数理方程定解问题
delta函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数理方法定解问题
初始速度分布— ut (x, t) t0 (x)
其中 ut
u t
2.2 输运问题 方程中含有对 t 的一阶偏导数
初始温度或浓度分布— u(x, y, z, t) t0 (x, y, z)
稳定场不随时间变化，故没有初始条件.
2 边界条件—待求量及其导数或两者的线性组合在边界上的值
3.在静电场问题中，由介电常数分别为 1 和 2 的两种介质组成系统的分界面 S 处的衔接条件有几个？
具体如何表述？它们的物理意义是什么？ 4.在杆的纵振动中，在 x=l 端自由，这个边界条件如何写？你能从 Hooke 定律出发证明吗？ 5.在杆的热传导问题中，若 x=0 端绝热，这个边界条件如何写？你能从一物理定律出发证明吗？ 作业：p196：9.7 (1)、(3)，9.8 (3)、(4)
v u(r, t; r0, t0 )dr0dt0
是 L[v] f (r, t; r0, t0)dr0dt0
[
v n
v]s
g(t, t0 )dt0 的解
解的叠加原理是线性问题的必然结果，对非线性问题不适用.
2 求解定解问题的一般步骤
4
1)定解问题的适定性
解的存在性 实际物理线性系统演化 发展的结果是确定的 解的唯一性 确定的状态是唯一的 解的稳定性 因测量导致定解条件的 微小改变引起的解的变 化也很微小
u n
S
b k
(u
S
u0 )
( u n
hu)
S
hu0
(h b 0) k
特别，若 u0
0 ，则 (u n
hu) S
0
→ 一维系统 (a x b)
∵ u u ，则
数理方程-总结复习及练习要点报告
t 0
( x)
－通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法
求解(Page164页)
28
定解问题求解之二—分离变量法
量研究初始时的状况，即初始条件。 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的
问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定
定解条件下求解数学物理方程。 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 －偏微分方程的线性与非线性 不含有研究函数的非零项
19
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
31
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
－输运方程(描述温度传播、浓度扩散的泛定方程)
ut a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
数理方程复习讲解
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
2V V(t02 ,
t)
a2 2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)
V
(x,
0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
方程为双曲型 方程为抛物型
a122 a11a22 0
方程为椭圆型
南京邮电大学、应用数理系
行波法
数理方程
一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
1 [(x at) (x at)] 1
(
x)
A sin
(2n 1)
2l
x,
n 0,1, 2,
ux x0 0
u 0 xl
2n 2l
1
2
,
X
n
(
x)
Acos (2n 1)
2l
x,
南京邮电大学、应用数理系
n 0,1, 2,
波动方程：
utt a2uxx 0
X ''(x) X (x) 0 T ''(t) a2T (t) 0
u u
x x
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)
wx wx
(0, t ) (l , t )
数学物理方程经典教案(研究生,高校本科生)
Equation of Mathematical Physics
第一章 定解问题 Chpt1 Definite solution problem
本章主要内容
• 数学物理方程是指自然科学和工程技术的 各门分支中出现的偏微分方程，这些方程 的物理背景直接来源于自然现象和工程技 术中的实际问题，其不仅仅是数学和应用 数学专业的一门重要的专业基础课，而且 也是水利、土木、环境、电子、石油、地 矿和大气科学等理工科专业本科生和研究 生的专建筑、石油勘探、能源、航天技术、 核技术等工程技术领域中都可以抽象出含 有多个变量的微分方程—偏微分方程。 • 解决这些方程的问题，则必须学会使用数 学方法来实现。因此，未来的科学家、工 程师们必须掌握这门数学工具。
1.1 定解问题
• 参考书: • 杨秀雯，梁立华 编《数学物理方程与特殊 函数》，天津大学出版社（工科研究生教 材） ，1985 • 李明秀，田太心 主编《数学物理方法》， 电子科技大学出版社（研究生系列教材）， 2007
a21 ( x )D
( n 2)
... an11 ( x )D ' an ( x )D，
则方程可表示为 Ly 0
1.1 常微分方程基础
• 二、高阶微分方程
定理：n阶常系数线性齐次微分方程的通解为： （ 1）特征方程有n个不同实根1 , 2 ,..., n , 则 y ci ei x , ci为任意常数；
(8)
y y1
x
0
x y f ( ) y2 f ( ) 1 d y2 d c1 y1 c2 y2 (9) 0 ( y1 , y2 ) ( y1 , y2 )
1.1 常微分方程基础
例子：求下面非齐次二阶常微分方程的初值问题。 Tn ''(t ) r 2Tn (t ) f n (t ) (1) (2) Tn (0) n , Tn '(0) n 解：相应齐次方程Tn ''(t ) r 2Tn (t ) 0的线性无关的特解为 cos rt与 sin rt。朗斯基行列式为 (Tn1 , Tn 2 ) Tn 2 ' Tn1 -Tn 2Tn1 ' cos rt (sin rt )' (cos rt )'sin rt r 代入(9)式即得
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数学物理方程的定解问题
杆的纵振动和弦的横振动满足的偏微分方程相同。更一般地，在三维空间中，方程为以下形式
4
z09a.nb
∂2 u ∂ t2
- a2 ∇ 2 u = 0
∇2 ≡
∂2 ∂ x2
+
∂2 ∂ y2
+
∂2 ∂ z2 (1.1)
2 2 2 上式称为波动方程，其中 ∇ 2 称为 Laplace算符， ∇ 2 ≡ ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2 是Laplace算符在直角坐标系下的形式。 ∂x ∂y ∂z
◼ Hooke 定律 在弹性限度内 ，应力 （单位截面积的力 ） 与应变 （相对伸长 ） 成正比 ，比例系数称为杨氏模量 Y F S = Y ux (x, t)， 其中： F 为作用力 ，以拉力为正 ， S 为截面面积 ， Y 为杨氏模量 ， Y 总大于 0，这是由热力学稳定性条件所决定的 。 此式意义类似于牛顿第二定律 ：若已知某处的相对伸长为 ： ux (x, t)，则杆在该处必受到 Y S ux (x, t) 的拉力。 反之，若已知细杆在某处受到的拉力为 ： F，则在该处细杆必有 ： ☺ F YS 例 1：细杆置于 x 轴， x = l 为自由端，试写出在 x = l 端位移 u(x, t)x=l 应满足的条件。 解： x = l 为自由端 ，不受力 ， F = 0，从而 ux (l, t) = ☺ F YS 例 2：细杆置于 x 轴， x = l 固定， x = 0 端与一弹簧相连，如图， 当不振动时弹簧处于平衡长度 ，求振动时杆两端位移 u(x, t) 所应满足的条件 （边界条件 ）。 解： = 0。 的相对伸长 ux (x, t)。
9.1 波动方程
先以杆的纵振动为例，讨论支配波动现象的一些物理规律。
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数理方程定解问题
数理方程定解问题：
1、数理方程的分类
反应热传导的方程类型为：
u t=D?u+f
其中?=e2
ex2+e2
ey2
+e2
ez2
，u t=eu
et
，未知数u表示温度特征，D表示热传导系数，f是与
源有关的已知函数，当f=0的时候，相应的方程被称为齐次方程。
2、用数理方程研究物理问题的步骤
用数理方程研究物理问题一般需经历以下三个步骤
（1）导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件两部分
（2）求解已导出或写出的定解问题
（3）对求得的答案讨论其适定性（即解是否存在、唯一且稳定）
并作适当的物理解释
3、求解数理方程的方法
求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种
（1）行波法（d’Alembert解法）
（2）分离变量法
（3）积分变换法
（4）Green函数法
（5）保角变换法
（6）复变函数法
（7）变分法
定解条件
定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有
唯一性的充分必要条件。它分为初始条件和边界条件两种。若所研究
的系统是由几种不同介质组成的，则在两种介质的交面上定解条件还
应当有衔接条件。
1、初始条件
（1）定义初始条件是物理过程初始状况的数学表达式
（2）初始条件的个数关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个
初始条件才能确定一个特解。热传导方程仅需给出一个初始条件
u x，y，z；t|t=0=φ(x，y，z)
2、边界条件
（1）定义物理过程边界状况的数学表达式称为边界条件。
（2）边界条件的种类和个数边界条件分为三类。设f(M，t)为任
一已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为：
1 第一类边界条件u|
边
=f(M,t)
2 第二类边界条件eu
en |
边
=f(M,t)
3 第三类边界条件[u+heu
en ]
边
=f(M,t)
其中u|
边表示未知函数u在边界面上的值，eu
en
|
边
表示未知函数沿边界外法向的导数在边
界上的值，h为任意常数。
若f=0，泽以上三类边界条件分别称为第一、第二、第三类齐次
边界条件，否则称作相应的非齐次边界条件。
除以上三类边界条件以外，由于物理上的合理性的需要，有时还
需对方程中的未知函数附加以单值、有限等限制，如
uφ+2π=u(φ)
u|
边
→有限
等。这类附加条件称为自然边界条件。
不管是何类边界条件，类似于初始条件的情况，变量x的二阶偏
微分方程要求两个边界条件（一端点一个），而x的四阶偏微分方程
要求四个边界条件（一端点两个）。
3、衔接条件
由不同介质组成的系统，在两种不同介质的交界处需要给定两个
衔接条件。
更一般来说，若在所研究的区域内出现使泛定方程失去意义的跃
变点（线或面），则在定解条件中必须含有跃变点处的衔接条件。
4、三类定解问题
泛定方程与不同类型的定解条件分别构成了如下三种类型的定解
问题
（1）初值问题是由泛定方程和初始条件构成的定解问题，又叫
Cauchy问题。
（2）边值问题是由泛定方程和边界问题构成的定解问题。
（3）混合问题是由泛定方程、初始条件和边界问题三者构成的定
解问题
泛定方程与叠加原理
泛定方程反应广泛性的运动规律，不涉及具体的系统和具体的问
题。数理方法中的泛定方程是各种各样的，线性常微分方程、非线性
常微分方程。
线性与非线性方程的区别在于线性方程服从叠加原理。我们引入
算符的概念。算符就是运算符号。比如
d
，?
+
e
，
e2
2
a2
e2
2
是微分算符，而
dx，dx dy，dθ
是积分算符。
如果算符L满足
L（au1+bu2）=a L(u1)+b L(u2)
其中a、b为常数，u1、u2是函数，则称L为线性算符。
叠加原理：如果u i（x，y）（i=1，2，3，······）是方程（1）的
解
L u i（x，y）=0 （1）
其中L=Ae2
x +2Be2
x?y
+Ce2
y
+De
ex
+Ee
ey
+F，而且级数
u=C i u i（x，y）
∞
i=1（2）
收敛，并且能够逐项微分两次，则式（2）也是方程（1）的解。
叠加原理为求解线性泛定方程的定解问题提供了有力的工具。
定解问题作为一个数学物理模型，是否能准确无误地描述实际过
程，需要对结果进一步检验。从数学角度来看，即考查解的适定性，
它包括三个方面：
（1）存在性即考查定解问题的解是否存在
（2）唯一性实际问题的解往往是唯一的，但数学解可能不是唯一
的，要舍去没有意义的数学解
（3）稳定性考查定解条件或驱动项的微小变化是否导致解的性质
的改变如果一个解经不起微扰，或者说在小小的微扰下，解的性质就
发生了改变，尽管这个解是存在且唯一的，但没有实际意义。
如果一个定解问题的解是存在的、唯一的、稳定的，则称这个定
解问题是适定的。适定性的讨论，对于一个定解问题是十分必要的。