1.4.3正切函数的图像和性质(1)公开课(最新课件)
2
5
又 0 2 ,
45
y
tan
x在
0,
2
内单调递增，
tan tan 2 , tan tan 2 ,
4
5
4
5
ห้องสมุดไป่ตู้
即
tan
13 4
tan
17 5
例3 求下列函数的单调区间：
(1) y 3tan(1 x );
24
变式(2) y 3 tan( x )
24
解：由k 1 x k ，k Z 解:因为原函数可化为: y 3tan(x );
22 4
2
得 3 2k x 2k , k Z
2
2
24
令u x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
2
2
y 3tan(1 x )的单调递增区间为:
24
由u 1 x 得 : 24
k 1 x k
(2k 3 ,2k ) k Z
（1）定义域：{x∈R| x k k z }
2 （2）正切函数的周期
Q tanx tan x
所以正切函数的周期是T=π（最小正周期）
（3）正切函数的图象 先作一个周期内的图象，我们可选择 ,
2 2
作出正切函数在该区间上的图象。
利用正切线画出图象.
回顾：正切线的画法
3
8
4
O1
y=cosx
y
1
0
2
3 2 5 x
2
2
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
一、新课讲授:
正切函数y=tanx的图象和性质：
授课教师：李丹
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
2
k
,
2
k
,
k
Z
➢对称中心：
k 2
,
0
k
Z
谢谢指导
作业：导学：P25-P26
２值域： R
３周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
４.奇偶性：奇函数
5.单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
6.对称性：对称中心是( k , 0), k Z
2
对称轴呢？
二、知识应用
例1．求函数 y
解：1)由x
takn x, k4 Z即的定x 义域和k周,期k ．Z
8
2
8
4
3
8
y=tanx,x∈（ ， ）
22
作法如下： Y
➢作直角坐标系，并在
直角坐标系y轴左侧作单
位圆。
在单位圆右半圆
中作出正切线。
X
0
2
找横坐标（把x轴上
到 这一段分成8
2
等份）
移动正切线
连线
利用正切函数的周期性,把图象向左,右
扩展,得到正切函数
y tan x, x R且x k , (k Z )的图象,并把它
2
2
22 4
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
24
(2k ,2k 3 ) k Z
2
2
（1）正切函数的图象
（2）正切函数的性质：
➢➢定值义域域：：全x |体x 实2数 kR
,
k
Z
➢周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=
➢奇偶性：奇函数，
➢单调性：正内切都函是数增在函开数区。 间
叫做正切曲线. 2 y
思考:如何作正切函数的简图?
3
0
2
2
2
3 2
x
从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线
x k , (k Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.
2
“看图说话”正切函数y tan x 的性质和图象：
１.定义域：{x | x k , k Z}
2
y y tan x
42
4
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是 x
x
4
k，k
Z
2)由于f (x) tan(x ) tan(x ) tan[(x ) ]
4
4
4
f (x)
周期T | |
例2、比较
tan 13
4
与
tan 17
5
的大小。
解：Q
tan
13
4
tan
4
tan
17
5
tan
合集下载
高中数学课件 1.4.3 正切函数的图象和性质(1)
练习
讨论函数 y tan 2 x 的性质；
练习： P 50
T3 ~ T6
P52
T6 ~ T8
x
2、利用正切函数的周期性，把上述图象向x轴两边扩 展，得到正切曲线；
y
3 2
2
0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
x
三、观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性
x x | x R且x k ，k Z 2 yR
例题2
讨论函数 y tan x 的性质； 4
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性
5、周期性
x x | x R且x k ，k Z 4 yR 3 在x k , k 上是增函数； 4 4 f ( x) tan( x ) tan( x ) f ( x) 4 4 且f ( x) f ( x)是非奇非偶函数 f ( x ) tan( x ) tan( x ) f ( x) 4 4 最小正周期是
tan
13 17 比较 tan( ) 与 tan( ) 的大小. 4 5
2 tan 5
4
tan
2 13 17 ,即 tan tan 5 4 5
练习
不查表比较大小：
(1) tan167 与 tan173 (2) tan 470 与 tan822
在x k , k 上是增函数； 2 2
f ( x) tan( x) tan x f ( x)奇函数
1.4.3正切函数的图像和性质(1)
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) ∵ 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
3π (2kπ ,2kπ + ) 2 2
1 π x + )的单调递减区间为 : 2 4
π
例4 求下列函数的周期 求下列函数的周期：
解 :∵ f ( x) = 3 tan(2 x + ) π 4
(1) y = 3 tan(2x + ); 4 π
π
( 2 )变题 y = 3 tan(
= 3tan( x + +π) 2 4
解： (1) ∵ 90 < 167 < 173 < 180 上是增函数 ∵ y = tan x, 在 (900 ,2700 ) 又
3π 3π ∴ tan( ) < tan( ) 4 5
即
11 π 13 π tan( ) < tan( ) 4 5
解 : 因为原函数可化为 y = 3 tan( ); : 2 4 ∵ u = x + 为增函数; 且y = tan u的单调区间为 : x π 2 4 令u = ; 所以y = tan u的单调递增区间为 : π π
解 : (1)令u = x + , 则y = 3 tan u 2 4 1 π
1 π (1) y = 3 tan( x + ); 2 4 1 π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) ∵ 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
3π (2kπ ,2kπ + ) 2 2
1 π x + )的单调递减区间为 : 2 4
π
例4 求下列函数的周期 求下列函数的周期：
解 :∵ f ( x) = 3 tan(2 x + ) π 4
(1) y = 3 tan(2x + ); 4 π
π
( 2 )变题 y = 3 tan(
= 3tan( x + +π) 2 4
解： (1) ∵ 90 < 167 < 173 < 180 上是增函数 ∵ y = tan x, 在 (900 ,2700 ) 又
3π 3π ∴ tan( ) < tan( ) 4 5
即
11 π 13 π tan( ) < tan( ) 4 5
解 : 因为原函数可化为 y = 3 tan( ); : 2 4 ∵ u = x + 为增函数; 且y = tan u的单调区间为 : x π 2 4 令u = ; 所以y = tan u的单调递增区间为 : π π
解 : (1)令u = x + , 则y = 3 tan u 2 4 1 π
1 π (1) y = 3 tan( x + ); 2 4 1 π
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
正切函数的图像和性质 -公开课PPT课件
8
O1
4
8
3
8
4
8
O
2
A
3
x
84 8 2
8
4
3
8
y
3
2
1
0
2
-1
2
3 x
2
y tan x
正切曲线是由被相互平行的直线
x
k
(k Z)
所隔开的无穷多支曲线组成的。 2
正切函数y tan x的图象
…
-
5 2
-2
-
3 2
-
-
2
…
3
2 5
2
2
2
定义域 值域 周期 奇偶性
单调区间
1. 求y tan(x )的单调区间 (x 3 k , k Z)
5
10
( 7 k , 3 k ) k Z
10
10
2.求函数y tan(2x )的单调区间.
4
令t 2x ,则y tan t,且t 2x
4
4
当k t k 时y tan t (k Z )
(2) tan 13 与 tan 17
4
5
tan138 tan143
tan 17 tan 13
5 4
比较大小方法：1、将角转化在同一个单调区间 2、利用正切函数的单调性
例7、直线y a(a为常数)与y tan x的相邻两支 的交点间的距离是多少 ？
解：由图象
ya
间隔是 多少？
x k , k Z
2
R
奇函数 区间: (k ,k )
2
2
无对称轴 所有的对称中心
( k
2
1.4.3 正切函数的图象和性质课件(上课)
π x | kπ < x < kπ + ; k ∈ Z 2
1
−
3π
2
−π
−π 2
oπ
4
π
2
π
3π
2
x
π π x | − + kπ < x < + kπ ; k ∈ Z 2 4
练习： 练习： 1) tan x < 0
2) tan x = 0
3) tan x + 1 > 0
y = tan x
π x| x ≠ +kπ,k∈Z 2
全体实数R 全体实数R 正切函数是周期函数， 最小正周期T=
−
3π
2
−π
−π 2
o
π
2
π
3π
2
x
π
奇偶性： 奇偶性：
π π 正切函数在开区间 − +kπ, +kπ,k∈Z 单调性： 单调性： 内都是增函数。 2 2
，那么必有
3 D. α + β < 2 π
A. α < β B. α > β C.
3 α+β > π 2
2) 已知a = tan 1, b = tan 2, c = tan 3 ，则 a, b, c 的大小关系是： 的大小关系是：
例3 求满足下列式子的 x 的取值范围 y y = tan x 1）tan x > 0 2）tan x < 1
π
+ kπ ) k ∈ Z
对称轴呢？ 对称轴呢？
思考： 思考：
• 1）正切函数在整个定义域内是增函数吗 ？ ） 为什么？ 为什么？ •2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？ •2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？ 为什么？ 为什么？
1
−
3π
2
−π
−π 2
oπ
4
π
2
π
3π
2
x
π π x | − + kπ < x < + kπ ; k ∈ Z 2 4
练习： 练习： 1) tan x < 0
2) tan x = 0
3) tan x + 1 > 0
y = tan x
π x| x ≠ +kπ,k∈Z 2
全体实数R 全体实数R 正切函数是周期函数， 最小正周期T=
−
3π
2
−π
−π 2
o
π
2
π
3π
2
x
π
奇偶性： 奇偶性：
π π 正切函数在开区间 − +kπ, +kπ,k∈Z 单调性： 单调性： 内都是增函数。 2 2
，那么必有
3 D. α + β < 2 π
A. α < β B. α > β C.
3 α+β > π 2
2) 已知a = tan 1, b = tan 2, c = tan 3 ，则 a, b, c 的大小关系是： 的大小关系是：
例3 求满足下列式子的 x 的取值范围 y y = tan x 1）tan x > 0 2）tan x < 1
π
+ kπ ) k ∈ Z
对称轴呢？ 对称轴呢？
思考： 思考：
• 1）正切函数在整个定义域内是增函数吗 ？ ） 为什么？ 为什么？ •2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？ •2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？ 为什么？ 为什么？
高中数学《正切函数的图像与性质》课件
三角函数线
见教材 P 43图1.4 8
y tanx
定义域
{x | x
2
k , k Z }
值域
单调性 奇偶性 周期性
y tan x值域为R
y tan x在(
2
k ,
2
k )，k Z内单增
y tan x是奇函数 y tan x是周期函数，周期为
借助三角函数线绘制正 切函数在( , )内的图象 2 2 见教材 P 44图1.4 9
y
.
3 8 8 4
2
.
.
. .
.
8
3
8 4
x
.
正切函数的图象：
5 2
3 2
2
0
2
3 2
5 2
通过函数图象反过来验证一下函数的性质
T 2
T
3. 奇偶性 y tan x是奇函数
定义域关于原点对称
tan( x ) tan x
4. 单调性 y tan x在(
特值检验
2
k ,
2
k )，k Z内单增
x
tan x
0 0
6 3 3
4 1
3
3
2
变化不连续
缺乏整体感
1.4.3正切函数的性质和图象
y cos x , x R y sin x , x R y tanx
1. 定义域 { x | x
2. 周期性
2 y tan x是周期函数，周期为
正切函数图象与性质课件1
≠
π
2
+ kπ
所以函数
y = tan( − x +
π
4
的定义域是： ) 的定义域是：
3π x | x ≠ + kπ , k ∈Z 4
π x | x ≠ − − kπ , k ∈Z 4 即
正切函数的周期性
例2. y = 3tan(2x + ); 1 π 4 y = 3 tan( x + ); π 思路分析：结合正切函数的周期求所给函数的周期．
小结
正切函数的图像和性质
π π 1、正切曲线是先利用平移正切线得y = tan x , x ∈ ( − , )的图象， 的图象， 2 2 象向左、右扩展得到。 再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
y 6.利用正切线画出函数 6.利用正切线画出函数 = tan x
o
−
π
3π π π 0 − − − 2 8 4 8
π
8
π
4
3π 8
π
2
二:性质
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗 你能从正切函数的图象出发 讨论它的性质吗? y 1
-3π/2 -π t-π -π/2
0 -1
t π/2
π t+ 3π/2 t+π
π
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
2 4
= f (x+2π)
∴ 周期T = 2π
一般地， 一般地，函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为 ＝ ＋ ≠ ， ≠ 的周期为
π T＝ . ＝ |ω|
1.4.3(1)正切函数的性质与图像(一)
1.4.3正切函数的性质与图像（1）
教学目标
1.知识与技能 用正切函数的图象性质解决定义域、值域、单调性； 2.过程与方法 借助正切函数的图象,类比正弦函数的性质学习正切函 数的性质. 3．情感、态度、价值观 通过类比画出正切函数的图象,并通过观察图象,培养总 结性质的能力；培养用数形结合的思想理解和处理问题； 会通过观察正切曲线得到正切函数的各种性质,培养使 用函数图象研究函数性质的能力.
预设问题
1.如何解包含tan的函数的定义域？
学生反馈问题
基础检测
基础检测
探究一:正切函数的定义域与值域
探究一:正切函数的定义域与值域
探究二:正切函数的单调性及应用
探究二:正切函数的单调性及应用
小结 知识上：方法上：
教学目标
1.知识与技能 用正切函数的图象性质解决定义域、值域、单调性； 2.过程与方法 借助正切函数的图象,类比正弦函数的性质学习正切函 数的性质. 3．情感、态度、价值观 通过类比画出正切函数的图象,并通过观察图象,培养总 结性质的能力；培养用数形结合的思想理解和处理问题； 会通过观察正切曲线得到正切函数的各种性质,培养使 用函数图象研究函数性质的能力.
预设问题
1.如何解包含tan的函数的定义域？
学生反馈问题
基础检测
基础检测
探究一:正切函数的定义域与值域
探究一:正切函数的定义域与值域
探究二:正切函数的单调性及应用
探究二:正切函数的单调性及应用
小结 知识上：方法上：
课件8： 1.4.3 正切函数的性质与图像
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z
解析：tan(4π－x)＝－tan(x－4π)．由 x－π4≠kπ＋4π (k∈Z)得
x≠kπ＋34π(k∈Z)，∴函数的定义域是x|x≠kπ＋34π，k∈Z.
答案：D
2．根据正切函数的图像解不等式：tan 2x≤－1.
解：在(－2π，π2)内，tan(－4π)＝－1.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集由不等式 kπ－π2＜2x≤kπ－π4，k∈Z 确定．解得k2π－4π＜x≤k2π－π8 ，k∈Z.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集为x|k2π－π4＜x≤k2π－π8，k∈Z.如图所示．
①定义域：x|x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z； ②值域：[0，＋∞)；
(6 分) (7 分)
③周期性：T＝π；
(8 分)
④奇偶性：非奇非偶函数；
(10 分)
⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2π)，k∈Z. (12 分)
[方法规律] 由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像；
[方法规律] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的 定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式 组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．
1．函数 y＝tan(π4－x)的定义域是 ( )
π A.x|x≠4
B.x|x≠－π4
C.x|x≠kπ＋4π，k∈Z
[例 3] (12 分)画出函数 y＝|tan x|＋tan x 的图像，并根据图像
求出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
[解]
由 y＝|tan x|＋tan x 其图像如图所示．
知
y＝02，tanx∈x，（x∈kπ（－kπ2π，，kkππ）＋，2π），(k∈Z)．