2020年高中数学基础知识归类

一.集合与简易逻辑、推理

集合表示－集合中的关系－集合运算，命题形式－四种命题关系－充分、必要条件

1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域。

2.集合的性质：

①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ?,在讨论的时候不要遗忘了

A =?的情形，如：}012|{2

=--=x ax x A ,假如A R +=?,求a 的取值.(答：0a ≤)

④含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关咨询题。

如：函数12)2(24)(2

+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使

0)(>c f ,求实数p 的取值范畴.(答：3

(3,)-)

假设存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2

＋〔a -2〕x -2>0成立，那么实数x 取值范畴是．

解：不等式即2

()220x x a x +-->，设2

()()22f a x x a x =+--.研究〝任意a ∈[1，3]，恒有()0f a >〞.那么(1)0

(3)0f f >??>?

，解得(,1)(2,)x ∈-∞-+∞。那么实数x 的取

值范畴是[1,2]-.

4.四种命题：

⑴原命题：假设p 那么q ； ⑵逆命题：假设q 那么p ；⑶否命题：假设?p 那么?q ；⑷逆否命题：假设?q 那么?p

注：1。原命题与等价；逆命题与否命题等价。判定命题真假经常常借助判定其的真假。

2．命题的否定是〝P 命题的非P 命题，也确实是‘ 不变，仅否定 ’所得命题〞，但否命题是〝既否定原命题的，又否定原命题

的〞。命题p q ?否定形式是p q ??；否命题是p q ???.命题〝p 或q 〞的否定是〝p ?且q ?〞；〝p 且q 〞的否定是〝p ?或q ?〞. 5.常见结论的否定形式

6. 全称命题与特称命题

短语〝所有〞在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号?表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语〝有一个〞或〝有些〞或〝至少有一个〞在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号?表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

7．对集合A B 、，A B =?〝极端〞情形：； A B A B A A B B ??=?=〝极端〞情形：； 8．充要条件

〔1〕定义法----正、反方向推理。关键是分清条件和结论〔划主谓宾〕，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，那么条件是结论成立的必要条件。；

〔2〕集合讲明，x x A |{=满足条件}p x x B |{=满足条件}q

9．命题真假

〝或命题〞的真假特点是〝一真即真，要假全假〞；〝且命题〞的真假特点是〝一假即假，要真全真〞；〝非命题〞的真假特点是〝一真一假〞 10.类比推理的一样步骤：

〔1〕找出两类事物之间的相似性或一致性；

〔2〕用一类事物的性质去估量另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜想〕；〔3〕一样地，事物之间各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。假如两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是确实；

〔4〕在一样情形下，假如类比的相似性越多，相似的性质与估量的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

注意: 归纳推理是由部分到整体，由个不到一样的推理;类比推理是专门到专门的推理。 11. 〝三段论〞是演绎推理的一样模式，包括：

⑴大前提---------的一样结论；⑵小前提---------所研究的专门情形； ⑶结论---------依照一样原理，对专门情形得出的判定。 12．证明

⑴直截了当证明：综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有…… 这只需要证明命题A 为真，而A 为真，故命题B 必为真。

综合法：利用某些差不多证明过的不等式〔例如算术平均数与几何平均数定理〕和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

综合法的思维特点是：由因导果，即由条件动身，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 ⑵反证法的步骤：

1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 2)从那个假设动身，通过推理论证，得出矛盾；

3)由矛盾判定假设不正确，从而确信命题的结论正确。

注意：可能显现矛盾四种情形：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

高中数学基础知识归类

——献给2018年赣马高级中学高三考生

二.函数

函数概念－函数图象－函数性态〔定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性〕－专门函数图象与性质－应用〔内部应用、应用题〕

1. 映射

①映射

A B →是：⑴ 〝一对一或多对一〞的对应；

⑵A 中元素必有象且A 中不同元素在B 中能够有相同的象；B 中元素不一定有原象(即象集

B ?

). ②一一映射

A B →： ⑴〝一对一〞的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有

原象.

2.函数

f : A B →是专门的映射.专门在定义域A 和值域B 差不多上非空数集！据此可知函数图像与

x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域,值域,对应法那么.研究函数的咨询题一定要注意定义域优先的原那么.

4.求定义域:

使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;

对数真数0>,底数0>且1≠；如lg 1x <的解集：010x <<；ln y x =单调增区间(0,)+∞；零指数幂的底数0≠；实际咨询题有意义；假设

()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出；假

设[()]f g x 定义域为[,]a b ,那么()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域.

5.求值域常用方法:

①配方法(二次函数类)；②导数法(一样适用于高次多项式函数)；③换元法(专门注意新元的范畴).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：依照函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判不式法〔慎用〕

6.求函数解析式的常用方法：

⑴待定系数法(所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；

⑶方程的思想----对等式进行赋值，从而得到关于

()f x 及另外一个函数的方程组；

〔4〕坐标转移法。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵假设()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)；

⑶判定函数奇偶性可用定义的等价形式：

()()0f x f x ±-=或

()()

1(()0)f x f x f x -=±≠；

注意：假设判定较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判定；既奇又偶的函数有许多个 (如

()0f x =定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法，以及图像法和特值法(用于小题)等； ⑺复合函数单调性由〝同增异减〞判定. 〔提醒：求单调区间时注意定义域〕如：函数

2log (2)y x x =-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))

函数1

y x x

的单调增区间是_____________.(答：(,0)-∞和(0,)+∞)你能画出图像吗？

8.函数图象的几种常见变换

⑴平移变换：左右平移----〝左加右减〞〔注意是针对x 而言〕；上下平移----〝上加下减〞(注意是针对

()f x 而言).

⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →.

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

②函数

()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称

③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；

④函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,那么()y f x =图像关

于直线x

a =对称；

⑤假设

()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,那么()y f x =图像关于直线

a b x +=

对称；

⑥函数

()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2

b a x -=

对称(由a x b x +=-确定)；

9.函数的周期性：⑴假设

()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,那

么 ()f x 的周期为2||a ；

⑵假设()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,那么()f x 的周期为2||a ； ⑶假设()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,那么()f x 的周期为4||a ； ⑷假设()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,那么()f x 的周期为2||a b -；

⑸

()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()

()f x f x a +=-

,那么

()y f x =的周期为

2||a ；

10.对数：⑴log log n n

a a

b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈；

⑵对数恒等式log (0,1,0)a N

a N a a N =>≠>；

⑶log ()log log ;log log log ;log log n a a a a

a a a a M N

N M N M N M n M ?=+=-=；

log log a a n

M =；⑷对数换底公式log log log b b a N a

N =

(0,1,0,1)a a b b >≠>≠；推论：121123log log log 1log log log log n a b c a a a n a n b c a a a a a -??=???

?=.

(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠>且12,,n a a a 均

不等于1)

11.方程

()k f x =有解k D ?∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立

[()]a f x ?≥最大值,

()a f x ≤恒成立[()]a f x ?≤最小值.

12.恒成立咨询题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布咨询题；

1).恒成立咨询题

假设不等式()f x A >在区间D 上恒成立,那么等价于；假设不等式

()B x f <在区间D 上恒成立,等价于()max f x B <。

2).能成立咨询题

假设在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,那么等价于在区间D 上()max f x A >；

假设在区间

上存在实数

使不等式

()B

x f <成立,那么等价于在区间

上

的 .

3).恰成立咨询题：恒成立最值法,如：()a f x >

最大值,那么()a f x >恒成立.()a f x <最小值,那么

()a f x <恒成立.

假设不等式

()A x f >在区间D 上恰成立, 那么等价于不等式()A x f >的解集为D ；假设不等式

()B x f <在区间D 上恰成立, 那么等价于不等式()B x f <的解集为D .13.处理二次函数的咨询题勿

忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值咨询题用〝两看法〞：

一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

14.二次函数解析式的三种形式： ①一样式：

2()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式：

2()()(0)f x a x h k a =-+≠； ③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0?>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：假设()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由不等式()a g x ≤b ≤解出；假设[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于[,]x a b ∈时,求()g x 的值域；⑵复合函数的单调性由〝同增异减〞判定.

17. 函数(0,)ax b cx d

y c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分不直线d c

x =-(由分母为零确定)

和直线

a c

y =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c

-；③反函数为b dx cx a

y --=；

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——献给2018年赣马高级中学高三考生

三.不等式、线性规划、算法

1.把握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要专门注意： ①假设0ab >,b a >,那么