山东省青岛二中高三数学上学期期末考试试卷文

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山东省青岛二中2011届高三上学期期末考试文科数学试题

青岛二中2010-2011学年第一学期期末考试高三数学（文科）试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：（每小题5分，共60分）12＝（）A ．1-+B ．1C ．12+ D ． 122-- 2．已知集合{|1),{|21}xM x x N x =<=>，则M N 等于（）A ．∅B ．{|0}x x <C ．{|1}x x <D ．{|01}x x <<3．在等差数列{}n a 中，若1594a a a π++=，则46tan()a a +等于（）A B ． 1 C D ．1- 4. 双曲线 22193x y -= 的两条渐近线与抛物线28y x =- 的准线所围成的三角形面积等于（）A ．B ．C ．3D 5．下列命题中，正确的是（）A ．命题“2,0x x x ∀∈-≤R ”的否定是“2,0x x x ∃∈-≥R ”； B ．若0a b <<,则11a b>； C ．“若a b ≤，则22am bm ≤”的逆命题为真；D ．在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件． 6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A ．cos 2y x =B ．22cos y x = C ．)42sin(1π++=x y D ．22sin y x =7.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①,m n α⊥若//α，则m n ⊥ ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则 ③//,//,//m n m n αα若则 ④//,//,m m αββγαγ⊥⊥若则 A.①的②B.②和③C.③和④D.①和④8. 函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（） A ．)2,1( B.)1,0( C ．),2(e D ．)4,3(9．若左下面的程序框图输出的S 是126，则①应为（） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤10．若点y x y x y x y x y x y x B 22,303282),(22--+⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥+则满足的最小值是（）A ．25-B ．3C ．5D ．511. 如右上图所示的曲线是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（） A ．98 B ．910 C ．916 D ．4512. 若圆082422=---+y x y x 关于直线)0,0(022>>=-+b a by ax 对称，则12a b+的最小值为（）A ．1B ．5C ．24D ．223+二、填空题：（每小题4分，共16分）13．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则抛物线的焦点坐标是__________________．14．设22,2()log (1),2xt t x f x x x ⎧⋅<⎪=⎨-≥⎪⎩且(2)1f =，则(f f 的值为 _______ ．EDCBAP俯视图侧视图正视图15．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且向量021=⋅PF PF ,则的值等于 ______ .16.设函数,1)32cos()(++=πx x f 有以下结论：①点5(,0)12π-是函数)(x f 图象的一个对称中心； ②直线3π=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴； ③函数)(x f 的最小正周期是π；④将函数)(x f 的图象向右平移6π个单位后，对应的函数是偶函数。

2023-2024学年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |lnx ≥1}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（） A ．∅B ．{x |e ＜x ＜3}C ．{x |e ≤x ＜3}D ．{x |x ＞1}2．已知平面向量a →=(0，1)，b →=(−1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量是（） A ．(−√22，√22) B ．(√22，−√22) C ．(12，−12)D ．(−12，12)3．若复数z ＝（2﹣ai ）（i +1）的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，2）D ．（0，2）4．已知函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π4](ω＞0)的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（）A ．134 B ．94C ．54D ．145．(xlog 43−log 32x)4展开式的常数项为（） A ．34B ．−34C ．32D ．−326．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x 2+y 2＝a 2+b 2，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝r 2（r ＞0）上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆x 25+y 24=1的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（） A ．[1，7]B ．[3，9]C ．[3，7]D ．[2，8]7．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则csc10°−√3sec10°=（） A ．√3B ．2√3C ．4D ．88．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1，的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与FA →反向，则双曲线的离心率是（） A ．√5B ．√72C ．√52D ．√7二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知0＜a ＜b ，则下列选项正确的是（） A ．ln （b ﹣a ）＞0 B ．a b ＜a+2b+2C ．a −b ＜1a −1bD ．a−b lna−lnb＜a+b 210．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且P （X ＝k ）=C5k32（k ∈{0，1，2，3，4，5}），则新的样本数据（） A ．众数是1的概率是532B ．极差不变的概率是3132C ．第25百分位数不变的概率是316D ．平均值变大的概率是1211．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，若f （x ）是奇函数，f （2）＝﹣f （1）≠0，且对任意x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）f '（y ）+f '（x ）f （y ），则（） A ．f ′(1)=−12B ．f （6）＝0C ．∑ 2024k=1f(k)=1D ．∑f′2024k=1(k)=−1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，则该正四棱台的体积为．13．某次会议中，筹备组将包含甲、乙在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有种．（用数字作答）14．某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n 次得到数列1，x 1，x 2，x 3，…，x k ，2；…；记a n ＝1+x 1+x 2+…+x k +2，则a 3＝；a 20241−a 2023= ．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanB =12tanC ．（1）求c 2−b 2a2的值；（2）若a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，求边b 上的高．16．（15分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，DE ＝AD ＝DB ＝2CF ．（1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ；（2）求平面BEF 与平面BCF 夹角的余弦值．17．（15分）为检验预防某种疾病的A 、B 两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A 、B 疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[0，100]），统计如下：个别数据模糊不清，用含字母m （m ∈N ）的代数式表示．（1）为检验该项医学指标在[0，50）内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[25，50）的志意者中，按接种A 、B 疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断．从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针．请先完成下面的2×2列联表，若根据小概率α＝0.025的独立性检验，认为接种A 、B 疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．18．（17分）已知椭圆T ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率12，其上焦点F 与抛物线K ：x 2＝4y 的焦点重合．（1）求椭圆T的方程；（2）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断|AC|与|BD|的大小关系，并证明；（3）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G（如图2所示），判断四边形AEBG的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．19．（17分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x，（a∈R）．（1）若f（x）为奇函数，求此时f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x，且存在x1，x2分别为g（x）的极大值点和极小值点．（i）求函数g（x）的极值；（ii）若a∈（1，+∞），且g（x1）+kg（x2）＞0，求实数k的取值范围．2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |lnx ≥1}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（） A ．∅B ．{x |e ＜x ＜3}C ．{x |e ≤x ＜3}D ．{x |x ＞1}解：由lnx ≥1⇒x ≥e ，即A ＝{x |x ≥e }⇒A ∩B ＝{x |e ≤x ＜3}．故选：C ．2．已知平面向量a →=(0，1)，b →=(−1，1)，则向量a →在向量b →上的投影向量是（） A ．(−√22，√22) B ．(√22，−√22) C ．(12，−12)D ．(−12，12)解：因为a →=(0，1)，b →=(−1，1)，所以a →⋅b →=1，|b →|=√(−1)2+12=√2，所以向量a →在向量b →上的投影向量是a →⋅b→|b →|⋅b→|b →|=12b →=(−12，12)．故选：D ．3．若复数z ＝（2﹣ai ）（i +1）的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（） A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，2）D ．（0，2）解：由题设，可得z ＝2+a +（2﹣a ）i ，∴z =2+a +(a −2)i ，对应的点位于第四象限， ∴{a −2＜02+a ＞0⇒−2＜a ＜2．∴实数a 的取值范围是（﹣2，2）．故选：C ．4．已知函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π4](ω＞0)的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（）A ．134 B ．94C ．54D ．14解：函数f(x)=cos[ω(x −π3)+π4]的图像关于原点中心对称，则−π3ω+π4=kπ+π2(k ∈Z)，解得ω=−3k −34，k ∈Z ，因为ω＞0，当k ＝﹣1时，ω取得最小值94．故选：B ． 5．(xlog 43−log 32x)4展开式的常数项为（） A ．34B ．−34C ．32D ．−32解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r⋅(log 43)4−r ⋅(−log 32)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，2，3，4）；当r ＝2时，常数项为C 42⋅(log 43)2⋅(log 32)2=32．故选：C ． 6．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x 2+y 2＝a 2+b 2，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝r 2（r ＞0）上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆x 25+y 24=1的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（） A ．[1，7] B ．[3，9] C ．[3，7] D ．[2，8]解：∵椭圆方程为x 25+y 24=1，∴a 2＝5，b 2＝4，∴a 2+b 2＝9， ∴根据题意可得椭圆x 25+y 24=1的蒙日圆O 的方程为x 2+y 2＝9，根据题意知圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝r 2（r ＞0）与蒙日圆O ：x 2+y 2＝9有公共点，又圆心C （4，3），半径为r ；圆心O （0，0），半径r 2＝3， ∴|r ﹣r 2|≤|CO |≤r +r 2，∴|r ﹣3|≤√(4−0)2+(3−0)2≤r +3， ∴a ∈[2，8]，故选：D ．7．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec （角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc （角）表示，则csc10°−√3sec10°=（） A ．√3B ．2√3C ．4D ．8解：csc10°−√3sec10°=1sin10°−√3cos10°=cos10°−√3sin10°sin10°cos10°=2cos70°12sin20°=4sin20°sin20°=4．故选：C ．8．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1，的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与FA →反向，则双曲线的离心率是（） A ．√5B ．√72C ．√52D ．√7解：设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1，（a ＞0，b ＞0），由|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与FA →反向，所以可设OA ＝m ﹣d ，AB ＝m ，OB ＝m +d ，由勾股定理可得：（m ﹣d ）2+m 2＝（m +d ）2，得：d =14m ，可得OA =34m ，OB =5m4，AB ＝m ，所以tan ∠BOA =AB OA =43，又l 1的方程：y =b a x ，l 2的方程为y =−ba x ，即tan ∠AOF =b a ，tan ∠BOF =−ba，而tan ∠BOF ＝tan （∠AOF +∠AOB ）=b a +431−b a ×43=−ba ，解得b a=2，则离心率e =c a =√1+(ba)2=√5．故选：A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．已知0＜a ＜b ，则下列选项正确的是（） A ．ln （b ﹣a ）＞0 B ．a b ＜a+2b+2C ．a −b ＜1a −1bD ．a−b lna−lnb＜a+b 2解：对于A 选项，b ﹣a 不一定大于1，故A 错误；对于B 选项，因为0＜a ＜b ，则a ﹣b ＜0，所以a b −a+2b+2=a(b+2)−b(a+2)b(b+2)=2(a−b)b(b+2)＜0，故B 正确；一题多解，根据糖水不等式∀0＜a ＜b ，m ＞0，a b ＜a+m b+m ，可知B 正确．对于C 选项，a −b ＜1a −1b ⇔a −1a ＜b −1b，令f(x)=x −1x ，则f ′(x)=1+1x 2＞0，则f(x)=x −1x 在（0，+∞）上单调递增．又因为0＜a ＜b ，所以f （a ）＜f （b ），即a −b ＜1a −1b ，故C 正确；对于D 选项，因为0＜a ＜b ，要证a−b lna−lnb ＜a+b2，即要证2(a−b)a+b＜ln(ab)，即证2(a b −1)a b+1＜ln(ab )，即证ln （ab ）−2(a b −1)a b+1＞0，令t =a b (0＜t ＜1)，令ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，则ℎ′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0在（0，1）上恒成立，所以h （t ）在（0，1）上单调递增，所以h （t ）＜h （1）＝0，即lnt ＜2(t−1)t+1(0＜t ＜1)，则ln a b ＜2(a−b)a+b =2(ab −1)a b+1，即a−b lna−lnb ＜a+b 2成立，故D 正确．本选项也可以根据对数平均不等式∀0＜a ＜b ，√ab ＜a−b lna−lnb ＜a+b2，可知D 正确．故选：BCD ．10．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且P （X ＝k ）=C5k32（k ∈{0，1，2，3，4，5}），则新的样本数据（） A ．众数是1的概率是532B ．极差不变的概率是3132C ．第25百分位数不变的概率是316D ．平均值变大的概率是12解：由题意得P （X ＝k ）=C5k32，k ∈{0，1，2，3，4，5}；对于A ，众数是1的概率是P （X ＝1）=C 5132=532，选项A 正确；对于B ，若极差不变，则X ＝0，1，2，3，4，概率为1﹣P （X ＝5）＝1−C 5532=3132，选项B 正确；对于C ，由于5×25%＝1.25，6×25%＝1.5，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，所以X ＝1，2，3，4，5，第25百分位数不变的概率是1﹣P （X ＝0）＝1−C 5032=3132，选项C 错误；对于D ，原样本平均值为15×（0+1+2+3+4）＝2，平均值变大，则X ＝3，4，5，概率为C 5332+C 5432+C 5532=1032+532+132=12，选项D 正确．故选：ABD ．11．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，若f （x ）是奇函数，f （2）＝﹣f （1）≠0，且对任意x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）f '（y ）+f '（x ）f （y ），则（） A ．f ′(1)=−12B ．f （6）＝0C ．∑ 2024k=1f(k)=1D ．∑f′2024k=1(k)=−1解：根据题意，依次分析选项：对于A ，令x ＝y ＝1，得f （2）＝2f （1）f ′（1），因为f （2）＝﹣f （1）≠0，所以f ′（1）=−12，所以A 正确；对于B 和C ，令y ＝1，得f （x +1）＝f （x ）f ′（1）+f ′（x ）f （1）①，所以f （1﹣x ）＝f （﹣x ）f ′（1）+f ′（﹣x ）f （1），因为f （x ）是奇函数，所以f ′（x ）是偶函数，所以f （1﹣x ）＝﹣f （x ）f ′（1）+f ′（x ）f （1）②，由①②，得f （x +1）＝2f （x ）f ′（1）+f （1﹣x ）＝﹣f （x ）﹣f （x ﹣1），即f （x +2）＝﹣f （x +1）﹣f （x ），所以f （x +3）＝﹣f （x +2）﹣f （x +1）＝f （x +1）+f （x ）﹣f （x +1）＝f （x ），所以f （x ），f ′（x ）是周期为3的函数，所以f （6）＝f （0）＝0，B 正确；对于C ，由B 的结论，∑ 2024k=1f （k ）＝f （1）+f （2）+.....+f （2024）＝[f （1）+f （2）+f （3）]×674+[f （1）+f （2）]＝0，故C 错误；对于D ，因为f ′（2）＝f ′（﹣1）＝f ′（1）=−12，在①中令x ＝0得f （1）＝f （0）f ′（1）+f ′（0）f （1），所以f ′（0）＝1，∑ 2024k=1f ′（k ）＝[f ′（1）+f ′（2）+f ′（3）]×674+[f ′（1）+f ′（2）]＝﹣1，所以D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，则该正四棱台的体积为28√23．解：如图，延长AA 1，BB 1，CC 1，DD 1相交于点P ，连接AC 、A 1C 1，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，则PO ⊥平面A 1B 1C 1D 1于点O 1，且点O 1在A 1C 1上，其中AC =4√2，A 1C 1=2√2，过点A 1作A 1F ⊥AC 于点F ，则OF =A 1O 1=√2，所以AF =OA −OF =2√2−√2=√2，因为棱AA 1与底面ABCD 所成的角为45°，所以∠A 1AF =45°，故A 1F =AF =√2，则该正四棱台的体积为V =13(22+42+√22×42)⋅√2=28√23．故答案为：28√23． 13．某次会议中，筹备组将包含甲、乙在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有 30 种．（用数字作答）解：先将4人分成3组，共有C 42=6种分法，再将这3组分配到会议厅，共有A 33=6种分法，由分步计数原理可得共有6×6＝36种分法；甲乙两人分配到同一个会议厅的分法共有A 33=6种分法，则甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有36﹣6＝30种分法．故答案为：30．14．某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n 次得到数列1，x 1，x 2，x 3，…，x k ，2；…；记a n ＝1+x 1+x 2+…+x k +2，则a 3＝ 42 ；a 20241−a 2023= ﹣3 ．解：由题意可得a 1＝1+2+3＝3+3＝6，a 2＝1+2+3+4+5＝3+3+9＝15， a 3＝3+3+9+27＝42，依次类推，得到a n ＝3+3+32+33+ (3)＝3+3−3n+11−3=3n+1+32，故a 20241−a 2023=32025+321−32024+32=32025+3−1−32024=3(32024+1)−(1+32024)=−3．故答案为：42；﹣3．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanB =12tanC ．（1）求c 2−b 2a2的值；（2）若a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，求边b 上的高．解：（1）由tanB =12tanC ，可得sinB cosB =sinC 2cosC，所以2sin B cos C ＝sin C cos B ，又由正弦定理和余弦定理，可得2b ⋅a 2+b 2−c 22ab =c ⋅a 2+c 2−b22ac，整理得3（c 2﹣b 2）＝a 2，所以c 2−b 2a 2=13；（2）由a =√21，且△ABC 的周长为7+√21，可得b +c ＝7，又由（1）可知，c 2−b 2=13a 2=7，即（c +b ）（c ﹣b ）＝7，所以c ﹣b ＝1，联立方程组{b +c =7c −b =1，解得c ＝4，b ＝3，所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =9+16−212×3×4=16，所以sin A =√62−16=√356，所以边b 上的高为ℎ=csinA =4×√356=2√353． 16．（15分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，DE ＝AD ＝DB ＝2CF ．（1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ；（2）求平面BEF 与平面BCF 夹角的余弦值．解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．又因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．因为BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDE ，设AC ，BD 交于O ，取BE 的中点G ，连FG ，OG ，OG ∥CF ，OG ＝CF ，所以四边形OCFG 是平行四边形，所以FG ∥AC ，因为AC ⊥平面BDE ，所以FG ⊥平面BDE ，又因为FG ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDE ．（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，因为BE 与平面ABCD 所成的角为45°，∠BAD ＝60°，DE =BD =AB =2，OA =√3，则D （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），E （0，﹣1，2），F （−√3，0，1），所以BE →=(0，−2，2)，BF →=(−√3，−1，1)，BC →=(−√3，−1，0)，设平面BEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，所以{n →⋅BE →=0n →⋅BF →=0，所以{−2y +2z =0−√3x −y +z =0，解得x ＝0，令y ＝1，得z ＝1，所以n →=(0，1，1)，设平面BCF 的法向量m →=(x ，y ，z)，所以{m →⋅BC →=0m →⋅BF →=0，所以{√3x +y =0√3x +y −z =0，解得z ＝0，令x ＝﹣1，得y =√3，所以m →=(−1，√3，0)，设平面BEF 与平面BCF 夹角的大小为θ，所以cosθ=|cos〈n →，m →〉|=√322=√64．17．（15分）为检验预防某种疾病的A 、B 两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A 、B 疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[0，100]），统计如下：个别数据模糊不清，用含字母m （m ∈N ）的代数式表示．（1）为检验该项医学指标在[0，50）内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[25，50）的志意者中，按接种A、B疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断．从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人中接种B疫苗的人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针．请先完成下面的2×2列联表，若根据小概率α＝0.025的独立性检验，认为接种A、B疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m的最大值．附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．（1）从医学指标在[25，50）的志愿者中，按接种A、B疫苗分层抽取8人中，接种A疫苗有2人，接种B疫苗有6人，由题意可知，X可能取值为3，4，5，P(X=3)=C22C63C85=514，P(X=4)=C21C64C85=1528，P(X=5)=C20C65C85=328，X的分布列为：则E(X)=3×514+4×1528+5×328=154．（2）2×2列联表如下：则χ2=200[(80−m)(40−m)−(60+m)(20+m)]2100×100×140×60=2(10−m)221，由题意可知，2(10−m)221≥x 0.025=5.024，整理得，（10﹣m ）2≥52.752，解得m ≤2或m ≥18，m ∈N ，又10﹣m ≥0，m ∈N ，则m ≤10，m ∈N ，所以m ≤2，m ∈N ，故m 的最大值为2．18．（17分）已知椭圆T ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率12，其上焦点F 与抛物线K ：x 2＝4y 的焦点重合．（1）求椭圆T 的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断|AC |与|BD |的大小关系，并证明；（3）若过点F 的直线交椭圆T 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G （如图2所示），判断四边形AEBG 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知，物线K ：x 2＝4y 的焦点为F （0，1），则c ＝1，又椭圆的离心率e =c a =12，所以a ＝2，所以b 2＝a 2﹣c 2＝3，所以椭圆T 的方程为y 24+x 23=1．（2）|AC |＞|BD |，证明如下：由题意得设椭圆与双曲线的交点为M ，联立{x 2=4y y 24+x 23=1，解得{x =±2√63y =23，由图可知M(−2√63，23)，F(0，1)，∴k MF=23−1−263=√612，若要产生如图B、D、A、C四点结构，可知k＞√612，设直线AB方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立{y=kx+1y24+x23=1，消去y得：（4+3k2）x2+6kx﹣9＝0，则x1+x2=−6k4+3k2，x1x2=−94+3k2，所以|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2•√(−6k3k2+4)2+4×93k2+4=12(1+k2)4+3k2．抛物线K的方程为：x2＝4y，联立{y=kx+1x2=4y，消去y得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x3+x4＝4k，x3x4＝﹣4，所以|CD|=√1+k2|x3﹣x4|=√1+k2•√(x3+x4)2−4x3x4=√(1+k2)(16k2+16)=4(1+k2)，所以|AC|﹣|BD|＝（|AC|+|AD|）﹣（|BD|+|AD|）＝|CD|﹣|AB|=4(1+k2)−12(1+k2)4+3k2=4(1+k2)(3k2+1)4+3k2＞0，即|AC|＞|BD|．（3）存在最小值，最小值为8．设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x5，y5），G（x6，y6），当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB方程为y＝kx+1（k≠0），则直线EG方程为y=−1kx+1，由（2）的过程可知：|AB|=12(1+k2) 4+3k2，由|CD|＝4（1+k2），以−1k替换k，可得|EG|=4(1+1k2)，所以S四边形AEBG =12|AB|⋅|EG|=12×12(1+k2)4+3k2×[4(1+1k2)]=24(1+k2)2k2(4+3k2)=24(1+k2)23(1+k2)2−2(1+k2)−1=243−2(1+k2)−1(1+k2)2，因为1+k2＞1，所以令t=11+k2∈（0，1），则函数f（t）＝﹣t2﹣2t+3在（0，1）上单调递减，所以0＜f（t）＜3，所以S四边形AEBG=24f(t)＞8；当直线AB的斜率不存在时，由{y=1x2=4y可得{x=±2y=1，则|EG|＝4，|AB|＝2a＝4，所以S四边形AEBG =12|AB|⋅|EG|=12×4×4=8；综上所述：S四边形AEBG≥8，所以四边形AEBG面积的最小值为8．19．（17分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x，（a∈R）．（1）若f（x）为奇函数，求此时f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x，且存在x1，x2分别为g（x）的极大值点和极小值点．（i）求函数g（x）的极值；（ii）若a∈（1，+∞），且g（x1）+kg（x2）＞0，求实数k的取值范围．解：（1）∵f（x）＝ae x﹣e﹣x为奇函数，∴f（0）＝0⇒a＝1，经检验知a＝1满足题意，∴f（x）＝e x﹣e﹣x，f'（x）＝e x+e﹣x，f（0）＝0，f'（0）＝2，∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x．（2）（i）∵g（x）＝f（x）﹣（a+1）x＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x既存在极大值，又存在极小值，∴g′(x)=(ae x−1)(e x−1)e x=0必有两个不等的实根，则a＞0且a≠1．当a∈（0，1）时，﹣lna＞0，则有：g（x）的极大值为g（0）＝a﹣1，极小值为g（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna 当a∈（1，+∞）时，﹣lna＜0，则有：g（x）的极大值为g（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，极小值为g（0）＝a﹣1．（ii）由a∈（1，+∞），所以x1＝﹣lna，x2＝0，由题意可得1﹣a+（a+1）lna+k（a﹣1）＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，即（k﹣1）（a﹣1）+（a+1）lna＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，即(k−1)a−1a+1+lna＞0对∀a∈（1，+∞）恒成立，令ℎ(x)=(k−1)x−1x+1+lnx（x＞1），则，令x2+2kx+1＝0，则，①当Δ≤0，即﹣1≤k≤1时，h'（x）≥0，h（x）在（1，+∞）上是严格增函数，∴h（x）＞h（1）＝0，即(k−1)a−1a+1+lna＞0，符合题意；②当Δ＞0，即k＞1或k＜﹣1时，设方程x2+2kx+1＝0的两根分别为x1，x2且x1＜x2，当k＞1时，则x1+x2＝﹣2k＜0，x1x2＝1＞0，则x1＜x2＜0，h（x）在（1，+∞）上是严格增函数，∴h（x）＞h（1）＝0，即(k−1)a−1a+1+lna＞0，符合题意；当k＜﹣1时，则x1+x2＝﹣2k＞0，x1x2＝1＞0，则0＜x1＜1＜x2，则当1＜x＜x2时，h'（x）＜0，h（x）在（1，x2）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，即(k−1)a−1a+1+lna＜0，不合题意．∴综上所述，k的取值范围是[﹣1，+∞）．。

山东省青岛二中2022-2023学年数学高三第一学期期末检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．83B ．163C ．43D ．82．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（） A ．12B ．72C ．12-D ．72-3．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17314．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（） A ．23 B ．25C ．28D ．295．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．6．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-8．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>10．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（）A ．54B ．58C ．516D ．53211．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}12．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．136二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018年山东省青岛二中高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

18．（12 分）如图，已知梯形 ABCD，AB∥CD，AD=DC=BC，∠ADC=120°，四边形 ACFE 为正方形，且平面 ACFE⊥平面 ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面 ACFE；（Ⅱ）点 M 在线段 EF 上运动，求平面 MAB 与平面 ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围．
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16．（5 分）在如图所示的平面中，点 C 为半圆的直径 AB 延长线上的一点， AB=BC=2，过动点 P 作半圆的切线 PQ，若 PC= PQ，则△PAC 的面积的最大值为．
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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在一次“K12 联盟”联考中，我校高三有理科学生 500 名，已知此次考试中的英语成绩服从正态分布 N（120，400），数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在 140（含 140）分以上的为特别优秀，则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有 30 人，现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况，若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取 3 名学生，求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若 X～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ≤x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ≤x ≤μ+2σ）=0.96，p（μ﹣3σ≤x≤μ+3σ）=0.99
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 =0，则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知（2+ax）（1﹣2x）5 的展开式中，含 x2 项的系数为 70，则实数 a 的值为（ A．1 ） B．﹣1 C．2 D．﹣2

山东省青岛市崂山区第二中学2021届高三数学上学期期末考试试题理(含解析).doc

山东省青岛市崂山区第二中学2021届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）满分：150分时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|x2+6x﹣16＜0}，则A∩B＝（）A. {x|﹣8＜x＜2}B. {0，1}C. {1}D. {0，1，2} 【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【详解】集合A＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2+6x﹣16＜0}＝{x|﹣8＜x＜2}，A∩B＝{0，1}．故选B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.若复数22i+1iz=+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A.2D. 2 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z2i1i=++＝2i+()()()21i1i1i-+-＝2i+1﹣i＝1+i,则|z|故选C．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．3.我国古代数学著作(九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( ) A. 6斤 B. 9斤C. 10斤D. 12斤【答案】B 【解析】【分析】根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质即可求出中间三项的和.【详解】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项14a =，则52a =，则512415142a a d --===--，由等差数列性质得24156a a a a +=+=，3123a a d =+=， ∴中间三尺的重量为9斤．故选B ．【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解有很多种方法，一种是将已知条件都转化为1a 和d 的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用n ma a d n m-=-，先求出公差，再来求首项.4.设12F F ，分别是双曲线22y x 19-=的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且12PF?PF 0=，则12PF PF += （）B. D. 【答案】B 【解析】根据题意，F 1、F 2分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．∵点P 在双曲线上，且12·0PF PF =，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，∴12PF PF +=2|PO |=12|F F |=210．故选B ．5.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.22B.12C.24D.14【答案】D 【解析】【分析】由题意确定几何体的形状，二面角C BD A --为直二面角，依据数据，求出侧视图面积．【详解】解：根据这两个视图可以推知折起后二面角C BD A --为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为22的直角三角形，其面积为14．故选D ．【点睛】本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．6.在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( ) A.13B.223C.324D.12【答案】B 【解析】【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 18MB AA MB AAθ⋅===⋅, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7.在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝（）A. 14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由直线y x b =+与圆22x y a +=有交点可得⎡⎣，利用几何概型概率公式列方程求解即可.【详解】因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点，所以圆心到直线的距离d =≤b ⎡∴∈⎣，又因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，1122a =⇒=，故选B.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()()2f x f x +=；（2）()2f x -为奇函数；（3）当[)0,1x ∈时，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-恒成立，则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系正确的为（） A. ()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由条件得出()f x 的单调性、奇偶性、周期性即可比较出题目中几个的大小. 【详解】因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数. 又由()2f x -为奇函数，所以有()()()()22f x f x f x f x -+=--⇒-=-，所以函数()f x 为奇函数，由当[)0,1x ∈时，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-恒成立得()f x 在区间[)0,1内单调递增结合()f x 为奇函数可得函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，因为11116222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15118222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()40f f =. 所以()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C【点睛】利用函数单调性比较函数值大小的时候，应将自变量转化到同一个单调区间内. 9.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，第一循环：24N =，能被3整除，24833N ==≤不成立，第二循环：8N =，不能被3整除，817,73N N =-==≤不成立，第三循环：7N =，不能被3整除，6716,233N N =-===≤成立，终止循环，输出2N =，故选C ．【点睛】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.已知函数()122log xf x x =-，且实数0a b c >>>满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（）A. 0x c <B. 0x a >C. 0x b <D. 0x a <【答案】A 【解析】易知，()122log xf x x =-单调递增，且零点()00,1x ∈，()00f x =，又()()()0f a f b f c <，0a b c >>>，得()()(),0,0f a f b f c ><或()()(),,0f a f b f c <, 则0x c <是不可能成立的，故选A ．点睛：零点问题学会利用图象解题．一般来说，只有一个零点的函数图象往往是单调的，本题中，我们可以发现函数()f x 是单调递增的，通过草图，结合题意，我们可以得到两种情况满足条件，从而得到答案．11.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，设M 为抛物线上的动点，则MOMF的最大值为( )B. 1【答案】D 【解析】【分析】由抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），可得：焦点F （2p，0），由抛物线的定义可得MO MO MF d =，化简再换元，利用基本不等式求得最大值．【详解】由抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），可得：焦点F （2p，0），设M （m ，n ），则n 2＝2pm ，m ＞0，设M 到准线x 2p=-的距离等于d ，则22MO MOMF d m m=====++令pm24p-=t，t24p-＞，则m4t pp=+，∴3MOMF==≤=（当且仅当t234p=时，等号成立）．故MOMF，故选D．【点睛】本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出MOMF，再利用基本不等式，综合性强．12.将函数sin2y x=的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()y f x=的图象．若函数()f x在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，且()f x的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（）A. ,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦B. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦D. ,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】利用函数sin()y A xωϕ=+的图象变换规律，求得()f x的解析式，再利用正弦函数的性质求得ϕ的取值范围．【详解】将函数sin2y x=的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()sin(22)y f x xϕ==-的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则22πϕ-≤-，且222ππϕ-≤，求得04πϕ<≤①．令22x k ϕπ-=，求得2k x πϕ=+，Z k ∈，故函数的零点为2k x πϕ=+，k Z ∈． ∵()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上， ∴51226k πππϕ-<+<-， ∴512262k k ππππϕ--<<--②．由①②令1k =-，可得124ππϕ<≤，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.二项式92(x展开式中3x 的系数为__________．【答案】18 【解析】【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解3x 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式92x ⎛ ⎝展开式的通项为(()93992199212rrr rr rr r T C C xx ---+⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭令3932r -=，解得8r =，所以()81833191218r T C x x +=-⋅⋅⋅=，即中3x 的系数为18. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，已知24316,28a a S ==，则12n a a a 最大时，n 的值为__________．【答案】4或5 【解析】由等比数列的性质可得：224316a a a ==，解得：34a =，则：3322111111128,17,230S a q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由数列的公比为正数可得：112,2q q ==，数列的通项公式为：3352n n n a a q--==，据此：()94352122222n nnn a aa --=⨯⨯⨯=，12n a a a 最大时，()92n n -有最大值，据此可得 n 的值为4或5.点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ∠=，半径为2，C 是其弧上一点，若OC OA OB λμ=+，则λμ的最大值为__________．【答案】12【解析】【分析】以,OA OB 为基底，表示OC，这是一个正交的基底，故()()22222444OA OB OC λμλμ+=+==，再由基本不等式求得λμ⋅的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交基底，表示OC ，根据图像可知()()22222444OA OB OC λμλμ+=+==，即221λμ+=，故22122λμλμ+⋅≤=，当且仅当2λμ==时，等号成立.故λμ⋅的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得2a b ab +≥这个基本的形式，还要注意它的变形22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭. 16.()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x .若()()'2f x f x >，()403820192019f e =，则不等式()22019x f x e >（其中e 为自然对数的底数）的解集为______.【答案】{}|2019x x > 【解析】【分析】构造函数()()2xf xg x e=，由导数得出()g x 在R 上单调递增，当2019x >时，()()()4038201920192019f g x g e>==，即()22019xf x e >，即可得出解集. 【详解】构造函数()()2xf xg x e=则()()()()()()2222222x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==因为()()'2f x f x >，所以0g x ，所以()g x 在R 上单调递增所以当2019x >时，()()()4038201920192019f g x g e >==，即()22019xf x e > 所以不等式()22019xf x e >的解集为{}|2019x x > 故答案为：{}|2019x x >【点睛】解答本题的关键是要利用条件构造出函数()()2xf xg x e =. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：60分.17.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且满足sin cos 0a B A -=，4a =.（1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，3AD =，求ABC ∆面积. 【答案】（1）3A π=；（2. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简sin cos 0a B A =即可求得tan A ，从而可求A 的值．（2）在ABC 中由余弦定理列方程，在ABD 中利用余弦定理列方程，在ACD 中利用余弦定理列方程，联立可得10bc =的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】：（1）sin cos 0a B A = ，2sin sin 2sin cos 0R A B R B A =则sin 0A A = ，tan A =3A π∴=（2）方法一：在ABC 中，222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+-即2216b c bc +=+ .在ABD 中222229413cos 223212AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===⋅⨯⨯，同理ACD 中222229413cos 223212AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===⋅⨯⨯，而ADB ADC π∠+∠=，有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，即222213130261212b c b c --+=⇒+=.联立得162610bc bc +=⇒=，11=sin 1022ABCSbc BAC ∠=⨯=. 方法二：又222221cos 1622b c a A b c bc bc +-==⇒+-=①2AB AC AD +=222294AB AC AB AC AD ++⋅==22222cos 9364c b bc Ab c bc ++=⇒++=②②-①得10bc =11=sin 1022ABCSbc A =⨯= 方法三：（极化式）()()cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ⋅==+⋅-=-= 510cos AB AC A∴== 153=sin 22ABC SAB AC A ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ，且22PA ED ==.（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角P CE D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）64- 【解析】【详解】试题分析：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得BD EF ∥，再证明BD ⊥平面PAC ，从而可得EF ⊥平面PAC ，进而可得平面PAC ⊥平面PCE ；（2）以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PCE 与平面CDE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ∥，且12OF PA =，因为DE PA ∥，且12DE PA =，所以OFDE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ∥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ．因为BD EF ∥，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．（2）解法：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，所以45PCA ∠=，所以2AC PA ==．所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．则()0,02P ，，()3,10C ，，()0,21E ，，()0,20D ，，，()3,11CE =-，，．设平面PCE 的法向量为()111,,n x y z =，则·0,·0,n PC n CE ⎧=⎨=⎩即111111320,30.x y z x y z +-=-++=⎪⎩11,y =令则113,2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()3,1,2n =．设平面CDE 的法向量为()222,,m x y z =，则0,0,m DE m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,30.z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令21,x =则223,0.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()1,3,0m =．设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以236cos cos<,4222n m n m n mθ⋅=->=-=-=-⋅⋅．所以二面角P CE D --的余弦值为6【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.随着经济的发展和个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率依法进行调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%） 1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分3（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[)3000,5000元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[)5000,7000元的人数，随机变量Z a b =-，求Z 的分布列与数学期望.【答案】（1）220元；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据税率表直接算出之后作比较即可（2）由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中抽取7人，其中[)3000,5000中占3人，[)5000,7000的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0，2，4，然后分别算出每种情况的概率即可.【详解】（1）由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为15003%250010%295⨯+⨯=元；按调整后起征点应纳个税为25003%75⨯=元，比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元.（2）①由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中抽取7人，其中[)3000,5000中占3人，[)5000,7000的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0，2，4，()()2234471802,235C C P Z P a b C ======， ()()()21,33,1P Z P a b P a b ====+==13333434471635C C C C C +==， ()()043447140,435P Z P a C C b C ======，所以其分布列为所以()181613602435353535E Z=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列和期望，解答的关键是把Z 的取值情况和对应的概率算正确.20.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，12F ,F 为左、右焦点，B 为短轴端点，且124BF F S ∆=，,O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程，（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M ,N ,且满足OM ON OM ON +=-？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得方程1212BF F S=•2c •b ＝4，e 2c a ==，且a 2＝b 2+c 2；从而联立解出椭圆C 的方程为2284x y +=1；（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ，则可得OM •ON =0；再设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ，与椭圆联立，利用韦达定理及条件可得3m 2﹣8k 2﹣8＝0，代入△从而可解得m 的范围，进而解出所求圆的方程，再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．【详解】（1））∵椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），由题意可得，1212BF F S=•2c •b ＝4，e 2c a ==，且a 2＝b 2+c 2；联立解得，2284a b ⎧=⎨=⎩；故椭圆C 的方程为2284x y +=1；（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ， ∵|OM ON +|＝|OM ON -|， ∴OM •ON =0；设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ，解方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，则△＝（4km ）2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣8）＝8（8k 2﹣m 2+4）＞0；即8k 2﹣m 2+4＞0；∴x 1+x 22412km k =-+，x 1x 2222812m k-=+； y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2222812m k k-=+；要使OM •ON =0，故x 1x 2+y 1y 2＝0；即222222881212m m k k k--+=++0；所以3m 2﹣8k 2﹣8＝0，所以3m 2﹣8≥0且8k 2﹣m 2+4＞0；解得m ≥或m ≤ 因为直线y ＝kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =，r 2()22228183113km k k +===++；故r =即所求圆的方程为x 2+y 283=；此时圆的切线y ＝kx +m 都满足m ≥m ≤ 而当切线的斜率不存在时切线为x＝±3与椭圆2284x y +=1的两个交点为（3，），（）；满足OM •ON =0，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 283=满足条件．【点睛】本题考查了圆锥曲线的应用，考查了根与系数的关系及化简运算，属于难题．21.已知函数21()(,)2x f x a e x b a b R =⋅--∈. （1）若函数()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-，求实数a ，b 的值；（2）若函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若212x x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,2a b ==；（2）10a e<<；（3）ln 2(0,]2 【解析】【分析】（1）由题意得：()'01f =，()01f =-，解得a ，b .（2）由题意知：()'0x f x ae x =-=有两个零点1x ，2x ，令()x g x ae x =-，而()'1xg x ae =-. 对0a ≤时和0a >时分类讨论，解得：10a e<<.经检验，合题；（3）由题意得，121200x x ae x ae x ⎧-=⎨-=⎩，即121122(0)x x ae x x x ae x ⎧=<<⎨=⎩. 所以2121x x x e x -=，令212x t x =≥，即12ln 1ln 1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，令()ln 1t h t t =-，求导，得()h t 在[)2,+∞上单调递减，即(]10,ln2x ∈. 11x x a e =，(]10,ln2x ∈.令()x x x eϕ=，求导得()x ϕ在(]0,ln2上单调递减，得a 的取值范围. 【详解】（1）()'x f x ae x =-，由题意得：()'01f =，即1a =，()01f =-即2b =，所以1a =，2b =.（2）由题意知：()'0x f x ae x =-=有两个零点1x ，2x ，令()x g x ae x =-，而()'1x g x ae =-.①当0a ≤时，()'0g x <恒成立所以()g x 单调递减，此时()g x 至多1个零点（舍）.②当0a >时，令()'0g x <，解得：1,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()g x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11ln 1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()g x 有两个零点，所以11ln 0a -<，解得：10a e <<.因为()00g a =>，1ln 0g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且1ln 0a >，而()g x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在10,ln a ⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点；又因为()()21x g x ae x ax x x ax =->-=-（易证2x e x >），则220g a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭且1ln 0g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，而()g x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 在11ln ,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点.综上：10a e<<. （3）由题意得，121200x x ae x ae x ⎧-=⎨-=⎩，即121122(0)x x ae x x x ae x ⎧=<<⎨=⎩. 所以2121x x x e x -=，令212x t x =≥，即12ln 1ln 1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，令()ln 1t h t t =-，()()211ln '1t t h t t --=-，令()11ln u t t t =--，而()21'0t u t t -=<，所以()u t 在[)2,+∞上单调递减，即()()12ln202u t u ≤=-<，所以()h t 在[)2,+∞上单调递减，即(]10,ln2x ∈. 因为11x x a e =，(]10,ln2x ∈. 令()x x x e ϕ=，而()1'0xx e x eϕ-=<恒成立，所以()x ϕ在(]0,ln2上单调递减，又0a >，所以ln20,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】根据函数的极值情况求参数的要领：1.列式，根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2.验证，求解后验证根的合理性，含参数时，要讨论参数的大小（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1的参数方程为22cos 2sin x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）写出圆C 1的极坐标方程，并求圆C 1与圆C 2的公共弦的长度d ；（2）设射线θ=π12与圆C 1异于极点的交点为A ，与圆C 2异于极点的交点为B ，求|AB|．【答案】【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程进行转换，可得到圆C 1的极坐标方程，圆C 1与圆C 2的直角坐标方程相减可得到公共弦所在直线的方程，再利用几何关系可得到公共弦的长度d ；（2）将θ=π12分别代入两圆的极坐标方程中，可得到A 、B 两点的极坐标，进而可求出|AB|. 【详解】（1）已知圆C 1的参数方程为222x cost y sint =+⎧⎨=⎩（t 为参数）．转换为直角坐标方程为：()2224x y -+=，转换为极坐标方程为：4cos ρθ=，圆C 2的极坐标方程为4sin ρθ=．转换为直角坐标方程为：()2224y x -+=，所以：()()22222424x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：0x y -=，所以圆心（2，0）到直线0x y -=的距离d ==所以两圆所截得的弦长d == （2）射线θ=π12与圆C 1异于极点的交点为A ，与圆C 2异于极点的交点为B ，所以|AB|=|ρ1﹣ρ2|=πππππ4412124126cos sin ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系的恒等变换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数()2f x x a a =--++，()124g x x x =-++.（1）解不等式()6g x <；（2）若存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()3,1-；（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）分三种情况讨论即可（2）条件“存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集，然后分别求出它们的值域即可. 【详解】（1）因为()33,11245,2133,2x x g x x x x x x x +≥⎧⎪=-++=+-≤<⎨⎪--<-⎩，故由()6g x <得：3361x x +<⎧⎨≥⎩或5621x x +<⎧⎨-≤<⎩或3362x x --<⎧⎨<-⎩，解得原不等式解集为：()3,1-.（2）由（1）可知()g x 的值域为[)3,+∞，显然()f x 的值域为(],2a -∞+. 依题意得：[)(]3,,2a +∞-∞+≠∅，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】1.解含有绝对值不等式时一般要分类讨论.2. “存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集.。

《解析》山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试数学(文)试卷Word版含解析

2014-2015学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( )A．2﹣iB．2+iC．1+2iD．1﹣2i3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( )A．﹣8B．±8C．D．4．已知，则sin2α等于( )A．B．C．D．5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．B．2C．3D．46．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3B．4C．5D．67．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( )A．﹣B．﹣C．0D．8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1B．2D．410．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( )A．2B．4C．3D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是__________．12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且⊥，则x=__________．13．已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N 两点，那么|MN|的最小值是__________．14．若函数f（x）=x3+x2﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是__________．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．已知数列{a n}中，a1=t（t为非负常数），数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n+1=3S n （Ⅰ）当t=1时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为6+4．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2014-2015学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），集合B={x|x2＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞），故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1）故选D．点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( )A．2﹣iB．2+iC．1+2iD．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．解答：解：∵（1+2i）z=4+3i，∴，则z的共轭复数是2+i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( )A．﹣8C．D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．解答：解：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解得xz=4，y=﹣2，（y=2时，和x2=﹣y矛盾），∴xyz=﹣8．故选：A点评：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．已知，则sin2α等于( )A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，整理后求出tanα的值，然后将所求的式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2α+cos2α，分子利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos2α，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵tan（α﹣）==，∴tanα=2，则sin2α====．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．A．1C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，判断①；②根据直线与平面平行的判定定理，得出②错误；③根据空间中的线面平行关系，判断③错误；④根据空间中的线面平行关系，得出④正确．解答：解：对于①，当m∥l，m⊥α时，l⊥α，∴①正确；对于②，当m∥l，m∥α时，l∥α，或l⊂α，∴②错误；对于③，当α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n时，l∥m∥n，或l、m、n交于一点，∴③错误；对于④，当α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β时，l∥m，∴④正确．综上，正确的命题为①④．故选：B．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础性题目．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，运行相应的程序，写出每次循环i，a的值，判断a＞50满足时，输出i的值即可．解答：解：运行相应的程序，有a=1，i=0，i=1，a=2，a＞50不成立，有i=2，a=5，a＞50不成立，有i=3，a=16，a＞50不成立，有i=4，a=65，a＞50成立，输出i的值为4．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．7．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( )A．﹣B．﹣C．0D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件求得f（x）==，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最小值．解答：解：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）2﹣（x+1）=x2+x=2f（x），∴f（x）==，故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，故选：A．点评：本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质应用，属于基础题．8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．解答：解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在R上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A．1B．2C．3D．4考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（y）=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f（y）max=4，令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，从而可得答案．解答：解：令f（y）=|y+4|﹣|y|，则f（y）≤|y+4﹣y|=4，即f（y）max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f（y）max=4，∴a≥﹣（2x）2+4×2x=﹣（2x﹣2）2+4恒成立；令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，∴常数a的最小值为4，故选：D．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( )A．2B．4C．3D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是或．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：先由三视图判断几何体的形状，画出其直观图，再利用正方体的体积减去棱锥的体积求得．解答：解：由三视图知，几何体有两种情况，如图：几何体为边长为1的正方形消去一个三棱锥或消去两个三棱锥，三棱锥的体积V==，∴几何体的体积为或．故答案是或．点评：本题考查由三视图求几何体的体积．12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且⊥，则x=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，求出x的值．解答：解：∵=（2，1），=（1，﹣3），∴=+2=（4，﹣5），=2﹣x=（4﹣x，2+3x），又⊥，∴•=4（4﹣x）﹣5（2+3x）=0；解得x=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．13．已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N 两点，那么|MN|的最小值是4．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，欲求|MN|的最小值，只需求出经过可行域的点的直线在圆上所截弦长何时取最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，当直线l过点A（1，3）时，A点离圆心最远，此时截得的弦MN最小，最小值是4，故填4．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．若函数f（x）=x3+x2﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是＜a≤3．考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：求出f′（x）=x2+2x﹣a，根据函数性质，和零点的判断方法得，f′（1）=3﹣a≥0，f（1）f（2）＜0，求解不等式即可．解答：解：∵函数f（x）=x3+x2﹣ax，∴f′（x）=x2+2x﹣a，∵对称轴x=﹣1，f′（1）=3﹣a≥0，∴a≤3，∵在区间（1，2）上有零点，∴f（1）f（2）＜0，∴＜a＜．∴实数a的取值范围是＜a≤3，故答案为：＜a≤3点评：本题考查了函数的单调性，零点的判断方法，属于中档题．15．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出抽样比，即可从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，写出选出2名干事的所有可能结果，设A={所选2名干事来自同一高校}，写出事件A的所有可能结果，利用古典概型求解即可．解答：解：（Ⅰ）抽样比为：，故应从M，N，S这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1；（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，则选出2名干事的所有可能结果为：{1，2}，{1，3}，{1，a }，{1，b }，{1，c}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，c}，{3，a}，{3，b }，{3，c }，{ a，b }，{ a，c }，{ b，c}共15种．设A={所选2名干事来自同一高校}，事件A的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}，{a，b}，共4种，所以．点评：本题考查古典概型的应用，分层抽样，基本知识的考查，是高考文科概率考试类型题目．17．已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．解答：解：（1）依题．又，则，故当即时，f（x）max=3．（2）由（1）知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，故b﹣c=0．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ=CD．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅲ）利用棱锥的体积公式，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．又∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，又∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．由左视图知PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=CD．在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．又BD=2，∴AB=1，AD=．又∵AB∥CD，AB=CD，∴AB∥MQ，AB=MQ．∴四边形ABQM为平行四边形，∴AM∥BQ．∵AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，∴直线AM∥平面PBC．（Ⅲ）解：∵底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AD⊥AB，AB=1，CD=4，AD=，∴S ABCD=，∵PD⊥底面ABCD，PD=4，∴V=•S ABCD•PD==．点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、求四棱锥P﹣ABCD的体积是解题的关键．19．已知数列{a n}中，a1=t（t为非负常数），数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n+1=3S n （Ⅰ）当t=1时，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由S n+1=3S n，可知数列{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，即可得出S n．当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出．（II）由（I）可得：b n=．当n=1时，T1=t．当n≥2时，T n=t+2t（2+3×3+4×32+…+n•3n﹣2），再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）由S n+1=3S n，可知数列{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴S n=3n﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣1﹣3n﹣2=2×3n﹣2．∴a n=．（II）由（I）可得：b n=．∴当n=1时，T1=t．当n≥2时，T n=t+2t（2+3×3+4×32+…+n•3n﹣2），3T n=3t+2t[2×3+3×32+…+（n﹣1）•3n﹣2+n•3n﹣1]，∴﹣2T n=﹣2t+2t（2+3+32+…+3n﹣2﹣n•3n﹣1）=﹣2t+2t=t（1﹣2n）•3n﹣1﹣t，∴T n=．当t=1时，上式也成立．∴T n=．点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为6+4．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由题意可得：2a+2c=6+4，=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为（m2+9）y2+2mny+n2﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，可得CA⊥CB，=0，即（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，化简整理代入根与系数的关系即可得出．解答：解：（I）由题意可得：2a+2c=6+4，=，又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，c=2，∴椭圆M的方程为+y2=1．（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，联立，化为（m2+9）y2+2mny+n2﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴CA⊥CB．∴=0，∴（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0，∴（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，化为（m2+1）y1y2+m（n﹣3）（y1+y2）+（n﹣3）2=0，∴++（n﹣3）2=0，解得n=3或n=，n=3舍去；n=，直线AB经过定点，满足与椭圆有两个交点．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、直线过定点问题、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．。

2022-2023学年山东省青岛二中高三年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

青岛二中2022-2023学年高三上学期期末考试数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{}2650x xx -+≤，B ＝{x y =，则A∩B 等于( )A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞)2．若复数z 满足：1i z =+，则22z z -的共轭复数的虚部为（）A ．-2B ．iC ．0D ．23．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A ．184斤B ．176斤C ．65斤D ．60斤4．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()()1235P X P X -<≤=>，则()150.75P X -<≤==（）A ．0.5B ．0.625C ．0.75D ．0.8755．已知3cos 234πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则25sin 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A B C ．D ．6．设1F ，2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且点P 到两个焦点的距离之差为1，则12PF F △的面积为（）A ．2B ．3C ．32D ．527．已知函数()4cos cos 1(0)2226x x f x πωωπω⎛⎫⎛⎫=-⋅--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间[]0,π上只取得一次最大值，则ω的取值范围是（）A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．80,9⎛⎤⎥⎝⎦C ．28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（）A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PAPB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PDPE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA=10．已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,a 上的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的可能取值为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．53π11．对于伯努利数()N n B n ∈，有定义：001,C (2)nk n n k k B B B n ===∑ .则（）A ．216B =B ．4130B =C ．6142B =D ．230n B +=12．已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+（ω为正整数，π2ϕ<）的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（）A ．π6-是函数()f x 的一个零点B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．方程()12f x =在[]0,π上有三个解D ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.14．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作倾斜角为60︒的直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线1l 、2l ，1l 与2l 交于点P ，1l ，2l 与x 轴的交点分别为M ，N ，则四边形PMFN 的面积为______________．15．已知函数()()()2256f x x x x x =+-+，则()f x 的最小值为____.16．已知函数()11f x x m x a x m x =++-+--有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a 的取值范围为__________．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．18．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个长方体形状的包装盒，E ，F 是AB 边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE FB x ==cm.(1)求包装盒的容积()V x 关于x 的函数表达式，并求出函数的定义域.(2)当x 为多少时，包装盒的容积V （3cm ）最大？最大容积是多少？19．已知函数()12e xf x ax -=-(1)函数()f x '为()f x 的导函数，讨论当0a >时()f x '的单调性；(2)当1a =时，证明：()f x 存在唯一的极大值点.20．已知数列{}n a 中，11a =，22a=，()11232n n n a a a n +-=-≥，，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设3n n b a =-，求i i 14nb =<∑．21．已知直线方程为(2)(21)340m x m y m -++++=，其中m R ∈.(1)当m 变化时，求点(3,4)Q 到直线的距离的最大值及此时的直线方程；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.22．已知函数1()ln 2f x x x x =++．(1)求()f x 的极值；(2)若2()()3g x xf x x =-+，且1ab >，证明：()()0g a g b +>．参考答案1．C求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可由A 中不等式变形可得：()()150x x --≤，解得15x ≤≤[]15A ∴=，由B 中y =30x -≥，即3x ≥)3B ⎡∴=+∞⎣，则[]A B 35⋂=，故选C本题主要考查的是集合的交集及其运算，属于基础题．2．C根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.因1i z =+，则222(1i)2(1i)2i 22i 2z z -=+-+=--=-，所以所求共轭复数为2-，其虚部为0.故选：C 3．A根据等差数列的前n 项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，第一个孩子所得棉花斤数为1a ，则由题意得，818717,8179962d S a ⨯==+⨯=，解得165a =，()8181184a a d ∴=+-=．故选：A 4．C根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可.因为()22,X N σ ，()()1225P X P X -<≤=≤<并且()20.5P X ≥=又因为()()1235P X P X -<≤=>，所以()()()()2255450.5P X P X P X P X ≥=≤<+>=>=，所以()50.125P X >=所以()250.50.1250.375P X ≤<=-=，所以()150.75P X -<≤=故选：C 5．C由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可因为3cos 2cos 20364ππαα⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21cos 273sin 628παπα⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎝⎭，且322,2,622k k k Z πππαππ⎛⎫⎛⎫-∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,,644k k k Z πππαππ⎛⎫⎛⎫-∈++∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以25sin sin 4sin 666πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C ．6．C由题意结合椭圆的定义求出1253,22PF PF ==，又因为1222F F c ==，由余弦定理可求出12cos F PF ∠，再求出12sin F PF ∠，由三角形的面积公式即可得出答案.因为椭圆的方程为：22143x y +=，则2,1a b c ===，1F ，2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，因为点P 到两个焦点的距离之差为1，所以假设12PF PF >，则1212124PF PF PF PF a ⎧-=⎪⎨+==⎪⎩，解得：1253,22PF PF ==，又因为1222F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得：22222212121212532322cos 5325222PF PF F F F PF PF PF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⨯⨯，所以124sin 5F PF ∠=，所以12PF F △的面积为：1212115343sin 222252S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯⨯=.故选：C.7．C根据三角恒等变换化简()f x ，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.因为()4cos cos 12226x x f x πωωπ⎛⎫⎛⎫=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14sin cos sin 12222x x x ωωω⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭2cos2sin 1cos 2sin 2226xxxx x x ωωωπωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，由x ∈3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则3,63646x πππππωωω⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，则3, 362462ππππππωω--≥--≤，解得81,9ωω≤≤，即809ω<≤；当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要使得该函数取得一次最大值，故只需5262ππωππ≤-<，解得28,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；综上所述，ω的取值范围为28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.8．B根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.因为当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--，所以12,0 2()122,12x x f x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又因为函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，所以函数()f x的部分图像如下，由图可知，若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则113m ≥.故A ，C ，D 错误.故选：B.9．BC根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足1=2PA PB ，设P （x ，y ），则12=，化简得（x ＋4）2＋y 2＝16，所以A 错误；假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得12PD PE =，设D （m ，0），E （n ，0），则=，化简得3x 2＋3y 2－（8m －2n ）x ＋4m 2－n 2＝0，由轨迹C的方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得8m －2n ＝－24，4m 2－n 2＝0，解得m ＝－6，n ＝－12或m ＝－2，n ＝4（舍去），即在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使12PD PE =，所以B 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，12OAPA OBPB==，可得射线PO 是∠APB 的平分线，所以C 正确；若在C 上存在点M ，使得2MO MA=，可设M （x ，y ），＝，化简得x 2＋y 2＋163x ＋163＝0，与x 2＋y 2＋8x ＝0联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误．故选：BC关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.10．BC根据已知求出a 的范围即可.()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x a ∈，所以,333a x πππ+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦又因为()f x 的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以5,33a πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+可知a 的取值范围是24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：BC.11．ACD根据伯努利数的定义以及二项式定理，将()N n B n ∈写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断选项.由001,C (2)nk n n k k B B B n ===∑ 得，012301230C C C C C +(2)C nk n n k n n n k nn n n B B B B B B n B ==+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥=∑，所以，0123101231C )C +C 0(2C C n n n n n n n B B B B n B --+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=≥，同理，0123101213111111C )C +0(1C C C C n n n n n n n n n n n B B B B B B +++++-+-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=≥，所以，()1012311211311011+(1)C C C C C C n n n n n n n n n n B B B B n B B +++--+++=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥，()1012311101231111+(1)C C C C C 1n n n n n n n n B B n n B B B B ++-+++-=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥+其中第1m +项为111(1)(1)(2)(1)(2)C 11123123n m m mm n n n n m n n n m B B B n n m m++--+--+=⨯=++⨯⨯⨯⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯(1)(2)(1)C 12311m mm nB B n n n m n m n m n m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅--+-+=⨯⨯⨯⋅+-⨯-+即可得01201211C +C +C C C 11(1)1m m n n n n n n n n B B B B B n B n n n n m --⎛⎫=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+ ⎝⎭++≥-⎪令1n =，得11002C 111B B ⎛⎫= +-=-⎪⎝⎭；令2n =，得0101222C C 31113262B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭；令3n =，得012012333310C C 11C 434224B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭同理，可得45678910111115,0,,0,,0,,030423066B B B B B B B B =-====-===；即可得选项AC 正确，B 错误；由上述前12项的值可知，当n 为奇数时，除了1B 之外其余都是0，即210(1)n B n +=≥，也即230,N n B n +=∈；所以D 正确.故选：ACD.12．ABD先由周期范围及ω为正整数求得1ω=，再由()f x 平移后关于原点对称求得π3ϕ=，从而得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于AB ，将π6x =-与5π12x =-代入检验即可；对于C ，利用换元法得到1sin 2t =在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内只有两个解，从而可以判断；对于D ，利用整体法及sin y x =的单调性即可判断.因为()()sin 2f x x ωϕ=+，3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π3π422ω<<，解得2433ω<<，又ω为正整数，所以1ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，所以函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数()ππsin 2sin 263g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，（点拨：函数()sin 0y x ωω=>的图象经过平移变换得到()sin y x ωϕ=+的图象时，不是平移ϕ个单位长度，而是平移ϕω个单位长度），由题意知，函数()g x 的图象关于原点对称，故()ππZ 3k k ϕ-=∈，即()ππZ 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以0k =，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，πππsin 2sin00663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ，5π5πππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于A ，令π23t x =+，因为[]0,πx ∈，所以π7π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然1sin 2t =在π7π,33⎡⎤⎢⎣⎦内只有5π6，13π6两个解，即方程()12f x =在[]0,π上只有两个解，故C 错误；对于A ，当ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2π4ππ3π2,,33322x ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确.故选：ABD.关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变1ω，纵变A ”在解题中的应用.13．56先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．从中随机抽取2个球，所有的抽法共有246C =种，事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为222416C C =，故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于15166-=，故答案为56.本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，属于简单题.14．4求得焦点F 的坐标，直线l 的方程，与抛物线的方程联立，即可求出A 、B 两点坐标；由导数的几何意义，求得切线PA ，PB 的方程，求得交点P 的坐标，求得M ，N 的坐标，可得MN，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．解：抛物线2:4C x y =的焦点为()0,1F 且直线l 的倾斜角为 60 ，则 lk =所以直线l 方程为)10y x -=-，即1y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设A 在第一象限，联立2+1=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩ ，消去y 得2 40x --= 解得14x =、24x =，代入直线方程，则(4,7A ++、(4,7B -，因为直线1 l 与抛物线相切于点A ，即21 4y x =，则12y x '=，所以()1 1422l k == ，同理可得2 2l k = ，则可得直线 1 l 方程为()()724y x ⎡⎤-+=-⎣⎦ ，即 )27y x =--，则其与 x 轴交点，令)270x --= ，则2x =，所以)20M，，直线 2 l 的方程为()()724y x ⎡⎤--=-⎣⎦ ，即 )27y x =-+，则其与 x 轴交点，令)270x -+= ，则2x =，所以)20N-，，所以4MN =，联立1l 、2l的方程))=7=2y x y x ---⎧⎪⎨⎪⎩，解得=1x y -⎧⎪⎨⎪⎩ ，即P点坐标为()1-，1111422PFMN FMN PMN S S S MN MN MN =+=⨯⨯+⨯⨯== ．故答案为：4．15．94-化简函数的解析式，利用换元法，通过二次函数的最值的求解即可．解：f （x ）＝（x 2+x ）（x 2﹣5x +6）＝x （x +1）（x ﹣2）（x ﹣3）＝[x （x ﹣2）][（x +1）（x ﹣3）]＝（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x ﹣3），不妨令t ＝x 2﹣2x ≥﹣1，则()2393()24y t t t =-=--（t ≥﹣1），所以当32t =时，f （x ）的取最小值94-．故答案为94-本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．()5,+∞根据函数的对称性可求得m 的值，将问题转化为()1111g x x x x x =++-+-与y a =有6个不同交点的问题，通过分类讨论和导数的方式得到()g x 单调性和极值，进而确定()g x 的图象，采用数形结合的方式得到结果.()()11f m x m x x a f x m x x -=-+++-=- ，()f x \图象关于2m x =对称，又()f x 的六个零点之和为3，∴362m =，解得：1m =，()1111f x x x ax x ∴=++-+--，令()1111g x x x x x =++-+-，则()g x 与y a =有6个不同交点，()1111,1121121,11x x x g x x x x x ⎧++<<⎪⎪-∴=⎨⎪++->⎪-⎩；当112x <<时，()()()22221121011x g x x x x x -'=-+=>--，()g x ∴在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1x >时，()()()432222112421211x x x g x x x x x -+-'=--=--，()3204g '=> ，322029g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭又21y x =与()211y x =-在()1,+∞上单调递减，()'∴g x 在()1,+∞上单调递增，03,22x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，且当()01,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，152g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()0314523g x g ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，结合()gx 对称性可得其大致图象如下图所示：由图象可知：若()g x 与y a =有6个不同交点，则5a >，即实数a 的取值范围为()5,+∞.故答案为：()5,+∞.方法点睛：解决函数零点问题的基本方法：（1）直接法：求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）分离变量法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.17．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为1718.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为1318.试题解析：（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A ,则()11117133218P A =-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X =-=⨯⨯=,()2112023329P X ==⨯⨯⨯=,()2212103329P X ==⨯⨯=,()11112033218P X ==⨯⨯=,()21123023329P X ==⨯⨯⨯=,()2212403329P X ==⨯⨯=.随机变量X 的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=.18．(1)()32V x =-+，()0,30x ∈(2)当20cm x =时，包装盒的容积最大是3（1）设包装盒的高为(cm)h ，底面边长为(cm)a ，分别将,a h 用x 表示，求出函数的解析式，注明定义域即可．（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．（1）解：设包装盒的高为(cm)h ，底面边长为(cm)a ，则a =，)h x =-，030x <<，所以()2323230)V x a h x x ==-+=-+，()0,30x ∈；（2）解：由()32V x =-+，可得()(20)V x x '=-，当(0,20)x ∈时，()0V x '>；当(20,30)x ∈时，()0V x '<，所以函数()V x 在()0,20上递增，在()20,30上递减，∴当20x =时，()V x 取得极大值也是最大值：．所以当20cm x =时，包装盒的容积最大是3．19．(1)在(),1ln 2a -∞+上单调递减，在()1ln 2,a ++∞上单调递增(2)证明见解析（1）由导数分析单调性求解，（2）由导数分析单调性，及零点存在性定理证明．(1)()1e 2x f x ax-'=-，设()()1e 2x g x f x ax-'==-，则()1e 2x g x a-'=-.当0a >时，令()1e20x g x a -'=-=，则1ln 2x a =+，当(),1ln 2x a ∈-∞+时，()0g x '<，()f x '单调递减；当()1ln 2,x a ∈++∞时，()0g x '>，()f x '单调递增.所以()f x '在(),1ln 2a -∞+上单调递减，在()1ln 2,a ++∞上单调递增.(2)证明：当1a =时，()12e x f x x -=-，()1e 2x f x x -'=-，由（1）可知()f x '的最小值为()1ln 2f '+，而()1ln 22ln 20f '+=-<，又()100e f '=>，由函数零点存在定理可得存在()10,1ln 2x ∈+使得()10f x '=，又()f x '在(),1ln 2-∞+上单调递减，所以当()1,x x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()1,1ln 2x x a ∈+时，()0f x '<，故1x 为()f x 的极大值点，又()f x '在()1ln 2,++∞上单调递增，故()f x 在()1ln 2,++∞上不存在极大值点，所以()f x 存在唯一的极大值点1x ，20．（1）2132n n a -=-；（2）详见解析（1）由1123n n n a a a +-=-，得1112n n n n a a a a +--=-，根据等比数列通项公式得1112n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据累加法得答案；（2）根据等比数列求和即可得证.即（1）因为11a =，22a =，1123n n n a a a +-=-，所以()11122n n n n a a n a a +--=≥-，211a a -=，所以1112n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2n ≥，所以1123021111112131222212n n n n n a a -----=++++=+=-- .而11a =也符合该式，故2132n n a -=-.（2）212n n b -=，1121124141212nn i n i b =⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-∑21．(1)距离最大值为2380x y ++=；(2)AOB 面积的最小值为4，此时直线方程为240x y ++=；（1）求出直线恒过定点M ，由两点间距离公式即可求出最大值，由两条直线垂直的充要条件求出直线的斜率，即可得到直线方程；（2）设直线的方程为2(1)y k x +=+，0k <，求出||OA ，||OB ，利用三角形的面积公式结合基本不等式求解最小值，从而求出此时k 的值，得到直线方程．(1)解：直线方程为(2)(21)340m x m y m -++++=，其中m R ∈，即(23)(24)0m x y x y -+++++=，令230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，故直线经过定点(1,2)M --，当m 变化时，点(3,4)Q此时，QM 和直线垂直，所以直线的斜率为11242331QMk -=-=-++，即22213m m -=-+，解得47=m ，此时直线的方程为2380x y ++=；(2)解：因为直线经过定点(1,2)M --，设直线方程为2(1)y k x +=+，0k <，令0x =则2y k =-，令0y =，则21x k =-，所以2|||1|OA k =-，|||2|OB k =-，所以21121(2)|||||1||2|222AOBk S OA OB k k k-=⋅⋅=--=- ，因为0k <，则21(2)141[]()4]4)4222AOBk S k k k -=⋅-=-+-+⨯+= ，当且仅当4k k -=-，即2k =-时取等号，所以AOB 面积的最小值为4，此时直线的方程为22(1)y x +=-+，即240x y ++=．22．(1)极小值为13ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值(2)见解析（1）由导数得出单调性进而得出极值；（2）由导数得出()g x 在()0,∞+上单调递增，讨论①1a b < ，②01a b << 两种情况，利用导数证明即可.(1)2(21)(1)()(0)x x f x x x -+'=>1()02f x x '>⇒>；1()002f x x <⇒<<'即函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增所以()f x 的极小值为13ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)221()ln 1,()ln 21,()x g x x x x g x x x g x x-'''=-+-=-+-=1()02g x x ''>⇒>；1()002g x x ''<⇒<<即函数()g x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即1()ln 202g x g ⎛⎫''=> ⎪⎝⎭ 所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增不妨设a b <，则①1a b < ，②01a b<<对于①1a b < ，因为函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()(1)0g b g a g >= 所以()()0g a g b +>对于②01a b << ，由1ab >得，1a b >，故()1g a g b ⎛⎫> ⎪⎝⎭111()()()ln g a g b g g b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+=-+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由01a b << 知，10b b-+<设1()ln ,(1)x x x x x ϕ=-+>，则()222111()1x x x x x x ϕ--+'=--=而22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'<，即函数1()ln ,(1)x x x x x ϕ=-+>是单调减函数()(1)0,(1)x g x ϕ<=>，故111()ln 0g g b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-+> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()0g a g b +>综上，当1ab >时，()()0g a g b +>.关键点睛：对于②，在证明()()0g a g b +>时，关键是利用()1g a g b ⎛⎫> ⎪⎝⎭将双变量变为单变量问题，再利用导数证明不等式()()0g a g b +>.。

2017-2018学年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件=0.则y关于x的函数的图象形状大致是（）4.（单选题.5分）若实数x.y满足|x|-ln 1yA.B.C.D.5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-26.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π67.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.118.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24 C. 14D.09.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1) D. (3π4，2)10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（）A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥211.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（）A.128B.144C.155D.164 12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD 中.底面ABCD 是边长为2的正方形.侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形.若 2√2≤SC ≤4 .则四棱锥S-ABCD 的体积取值范围为___ ． 16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P 作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC 的面积的最大值为___ ．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.9918.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动.求平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n+2.数列{b n}满足b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1：{x=2t 2+2y=t2−1（t为参数）．以坐标原点O 为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系.若相交.求出弦长．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【正确答案】：A【解析】：把已知等式变形.利用复数代数形式的乘除运算化简求得z.再由共轭复数的概念得答案．【解答】：解：由（1-i）z=2i.得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i .∴ z=−1−i .故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN【正确答案】：D【解析】：根据几何概型的概率公式.即可以进行估计.得到结论．【解答】：解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2. 根据几何概型的概率公式可以得到 π×122×2=mN .即 π=4m N . 故选：D ．【点评】：本题主要考查几何概型的应用.根据几何概型的概率公式.进行估计是解决本题的关键.比较基础．3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据对数函数的图象和性质.解对数不等式.利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：当“（m-1）（a-1）＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {m ＜1a ＜1.此时log a m 可能无意义.故“log a m ＞0”不一定成立.而当“log a m ＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {0＜m ＜10＜a ＜1.“（m-1）（a-1）＞0”成立. 故“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个必要不充分条件.故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据对数的性质是解决本题的关键.比较基础．4.（单选题.5分）若实数x.y 满足|x|-ln 1y =0.则y 关于x 的函数的图象形状大致是（） A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由条件可得 y= 1e|x| .显然定义域为R.且过点（0.1）.当x＞0时.y= 1e x.是减函数.从而得出结论【解答】：解：若变量x.y满足|x|-ln 1y=0.则得 y= 1e|x|.显然定义域为R.且过点（0.1）.故排除C、D．再由当x＞0时.y= 1e x.是减函数.故排除A.故选：B．【点评】：本题主要考查指数式与对数式的互化.指数函数的图象和性质的综合应用.以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题.属于中档题．5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：A【解析】：根据（1-2x）5展开式的通项公式.写出（2+ax）（1-2x）5的展开式中含x2项的系数.列方程求出a的值．【解答】：解：（1-2x）5展开式的通项公式为T r+1= C5r•（-2x）r.∴（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为2×C52(−2)2+aC51(−2)=70 .解得a=1．故选：A．【点评】：本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题.是基础题．6.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π6【正确答案】：C【解析】：作出几何体的直观图.得出外接球的半径.代入体积公式计算得出答案．【解答】：解：几何体为三棱锥.直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD.是长方体的一部分.三度为：2.1.3.棱锥的外接球就是长方体的外接球.球的直径为：√22+12+32 = √14 .∴外接球半径R= √142．∴外接球的体积V= 43π×(√142)3= 7√14π3．故选：C．【点评】：本题考查了棱锥的三视图.棱锥与外接球的位置关系.体积公式.属于中档题．7.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.11【正确答案】：B【解析】：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10.联立方程求得b1和d.进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1-a1.最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】：解：依题意可知{b1+2d=−2b1+9d=12求得b1=-6.d=2∵b n=a n+1-a n.∴b1+b2+…+b n=a n+1-a1.∴a8=b1+b2+…+b7+3= (−6+6)×72+3=3故选：B．【点评】：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24C. 14D.0 【正确答案】：D【解析】：设BD=x.可求AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.由cos∠ADC=-cos∠BDC .利用余弦定理可得x 的值.进而可求AD.AC 的值.由余弦定理可求cosA 的值．【解答】：解：设BD=x.则AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.易知：cos∠ADC=-cos∠BDC .由余弦定理可得：9x 2+2−(2−3x )22×√2×3x =- x 2+2−(2−x )22×√2×x . 解得：x= 13 .故：AD=1.AC=1.∴cosA= AD 2+AC 2−CD 22AD×AC =0．故选：D ．【点评】：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.考查了数形结合思想.属于基础题．9.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1)D. (3π4，2)【正确答案】：C【解析】：利用定积分求出a 的值.根据函数f （x ）的图象求出f （x ）的解析式.再利用三角函数的图象与性质求f （x- π4 ）+a 的对称中心．【解答】：解： a =2∫xdx 10 =2× 12 x 2 |01 =1. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的图象知.A=2. T 4 = π3 - π12 = π4 .∴T= 2πω =π.解得ω=2；又2× π12 +φ= π2 .解得φ= π3 ；∴f （x ）=2sin （2x+ π3 ）.∴f （x- π4 ）+a=2sin （2x- π6 ）+1；令2x- π6 =kπ.k∈Z .则x= π12 + kπ2 .k∈Z .当k=1时.x= 7π12 .∴f （x- π4 ）+a 的一个对称中心为（ 7π12 .1）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了定积分的计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（） A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥2【正确答案】：C【解析】：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y ．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．利用 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得P 坐标.代入双曲线方程.再利用重要不等式的性质即可得出结论．【解答】：解：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2a+2b.a-b ）．代入双曲线方程可得：(2a+2b )24 -（a-b ）2=1.化为ab= 14 ．∴ 14 =ab ≤(a+b 2)2 .化为：|a+b|≥1．故选：C ．【点评】：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、重要不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（）A.128B.144C.155D.164 【正确答案】：D【解析】：由图中锯齿形数列排列.发现规律：奇数项的第n 项可以表示成正整数的前n 项和的形式.偶数项构成以3为首项.公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式.即可得到S 16的值．【解答】：解：根据图中锯齿形数列的排列.发现a 1=1.a 3=3=1+2.a 5=6=1+2+3.....a 15=1+2+3+ (8)而a 2=3.a 4=4.a 6=5.….a 16=10.∴前16项的和S 16=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+8）]+（3+4+5+…+10）=（1×8+2×7+3×6+…+7×2+8×1）+(10+3)×82 =164故选：D ．【点评】：本题以杨辉三角为例.求锯齿形数列的前n 项和.着重考查了等差数列的通项与求和公式和归纳推理的一般方法等知识点.属于基础题．12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 【正确答案】：A【解析】：得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.这样令t=x 1x 2.t ＞0.容易求得函数t-lnt 的最小值为1.从而得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.解这个关于x 1+x 2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】：由f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0.从而（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.令t=x 1x 2.则由h （t ）=t-lnt 得.h′（t ）= t−1t. 可知.h （t ）在区间（0.1）上单调递减.在区间（1.+∞）上单调递增.∴h （t ）≥h （1）=1.∴（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.又x 1+x 2＞0.因此x 1+x 2≥√5−12成立．故选：A ．【点评】：本题考查了函数的单调性问题.考查导数的应用以及换元思想、转化思想.不等式的解法.属于中档题．13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：画出约束条件表示的可行域.判断目标函数z=2x+y 的位置.求出最大值．【解答】：解：作出实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4的可行域如图：目标函数z=2x+y 在 {y =4x −y +1=0的交点A （3.4）处取最大值为z=2×3+4=10．故答案为：10．【点评】：本题考查简单的线性规划的应用.正确画出可行域.判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．【正确答案】：[1] 725【解析】：根据向量的数量积运算和三角函数的化简即可求出答案．【解答】：解：∵| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴| OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|sin 2θ• OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ• OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=sin 4θ| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+cos 4θ| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2sin 2θcos 2θ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . =16sin 4θ+9cos 4θ.=16sin 4θ+9（1-sin 2θ）2=25sin 4θ-18sin 2θ+9=25（sin 2θ- 925 ）2+14425 . ∴当sin 2θ= 925 时.| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值. ∴sin （ π2+2θ ）=cos2θ=1-2sin 2θ=1-2× 925 = 725 .故答案为： 725【点评】：本题考查了向量的数量积运算和三角函数的化简求值.属于中档题15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD中.底面ABCD是边长为2的正方形.侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形.若2√2≤SC≤4 .则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [4√33，83]【解析】：由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2或SC=4时.四棱锥S-ABCD的高最小.当SA⊥平面ABCD.则四棱锥高最大.分别求出对应的高.则四棱锥S-ABCD的体积取值范围可求．【解答】：解：如图.由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2时.过S作SO⊥AB.垂足为O.连接AC.OC.设OA=x.在△OAC中.由余弦定理可得OC2=x2+8−4√2x×√22=x2−4x+8 .在Rt△SOA中.有OS2=SA2-x2=4-x2.在Rt△SOC中.有OS2+OC2=SC2.即4-x2+x2-4x+8=8.求得x=1．∴ OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；当SC=4时.可得∠BAS为钝角.同理求得OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；∴当SA⊥平面ABCD时. (V S−ABCD)max=13×4×2=83．∴四棱锥S-ABCD的体积取值范围为：[4√33，83]．故答案为：[4√33，83]．【点评】：本题考查棱锥体积的求法.考查空间想象能力与逻辑思维能力.是中档题．16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C为半圆的直径AB延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC的面积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】：解：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.∵AB=BC=2.∴C（3.0）.设P（x.y）.∵过动点P作半圆的切线PQ.PC= √2 PQ.∴ √(x−3)2+y2 = √2• √x2+y2−1 .整理.得x2+y2+6x-11=0.∴点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.∴当点P在直线x=-3上时.△PAC的面积的最大.∴（S△PAC）max= 1×4×2√5 =4 √5．2故答案为：4 √5．【点评】：本题考查三角形面积的最大值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意两点间距离公式的合理运用．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.99【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）].乘以500可得英语成绩特别优秀的人数；由频率分布直方图可得数学成绩特别优秀的概率.乘以500得数学成绩特别优秀的人数；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人.则X 的所有可能取值为0.1.2.3.求出概率.列出频率分布列.再由期望公式求期望．【解答】：解：（Ⅰ）英语成绩服从正态分布N （120.400）.则μ=120.σ=20. 则英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）]= 12×(1−0.68)=0.16 ．∴英语成绩特别优秀的人数为500×0.16=80人；数学成绩特别优秀的概率为P （X≥140）=0.008× 20×12=0.08 ． ∴数学成绩特别优秀的人数为500×0.08=40人；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人． X 的所有可能取值为0.1.2.3．P （X=0）= C 603C 903 = 17115874 ；P （X=1）= C 301C 602C 903 = 8851958 ；P （X=2）= C 302C 601C 903 = 4351958 ；P （X=3）= C 303C 903 = 2035874 ．X 的分布列为：数学期望值为EX=0× 5874 +1× 1958 +2× 1958 +3× 5874 =1．【点评】：本题考查了频率分布直方图.考查了正态分布的应用问题.考查了离散型随机变量的分布列与期望.是中档题．18.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE 为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动.求平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求解三角形可得BC⊥AC .由平面ACFE⊥平面ABCD.结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）建立空间坐标系.令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.根据坐标表示出两个平面的法向量.结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式.再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中.由∠ADC=120°.得∠ABC=60°. ∵AB || CD .设AD=DC=CB=1.∴AB=2.则AC 2=AB 2+BC 2-2AB•BC•cos60°=3. ∴AB 2=AC 2+BC 2.得BC⊥AC ．∵平面ACFE⊥平面ABCD.平面ACFE∩平面ABCD=AC. BC⊂平面ABCD. ∴BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA.CB.CF 为x 轴.y 轴.z 轴的如图所示空间直角坐标系. 令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.则A （ √3 .0.0）.B （0.1.0）.M （λ.0. √3 ）.E （ √3，0，√3 ）.D （ √32，−12，0 ）．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 .1.0）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（λ.-1. √3 ）. AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ −√32，−12，0 ）. AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，√3) ．设 m ⃗⃗ =（x.y.z ）为平面MAB 的一个法向量. 由 {m ⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗ •BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −y +√3z =0.取x=1.得 m ⃗⃗ =（1. √3 . 1−√33λ ）.设平面ADE 的一个法向量为 n ⃗ =（a.b.c ）.由 {n ⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a −12b =0n ⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3c =0.取b= √3 .得 n ⃗ =(−1，√3，0) .设平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ（0°＜θ＜90°）. 则cosθ= |m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ || = 22×√1+3+(1−√33λ)2=√3√(λ−√3)2+12．∵λ∈[0. √3 ].∴cosθ∈[ √55，12 ]．即平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围为[ √55，12 ]．【点评】：本题考查平面与平垂直的证明.考查空间想象能力和思维能力.训练了利用空间向量求二面角的余弦值.是中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n +2.数列{b n }满足b n =log 2a n（Ⅰ）求数列{a n }.{b n }的通项公式；（Ⅱ）求证：1b 12+1b 22+⋯+1b n2≤5n−14n【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用放缩法求出数列的和．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n. 都有a n+1=3S n+2.则：当n≥2时.a n=3S n-1+2整理得：a n+1-a n=3a n.即：a n+1a n=4（常数）.所以：a n=2•4n−1=22n−1．由于数列{b n}满足b n=log2a n.所以b n=2n-1．证明：（Ⅱ）由于b n=2n-1.所以：1b n2=1(2n−1)2＜1(2n−1)2−1= 14(1n−1−1n) .则：1b12+1b22+⋯+1b n2= 112+132+⋯+1(2n−1)2≤1+14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)] =1+ 14(1−1n) = 5n−14n．故：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.放缩法在数列求和中的应用．20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1.且A （-1.0）.B （1.0）是上半椭圆C 1的左右顶点.设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2-1.联立解得a.b 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）.由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）.代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0.设点P 的坐标为（x P .y P ）.由求根公式.得点P的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）.由 {y =k (x +1)y=x 2−1，y ≥0.得点Q的坐标为（k+1.k 2+2k ）.由假设可得BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即可得出k ．【解答】：解：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1. 且A （-1.0）.B （1.0）是下半椭圆C 1的左右顶点. 设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2. 可得a=2.所以a=2.b=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）. 由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）. 代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0. 设点P 的坐标为（x P .y P ）.因为直线l 过点A.所以x=-1是方程的一个根. 由求根公式.得x P = 4−k 24+k 2 .y P = 8k4+k 2 . 所以点P 的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. 同理.由 {y =k (x +1)y =x 2−1，y ≥0.得点Q 的坐标为（k+1.k 2+2k ）.所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 2k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（k.k 2+2k ）.假设存在直线l.使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点.可知BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- 2k 24+k 2 ）•k+ 8k 4+k 2 •（k 2+2k ）=0. 即-2k 3+8k 3+16k 2=0. 因为k≠0.解得k=- 83. 经检验.k=- 83 符合题意.故存在.且直线l的方程为y=- 83（x+1）．【点评】：本题考查了直线与椭圆、抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.求出h（x）的解析式.求出函数的导数.通过讨论a的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的最小值.求出a的值即可；（2）得到1+x≤e x.令x=- kn （n∈N*.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- kn≤ e−k n .得到(1−kn)n≤ e(−k n)n=-e-k.累加.通过放大不等式.证明即可．【解答】：解：（1）因为g′（x）=-ax-1.所以h（x）=e x-ax-1.由h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.即h（x）min≥0.由h′（x）=e x-a.（i）当a≤0时.h′（x）=e x-a＞0.h（x）的单调递增区间为R.所以x∈（-∞.0）时.h（x）＜h（0）=0.所以不满足题意．（ii）当a＞0时.由h′（x）=e x-a=0.得x=lna.x∈（-∞.lna）时.h′（x）＜0.x∈（lna.+∞）时.h′（x）＞0.所以h（x）在区间（-∞.lna）上单调递减.在区间（lna.+∞）上单调递增. 所以h（x）的最小值为h（lna）=a-alna-1．设φ（a）=a-alna-1.所以φ（a）≥0. ①因为φ′（a）=-lna.令φ′（a）=-lna=0.得a=1.所以φ（a ）在区间（0.1）上单调递增.在区间（1.+∞）上单调递减. 所以φ（a ）≤φ（1）=0. ② 由 ① ② 得φ（a ）=0.则a=1．（2）由（1）知e x -x-1≥0.即1+x≤e x . 令x=- kn （n∈N *.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- k n ≤ e −kn .所以 (1−k n )n ≤ e (−k n )n=-e -k .所以 ∑ni=1 (i n )n = (1n )n + (2n )n +…+ (n−1n )n + (n n )n≤e -（n-1）+e -（n-2）+…+e -2+e -1+1 =1−e −n 1−e −1 ＜ 11−e−1 =1+ 1e−1 ＜2. 所以 ∑n i=1 (i n )n＜2. 又 (13)3+ (23)3+ (33)3＞1. 所以m 的最小值为2．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用.是一道中档题．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．以坐标原点O为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系.若相交.求出弦长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用转换关系.把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．转换为直角坐标方程为：x-2y-4=0．（x≥2）．故该曲线表示一条射线．曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2-10x-6y+25=0.整理得：（x-5）2+（y-3）2=9.该曲线表示以（5.3）为圆心.3为半径的圆．（Ⅱ）由于该圆是以（5.3）为圆心.3为半径.所以与射线x-2y-4=0．（x≥2）有两个交点．圆心到射线的距离d=√12+22=√5 .所以弦长l=2 √32−(√5)2 =4．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求得|x+2|+|x-3|＞8.然后分类讨论去绝对值号.求解即可得到答案．（Ⅱ）由关于x的不等式f（x）≥2.得到|x+2|+|x-3|≥m+e2．因为已知解集是R.根据绝对值不等式可得到|x+2|+|x-3|≥5.令m+e2≤5.求解即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设知：当m=8时：|x+2|+|x-3|＞8.不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x≥3x+2+x−3＞8.或{−2＜x＜3x+2+3−x＞8.或{x≤−2−x−2−x+3＞8.解得函数f（x）的定义域为（-∞.-7）∪（9.+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+2|+|x-3|≥m+e2.∵x∈R时.恒有|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5.∴不等式|x+2|+|x-3|≥m+e2解集是R.等价于m+e2≤5.∴m的取值范围是（-∞.5-e2]．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的应用问题.题中涉及到分类讨论的思想.考查学生的灵活应用能力.属于中档题目．。

山东省青岛市胶州第二中学高三数学文期末试题含解析

山东省青岛市胶州第二中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，O为抛物线的顶点。

则△ABO是一个 ( )A.等边三角形；B.直角三角形；C.不等边锐角三角形；D.钝角三角形参考答案：D略2. （本小题满分14分）已知函数f(x)=x2e-ax(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.参考答案：解∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2x e-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.（4分）①当0<<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数,∴f（x）max=f（1）=e-a.（ 6分）②当1≤≤2,即1≤a≤2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，∴f(x)max=f=4a-2e-2. （10分）③当>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f（x）max=f（2）=4e-2a .综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e-2a ,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a>2时，f(x)的最大值为e-a. （ 14分）略3. 已知命题，命题,则( )A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题参考答案：C略4. 设M=（﹣1）（﹣1）（﹣1），且a+b+c=1，（a、b、c∈R+），则M的取值范围是( )A．[0，] B．[，1] C．[1，8] D．[8，+∞）参考答案：D【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将M中，，的分子1用a+b+c表示；通分，利用基本不等式求出M的范围．【解答】解：M=（﹣1）（﹣1）（﹣1）=（﹣1）（﹣1）（﹣1）=≥=8．故选D．【点评】本题考查等量代换的方法、考查利用基本不等式求函数最值需满足的条件：一正、二定、三相等．5. 若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所9+12示，则它的体积是A. 27+12πB.C. 27+3πD. 54+3π参考答案：C略6. 已知平面向量，，且，则的值为（）A.－3B.-1C.1D.3参考答案：C7. 若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ( )A．7 B． 8 C．15 D．16参考答案：C8. 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：① 若，，点，则与不共面；② 若、是异面直线，，，且，，则；③ 若，，，则；④ 若，，，，，则，其中为真命题的是A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③参考答案：C9. 若多项式，则A．26 B．23C．27 D．29参考答案：D易知：，因此选D。

山东省青岛二中2019届高三上学期第二学段模块(期末)考试数学(文)试题(pdf版)

青岛二中 2018-2019 学年第二学段模块考试
高三数学（文科）试题
命题人：高三数学备课组
满分：150 分时间：120 分钟
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 M {0,1,2} ， N {x | x2 3x 0}，则下列结论正确的是( )
A．3 + 3
B．3 + 3
C． + 3
D． + 3
高三数学（文科）试题第 1页（共 6页）
11．已知函数 f (x) 2 sin(x )( 0) 的图象的相邻最高点间的距离为，设 f (x) 的图象向左平 4

移个单位后得到 g(x) 的图象，则函数 g(x) 在[0, ]上的值域为（）
4.容量为 100 的样本，其数据分布在
，将样本数据分为 4 组： ᚪ ，ᚪ ὎ ，
὎，
，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（）
A．样本数据分布在 ᚪ ὎ 的频率为 0.32 B．样本数据分布在 ὎ 的频数为 40 C．样本数据分布在 ὎ 的频数为 40 D．估计总体数据大约有 10%分布在 ὎
(Ⅱ)已知在被调查的女生中有 5 名外语 MT 的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这 5 名学生中随机抽取 2 人，求 2 人都对冰球有兴趣的概率．附表：
὎
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
὎
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
٘ᚪ ٘ ٘+ ٘+ᚪ ٘+٘ +ᚪ

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山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试文科数学试卷
第I 卷（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合}0|{)},1(log |{22>=-==x x B x y x A ，则=B A （） A ．)1,0( B ．]1,0( C ．)1,(-∞ D ．)1,0()0,( -∞ 2．已知复数z 满足i z i 34)21(+=+，则z 的共轭复数是（） A ．i -2 B ．i +2 C ．i 21+ D ．i 21- 3．已知实数4,,,,1--z y x 成等比数列，则=xyz （） A ．8- B ．8± C ．22- D ．22±
4．已知31
)4tan(=
-
π
α，则α2sin 等于（）
A ．32
B ．31
C ．54
D ．5
2
5．设n m l ,,表示不同的直线，γβα,,表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（）
①若l m //，且α⊥m ，则α⊥l ； ②若l m //，且α//m ，则α//l ；
③若n m l ===αγγββα ,,，则n m l ////； ④若n l m ===αγγββα ,,，且β//n ，则m l //． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
7．定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，
f )
时，)(x f 的最小值为（） A ．81-
B ．41-
C ．0
D ．4
1 8．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x
的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点
为b ，则下列不等式成立的是（）
A ．)()()1(b f a f f <<
B ．)1()()(f b f a f <<
C ．)()1()(b f f a f <<
D ．)()1()(a f f b f <<
9．已知不等式x
x a
y y 22|||4|+
≤-+对任意实数y x ,都成立，则常数a 的最小值为（） A ． B ．2 C ．3 D ．4
10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π9，则=p （） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
第II 卷（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．如右图，某几何体的三视图均为边长为的正方形，则该几何体的体积是_________________．
12．已知)1,2(=→a ，)3,1(-=→b ，若→→→+=b a c 2，→
→→-=b x a d 2，且→
→
⊥d c ，则=x ．
13．已知点P 的坐标),(y x 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，过点P 的直线与圆14:2
2=+y x C 相交于B A ,两点，
则||AB 的最小值为__________________． 14．函数ax x x x f -+=
23
3
1)(在区间),1(+∞上单调递增，且在区间)2,1(上有零点，则实数a 的取值范围是___________________．
15．设21,F F 是双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的两个焦点，P 是曲线C 上一点，若
a PF PF 6||||21=+，21F PF ∆的最小内角为︒30，则曲线C 的离心率为．
三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．(本小题满分12分)
某市有,,M N S 三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36,24,12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查．（Ⅰ）求应从,,M N S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数；
（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．
正视图侧视图
俯视图
17．(本小题满分12分)
已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x π
ππ⎡⎤
=+
∈⎢⎥⎣⎦
．设x α=时()f x 取到最大值．（I ）求()f x 的最大值及α的值；
（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12
A π
α=-，且2sin sin sin B C A =，
求b c -的值．
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥ABCD P -中⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示．（I ）证明：⊥BC 平面PBD ；（II ）证明：//AM 平面PBC ；
（III
-
19．(本小题满分12分)
已知数列}{n a 中，t a =1（为非负常数），数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足n n S S 31=+ （I ）当1=t 时，求数列}{n a 的通项公式；（II ）若n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
20．(本小题满分13分)
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x M 的离心率为32
2，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周
长为246+．
（I ）求椭圆M 的方程；
（II ）设直线与椭圆M 交于A ，B 两点（A ，B 不是顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，证明这样的直线恒过定点，并求出该点坐标．
P M A B
C
D
4
侧（左）视图
21．(本小题满分14分)
已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （I ）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（II ）求函数)(x f 单调递增区间；
（III ）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
参考答案：
-=
0.
b c
19．解析：（1）解法1：由n n S S 31=+，可知数列}{n S 是首项为，公比为3的等比数列，所以
综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e
a ∈∞+．。