)()(c f c F ≠'.所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.
(3)不能判断.例如?????=≠-=--.
,,,
sin sin )(0001121
x x x
nx x nx x f n n 当
21,=n 时,
0=x 是)(x f 的第二类间断点,取
?????=≠=,
,
,,
sin )(0001x x x
x x F n
当
2
=n 时,)(sin lim )()(lim
)(001
00000f x
x x F x F F x x ===--='→→,故)(x F 是
)
(x f 在
()
b a ,上的原函数. 当
1
=n 时,)(sin lim )()(lim
)(001
00000f x
x F x F F x x =≠=--='→→,故)(x F 不是
)(x f 在()b a ,上的原函数.
[2] (电子科技大学2003年,江苏大学2004年)证明区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.
证明 不妨设函数)(x f 是单调增函数,并且设()b a x ,∈0是函数)(x f 的间断
点
.
因
为
())
()(lim 000
0x f x f x f x x ≤=--→,
())()(lim 000
0x f x f x f x x ≥=++→,并且函数在0x 不连续,所以不等式
())(000x f x f ≤-,())(000x f x f ≥+至少有一个取>或<号,所以0
x 是跳跃间断点,即区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.
[3](上海交通大学2003年,深圳大学2006年)定义函数如下:
()10=R ,?????=
=为无理数
，
互质x q p q
p
x q
x R 0)
,(,
)(1
(1≤≤x 0), 证明)(x R 在区间],[10上的无理点处连续,而在区间],[10上的有理点处不连续.
证明 设0x 是区间],[10上的任意一个有理点,则在区间()δδ+-00x x ,内一定存在无理点x '(根据无理数的稠密性),对我们只要取
01
>≥εq
,使得
ε≥=
-'q
x R x R 1
0)()(.所以)(x R 在区间],[10上的有理点处不连续. 设0x 是区间],[10上的任意一个无理点,我们只要证明: 对0>?ε，
?0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<≤
-=-q
x R x R x R 1
00)()()(即可.因为
ε≥q
1
的q 值有有限个,不妨设为m x x x ,,,Λ21.令{}
001x x x x k k m
k ≠-=≤≤,min δ,
当
δ
<-0x x 时，有
ε<≤
-=-q
x R x R x R 1
00)()()(.即)(x R 在区间],[10上的无理点处连续.
[4] (南京理工大学2004年)设函数)(x f 在],[b a 上连续,且在],[b a 上的任意有理点为0,证明函数)(x f 在],[b a 上恒为零.
证明 设0x 为],[b a 上的任意一点,当0x 为有理点时,0=)(x f .当0x 为无理点时,存在有理数列
{}]
.[b a x n ?,使0x x n n =∞
→lim .故
000===∞
→∞
→lim )(lim )(n n n x f x f ,进而函数)(x f 在],[b a 上恒为零.
[5] (江苏大学2004年)设)(x f 在],[b a 上连续,又有{}].[b a x n ?,使得
A x f n n =∞
→)(lim ,证明:存在],[b a x ∈0,使得A x f =)(0.
证明 因为{}].[b a x n ?，由致密性定理，{}n x 存在收敛的子列{}
k n x ，使
0x x k k n n =∞
→lim .又因)(x f 在],[b a 上连续, 故A x f x f k k n n ==∞
→)(lim )(0.
[6]( 上海交通大学2003年)设定义在实数集R 上的函数)(x f 在1
0,=x
两点处连续，且对任意的R x ∈有)()(x f x f =2
，证明：)(x f 为常函数.
证明 对0>?x ，由)()(x f x f =2
得，N n x f x f n
∈=),()(21
.因为
1
21
=∞
→n
x n lim ,并且在
1
=x 点处连续,所以
)()(lim )(lim )(121
f x f x f x f n
n n ===∞
→∞
→.又)(x f 在0=x 点处连续,所以
)()(lim )(100
f x f f x ==+
→.又因R x f x f x f ∈==),()()(12,所以)
(x f 为常函数.
[7](陕西师范大学2003年)设)(x f 在R 上有定义且恒不为零,)(0f '存在,且对任意的y x ,都有)()()(y f x f y x f =+,求)(),(x f x f '.
解 因为)()()(00f x f x f =+,并且)(x f 在R 上恒不为零,所以
10=)(f .由)(0f '存在,则)(x f 在点0连续.设对R x ∈?0,因
1000000--=--=-)()()()()()()(x x f x f x f x x f x f x f x f ,所
以
[]010100000
=-=--=-→→)()()()(lim )()(lim f x f x x f x f x f x f x x x x ,
故函数)(x f 在R 上连续.对任意的有理数x ,有[]x
f x f )()(1=,对任意的无理数x ,存在有理数列
{}
n x ,使得x x n n =∞
→lim .进而
[][]x
x
n n n f f x f x f n )()(lim )(lim )(11===∞
→∞
→.所以[]x
f x f )()(1=.所以
[]
{
}[]
)(ln )()()(1111
f f x f x f x x
?='='-.
[8](中北大学2005
年)设
)(x f 在R 上有定义,且
0=-∞
→)(lim x f x ,1=+∞
→)(lim x f x ,在区间
()
10,上定义函数
{}x t f t x g >=)(inf )(,证明:函数)(x g 右连续.
证明 对()100,∈?x ,{}
00x t f t x g >=)(inf )(,所以对0>?ε,存在
()()+∞∞-∈,εt ,当0x t f >))((ε,有εε<-≤)()(00x g t .因为
{}()εt x t f t x g ≤>=)(inf )(,所以ε<-)()(0x g x g ,())((,εt f x x 0∈，
即函数)(x g 右连续.
[9]（中北大学2005年）证明: (1)函数x
x x x f 1
12sin )(++=在()10,内不一致连续，(2) 函数x x x x f 1
12sin )(++=
在],[21与),[+∞2上均一致连续. 证明 (1)取πn x n 21=，2
21
ππ+=n y n ,则()10,,∈n n y x .因为
()022*******=??? ?
?+=?????
?????+-=-∞→∞→∞→πππππππn n n n y x n n n
n n lim lim lim , 而)()(lim n n n y f x f -∞
→
()122sin 2212222sin 2122lim =??? ?
?+??? ?
?
++?
?? ??
++-++=∞→πππππππππn n n n n n n , 所以函数x x f 1
sin
)(=在()10,内不一致连续. (2)因为x x x x f 112sin )(++=
在],[21上连续,所以x
x x x f 1
12sin )(++=在],[21上一致连续.
因为01sin 12lim )(lim =???
?
?++=+∞→+∞
→x x x
x f x x ,所以,对0>?ε,存在
2>X ,当X x x >''',时，
有ε<''-')()(x f x f ，即x
x x x f 1
12sin )(++=在),[+∞+1X 上连续（当),[,+∞+∈'''1X x x 时，显然有δ<''-'x x 时，
ε<''-')()(x f x f ）.
因为
x
x x x f 1
12sin )(++=
在]
,[12+X 上连续,所以
x
x x x f 1
12sin )(++=
在],[12+X 上一致连续. [10]（复旦大学2002年、汕头大学2003年、中北大学2005、浙江师范大
学2003年）证明:函数x
x f 1
sin
)(=在],(10内不一致连续. 证明 取πn x n 21=，2
21
ππ+=n y n ,则],(,10∈n n y x .因为
()022*******=??? ?
?+=?
???
??
?
?+-=-∞→∞→∞→πππππππ
n n n n y x n n n
n n lim lim lim ,而
()1222=??? ?
?
+-=-∞→∞→πππn n y f x f n n n n sin sin lim )()(lim ,所以函数x
x f 1
sin )(=在],(10内不一致连续.
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
数学分析·下定义及定理
第十二章 数项级数 1、级数的收敛性 定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ???++???++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项. 数项级数（1）也常写作: ∑∞ =1 n n u 或简单写作 ∑n u . 数项级数（1）的前n 项之和，记为 n n k k n u u u u S +???++==∑=211 ， （2） 称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和. 定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作 ???++???++=n u u u S 21或∑=n u S . 若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散. 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有 p m m m u u u ++++???++21<ε. （6） 定理12.2 若级数∑n u 与 ∑n υ 都收敛，则对任意常数,,d c 级数 ()∑+n n d cu υ亦收 敛，且 ()∑∑∑+=+. n n n n d u c d cu υυ 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。 正向级数 定理12.5 正项级数 ∑n u 收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ， 对一切正整数n 有n S 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 第一章 实数集与函数 §1 实数 Ⅰ.教学目的与要求 1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法 2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用 3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点 重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式. 难点: 实数的定义及其应用. Ⅲ.讲授内容 一 实数及其性质 实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成． 有理数的表示:有理数可用分数形式q p (p ?q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进 小数或无限十进循环小数来表示. 无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数． 有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a 1a 2n a 时，其中0,9≤≤i a i=1,2, n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a ( 1)?.999 9, 而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…， 例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示． 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系． 定义1 给定两个非负实数 x= 0a .a a 1n a , y=,.210 n b b b b 其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，, 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y 高等数学课件：函数的连续性 1.7函数的连续性 教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。 教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容: 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量 yfx,()000 ，相应地函数值的增量 ,x ,,，,,yfxxfx()() 00 xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。 lim0,,y00,,x0 x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0 xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数 lim()()fxfx,000xx,0 xfx()在点处连续。 0 左连续及右连续的概念。 xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00 x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000 xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00 x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0 2 区间上的连续函数 如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。 yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。 x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x ,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,, ,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,, ,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,, 45 xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0 意性，在内连续。 yx,sin(,),,，, xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1 x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1) x由于时，，因此 axa,1lnx,0 xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，, 1.6.2 函数的间断点 数学分析学习方法 数学分析是基础课、基础课学不好，不可能学好其他专业课。工欲善其事，必先利其器。这门课就是器。学好它对计算科学专业的学生都是极为重要的。这里，就学好这门课的学习方法提一点建议供同学们参考。 1.提高学习数学的兴趣 首先要有学习数学的兴趣。两千多年前的孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣，世界知名的伟大科学家、相对论学说的创立者爱因斯坦也说过：“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣。”学习的乐趣是学习的主动性和积极性，我们经常看到一些同学，为了弄清一个数学概念长时间埋头阅读和思考；为了解答一道数学习题而废寝忘食。这首先是因为他们对数学学习和研究感兴趣，很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学，要培养学习数学的兴趣首先要认识学习数学的重要性，数学被称为科学的皇后，它是学习科学知识和应用科学知识必须的工具。可以说，没有数学，也就不可能学好其他学科；其次必须有钻研的精神，有非学好不可的韧劲，在深入钻研的过程中，就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦。长久下去，自然会对数学产生浓厚的兴趣，并激发出学好数学的高度自觉性和积极性。用兴趣推动学习，而不是用任务观点强迫自己被动地学习数学。 2.知难而进，迂回式学习 首先要培养学习数学分析的兴趣和积极性，还要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学分析时尤为重要。 中学数学和大学数学，由于理论体系的截然不同，使得同学们会在学习该课程开始阶段遇到不小的麻烦，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 定义1 给定两个非负实数 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =L 为整数，若有 则称x 与y 相等，记为x y =. 定义2 定义3 绝对值得一些性质 定义4 区间和邻域 定义5 有界的定义 定义6 确界的定义 定理1 定理一 确界原理 定理2 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 函数的概念 定义1 函数的四则运算 初等函数 定义2 几个重要的等式（不等式） 数列极限 定义1 收敛数列的性质 定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且12k n n n <<< 无穷小量阶的比较（定义见下页末） 函数极限存在的条件 两个重要极限 常见的几个等价无穷小量 函数的连续 区间上的连续函数 连续函数的性质 导数和微分 定义2单侧导数 导函数 导数的几何意义 求导法则 反函数的导数 复合函数的导数 基本求导法则 基本初等函数导数公式 参变量函数的导数 高阶导数 定义略 微分 定义1 定理5.10 可微函数 若函数在定义区间上每一点都可微，则称函 数为可微函数. 微分的运算法则 高阶微分 导言数学分析课程简介 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值 函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究 一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累 时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时 期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要 在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001； [2] 陈纪修於崇华等编，《数学分析》（第二版）高等教育出版社，2001 [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析方法课开设. 关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x 第九章 不定积分 1 定积分概念 一、问题提出 1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形. 在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0 作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n 1 i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1). 对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W. 注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”. 二、定积分的定义 定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0 数学分析答案第四版 【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】 >第一部分实数理论 1 实数的完备性公理 一、实数的定义 在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理： 则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。 评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。 二、实数的连续性（完备性）公理 实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理： 有限覆盖定理：（heine-borel） 聚点定理：(weierstrass) 致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy) 习题1 证明dedekind分割原理和确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。 评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质 有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8 介值定理和零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10 一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限 三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义 评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。 （p173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。 第二部分级数理论 1 数项级数 第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引 言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质 1、实数 (,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示. {}|R x x =为实数--全体实数的集合． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 01(1)9999n n a a --0,a 则记x =表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号． 例： 2.001 2.0009999→； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中00,a b 为 非负整数，,k k a b (1,2,k =为整数，09,0 k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2 k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义2（不足近似与过剩近似）：01 .n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110 n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =. 对于负实数01 .n x a a a =-，其n 位不足近似011.10n n n x a a a =--；n 位过剩近似01.n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤ ； 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥． 命题：记01.n x a a a =，01.n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）． 命题应用 例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<． 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999 →-→--→-； ； 【关键字】分析、满足 数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分) 叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞ -=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1 样题(二) 一. (10分) 设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 数学分析定义、定理、推理一览表 定义1 给定两个非负实数 012..,n x a a a a =L L 012..,n y b b b b =L L 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =L 为整数，若有 09,09.k k a b ≤≤≤≤ 则称x 与y 相等，记为x y =. ()0011,0,1,2,, ,. k k l l a b l a b k l a b x y y x x y y x ++>==>> 第五章 导数与微分 §1 导数的概念 【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定 义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 【教学难点】导数的概念。 一、导数的定义 1．引入（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时 刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→. 2．导数的定义 以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0 0()(lim x x x f x f x x --→） 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或 .0 x x dx dy = 高数函数-极限和连续总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0| 数学分析9.1定积分 概念 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第九章 不定积分 1 定积分概念 一、问题提出 1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形. 在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0 F(x)≈F(ξi ), x ∈[x i-1,x i ], i=1,2,…,n. 于是质点从x i-1位移到x i 时，力F 所作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n 1i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1). 对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W. 注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”. 二、定积分的定义 定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0 1.7函数的连续性 教学目的：理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道 反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。 教学重点：函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容： 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域0()U x 内有定义，自变量x 在点0x 处有增量 x ?，相应地函数值的增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果0 lim 0x y ?→?=，就称函数()f x 在点0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点。 函数()f x 在点0x 处连续还可以描述如下。 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域0()U x 内有定义，如果0 0lim ()()x x f x f x →=，就称函数 ()f x 在点0x 处连续。 左连续及右连续的概念。 如果0 0lim ()()x x f x f x -→=，称函数()f x 在点0x 处左连续；如果0 0lim ()()x x f x f x +→=，称函 数()f x 在点0x 处右连续。由于0 lim ()x x f x →存在的充要条件是0 lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=，因此，根 据函数连续的定义有下述结论：若函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，则它在点0x 处连续的充分必要条件是在点0x 处左连续且右连续。 2 区间上的连续函数 如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。 例1 证明sin y x =在(,)-∞+∞内连续。 证明 (,)x ?∈-∞+∞，当x 有增量x ?时，对应的函数值的增量 sin()sin 2sin cos 22x x y x x x x ?????=+?-=+ ??? 由于 cos 12x x ?? ? + ≤ ??? ， sin 22x x ??≤大学高等数学函数极限和连续
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