高中数学人教a版必修4课时检测(七)三角函数的诱导公式(二) 含解析
(2021年整理)高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(二)
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本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(二)(推荐完整）〉这篇文档的全部内容.三角函数的诱导公式（二)【知识梳理】诱导公式五和公式六【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°ta n 149°的值是（)A。
错误! B.错误!C．－错误!D．－错误!(2)已知sin错误!＝错误!,求cos错误!的值．[解析] (1)sin 239°＋tan 149°＝sin(180°＋59°）tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°）＝－sin（90°－31°）(－tan 31°）＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝错误!＝错误!.[答案] B（2)cos错误!＝cos错误!＝sin错误!＝错误!。
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
必修四三角函数及诱导公式检测题(含答案)
2017-2018 学年高一数学必修四三角函数及诱导公式检测题一、选择题：1、的值是（）A. B. C. D.2、下列与角终边相同的角是（）A.-315 °B.475 °C.735 °D.-705 °3、已知角α终边上一点P的坐标为(a,3a) （a≠0），则的值是（）A.2B.-2C.0.5D.-0.54、在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列各式成立的是( )A.sin α=sin βB.cos α=cos βC.tan α=tan βD.以上都不对5、若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A.sin α＋cos α＜0B.tan α－sin α＜0C.cos α－tan α＜0D.tan αsin α＜06、的值等于( )A. B. C. D.7、下列各式中，其值为的是（）A. B. C.D.8、已知为第四象限角，，则的值为（）A. B. C. D.9、已知sin( +α)= ，则sin( - α) 值为（）A. B.— C. D.—10、函数的定义域是（）A. B.C. D.11、函数f(x)=2x ＋sin x 的部分图像可能是()12、设f(tanx)=tan2x ，则f(2) 等于( )A.4B.0.8C. －2D. －3 4 313、已知α+β= 34，则(1-tan α)(1-tan β) 等于( )A.2B. －2C.1D. －114、已知，则（）315、已知tan( α－π)=0.75 ，且α∈( ) ,则), sin( 等于( )2 2 2A.0.8B. －0.8C.0.6D. －0.6二、填空题：16、的值为17、若=2，则t an （α﹣）= .18、19、若，则.20、若角的终边经过点，则____________.21、已知，则22、已知，，则的值为.共 2 页第2页23、函数在上的最小值和最大值之和为三、解答题：24、已知；（1）求的值；（2）求的值.25、已知.(1) 化简；(2) 若是第三象限角，且，求的值.26、已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R，若扇形的周长为40cm,当它的圆心角为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？参考答案1、D2、C3、D4、A5、B.6、A7、B8、C9、C10、D11、A12、D13、A；解析：∵－1=tan( α＋β)= ，∴tan α＋tan β=－1＋tan αtan β.∴(1 －tan α)(1 －tan β)=1 －tan α－tan β＋tan αtan β=2.14、B15、B16、答案为：17、答案为： 2.18、答案为：019、答案为：20、答案为：1；21、答案为：0.5.22、答案为：23、答案为： 424、(1)0.2 ；(2)2.25、(1)（2）由得即，因为是第三象限角，所以，所以.26、WORD格式。
高一数学人教A版必修四教案：三角函数的诱导公式(二) Word版含答案
三角函數的誘導公式（二）一、教材分析（一）教材的地位與作用：1、本節課教學內容“誘導公式（二）、（三）、（四）”是人教版數學4，第一章1、3節內容，是學生已學習過的三角函數定義、同角三角函數基本關係式及誘導公式（一）等知識的延續和拓展，又是推導誘導公式（五）的理論依據。
2、求三角函數值是三角函數中的重要問題之一。
誘導公式是求三角函數值的基本方法。
誘導公式的重要作用是把求任意角的三角函數值問題轉化為求0°～90°角的三角函數值問題。
誘導公式的推導過程，體現了數學的數形結合和歸納轉化思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式。
這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大的意義。
（二）教學重點與難點：1、教學重點：誘導公式的推導及應用。
2、教學難點：相關角邊的幾何對稱關係及誘導公式結構特徵的認識。
二、教學目標1、知識與技能（1）識記誘導公式．（2）理解和掌握公式的內涵及結構特徵，會初步運用誘導公式求三角函數的值，並進行簡單三角函數式的化簡和證明．2、過程與方法（1）通過誘導公式的推導，培養學生的觀察力、分析歸納能力，領會數學的歸納轉化思想方法．（2）通過誘導公式的推導、分析公式的結構特徵，使學生體驗和理解從特殊到一般的數學歸納推理思維方式．（3）通過基礎訓練題組和能力訓練題組的練習，提高學生分析問題和解決問題的實踐能力．3、情感態度和價值觀（1）通過誘導公式的推導，培養學生主動探索、勇於發現的科學精神，培養學生的創新意識和創新精神．（2）通過歸納思維的訓練，培養學生踏實細緻、嚴謹科學的學習習慣，滲透從特殊到一般、把未知轉化為已知的辨證唯物主義思想．三、教學設想（一）、復習：誘導公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k誘導公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒誘導公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-誘導公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒對於五組誘導公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②這四組誘導公式可以概括為：符号。
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二学案含解析新人教A版必修4
内容标准学科素养1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.发展逻辑推理应用数学抽象提升数学运算授课提示：对应学生用书第18页[基础认识]知识点诱导公式五、六阅读教材P26，思考并完成以下问题类比公式一～四可得sin⎝⎛⎭⎫π2±α、cos⎝⎛⎭⎫π2±α与α的函数值有什么关系？(1)若α为锐角，π2＋α的终边在第几象限？π2－α的终边与α的终边有什么关系？提示：第二象限，关于y＝x对称．(2)若α＝π6终边上有点⎝⎛⎭⎫32，12，则sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________，cos⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________，与α的函数值有什么关系？提示：sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos α＝32.cos⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝－sin α＝－12.(3)若α＝π6终边上有点⎝⎛⎭⎫32，12，则sin⎝⎛⎭⎫π2－α＝________，cos⎝⎛⎭⎫π2－α＝________．提示：sin⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin⎝⎛⎭⎫π2－π6＝cosπ6＝32.cos⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos⎝⎛⎭⎫π2－π6＝sinπ6＝12.知识梳理(1)诱导公式五sin⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos__α，cos⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin__α．诱导公式六sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos__α，cos⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin__α．(2)公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．(3)sin⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos__α，cos⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin__α，sin⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos__α，cos⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin__α．[自我检测]1．已知sin α＝513，则cos⎝⎛⎭⎫π2＋α等于()A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 答案：C2．若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α等于( ) A ．－53 B ．－23 C.53D ．±53答案：A授课提示：对应学生用书第18页探究一 利用诱导公式化简、求值 [教材P 27例4]方法步骤：利用公式一～六化简每个三角函数．[例1] (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值是________． [解析] 因为⎝⎛⎭⎫π6－x ＋⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35. [答案] 35(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________． [解析] 法一：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π<θ<2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π<θ－π4<2k π－π4，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43. 法二：因为θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43. [答案] －43(3)化简：sin （2π＋α）cos （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫7π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π＋α）sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α.[解析] 原式＝sin α·（－cos α）·sin α·（－sin α）（－cos α）·sin α·（－sin α）·cos α＝sin αcos α＝tan α.方法技巧 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．延伸探究 1.将本例(1)改为：已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值为________． 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12. 答案：122．将本例(2)改为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：0探究二 利用诱导公式证明恒等式[教材P 26例3]方法步骤：利用诱导公式化简的方法． [例2] 在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan(C －π)<0，求证： △ABC 为钝角三角形．[证明] (1)∵在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 2＝π2－C2， ∴cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， ∴cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan(C －π)<0， 则(－sin A )(－cos B )tan C <0，即sin A cos B tan C <0. ∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π且sin A >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos B <0，tan C >0，或⎩⎪⎨⎪⎧cos B >0，tan C <0，∴B 为钝角或C 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形． 方法技巧 证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．跟踪探究 1.设tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝m ， 求证：sin ⎝⎛⎭⎫15π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－13π7sin ⎝⎛⎭⎫20π7－α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋22π7＝m ＋3m ＋1.证明：法一：左边＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫8π7＋α＋3cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3πsin ⎣⎡⎦⎤4π－⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－sin ⎝⎛⎭⎫α＋8π7－cos ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋3tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＋1＝m ＋3m ＋1＝右边，所以原等式成立． 法二：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋8π7＝m ，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π7＝m ， 左边＝sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3cos ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫π7＋αsin ⎣⎡⎦⎤2π＋π－⎝⎛⎭⎫π7＋α－cos ⎣⎡⎦⎤2π＋π＋⎝⎛⎭⎫π7＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫π7＋αsin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π7＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π7＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫π7＋αsin ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π7＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋3tan ⎝⎛⎭⎫π7＋α＋1＝m ＋3m ＋1＝右边，所以原等式成立．探究三 诱导公式的综合应用[教材P 29B 组第2题]方法步骤：选用合适的诱导公式化简求值．[例3] 是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． [解析] 假设存在角α，β满足条件，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴cos 2α＝12，∴cos α＝±22.又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝22. 由cos α＝22，3cos α＝2cos β，得cos β＝32.∵β∈(0，π)，∴β＝π6.∴sin β＝12，结合①可知sin α＝22，则α＝π4.故存在α＝π4，β＝π6满足条件．方法技巧 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．跟踪探究 2.已知f (α)＝sin （π－α）cos （－α）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos （π＋α）sin （－α）.(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．解析：(1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α（－sin α）＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角， 所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.授课提示：对应学生用书第19页[课后小结]1．这六组诱导公式可归纳为k ·π2±α(k ∈Z )的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，当k为偶数时，得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时，得角α的余名三角函数值，然后前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”． 2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成⎝⎛⎭⎫0，π2内的三角函数值”这种方式求解． 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式一或三任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0到2π之间的角的三角函数―――――――――→利用诱导公式二或四0到π2之间的角的三角函数3．诱导公式在△ABC 中的变形 在△ABC 中，常用到以下结论： sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. [素养培优] 1．根据“π”的系数讨论不全致解题不完备[典例] 化简：sin ⎝⎛⎭⎫2n ＋14π＋α－cos ⎝⎛⎭⎫2n －14π＋α，k ∈Z . 易错分析 此题易错于只对n 为奇数，偶数两种情况讨论，还有其他情况仍符合诱导公式．自我纠正[解析] ①当n ＝4k 时(k ∈Z )，原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8k ＋14π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k －14π＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.②当n ＝4k ＋1时，原式＝sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. ③当n ＝4k ＋2时， 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫54π＋α－cos ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. ④当n ＝4k ＋3时， 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫74π＋α－cos ⎝⎛⎭⎫54π＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋14π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －14π＋α＝0.2．忽视角的隐含范围丢解或增解[典例] (1)在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin(π－B )，3cos(B ＋C )＝2cos(π－B )，求△ABC的三个内角．易错分析 此题易忽视角为三角形内角的隐含条件致多解． 自我纠正[解析] 由已知，得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ， 两式平方相加，得sin 2A ＋3cos 2A ＝2，即2cos 2A ＝1，∴cos A ＝±22.若cos A ＝－22，则cos B ＝－32，此时A ，B 均为钝角，不符合题意．∴cos A ＝22，∴cos B ＝32cos A ＝32，∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，0<α<π，0<β<π，求α，β. 易错分析 此题易忽视范围，而只认为为“锐角”而少解．自我纠正[解析] 由已知得sin α＝2sin β，3cos α＝ 2 cos β. 两式平方相加得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，又0<α<π，∴sin α＝22，则α＝π4或3π4.当α＝π4时，cos β＝32cos α＝32.又0<β<π，∴β＝π6.当α＝3π4时，cos β＝32cos α＝－32.又0<β<π，∴β＝5π6.综上可得，α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.3．公式变换致错[典例] 设f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 易错分析 正余弦关系变换出错，易错选为其他答案． 自我纠正[解析] ∵cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x∴f (cos x )＝f ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝3－cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .选C. [答案] C。
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
人教A版数学必修四1.3第1课时三角函数的诱导公式二、三、四基础达标(含答案解析)
1．cos(－420°)的值等于( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选C.cos(－420°)＝cos(360°＋60°)＝cos60°＝12.2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( )A ．1B ．2C ．0D ．2sin 2α解析：选B.原式＝sin 2α＋cos α·cos α＋1＝1＋1＝2.3．已知cos α＝35，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于() A ．±35 B ．±45C.925D.1625解析：选D.原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin 2α，由cos α＝35，得sin 2α＝1－cos 2α＝1625. 4．已知角α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．sin(α－2π)＝sin βC ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β解析：选C.由α和β的终边关于x 轴对称，故β＝－α＋2k π(k ∈Z )，故cos α＝cos β.5．下列三角函数：①sin(n π＋4π3)；②cos(2n π＋π6)；③sin(2n π＋π3)； ④cos[(2n ＋1)π－π6]；⑤sin[(2n ＋1)π－π3](n ∈Z )． 其中与sin π3数值相同的是( ) A ．①② B ．②③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C.①sin(n π＋4π3)＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin π3(n 为奇数)－sin π3(n 为偶数)；②cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③sin(2n π＋π3)＝sin π3；④cos[(2n ＋1)π－π6]＝cos 5π6＝－sin π3； ⑤sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin π3.故②③⑤正确． 6．sin(－17π6)的值为________． 解析：sin(－17π6)＝－sin 17π6＝－sin(5π6＋2π)＝－sin 5π6＝－sin(π－π6) ＝－sin π6＝－12. 答案：－127．化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π＋α)＝________. 解析：原式＝cos αtan α－sin α＝－sin αsin α＝－1. 答案：－18．若cos(π6－α)＝33，则cos(α＋5π6)＝________.解析：cos(α＋5π6)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α) ＝－33. 答案：－339．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4； (2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝sin π4cos(2π＋7π6)tan(5π＋π4) ＝22cos 7π6tan π4 ＝22cos(π＋π6)＝22(－cos π6) ＝－22×32＝－64. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1. 10．求sin(2n π＋2π3)cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值． 解：①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3(－cos 4π3) ＝sin(π－π3)[－cos(π＋π3)] ＝sin π3cos π3＝32×12＝34. ②当n 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin(π－π3)cos(π＋π3) ＝sin π3(－cos π3)＝32×(－12)＝－34.。
新人教A版高中数学必修四 1.3 《三角函数的诱导公式》同步辅导与检测课件
1－a2 a.
利用诱导公式化简 化简：cos－πc＋osα2πc－osα3πc－osα3πc＋osα－ α－π.
解析：原式＝－coscαos－αc－oscαos－αcos α＝co1s α.
跟踪训练
3．化简：csions－π2＋α－απcossin19122ππ－ －αα.
解析： 原式＝－cossinπ2α＋＋απssinin64ππ－＋π2π2＋－αα
A．sin(－α)＝sin α
B．cos(－α)＝cos α
C．sin(－α)＝cos α
D．cos(－α)＝sin α
2．已知c1o＋ssπ2i－nπx－－x1＝－3，则 sin x＝________.
解析：∵ s1i＋n xs－in 1x＝－3，∴sin x－1＝－3－3sin x.
解得 sin x＝－12.
＝－ssininαα··c－oscoαs α＝1.
一级训练 1．cos 690°的值为( B )
A．－
3 2
3 B. 2
1 C.2
2．cos－130π的值等于( B )
A.21
B．－12
C.
3 2
D．－21
D．－
3 2
1．六组公式都叫做三角函数的诱导公式，诱导公式揭 示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关 系．记忆诱导公式方法：“奇变偶不变(横同竖余)、符号看 象限”．
公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________；
公式五：sinπ2－α＝______，cosπ2－α＝______； 公式六：sinπ2＋α＝______，cosπ2＋α＝______.
公式四：sin α，－cos α，－tan α
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《三角函数的诱导公式 二》(含答案解析)
三角函数的诱导公式（二） 学习目标1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系. (1)sin π6=12，cos π3=12，sin π6 cos π3； (2)sin π4=22，cos π4=22，sin π4 cos π4； (3)sin π3=32，cos π6=32，sin π3 cos π6.知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin(32π－α)= ，cos(32π－α)= ， sin(32π＋α)= ，cos(32π＋α)= .2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k·π2±α(k∈Z)中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1：(1)已知cos(π＋α)=－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α=13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.反思与感悟：对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余， π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1：已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α=33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值.类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2：求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2=－tan α.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2：求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)=tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.类型三 诱导公式在三角形中的应用例3：在△ABC 中，sin A ＋B －C 2=sin A －B ＋C 2，试判断△A BC 的形状.反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C=π，A ＋B ＋C 2=π2， 结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B)=sin C ，cos(A ＋B)=－cos C ，sin A ＋B 2=cos C 2，cos A ＋B 2=sin C 2.跟踪训练3：在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sin C ；②cos(A＋B)＋cos C ；③sin(2A＋2B)＋sin 2C ；④cos(2A＋2B)＋cos 2C.其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④类型四 诱导公式的综合应用例4：已知f(α)=sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α). (1)化简f(α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f(A)=35，求tan A －sin A 的值.反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4：已知sin α是方程5x 2－7x －6=0的根，α是第三象限角， 求：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6=13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A.－233 B.233 C.13 D.－132.若cos(2π－α)=53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53 B.－23 C.53 D.±533.已知tan θ=2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( ) A.2 B.－2 C.0 D.234.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)=－tan α.1.诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：①α＋k·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k·π2＋α(k∈Z)的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解. 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)=15，那么cos α等于( ) A.－25 B.－15 C.15 D.252.已知cos(3π2＋α)=－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( ) A.45 B.－45 C.±45 D.353.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A.cos(A ＋B)=cos CB.sin(A ＋B)=－sin CC.cos A ＋C 2=sin BD.sin B ＋C 2=cos A 24.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( )A.2B.－2C.2－π2D.π2－25.已知f(sin x)=cos 3x ，则f(cos 10°)的值为( )A.－12B.12C.－32D.326.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m 2二、填空题7.若cos α=15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2= .8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°= .9.已知tan(3π＋α)=2，则：sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)= .10.在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A =3sin(π－A)，且cos A=－3cos(π－B)，则C= .三、解答题11.已知角α的终边经过点P(－4，3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.12.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α=60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.13.已知sin(π＋α)=－13.计算： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α).四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)=2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)= .15.已知α是第四象限角，且f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α). (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2=15，求f(α)的值； (2)若α=－1 860°，求f(α)的值.答案解析知识点二 诱导公式六答案：以－α代替公式五中的α得到：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2=cos(－α)，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2=sin(－α).知识点三 诱导公式的推广与规律类型一 利用诱导公式求值例1：解：(1)∵cos(π＋α)=－cos α=－12，∴cos α=12，又α为第一象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=－sin α=－1－cos 2α=－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122=－32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α =－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α =－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α =－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α=－19. 跟踪训练1：解：∵π6＋α＋π3－α=π2，∴π3－α=π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α=33.类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2：证明：∵左边=tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α=(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α =sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α =sin 2α－cos αsin α=－sin αcos α=－tan α=右边.∴原等式成立.跟踪训练2：证明：因为左边=－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ=－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ=－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ=(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ=sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边=tan θ＋1tan θ－1=sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 所以左边=右边，故原等式成立.例3：解：∵A＋B ＋C=π，∴A＋B －C=π－2C ，A －B ＋C=π－2B.∵sin A ＋B －C 2=sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2=sin π－2B 2， ∴sin(π2－C)=sin(π2－B)，即cos C=cos B. 又∵B，C 为△ABC 的内角，∴C=B，∴△ABC 为等腰三角形.跟踪训练3：答案为：B ；解析：①sin(A＋B)＋sin C=2sin C ；②cos(A＋B)＋cos C=－cos C ＋cos C=0；③sin(2A＋2B)＋sin 2C=sin[2(A ＋B)]＋sin 2C=sin[2(π－C)]＋sin 2C=sin(2π－2C)＋sin 2C=－sin 2C ＋sin 2C=0；④cos(2A＋2B)＋cos 2C=cos[2(A ＋B)]＋cos 2C=cos[2(π－C)]＋cos 2C=cos(2π－2C)＋cos 2C=cos 2C ＋cos 2C=2cos 2C.故选B.例4：解：(1)f(α)=sin αcos αcos α－cos α(－sin α)=cos α. (2)因为f(A)=cos A=35， 又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A=1－cos 2A=45，所以tan A=sin A cos A =43， 所以tan A －sin A=43－45=815.跟踪训练4：解：方程5x 2－7x －6=0的两根为x 1=－35，x 2=2， 由α是第三象限角，得sin α=－35，则cos α=－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α =cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α=－tan 2α=－sin 2αcos 2α=－916.1.答案为：D ；解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π6=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6=－13. 2.答案为：A ；解析 ∵cos(2π－α)=cos(－α)=cos α=53，∴sin(3π2－α)=－cos α=－53. 3.答案为：B ；解析：sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)=cos θ＋cos θcos θ－sin θ=21－tan θ=21－2=－2. 4.解：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α=－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α=2cos α，即tan α=2.∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α=sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α =sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=sin 3α－cos α5sin α－3cos α=sin 2α·tan α－15tan α－3 =2sin 2α－110－3=2sin 2α－17=2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)=sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)=tan 2α－17(tan 2α＋1)=4－17×(4＋1)=335. 5.证明：因为左边=tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)=tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α =－tan αsin αcos αcos αsin α=－tan α=右边， 所以原等式成立.课时作业1.答案为：C ；解析 sin(5π2＋α)=cos α，故cos α=15，故选C. 2.答案为：B ；解析 ∵cos(3π2＋α)=sin α，∴sin α=－35. 又α为第四象限角，∴cos α=1－sin 2α=45， ∴cos(－3π＋α)=cos(π－α)=－cos α=－45，故选B. 3.答案为：D ；解析 ∵A＋B ＋C=π，∴A＋B=π－C ，∴cos(A＋B)=－cos C ，sin(A ＋B)=sin C ，故A ，B 项不正确；∵A＋C=π－B ，∴A ＋C 2=π－B 2，∴cos A ＋C 2=cos(π2－B 2)=sin B 2，故C 项不正确； ∵B＋C=π－A ，∴sin B ＋C 2=sin(π2－A 2)=cos A 2，故D 项正确. 4.答案为：C ；解析 cos α=2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2=sin 2，∵α为锐角，∴α=2－π2. 5.答案为：A ；解析 f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°＋60°)=－cos 60°=－12. 6.答案为：C ；解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=－sin α－sin α=－m ，∴sin α=m 2. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)=－sin α－2sin α=－3sin α=－3m 2. 7.答案为：265； 解析 ∵cos α=15，且α是第四象限角， ∴sin α=－ 1－cos 2α=－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152=－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2=－sin α=265. 8.答案为：892； 解析：原式=(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°=44＋12=892. 9.答案为：2；解析：因为tan(3π＋α)=tan(π＋α)=tan α=2，所以原式=sin αsin α－cos α=tan αtan α－1=22－1=2. 10.答案为：π2； 解析：由题意得3cos A=3sin A ， ① cos A=3cos B ，②由①得tan A=33，∴A=π6.由②得cos B=cos π63=12，∴B=π3.∴C=π2.11.解：∵角α的终边经过点P(－4，3)，∴tan α=y x =－34， ∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)=－sin αsin α－sin αcos α=tan α=－34. 12.解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α=－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α=－sin α， ∴sin α·cos α=60169，即2sin α·cos α=120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α=1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2=289169， ②－①得(sin α－cos α)2=49169. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α=1713，③ sin α－cos α=713，④ ③＋④得sin α=1213，③－④得cos α=513. 13.解：∵sin(π＋α)=－sin α=－13，∴sin α=13. (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α=－sin α=－13. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=cos α，cos 2α=1－sin 2α=1－19=89. ∵sin α=13，∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α=cos α=223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=cos α=－223. (3)tan(5π－α)=tan(π－α)=－tan α，∵sin α=13，∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时，cos α=223， ∴tan α=24，∴tan(5π－α)=－tan α=－24. ②当α为第二象限角时，cos α=－223，tan α=－24， ∴tan(5π－α)=－tan α=24. 14.答案为：－34； 解析：∵sin(α－3π)=2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)=2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)=2cos(－α)，∴sin α=－2cos α且cos α≠0，∴原式=sin α＋5cos α－2cos α＋sin α=－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α=3cos α－4cos α=－34. 15.解：f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)=sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α=1sin α. (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2=15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π=15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=15， ∴sin α=－15，∴f(α)=1sin α=－5. (2)当α=－1 860°时，f(α)=1sin α=1sin (－1 860°)=1－sin 1 860°=1－sin (5×360°＋60°)=1－sin 60°=－233.。
人教版高中数学高一A版必修4 1.3三角函数的诱导公式(第二课时)
课后训练1．πcos()3-的值为( )．A ．12- B. 12C. 2 D ．2- 2．已知4sin(π)5α+=，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )． A ．35- B. 35 C ．35± D. 45 3．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是( )．A. 14B. 34C. 114D. 944．若cos(－100°)＝a ，则tan 80°等于( )．A ．a - B. a C ．a - D. a5.可化简为__________．6．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410°等于__________．7．化简下列各式：(1) cos(π)sin(2π)sin(π)cos(π)αααα+⋅+--⋅--； (2) cos190sin(210)cos(350)tan(585)⋅--⋅-. 8．已知函数26cos(π)5sin (π)4()cos(2π)x x f x x ++--=-，且f (m )＝2，试求f (－m )的值．求2π4πsin(2π)cos(π)33n n +⋅+的值(n ∈Z )． 参考答案1. 答案：B解析：ππ1cos()cos332-==. 2. 答案：B解析：由4sin(π)5α+=，得4sin 5α=-，而cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，∴3cos 5α==. 3. 答案：A解析：原式＝sin 230°＋sin 245°＋2sin(180°＋30°)＋cos 2(180°＋45°)22211221()()(2sin30)(12224444=++-+-=+-+=. 4. 答案：A解析：cos(－100°)＝cos 100°＝cos(180°－80°)＝－cos 80°＝a ，∴cos 80°＝－a .又sin 280°＋cos 280°＝1，sin 80°>0，∴2sin801cos 801()a =-=--=，故sin80tan80cos80==-. 5. 答案：1－sin θ=1sin 1sin θθ==-=-.6. 答案：1解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410°＝sin(－4×360°－120°)cos(－1 080°＋150°)－cos(－1 440°＋60°)sin(1 440°－30°) ＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°)1131(1222244=--+⨯=+=. 7. 解：(1)原式＝cos sin cos sin 1sin(π)cos(π)sin cos αααααααα-⋅-⋅==-+⋅+-⋅.(2)原式＝ cos(18010)sin(18030)cos(36010)tan(360225)⎡⎤+⋅-+⎣⎦⎡⎤-⋅-+⎣⎦ 1cos10sin3012tan 452cos10tan(18045)--⋅===-⎡⎤⋅-+⎣⎦. 8. 解：因为226cos(π)5sin (π)46cos 5sin 4()cos(2π)cos x x x x f x x x++---+-==-. 又因为226cos()5sin ()46cos 5sin 4()()cos()cos x x x x f x f xx x-+---+--===-， 所以f (－m )＝f (m )＝2.解：①当n 为奇数时，原式＝2π4πsin (cos )33⋅- ππππ1sin(π)cos(π)sin cos 3333224⎡⎤=-⋅-+=⋅=⨯=⎢⎥⎣⎦. ②当n 为偶数时，原式＝2π4πsin cos 33⋅ ππππsin(π)cos(π)sin (cos )33334=-⋅+=⋅-=.。
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6．若cosα＝ ，且α是第四象限角，则cos ＝________.
答案：
7．sin2 ＋sin2 ＝________.
答案：1
8．已知tan(3π＋α)＝2，
则 ＝________.
答案：2
三、解答题
9．已知cos(15°＋α)＝ ，α为锐角，求
的值．
解：原式＝
＝
＝ －
＝－ ＋
.
∵α为锐角，即0°<α<90°，
解：假设存在角α，β满足条件，
则
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝ ，∴sinα＝± .
∵α∈ ，∴α＝± .
当α＝ 时，cosβ＝ ，∵0<β<π，∴β＝ ；
当α＝－ 时，cosβ＝ ，∵0<β<π，∴β＝ ，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝ ，β＝ 满足条件.
A．－ mB．－ m
C.＝ ，则cos(15°－α)的值为()
A．－ B.
C．－ D.
答案：B
5．在△ABC中，下列各表达式为常数的是()
A．sin(A＋B)＋sin C
B．cos(B＋C)－cos A
C．sin2 ＋sin2
D．sin sin
答案：C
∴15°<α＋15°<105°，
又cos(15°＋α)＝ ，∴sin(15°＋α)＝ ，
∴原式＝－ ＋ ＝ .
10．求证： ＋
＝ .
证明：左边＝ ＋
＝ ＋ ＝
＝ ＝ ＝右边．
11．是否存在角α，β，α∈ ，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝ cos ， cos(－α)＝－ cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
课时达标检测（七）三角函数的诱导公式(二)
一、选择题
1．下列与sin 的值相等的式子为()
A．sin B．cos
C．cos D．sin
答案：D
2．已知sin ＝ ，α∈ ，则tanα的值为()
A．－2 B．2
C．－ D.
答案：A
3．若sin(π＋α)＋cos ＝－m，则cos ＋2sin(6π－α)的值为()