高三数学第一轮复习第五次阶段性过关考试试题 理
2024届山东省郓城一中高三第五次诊断考试数学试题试卷
2024届山东省郓城一中高三第五次诊断考试数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．二项式22()nx x+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．3603．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N5．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 6．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ）A ．-3B ．-1C ．3D ．08．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 10．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三数学下学期第五次模拟考试 理(含解析)
2021年高三数学下学期第五次模拟考试 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. i 是虚数单位，＝( )．A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 【答案】C 【解析】。
2. 已知集合,则“”是“”的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为集合,若，则，所以“”是“”的充分不必要条件。
3若函数则的值域是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】()()()sin 3cos 10sin ,tan 3f x x x x ϕϕ=+=+=其中，所以函数则的值域是。
4. 已知函数f (x )＝|ln x |，若 >a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )比较大小关系正确的是( )． A ．f (c )>f (b )>f (a ) B ．f (b )>f (c )>f (a ) C ．f (c )>f (a )>f (b ) D ．f (b )>f (a )>f (c ) 【答案】C【解析】因为 >a >b >1，所以f (b )< f (a )<f (),又，所以f (c )>f (a )>f (b )。
5．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域，由平面区域知：目标函数过点（k,k ）时，z 取最大值6，所以6=k+k,即k=3,；又目标函数过点（-2k,k ）时即点（-6,3），z 取最小值，所以z 的最小值为-6+3=-3.6. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－××3×42＝100(cm3)．故选B.7．已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为（）Ａ． B．Ｃ． D．【答案】A【解析】依题意，,所以，因为,所以，所以，选A.8. 已知P为双曲线C：＝1上的点，点M满足| |＝1，且·＝0，则当取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为( )A. B. C．4 D．5【答案】B【解析】因为点M满足| |＝1，所以点M的轨迹为以原点为圆心，1为半径的单位圆。
2021-2022年高三数学下学期第五次单元过关测试试题理
2021-2022年高三数学下学期第五次单元过关测试试题理一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则集合A．B．C．D．2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设，“，，为等比数列”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.以下四个结论，正确的是①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和是1；③在回归直线方程中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2个单位；④对于两个分类变量X与Y，求出其统计量的观测值k，观测值k越大，我们认为“X 与Y有关系”的把握程度就越大.A.①④B.②③C.①③D.②④5.设实数满足：3432y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩，则的最大值为A. B. C.4 D.26.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有A.140种B.80种C.70种D.35种7.在中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足，若(),AN AB AC R λμλμ=+∈，则的值为A. B. C. D.18.已知定义在R 上的函数为偶函数，记()()22,log 5a f b f =-=，的大小关系为A. B. C. D.9.已知定义在R 上的函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则使是减函数的区间为A. B. C. D.10.定义在上的函数，满足，且当时，，若函数()()1g x f x ax ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上有零点，则实数a 的取值范围是A. B. C. D.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知（，2,3，…，），观察下列不等式：；；1234412344a a a a a a a a +++≥； ……照此规律，当（）时， ． 12.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ．(参考数据：，sinl5°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)13.不等式的解集为 ．第12题图14．一个三棱锥的三视图如右图所示，则其外接球的体积是 ．15.已知椭圆C 1：与双曲线C 2：有公共的焦点，双曲线C 2的一条渐近线与以椭圆C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，与椭圆C 1交于M 、N 两点，若，则椭圆C 1的标准方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且(I)求角B 的大小，(Ⅱ)设))22cos(,2(),1,cos (sin A A A -=+=π，求的取值范围．17．(本小题满分12分)某大学有甲、乙两个校区．从甲校区到乙校区有A 、B 两条道路．已知开车走道路A 遭遇堵车的概率为；开车走道路B 遭遇堵车的概率为p ．现有张、王、李三位教授各自开车从甲校区到乙校区给学生上课，张教授、王教授走道路A ，李教授走道路B ，且他们是否遭遇堵车相互之间没有影响．若三人中恰有一人遭遇堵车的概率为．求(I)走道路B 遭遇堵车的概率p ；(Ⅱ)三人中遭遇堵车的人数X 的概率分布列和数学期望．18.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ，AC 、BD 交于点O ．(I)求证：FC//平面EAD ；(II)求证：AC ⊥平面BDEF ．(III)求二面角F —AB —C(锐角)的余弦值．19．(本小题满分12分)知数列的前n 项和为，且满足，数列为等差数列，且满足．(I)求数列，的通项公式；(II)令，关于k 的不等式()40971100,k c k k N *≥≤≤∈的解集为M ，求所有的和S ．20．(本小题茹分郴分)设()()()1,ln 2.71828x a f x e x g x a x e x -⎛⎫=-==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭．(I)当时，讨论函数的单调性；(II)求证：当时，不等式对任意都成立．21．(本小题满分14分)如图，已知线段AE，BF为抛物线的两条弦，点E、F不重合．函数的图象所恒过的定点为抛物线C的焦点．(I)求抛物线C的方程；(Ⅱ)已知，直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧．①问直线EF的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②求的取值范围．数学理答案@35410。
高三数学一轮复习 45分钟滚动基础训练卷5江苏专 试题
卜人入州八九几市潮王学校45分钟滚动根底训练卷(五)[考察范围：第17讲～第21讲分值：100分]一、填空题(本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．sin585°的值是________．2．函数f(x)＝sin x cos x＋最小值是________．3．假设cosα＝，那么的值是________．4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为________．5．假设函数y＝a sin x＋b(x∈R)的最大值和最小值分别为4和0，那么实数a＝________，b＝________.6．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，那么a，b，c的大小关系为________(用“<〞连接)．7．[2021·一模]假设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(x∈R)满足f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，那么正数ω的值是________．8．[2021·统考]矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝a sin ax(a∈R，a≠0)的一个完好周期图象，那么当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为________．二、解答题(本大题一一共4小题，每一小题15分，一共60分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)9．sinα＝，α是第二象限角，(1)求tanα的值；(2)求cos＋cos(3π＋α)的值．10．函数y＝2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法〞作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.(1)假设coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，假设函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的间隔等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．12．假设函数f(x)＝－sin(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的间隔为.(1)求m和a的值；(2)假设点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．45分钟滚动根底训练卷(五)1．－[解析]sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.2．0[解析]∵f(x)＝sin2x＋，∴f(x)min＝0.3.[解析]原式＝＝cosα＝.4．y＝sin[解析]将原函数图象向右平移个单位长度，得y＝sin，再压缩横坐标得y＝sin.5．2或者－22[解析]由于－1≤sin x≤1，所以当a>0时有解得a＝2，b＝2；当a<0时有解得a＝－2，b＝2.6．b<a<c[解析]c>tan＝1，b＝cos，a＝sin＝sinπ，故b<a<c.7．1[解析]因为f(x)＝2sin，由条件可知周期为T＝4×＝2π，从而ω＝＝1.8．8[解析]如下列图，设矩形ABCD的周长为c，⇒c＝2(AB＋AD)＝4|a|＋≥8.(当且仅当a＝±时取“＝〞号)．9．[解答](1)因为sinα＝，α是第二象限角，所以cosα＝－，从而tanα＝－.(2)cos＋cos＝sinα－cosα＝.10．[解答](1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.(2)令X＝2x＋，那么y＝2sin＝2sin X.列表，并描点画出图象：上的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．方法二：将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象．[点评]“变量变化〞与“图象变化〞的关系：当x→x＋φ时，假设φ>0，那么向左移|φ|个单位；假设φ<0，那么向右移|φ|个单位．当y→y＋m时，假设m>0，那么向下移|m|个单位；假设m<0，那么向上移|m|个单位．当x→ωx(ω>0)时，那么其横坐标变为原来的.当y→ky(k>0)时，其纵坐标变为原来的.要注意体会其“相反〞的变化过程，把握其本质．11．[解答]方法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，即cos＝0，又|φ|＜，∴φ＝.(2)由(1)得f(x)＝sin，依题意，＝.又T＝，ω>0，故ω＝3，∴f(x)＝sin.函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin，∵g(x)是偶函数，∴3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)得，f(x)＝sin，依题意，＝.又T＝，ω>0，故ω＝3，∴f(x)＝sin.函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin，而g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，即sin＝sin对x∈R恒成立，∴sin(－3x)cos3m＋＋cos(－3x)sin3m＋＝sin3x cos3m＋＋cos3x sin3m＋，即2sin3x cos3m＋＝0对x∈R恒成立，∴cos＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.12．[解答](1)由题意知m为f(x)的最大值或者最小值，∴m＝－或者m＝，由题意知函数f(x)的最小正周期为，且a>0，∴a＝2，∴m＝－或者m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝－sin＋，∴令sin＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)．由0≤－≤(k∈Z)，得k＝1或者k＝2，因此点A的坐标为或者.。
高三数学一轮复习材料05不等式 试题
第六章不等式创作人：历恰面日期：2020年1月1日6.1 不等式6.2 不等式的性质二、主要内容1．纯熟掌握实数比拟大小的根据：2．能利用上述比拟大小的根据，将比拟大小的问题转化为研究二数(或者式)的差的符号问题．3．能系统地掌握不等式的性质，熟悉性质定理的证明方法．4．通过定理的证明的学习和性质的运用，培养逻辑推理论证的才能．三、学习指导1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是部分的，相对的，不等是普遍的，绝对的。
因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的根底上，有必要对这一部分知识进展归纳、小结、完善。
就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着亲密的联络，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。
由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的根底知识。
按照不同的分类HY 可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。
对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式〞，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式〞，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。
不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。
2．不等式的性质包含一个公理、三个根本性质及三个运算性质，还有一些推论：（1）一个公理：a <=> b ⇔ a-b <=> 0这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比拟的根据。
根据这个公理，得到比拟两个数〔或者式〕大小的一种重要方法——比拟法。
〔2〕三个根本性质： ① a>b ⇔b<a② a>b ，b>c ⇒a>c③ a>b ⇔a+c>b+c在传递性中，称a>b ，b>c ⇒a>c ，从左向右是缩小；称a<b ，b<c ⇒a<c ，从左向右放大。
高三数学第五次模拟考试试题含解析 试题
2021届高三数学第五次模拟考试试题〔含解析〕本套试卷一共6页，22题.全卷满分是150分.考试用时120分钟.考前须知：1.在答题之前，先将本人的姓名、考号等填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置.2.选择题的答题：选出每一小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的答题：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.在考试完毕之后一定时间是后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频.一、单项选择题(此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的) 1.复数z 满足()14i z i -⋅=，那么z =〔 〕 B. 2C. D. 8【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的除法运算先求出z ，再根据复数的模长公式求出z ．【详解】解：∵()14i z i -⋅=，，∴41iz i =-()()()4111i i i i +=-+22i =-+，∴z =.应选：D ．【点睛】此题主要考察复数的代数形式的除法运算，考察复数的模，属于根底题． 2.集合{}20A x x x =-<，{|1B x x =>或者0}x <，那么〔 〕 A. B A ⊆B. A B ⊆C. AB R =D.A B =∅【答案】D 【解析】 【分析】解不等式对集合进展化简，即可求出两集合的关系.【详解】解：解不等式20x x -<得01x <<，那么{}01A x x =<<. 因为{|1B x x =>或者0}x <，所以A B =∅，应选:D.【点睛】此题考察了一元二次不等式的求解，考察了两集合间的关系. 3.0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===那么〔 〕 A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性,将a b c 、、与0、1比拟,即可得出答案. 【详解】因为3log y x =在(0,)+∞上单调递增, 所以33log 0.2log 10a =<=,因为0.2log y x =在(0,)+∞上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21b =<=<=, 因为10xy =在R 上单调递增, 所以0.1010101c =>=, 所以a b c <<. 应选：A【点睛】此题考察指数与指数函数和对数与对数函数.属于根底题.本类题型一般都是将所需比拟的数与0、1比拟大小,纯熟掌握指数函数与对数函数的单调性是解此题的关键. 4.()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为〔 〕 A. 2 B. 2- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】由题意转化条件得()()()()3331111x x x x x -+=+-+，再由二项式定理写出()31x +的通项公式，分别令3r =、2r，求和即可得解.【详解】由题意()()()()3331111x x x x x -+=+-+，()31x +的通项公式为31331r rr r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，令3r =，那么3331rC C ==； 令2r，那么2333r C C ==；所以()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为132-=-. 应选：B.【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了运算求解才能，属于根底题.5.函数()f x 与()32sin 12x g x xπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=的图象关于y 轴对称，那么函数()f x 的局部图象大致为〔 〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式对()g x 化简，结合两函数图象的关系可求出()2cos 1x f x x+=，通过求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f π即可排除错误答案. 【详解】解：()32sin 12cos 12x x g x x xπ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==，因为()f x 与()g x 图象关于y 轴对称， 那么()()2cos 12cos 1,0x x f x x x x---+==≠-，2cos122022f ππππ+⎛⎫==> ⎪⎝⎭，排除C ，2cos 122022f ππππ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-==-< ⎪⎝⎭-，排除B ， ()2cos 110f ππππ+==-<，排除A ，应选:D.【点睛】此题考察了诱导公式，考察了函数图象的变换，考察了函数图象的选择.此题的关键是求出()f x 的解析式.6.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在?九章算术注?中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，那么与圆合体，而无所失矣〞.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如下图)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为〔 〕(π取近似值3.14)A. 0.012【答案】B 【解析】 【分析】根据题意圆内接正120边形其等分成120个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为3︒,根据等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3°的近似值.【详解】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,那么其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈, 应选：B【点睛】此题考察三角形与圆的面积公式,属于根底题.解本类题型需认真审题，读懂题意找到等式是关键.7.函数())31f x x gx =+，假设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()12020110,110f a f a -=--=，那么2020=S 〔 〕A. 4040-B. 0C. 2021D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】结合对数的运算性质，对()f x -进展整理可得()f x 为奇函数，从而可知120202a a +=，代入等差数列的求和公式即可求出2020S 的值.【详解】解：因为())31f x x gx =+定义域为R ，关于原点对称，且()())331f x x g x x -=-+=-+)()31x gx f x =--=-，所以()f x 为奇函数，由()()()120202020111f a f a f a -=--=-得，1202011a a -=-，所以120202a a +=， 因为{}n a 为等差数列，所以()1202020202020=20202a a S +=，应选:C.【点睛】此题考察了对数的运算，考察了函数的奇偶性的判断，考察了等差数列的求和公式.此题的关键是求出120202a a +=.8.在四面体ABCD 中2,90BC CD BD AB ABC ====∠=，，二面角A BC D --的平面角为150°，那么四面体ABCD 外接球的外表积为〔 〕 A.π313B.1243π C. 31π D. 124π【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，利用球心到,,,A B C D 间隔 等于半径求出球心坐标，从而求出球体半径，即可求出球体的外表积.【详解】解：取BD 中点E 为坐标系原点，过点E 作垂直于平面BCD 的直线为z 轴，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，如以下图所示.由条件可得：()1,0,0B ，()1,0,0C -，()3,0D ，()1,3,1A -. 设四面体ABCD 外接球的球心为,,O x y z ，由OA OB OC OD ===得：()()()()2222221311x y z x y z -+++-=-++ ()2221x y z =+++ ()2223x y z =+-+解得：0333x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，那么球心30,,33O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. ∴四面体ABCD 外接球的半径()222331133133R OA ⎛⎫==+++-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以四面体ABCD 外接球的外表积2311244433S R πππ==⨯=. 应选：B .【点睛】此题考察三棱锥外接球外表积，关键是建立空间直角坐标系求出各顶点坐标，属于中档题.二、多项选择题(此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的选项里面，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分) 9.在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐明晰——恢复经济正常运行.国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进展调查，调查结果如下图，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 0.384x =B. 从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为C. 不到80名职工倾向于继续申请休假D. 倾向于复工后在家办公或者在公司办公的职工超过986名 【答案】BD 【解析】【分析】根据扇形图中的比例关系依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A ，100 5.117.842.334.8x =---=，A 错误；对于B ，倾向于在家办公的人员占比为17.8%，故对应概率为0.178，B 正确； 对于C ，倾向于继续申请休假人数为1644 5.1%84⨯≈人，C 错误；对于D ，倾向于在家办公或者在公司办公的职工人数为()164417.8%42.3%988⨯+≈人，D 正确.应选：BD .【点睛】此题考察根据扇形图进展相关命题的辨析的问题，涉及到比例和频数的计算等知识，属于根底题.10.向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数，且()//a b c -，以下说法正确的是〔 〕A. a 与b 的夹角为钝角B. 向量a 在bC. 24m n +=D. mn 的最大值为2【答案】CD 【解析】 【分析】利用a b ⋅的符号即可判断选项A ；根据投影的概念即可判断选项B ；根据两平行向量的坐标关系即可判断选项C ；结合根本不等式即可判断选项D.【详解】由题意知，10a b ⋅=>，所以a 与b 的夹角为锐角，应选项A 错误；向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅==B 错误；()1,2a b -=，因为()//a b c -，,m n 均为正数，所以c 为非零向量， 且24,24n m m n -=-+=，应选项C 正确；由根本不等式知，42m n =+≥2mn ≤，当且仅当22m n ==时取等号， 故mn 的最大值为2，应选项D 正确. 应选：CD【点睛】此题主要考察两平面向量的夹角及投影的概念，考察两向量平行的坐标关系及利用根本不等式求最值问题，属于根底题.11.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，假设PQ PF -的最小值为6-，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 椭圆C 的焦距为2B. 椭圆CC. PQ PF +的最小值为D. 过点F 的圆E 的切线斜率为【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可求得a 的值，再由圆的几何性质结合椭圆的定义以及条件可求得c 的值，进而可判断出A 、B 选项的正误；利用圆的几何性质可判断C 选项的正误；设出切线方程，利用圆心到切线的间隔 等于半径可求得切线的斜率，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，那么24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-， 所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=，当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点一共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 那么()()()222134031625EF c c =-++-=-+=，02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；椭圆C 的短轴长为222223b a c =-=，B 选项错误；()()222231402422PQ PF PE PF EF +≥+-≥-=--+-=，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点一共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；假设所求切线的斜率不存在，那么直线方程为1x =，圆心E 到该直线的间隔 为3142--=>，那么直线1x =与圆E 相离，不符合题意；假设所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，由题意可得223441211k k k k k ---+==++，整理得23830k k ++=，解得473k -±=.D 选项正确. 应选：AD.【点睛】此题考察利用椭圆的定义解决焦半径与椭圆上的点到圆上的点的间隔 和与差的最值问题，同时也考察了过圆外一点引圆的切线问题，考察数形结合思想的应用，属于中等题. 12.函数()=cos sin f x x x -，那么以下结论中，正确的有〔 〕 A. π是()f x 的最小正周期 B. ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C. ()f x 的图象的对称轴为直线()4x k k Z ππ=+∈D. ()f x 的值域为[]0,1 【答案】BD 【解析】 【分析】由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期， 当[0,]4x π∈时，化简()f x 并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数()f x 的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.【详解】由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期， 当[0,]4x π∈时，()cos sin 2sin()4f x x x x π=-=--，画出()f x 的图象如下图：由图知，()f x 的最小正周期是2π，A 错误； ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；()f x 的图象的对称轴为(),4k x k Z π=∈，C 错误； ()f x 的值域为[]0,1，D 正确.应选：BD.【点睛】此题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.三、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设曲线()ln f x x x x =+在点()()11f ，处的切线与直线240x ay +-=平行，那么a =_________.【答案】1- 【解析】 【分析】求出函数()f x 在1x =处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式,得出答案.【详解】因为()ln f x x x x =+. 所以()ln 11ln 2f x x x '=++=+, 所以 (1)2f '=.因为曲线()ln f x x x x =+在点()()11f ，处的切线与直线240x ay +-=平行, 即221a a=-⇒=-. 故答案为:1-.【点睛】此题考察函数的导函数的几何意义,属于根底题.解本提出的关键在于理解函数在某点的导函数值等于函数在这点的切线的斜率.14.圆锥的顶点为S ，顶点S 在底面的射影为O ，轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，那么该圆锥的侧面积为__________，点D 为母线SB 的中点，点C 为弧AB 的中点，那么异面直线CD 与OS 所成角的正切值为________.【答案】 (1). 2π(2).3【解析】 【分析】由轴截面的图形可知圆的半径和母线长，从而可求出侧面积；作DE AB ⊥于E ，通过求出tan ECCDE DE∠=，从而可求异面直线所成角. 【详解】解：因为轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，所以底面圆的半径为1，母线为2， 所以圆锥的侧面积为122S ππ=⨯⨯=；作DE AB ⊥于E ，那么DE ⊥底面圆，因为D 为母线SB的中点，所以12ED SO ===，又2EC ===，所以tan 32EC CDE DE ∠===， 因为//ED SO ，所以异面直线CD 与OS故答案为：2π【点睛】此题考察了圆锥侧面积的求解，考察了异面直线二面角的求解.此题的关键是将异面直线通过平移，求其夹角.15.CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2021CES 消费电子展于2020年1月7日—10日在HY 拉斯维加斯举办.在这次CES 消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.假设该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员工的工作视为一样的工作．．．．．．．．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，假设其中甲和乙至多有1人负责接待工作，那么不同的安排方案一共有__________种. 【答案】360 【解析】 【分析】理解题意，分两步安排，先安排接待工作，再安排讲解工作. 安排接待工作时，甲和乙至多安排1人，故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案总数. 【详解】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C 种， 一类是甲乙安排1人有1225C C 种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，一共24A 种， 故不同的安排方案一共有()12322554360C C C A +⋅=种.故答案为：360.【点睛】此题考察了排列、组合的综合应用，考察了分析理解才能，分类讨论思想，属于中档题.16.点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，假设11()0BF BA AF +⋅=，那么C 的离心率为__________.【答案】312+ 【解析】 【分析】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，由垂直向量的数量积关系推出1BC AF ⊥，再利用双曲线的定义求出1122AF BF a c ==+即可推出1ABF 为等边三角形，求出BC ，在1CBF 中利用勾股定理列出关于a 、c 的齐次式即可求解离心率.【详解】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，如下图：因为1111()02BF BA AF BC AF +⋅=⋅=，所以1BC AF ⊥， 又C 为1AF 的中点，所以1ABF 为等腰三角形且1BF BA =，因为点2F 恰好为1F AB 的外心，所以点2F 在直线BC 上，且22122AF BF F F c ===， 由双曲线的定义知12122AF AF BF BF a -=-=，那么1122AF BF a c ==+，所以1ABF 为等边三角形，那么2332BC BF c ==， 在1CBF 中，22211CB CF BF +=即()()222922c a c a c ++=+，化简得223660a ac c +-=，同时除以2a 可得22210e e --=，解得e =(舍去).【点睛】此题考察双曲线的定义及简单几何性质、等边三角形的性质、双曲线离心率的求法，涉及垂直向量的数量积关系、平行四边形法那么，属于中档题四、解答题(此题一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17.在①2sin cos cos cos a C B C C -=；②5cos 45c B b a +=；③()2cos b a C -=cos c A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完好的题目.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .且满足_________. 〔1〕求sin C ；〔2〕5a b +=，△ABC 的外接圆半径为3，求△ABC 的边AB 上的高h . 【答案】答案不唯一，详细见解析 【解析】 【分析】选择条件①:(1)利用正弦定理将边化角,再利用A B C π++=化简,及可求出3C π=,即可得出sin C 的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径3与sin C 的值求出4c =,代入角C 的余弦定理结合5a b +=,可得到3ab =,再利用等面积法: 11sin 22S ab C ch ==,即可求出答案.选择条件②:(1)利用正弦定理将边化角,再利用A B C π++=化简,及可求出4cos 5C =,即可得出sin C 的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径3与sin C 的值求出5c =,代入角C 的余弦定理结合5a b +=,可得到3ab =,再利用等面积法: 11sin 22S ab C ch ==,即可求出答案.选择条件③:(1)利用正弦定理将边化角,再利用A B C π++=化简,及可求出3C π=,即可得出sin C 的值.(2)sin C 的值求出4c =,代入角C 的余弦定理结合5a b +=,可得到3ab =,再利用等面积法: 11sin 22S ab C ch ==,即可求出答案.【详解】选择条件①：〔1〕因为2sin cos cos cos a C B C C =,所以由正弦定理得2sin sin cos cos cos A C C B C B C =+,即()sin sin sin cos sin cos A C C C B B C +,故sin sin sin A C C A =. 又()0,sin 0A A π∈⇒≠,所以sin tan C C C =⇒=，由()0,C π∈3C π⇒=所以sin sin32C π==〔2〕由正弦定理得2433c π=⨯=, 由余弦定理得()22222cos3163c a b ab a b ab π=+-=+-=,所以()21633a b ab ab +-=⇒=.于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==,所以3sin 24ab C h c===. 选择条件②：〔1〕因为5cos 45c B b a +=,由正弦定理得5sin cos 4sin 5sin C B B A +=,即()5sin cos 4sin 5sin 5sin cos 5cos sin C B B B C B C B C +=+=+, 于是()sin 45cos 0B C -=. 在sin 0ABC B ∆≠中，, 所以4cos 5C =, 3sin 5C ==. 〔2〕由正弦定理得325c ==由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-()218192525a b ab =+-=, 所以()21925433251890ab a b ⎡⎤=+-⨯=⎢⎥⎣⎦, 于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==,所以sin 4333905ab C h c ==⨯=选择条件③：〔1〕因为()2cos cos b a C c A -=,所以由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=,所以()2sin cos sin sin B C A C B =+=, 因为()0,B π∈, 所以1sin 0cos 2B C ≠⇒=, 又()0,A π∈, 所以3C π=,所以sin C =. 〔2〕由正弦定理得2433c π=⨯=, 由余弦定理得()22222cos3163c a b ab a b ab π=+-=+-=,所以()21633a b ab ab +-=⇒=.于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==,所以3sin 24ab C h c===. 【点睛】此题考察解三角形相关知识.属于根底题.纯熟掌握正余弦定理、三角形的面积公式是解此题的关键.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a n =+-. 〔1〕求证：数列{}1n a +为等比数列；〔2〕设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的n 项和n T . 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕()121nn T n =-⋅+.【解析】 【分析】〔1〕令2n ≥，由21n n S a n =+-得出()11211n n S a n --=+--，两式作差得121n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出{}1n a +为等比数列，并可确定该数列的首项和公比； 〔2〕求得数列{}1n a +的通项公式，可得出n b 的表达式，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】〔1〕当2n ≥时，因为21n n S a n =+-，①，所以()11211n n S a n --=+--.② 由①-②得121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+，所以1121n n a a -+=+.当1n =时，112S a =，得10a =，那么111a +=. 所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列；〔2〕由〔1〕知112n n a -+=，所以()112n n n b n a n -=+=⋅.所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，③那么12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，④ 由③-④，得()012112121212122212112nn nn n n T n n n ---=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=-⋅=---，所以()121nn T n =-⋅+【点睛】此题考察等比数列的证明，同时也考察了错位相减法求和，考察推理才能与计算才能，属于中等题.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB //CD ，,2BC CD AB BC ⊥==2,CD EAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB ⊥平面ABCD ，点F 满足，([0,1])EF EA λλ=∈.〔1〕试探究λ为何值时，CE //平面BDF ，并给予证明； 〔2〕在〔1〕的条件下，求直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值.【答案】〔1〕13λ=；证明见解析；〔2【解析】 【分析】〔1〕连接AC 交BD 于点M ，连接MF ，假设//CE MF ，那么有CE //平面BDF ，根据CBD ACB ，AMF ACB ，求出λ并证明；〔2〕取AB 的中点O ，连接EO ，OD ，那么EO AB ⊥.又因为平面ABE ⊥平面ABCD ，可证得,,EO OB OD 两两垂直，建系设点，用空间直角坐标法求出直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值.【详解】解：〔1〕当13λ=时，CE //平面FBD. 证明如下：连接AC ，交BD 于点M ，连接MF .，因为AB //CD ，所以AM ：MC =AB ：CD =2：1，又13EF EA =，所以FA ：EF =2：1. 所以AM ：MC =AF ：EF =2：1，所以MF //CE.又MF ⊂平面BDF ，CE ⊄平面BDF ，所以CE //平面BDF . 〔2〕取AB 的中点O ，连接EO ，OD ，那么EO AB ⊥. 又因为平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE平面,ABCD AB EO =⊂平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD ，因为OD ⊂平面ABCD ，所以EO OD ⊥. 由BC CD ⊥，及AB =2CD ，AB //CD ，得⊥OD AB ，由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz .因为EAB ∆为等腰直角三角形，AB =2BC =2CD ， 所以OA =OB =OD =OE ，设OB =1，所以()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0O A B C -，()()0,1,0,0,0,1D E .所以()()2,0,01,1,0AB BD ==-，， 11112,0,,,0,33333EF EA F ⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以42033FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，， 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，那么有·0·0n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以042033x y x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 取1x =，得()1,1,2n =.设直线AB 与平面BDF 所成的角为θ， 那么sin cos ,AB n AB n AB nθ=<>=222210102662112⨯+⨯+⨯==++. 即直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值为66【点睛】此题考察了线面平行的断定，用空间向量求直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系并表示所需点的坐标是解题的关键，还考察了学生的分析才能，运算才能，属于中档题. 20.点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C.〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证：2AEB AED ∠=∠.【答案】〔1〕28x y =；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】〔1〕设()()00,,,Q x y P x y ，由平面向量的知识可得00222x xy y =⎧⎨=+⎩，再由点P 在曲线21216y x =+上代入即可得解； 〔2〕分直线AB 的斜率是否存在讨论；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，利用韦达定理可得0AE BE k k +=，即可得证.【详解】〔1〕设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =可得()()001,2,22x y x y +=+， 所以0012222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩即00222x x y y =⎧⎨=+⎩，因为点P 在曲线21216y x =+上， 所以2001216y x =+即()21222216y x +=⋅+，整理得28x y =.所以曲线C 的方程为28x y =；〔2〕证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由238y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得28240x kx --=，264960k ∆=+>， 可知128x x k +=，1224x x ⋅=-，直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k kx x ++-+===-，故AE ，BE 的倾斜角互补，∴AED BED ∠=∠， ∴2AEB AED ∠=∠.【点睛】此题考察了轨迹方程的求解、直线与抛物线的综合应用，考察了转化化归思想与运算求解才能，属于中档题. 21.函数()cos ,,2xf x e x x π⎡⎫=-∈-+∞⎪⎢⎣⎭，证明. 〔1〕()f x 存在唯一的极小值点；〔2〕()f x 的极小值点为0,x 那么()010f x -<<. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数并二次求导，即设()()sin xg x f x e x '==+，()cos xg x e x '=+，结合余弦函数和指数函数的性质可求出当,2x π⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，()0g x '≥恒成立，即可判断出()g x 在,2x π⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性，由零点存在定理可求出()f x '在区间2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上存在唯一的零点0x ，进而可证明结论. (2)由04f π⎛⎫'<⎪⎝⎭，()00010f e '=+=>，由零点存在定理可得极小值点0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，进而可得00sin 0xe x +=，结合三角恒等变换可得()0fx 04x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由正弦三角函数可求出()010f x -<<.【详解】解：〔1〕()sin xf x e x '=+，设()()sin xg x f x e x '==+，那么()cos xg x e x '=+，当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，[)()cos 0,1,0,1x x e ∈∈，所以()0g x '>. 当[)0,x ∈+∞时，()0cos 1cos 0g x e x x '≥+=+≥， 综上所述，当,2x π⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，()0g x '≥恒成立， 故()()f x g x '=在2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增. 又()02110,0102f e e f ππ-⎛⎫''-=-<-==> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x '在区间2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上存在唯一的零点0x ，0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 结合单调性可得()f x 在02x π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以函数()f x 存在唯一极小值点0x .〔2〕由〔1〕知，0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，021102f e e ππ-⎛⎫'-=-<-= ⎪⎝⎭，11224211422f e e πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪'-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而122e e π>>，所以11222112e π⎛⎫⎛⎫ ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即04f π⎛⎫'<⎪⎝⎭，()00010f e '=+=>，故极小值点0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 且()000sin 0xf x e x '=+=，即()00sin .xe x =-*，由()*式，得()000cos x f x e x =-()000sin cos 4x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.由0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得00,44x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()01,04x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，即()010f x -<<.【点睛】此题考察了极值的求解，考察了零点存在定理，考察了三角函数的最值，考察了辅助角公式.此题的难点在于第二问缩小极值点的取值范围.22.HY 提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2021年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2021年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：〔1〕由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z (单位：万元)近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x (每组数据取区间的中点值)，2σ近似为样本方差222.1s ≈.假设该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z 在区间，8.2)的户数；〔2〕为答谢广阔农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规那么如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全一样的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，假设取到红球，那么抽奖完毕；假设取到黑球，那么将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).假设农户取到红球，那么视为中奖，获得2000元的奖励，假设一直未取到红球，那么视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X ，他取球的次数为随机变量Y . ①证明：(){}(),110P X n n N n *=∈≤≤为等比数列；②求Y 的数学期望.(准确到0.001)参考数据：9100.80.1342,0.80.1074≈≈.假设随机变量()2~,Z Nμσ，那么(P Z μσ-<≤)()=0.6827220.9545P Z μσμσμσ+-<≤+=，.【答案】〔1〕8186；〔2〕①证明见解析；②4.463..【解析】 【分析】(1)根据题意求出样本平均数 6.1x =即可得出()2~ 6.1,2.1Z N 即()()2, 1.9,8.2μσμσ-+=,那么可根据()()()1122222P P z P Z μσμσμσμσμσμσ-<Z <+=-<<++-<<+,求出其所获纯利润Z 在区间，8.2)的户数；(2) ①因为每次取球都恰有15的概率取到红球,即()11455n P X n -⎛⎫==⎪⎝⎭，那么可证明之.②根据①所求的()11455n P X n -⎛⎫==⎪⎝⎭,根据当9n ≤时,()()P X n P Y n ===,代入()91()n E Y n P Y n ==⋅=∑,再利用错位相减求出其值即可.【详解】〔1〕由题意知：所以样本平均数为20.140.1560.4580.2100.1 6.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔万元〕， 所以()2~ 6.1,2.1Z N ，所以()()2, 1.9,8.2μσμσ-+=， 而()()()112220.818622P P z P Z μσμσμσμσμσμσ-<Z <+=-<<++-<<+=. 故1万户农户中，Z 落在区间()1.98.2，的户数约为100000.8186=8186⨯. 〔2〕①每次取球都恰有15的概率取到红球. 那么有()11111415555n n P X n --⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()114145551455nn P X n P X n -⎛⎫⎪=+⎝⎭===⎛⎫⎪⎝⎭，()115P X == 故(){}(),110P X n n N n *=∈≤≤为以15为首项45为公比的等比数列.②由①可知，当9n ≤时,()()P X n P Y n ===,()94105P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故Y 的数学期望为()8914141412910555555E Y ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭891444129105555⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 设84412955S ⎛⎫=+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪⎝⎭，那么2944441295555S ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 两式作差得289144441955555S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭999411544951445515⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-, ()991441051410555E Y S ⎛⎫⎛⎫∴=+⨯=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994454540.1342 4.46355⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】此题考察概率的求法,考察离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,属于中档题.解题时需认真审题,结合题中所给数据,拿出答案.。
数学_2015年甘肃省某校高考数学五模试卷(理科)(含答案)
2015年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合P ={x|x ≥0}，Q ={x|x+1x−2≥0}，则P ∩Q =( )A (−∞, 2)B (−∞, −1)C [0, +∞)D (2, +∞)2. 复数z 满足(1+i)z =2i ，则z 在复平面上对应的点位于( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 公比不为1等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且−3a 1，−a 2，a 3成等差数列，若a 1=1，则S 4=( )A −20B 0C 7D 404. 已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，下列四个命题： ①若m // n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α // β；③若m ⊥α，m // n ，n ⊂β，则α⊥β； ④若m // α，α∩β=n ，则m // n ． 其中正确命题的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5. 已知a =∫(π20sinx +cosx)dx ，在(1+ax)6(1+y)4的展开式中，xy 2项的系数为（ ） A 45 B 72 C 60 D 1206. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A 323 B 64 C32√33 D 6437. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+12014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A i ≤2013B i ≤2015C i ≤2017D i ≤2019 8. 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则（ ）A b <a <cB c <a <bC c <b <aD a <c <b9. 过平面区域{x −y +2≥0y +2≥0x +y +2≤0 内一点P 作圆O:x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，记∠APB ＝α，则当α最小时cosα的值为（ ） A √9510 B 1920 C 910 D 1210. 设三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +1的导函数f′(x)=3ax(x −1)，且a >2，则函数f(x)的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 311. 已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x −3)2+(y −1)2＝1上的一个动点，N(1, 0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（ ） A 3 B 4 C 5 D √2+1 12. 已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x <0log a x(a >0，且a ≠1)，x >0的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A (0,√55) B (√55，1) C (√33，1) D (0,√33)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 在直角三角形ABC 中，∠C =π2，AB =2，AC =1，若AD →=32AB →，则CD →⋅CB →=________．14. 连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f(x)=ax 2−bx 在x =1处取得最值的概率是________．15. 若cos(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=________． 16.设等差数列{a n }满足a 5=11，a 12=−3，{a n }的前n 项和S n 的最大值为M ，则lg M =________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acosB ． (1)求角B 的大小；(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB ＝60∘，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、C 1、E 的平面交棱BB 1于点F ，B 1F ＝2BF ．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E−AC1−C的平面角的余弦值．19.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20, 25)、第2组[25, 30)、第3组[30, 35)、第4组[35, 40)、第5组[40, 45)，得到的频率分布直方图如图所示：(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．20. 已知圆F1：(x+1)2+y2=r2与圆F2：(x−1)2+y2=(4−r)2(0<r<4)的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为1．4（1）求E的方程；（2）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（3）求△ABM的面积的最大值．−mlnx21. 设函数f(x)=x−1x（1）若函数f(x)在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数ℎ(x)=x−lnx−1，∃x1，x2∈[1, e]使得f(x1)≥ℎ(x2)成立，e求m的范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】 22. 选修4−1：几何证明选讲如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ． (Ⅰ)求证：AB AC=PA PC；(Ⅱ)求AD ⋅AE 的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =1+tcosαy =tsinα （t 是参数）(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，求直线的倾斜角α的值．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知a >0，b >0，且a 2+b 2=92，若a +b ≤m 恒成立，（1）求m 的最小值；（2）若2|x −1|+|x|≥a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．2015年甘肃省某校高考数学五模试卷（理科）答案1. D2. A3. A4. D5. B6. D7. B8. B9. C 10. D 11. A 12. A13. 9214. 11215. 7816. 217. 解：(1)由bsinA=√3acosB及正弦定理得：sinBsinA=√3sinAcosB，∵ A为三角形的内角，∴ sinA≠0，∴ sinB=√3cosB，即tanB=√3，又B为三角形的内角，0<B<π，∴ B=π3；(2)由sinC=2sinA及正弦定理得：c=2a①，∵ b=3，cosB=12，∴ 由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得：9=a2+c2−ac②，联立①②解得：a=√3，c=2√3．18. 证明：设四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，∵ B1F＝2BF，△B1C1F∽△BEF，∴ BE=a2⋯由∠DAB＝60∘＝∠ABE，∠ABC＝120∘，得AE=√3a2，AC=√3a⋯∵ CE=3a2，∴ AE2+CE2＝AC2，AE⊥CE∵ ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥ABCD，又AE⊂ABCD，∴ C1C⊥AE，∵ CE∩CC1＝C，∴ AE⊥平面BCC1B1∵ AE⊂平面AC1E，∴ 平面AC1E⊥平面BCC1B1过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1＝C1E，CH⊥平面AC1E∴ CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH＝C，∴ AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴ ∠CGH是二面角E−AC1−C的平面角在Rt△ACC1中，AC=√3a，CC1＝a，AC1＝2a，CG=√32a，在Rt△ECC1中，CE=32a，CC1＝a，EC1=√132a，CH=3√1313a，CG=√32a、CH=3√1313a，求得任何一个给，两个全对给GH=√CG2−CH2=√3926a，cos∠CGH=GHCG=√1313．∴ 二面角E −AC 1−C 的平面角的余弦值是√1313．19. 解：(1)由题意可知：第3组的人数为0.06×5×1000=300， 第4组的人数为0.04×5×1000=200， 第5组的人数为0.02×5×1000=100， 第3、4、5组共600名志愿者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为： 第3组12600×300=6，第4组12600×200=4， 第5组12600×100=2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人.(2)从12名志愿者中抽取3名共有C 123=220种可能，第4组至少有一位志愿者被抽中有C 123−C 83=164种可能， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P =164220=4155.(3)由题意知：ξ的可能取值为：0，1，2，3， 且P(ξ=0)=C 60C 63C 123=20220，P(ξ=1)=C 61C 62C 123=90220，P(ξ=2)=C 62C 61C 123=90220，P(ξ=3)=C 63C 60C 123=20220，所以ξ的分布列为∴ ξ的期望Eξ=0×20220+1×90220+2×90220+3×20220=1.5.20. 解：（1）设⊙F 1，⊙F 2的公共点为Q ，由已知得，|F 1F 2|=2，|QF 1|=r ，|QF 2|=4−r ，故|QF 1|+|QF 2|=4>|F 1F 2|，因此曲线E 是长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆，且b 2=a 2−c 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1（2）由曲线E 的方程得，上顶点M(0,√3)，记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0．若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x =x 1， 故y 1=−y 2，且y 12=y 22=3(1−x 124)，因此，k MA ⋅k MB =y 1−√3x 1⋅y 2−√3x 2=−y 12−3x 12=34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在 设直线AB:y =kx +m ，代入椭圆E 的方程x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−3)=0①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1⋅x 2=4(m 2−3)3+4k 2又k AM =y 1−√3x 1=kx 1+m−√3x 1，k MB =y 2−√3x 2=kx 2+m−√3x 2由k AM ⋅k BM =14得，4(kx 1+m −√3)(kx 2+m −√3)=x 1x 2，即(4k 2−1)x 1x 2+4k(m −√3)(x 1+x 2)+4(m −√3)2=0，所以4(m 2−3)(4k 2−1)+4k(m −√3)(−8km)+4(m −√3)2(3+4k 2)=0， 化简得m 2−3√3m +6=0， 故m =√3或m =2√3． 结合x 1x 2≠0知m =2√3，即直线AB 恒过定点N(0，2√3)．（3）由△>0且m =2√3得k >32或k <−32又S △ABC =|S △ANM −S △BNM =12|MN|⋅|x 1−x 2||=√32√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√32√(−8km 3+4k 2)2−4⋅4(m 2−3)3+4k 2=6√4k 2−93+4k 2=√4k 2−9+12√4k 2−9≤√32当且仅当4k 2−9=12，即k =±√212时，△ABM 的面积最大，最大值为√3221. 解：函数f(x)=x −1x−mlnx(1)定义域上为(0, +∞)， f′(x)=1+1x2−m x=x 2−mx+1x 2，∵ 函数f(x)在定义域上为增函数，∴ f(x)的最大值=f(e)=e −1e −m ，ℎ(x)单调递增， 即x +1x >m 在x >0时恒成立， 根据对钩函数得出m <2，故m 的范围为：m <2．（2）函数ℎ(x)=x −lnx −1e ，∃x 1，x 2∈[1, e]使得f(x 1)≥ℎ(x 2)成，即f(x)的最大值≥ℎ(x)的最小值， ∵ f(x)的最大值=f(e)=e −1e −m ，ℎ′(x)=1−1x >0，x ∈[1, e]，∴ ℎ(x)单调递增，ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−1e ， ∴ 可以转化为e −1e−m ≥1−1e，即m ≤e −1，m 的范围为：m ≤e −1． 22. ( I)∵ PA 为⊙O 的切线， ∴ ∠PAB ＝∠ACP ，又∠P 公用，∴ △PAB ∽△PCA ． ∴AB AC=PA PC．( II)∵ PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线， ∴ PA 2＝PB ⋅PC ．又∵ PA ＝10，PB ＝5，∴ PC ＝20，BC ＝15． 由( I)知，AB AC=PA PC=12，∵ BC 是⊙O 的直径， ∴ ∠CAB ＝90∘．∴ AC 2+AB 2＝BC 2＝225， ∴ AC =6√5,AB =3√5 连接CE ，则∠ABC ＝∠E ， 又∠CAE ＝∠EAB ， ∴ △ACE ∽△ADB ， ∴AB AE=AD AC∴ AD ⋅AE =AB ⋅AC =3√5×6√5=90．23. 解：(1)∵ ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，ρ2＝x 2+y 2， ∴ 曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为： ρ2＝4ρcosθ， ∴ x 2+y 2＝4x ， ∴ (x −2)2+y 2＝4．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα 代入圆的方程(x −2)2+y 2＝4得：(tcosα−1)2+(tsinα)2＝4，化简得t 2−2tcosα−3＝0．设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则{t 1+t 2=2cosαt 1t 2=−3，∴ |AB|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4cos 2α+12， ∵ |AB|=√14，∴ √4cos 2α+12=√14． ∴ cosα=±√22． ∵ α∈[0, π)， ∴ α=π4或α=34π．∴ 直线的倾斜角α=π4或α=34π．24. 解：（1）∵ a >0，b >0，且a 2+b 2=92，∴ 9=(a 2+b 2)(12+12)≥(a +b)2，∴ a +b ≤3，（当且仅当a 1=b 1，即{a =32b =32时取等号）又∵ a +b ≤m 恒成立，∴ m ≥3． 故m 的最小值为3．…（2）要使2|x −1|+|x|≥a +b 恒成立，须且只须2|x −1|+|x|≥3． ∴ {x ≤0−2x +2−x ≥3或{0<x ≤1−2x +2+x ≥3或{x >12x −2+x ≥3∴ x ≤−13或x ≥53．…。
2021年高三数学一轮复习 滚动测试五 理
2021年高三数学一轮复习滚动测试五理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）．1.已知集合，时，（）A． B． C． D．2．由下列条件解，其中有两解的是（）A. B.C. D.3.等差数列的前n项和为，若为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（）A. B. C. D.4.已知数列满足，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.5.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．“若，则，互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“，使得”的否定是：“，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题6.由直线所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.7.当为第二象限角，且，则的值为（）A.1B.C.D. 以上都不对8．若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.函数的图象可能是下列图象中的（）10、已知满足，且能取到最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C． D.11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
给出下列函数①；②；③；④ 其中“互为生成函数”的是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④12.已知是定义在R 上的函数，对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2第II 卷二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13.设函数若，则 ．14．有下列各式：，，，……则按此规律可猜想第n 个不等式为： ．15. .如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得CD=30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为。
则塔高AB=__________。
16. 关于函数，有下列命题：①其图象关于轴对称；②当时，是增函数；当时，是减函数； ③的最小值是； ④在区间、上 是增函数；⑤无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．三. 解答题：（本大题共6小题，共74分） 17. (本小题满分12分)在锐角中，已知内角所对的边分别为，且满足＝。
高中联盟高三数学第五次测评试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校八重点高中联盟2021届高三数学第五次测评试题理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{}21x A y y ==-，{}1B x x =≥，那么()R AC B =〔〕A.(],1-∞- B.(),1-∞ C.()1,1-D.[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A ，B 根据补集和交集的定义即可求出．【详解】集合A ＝{y |y ＝2x﹣1}＝〔﹣1，+∞〕，B ＝{x |x ≥1}＝[1，+∞〕， 那么∁R B ＝〔﹣∞，1〕 那么A ∩〔∁R B 〕＝〔﹣1，1〕， 应选：C ．【点睛】此题考察集合的交、并、补集的混合运算，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．1221iz iz i+=++，那么z =〔〕A.2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么、模的计算公式即可得出．【详解】由题123121217z11233310i i i i ii i ii i故z =应选：A【点睛】此题考察了复数的运算法那么、模的计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于根底题． 3.在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，那么1a =〔〕A.16 B.13C.2D.4【答案】B 【解析】 【分析】 将5791120a a a a +++=转化为关于13a a 和q 的算式，计算出q 即可求出1a ．【详解】因为()45713a a a a q +=+＝q 4，()891113a a a a q +=+所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或者q 4＝﹣5〔舍〕， 所以q 2＝2，13a a 211a a q =+=13a ＝1，所以1a 13=． 应选：B ．【点睛】此题考察了等比数列的通项公式，考察等比数列的性质，要求纯熟掌握等比数列的性质的应用，比较根底．4.如图，在正方形OABC 内任取一点M ，那么点M 恰好取自阴影局部内的概率为〔〕 A.14B.13C.25D.37【答案】B 【解析】 【分析】由定积分的运算得：S阴1=⎰〔1〕dx ＝〔x 2323x -〕101|3=，由几何概型中的面积型得：P 〔A 〕11313S S ===阴正方形，得解． 【详解】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为〔1，1〕，由定积分的定义可得：S 阴1=⎰〔1dx ＝〔x 3223x -〕101|3=，设“点M 恰好取自阴影局部内〞为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P 〔A 〕11313S S ===阴正方形， 应选：B ．【点睛】此题考察了定积分的运算及几何概型中的面积型，考察根本初等函数的导数，属根底题5.sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么tan2α=〔〕A.-B.C.【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值．【详解】由题1331sin cos 3cos sin 2222，那么tan α= 故tan2α=22tan=431tan应选：A【点睛】此题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的根本关系，属于根底题． 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的各个面中是直角三角形的个数为〔〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案． 【详解】三视图复原为如下列图三棱锥A-BCD ： 由正方体的性质得A ,,BC BCD ACD 为直角三角形，ABD 为正三角形应选：C【点睛】此题考察的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档．C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，假设两条切线互相垂直，那么椭圆C 的离心率为〔〕A.12B.2C.3【答案】D 【解析】【分析】c =，两边平方后结合隐含条件得答案．【详解】如图，c =，那么2b 2＝c 2，即2〔a 2﹣c 2〕＝c 2，那么2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e c a ==应选：D ．【点睛】此题考察椭圆的简单性质，考察数形结合的解题思想方法，是中档题．()221log 2xf x x+=-，假设()f a b =，那么()4f a -=〔〕 A.b B.2b -C.b -D.4b -【答案】B 【解析】 【分析】 由题推导函数()f x 关于点〔2,1〕对称即可求解【详解】因为22222213log log log 42222x xf x f xx x故函数()f x 关于点〔2,1〕对称，那么()4f a -=2b应选：B【点睛】此题考察函数的对称性，考察对数的运算，考察推理计算才能，是中档题()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，假设()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，那么⋅=ωϕ〔〕A.34π-B.23π-C.23π D.34π 【答案】A 【解析】 【分析】由函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象变换即可得()gx 的图象，利用函数的对称性求解即可【详解】由题sin sin33g x xx又()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，那么12+=k 42+=k 432，12k Z ，k ，得12=3k k ，即12=3k k ，又06ω<<，故=3ω，=4，那么⋅=ωϕ34π-应选：A【点睛】此题考察，函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象变换确定其解析式，考察三角函数的性质，考察学生分析问题解决问题的才能，属于中档题．x ，y 满足13y x y ax ≤≤+≤+，假设y 2x -的最大值是3，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(3,⎤-∞⎦B.[]1,3C.(],2-∞D.[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，将目的函数变形，数形结合判断出z 最大时，a 的取值范围． 【详解】令zy 2x =-当3a >时，不等式组的可行域如图阴影所示： 将目的函数变形得y ＝2x +z ，由题知z 无最大值，舍去当13a 时，不等式组的可行域如图阴影所示：将目的函数变形得y ＝2x +z ，由题知z 最大时，直线的纵截距最大，在〔0,3〕获得最大3，符合题意； 当1a ≤时，不等式组的可行域如图阴影所示将目的函数变形得y ＝2x +z ，由题知z 最大时，直线的纵截距最大，在〔0,3〕获得最大3，符合题意； 综上：3a ≤ 应选：A ．【点睛】此题考察线性规划，考察分类讨论思想和数形结合思想，准确作图计算是关键是中档题()ln ,0,0x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，假设方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，那么a 的取值范围是〔〕A.()0,∞+B.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(),0-∞D.()0,1【答案】B 【解析】 【分析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f 〔﹣x 〕＝﹣f 〔x 〕有五个不同的实数根等价于y ＝f 〔x 〕的图象与y ＝g 〔x 〕的图象有5个交点，作图可知，只需y ＝ax 与曲线y ＝lnx 在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y ＝lnx 切于点P 〔x 0，y 0〕，得lnx 0＝1，即f ′〔e 〕1e=，即过原点的直线与y ＝lnx 相切的直线方程为y 1e =x ，即所求a 的取值范围为01a e＜＜，得解． 【详解】设g 〔x 〕＝﹣f 〔﹣x 〕，那么y ＝g 〔x 〕的图象与y ＝f 〔x 〕的图象关于原点对称，方程f 〔﹣x 〕＝﹣f 〔x 〕有五个不同的实数根等价于函数y ＝f 〔x 〕的图象与y ＝g 〔x 〕的图象有5个交点， 由图可知，只需y ＝ax 与曲线y ＝lnx 在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y ＝lnx 切于点P 〔x 0，y 0〕， 由f ′〔x 〕1x=， 那么y ＝lnx 的切线为y ﹣lnx 001x =〔x ﹣x 0〕，又此直线过点〔0，0〕， 所以lnx 0＝1， 所以x 0＝e ， 即f ′〔e 〕1e=， 即过原点的直线与y ＝lnx 相切的直线方程为y 1e=x ， 即所求a 的取值范围为01a e＜＜， 应选：B ．【点睛】此题考察了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题．R 的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，假设该圆锥体积的最小值为92π，那么R =〔〕 A.1C.2D.【答案】B 【解析】 【分析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为r，高为h ,得22rhh r R ，进一步得圆锥体积223222222111V333h R h r h hR h R h R ，求导求最值即可求解【详解】几何体如图一所示：其正视图如图二所示 设圆锥的底面圆心为O,半径为r ，高为h ,那么OA=h ,22rhh r R又圆锥体积223222222111V333h R h r h hR h R h R令f h 322213hR h R h R，那么222'2222313h h R f h R h R当''0,3;0,3f hhR f hR hR ，故f h在,单调递增，在R 单调递减，故f h在3h R 获得最小值，此时42min221393,3332R V R RR R R应选：B【点睛】此题考察球的组合体问题，考察利用导数求最值，考察空间想象和转化化归才能，是难题 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分.a ，b满足，2b =，向量a 在向量b 方向上的投影为1，那么2a b -=______.【答案】【解析】 【分析】由投影求得a b ⋅，再由模长公式求解即可 【详解】因为向量a 在向量b 方向上的投影为1那么cos12a b a a b b，∴|2a b -|2(2)a b =-＝2故答案为【点睛】此题考察平面向量的数量积及几何意义，考察模长公式，，注意平面向量的数量积公式的灵敏运用．14.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，那么不同的选法种数为______.〔用数字答题〕 【答案】23 【解析】 【分析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝23，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为45C =5，综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23， 故答案为：23．【点睛】此题考察了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．{}n a 中，1a a =，()11cos n n a a n π+=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，假设20192019S =-，那么a=______.【答案】1010【解析】 【分析】 讨论n 的奇偶性得{}n a 的周期性，再求和即可【详解】当n 为偶数，11n n a a +=+，当n 为奇数，()11n n a a +=-+即1+=1n n a a +-故20nna a 即{}n a 为周期为4的数列，又1234==1=21a a a a a a a a ，，，故12341212a a a a a a a a故()20191235042+100812019S a a a a =⨯-++=-+-=-，那么a =1010故答案为1010【点睛】此题考察数列的递推关系，考察数列的周期性及求和，准确计算是关键，是中档题C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在曲线C 上，假设PAB ∆中，2PBA PAB π∠=∠+，那么双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】y x =±【解析】 【分析】利用条件求出P 的坐标〔x ，y 〕满足的条件，然后求解a ，b 的关系即可， 【详解】如图，过B 作BM ⊥x 轴，∵∠PBA ＝∠PAB 2π+，那么∠PAB ＝∠PBM ， ∴∠PAB +∠PBx 2π=．即k PA•k PB＝1．设P 〔x ，y 〕，又A 〔﹣a ，0〕，B 〔a ，0〕．1y y x a x a⋅=+-，∴x 2﹣y 2＝a 2， ∴a ＝b ，那么双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ， 故答案为：y ＝±x【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察转化思想以及计算才能．属于中档题． 三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.ABC ∆中，D 为BC的中点，AB =4AC =，3AD =.〔1〕求边BC 的长； 〔2〕点E 在边AB 上，假设CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积.【答案】〔1〕10；〔2〕607. 【解析】 【分析】〔1〕由题意可得cos∠ADB ＝﹣cos∠ADC ，由利用余弦定理可得：9+BD 2﹣52+9+BD 2﹣16＝0，进而解得BC 的值．〔2〕由〔1〕可知△ADC 为直角三角形，可求S △ADC 1432=⨯⨯=6，S △ABC＝2S △ADC ＝12，利用角平分线的性质可得25ACE BCESS=，根据S △ABC＝S △BCE +S △ACE 可求S △BCE 的值．【详解】〔1〕因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =.所以边BC 的长为10.〔2〕由〔1〕知ADC ∆为直角三角形，所以14362ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCEAC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以607BCE S ∆=.即BCE ∆的面积为607.【点睛】此题主要考察了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考察了转化思想和数形结合思想，属于中档题． 18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.〔1〕求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；〔2〕假设1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】〔1〕详见解析；〔2【解析】 【分析】〔1〕由平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，结合面面垂直的性质可得BC ⊥A 1C ，再由B 1C 1∥BC ，得A 1C ⊥平面AB 1C 1；〔2〕取AC 中点M ，连接A 1M ，由可得A 1M ⊥AC，且1A MAC =，令AA 1＝AC ＝2CB ＝2，那么1A M =C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，过C 且平行于A 1M 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．分别求出平面ACB 1与平面A 1B 1C 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C 1﹣AB 1﹣C 的余弦值． 【详解】〔1〕因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥.因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =，所以11ACC A 是菱形，11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . 〔2〕取AC 的中点M ，连接1A M，因为11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，所以1ACA ∆是正三角形，所以1A M AC ⊥，且12A M AC =.令122AA AC CB ===，那么1A M =所以以C 为原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系. 那么()0,0,0C，()2,0,0A，(1C -，()0,1,0B，(1A ，()2,0,0CA =，(()111110,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+(=-，(1CA =.设平面1ACB 的一个法向量为(),,n x y z =，那么10n CA n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以20x x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，那么y =()0,3,1n =-.由〔1〕知1A C ⊥平面11A B C，所以(1CA =是平面11A B C 的一个法向量，所以111cos ,CA n CA n CA n⋅<>=⋅4==所以二面角11C AB C --【点睛】此题考察平面与平面垂直的断定，考察空间想象才能与思维才能，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 19.O 为坐标原点，过点()1,0M的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-．〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值.【答案】〔1〕24y x =；〔2〕详见解析.【解析】 【分析】〔1〕设直线l 的方程为x ＝my +1，与抛物线C 的方程联立消去x 得关于y 的方程，利用根与系数的关系表示3OA OB ⋅=-，从而求得p 的值；〔2〕由题意求出弦长|AB |以及原点到直线l 的间隔，计算△OAB 的面积S 1，同理求出△OPQ 的面积S 2，再求221211S S +的值．【详解】〔1〕设直线l ：1x my =+，与22y px =联立消x 得，2220y pmy p --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，那么122y y pm +=，122y y p =-.因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.〔2〕由〔1〕知()1,0M是抛物线C 的焦点，所以21212244AB x x p my my p m =++=+++=+.原点到直线l的间隔d =，所以()21412OABS m ∆=+= 因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以OPQS ∆== 所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++. 即221211S S +为定值14.【点睛】此题考察了抛物线的定义与性质的应用问题，也考察了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题． 20.2021年1月4日，据“央视财经〞微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进展统计，按送餐间隔分类统计得如下频率分布直方图： 将上述调查所得到的频率视为概率.〔1〕求a 的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐间隔；〔2〕假设该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐间隔有关，规定2千米内为短间隔，每份3元，2千米到4千米为中间隔，每份5元，超过4千米为远间隔，每份9元. 〔i 〕记X为外卖员送一份外卖的收入〔单位：元〕，求X的分布列和数学期望；〔ii 〕假设外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐间隔至少为多少千米？【答案】〔1〕0.25a =，千米；〔2〕〔i 〕详见解析；〔ii 〕81千米. 【解析】 【分析】〔1〕由频数分布表及频率之和为1可求a ；〔2〕结合频率分布表、直方图计算〔i 〕外卖员送一份外卖的收入〔单位：元〕X 的所有可能取值为3，5，9；计算期望，〔ii 〕假设外卖员一天的收入不低于150元，可进展估算，因为150÷5＝30，那么估计外卖员一天至少要送30份外卖可计算． 【详解】〔1〕因为()0.050.1520.3011a +++⨯=，解得0.25a =.点外卖用户的平均送餐间隔为0.050.50.25 1.50.3 2.50.25 3.50.15 4.5 2.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千米.〔2〕〔i 〕由题意知X 的所有可能取值为3，5，9.()30.050.250.30P X ==+=；()50.300.250.55P X ==+=；(9)0.15P X ==.所有X的分布列为X的数学期望为()30.3050.5590.155EX =⨯+⨯+⨯=〔元〕.〔ii 〕因为150530÷=，那么估计外卖员一天至少要送30份外卖，所以该外卖员一天的送餐间隔至少为30 2.781⨯=千米.【点睛】此题考察由频率分布表、直方图进展计算，估算，考察频数、频率，考察频率公式，期望公式的应用，属于中档题．()2x e x f x a =-，且曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线()20x e y +-=垂直.〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕求证：0x >时，()1ln 1xe ex x x --≥-.【答案】〔1〕()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，无减区间〔2〕详见解析.【解析】 【分析】〔1〕求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1时的导数，再求得f 〔1〕，然后利用直线方程的点斜式得答案；〔2〕构造新函数h 〔x 〕＝e x ﹣x 2﹣〔e ﹣2〕x ﹣1，证明e x ﹣〔e ﹣2〕x ﹣1≥x 2；令新函数φ〔x 〕＝lnx ﹣x ，证明x 〔lnx +1〕≤x 2，从而证明结论成立． 【详解】〔1〕由()2x f x e ax =-，得()'2x f x e ax =-.因为曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线()20x e y +-=垂直，所以()'122f e a e =-=-，所以1a =，即()2x f x e x =-，()'2x f x e x =-.令()2x gx e x =-，那么()'2x g x e =-.所以(),ln 2x ∈-∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；()ln 2,x ∈+∞时，()'0g x >，()g x ()()min ln 222ln 20g x g ==->，所以()'0f x >，()f x 单调递增.即()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，无减区间〔2〕由〔1〕知()2x f x e x =-，()11f e =-，所以()y f x =在1x =处的切线为()()()121y e e x --=--，即()21y e x =-+.令()()221x hx e x e x =----，那么()()()'2221x x h x e x e e e x =---=---， 且()'10h =，()''2x h x e =-，(),ln 2x ∈-∞时，()''0h x <，()'h x 单调递减； ()ln 2,x ∈+∞时，()''0h x >，()'h x 单调递增.因为()'10h =，所以()()min ''ln 242ln 20h x h e ==--<，因为()'030h e =->，所以存在()00,1x ∈，使()00,x x ∈时，()'0h x >，()h x 单调递增；()0,1x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增.又()()010hh ==，所以0x >时，()0h x ≥，即()2210x e x e x ----≥，所以()221xe e x x ---≥.令()ln x x x ϕ=-，那么()11'1x x x xϕ-=-=.所以()0,1x ∈时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增； ()1,x ∈+∞时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减，所以()()11x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，因为0x >，所以()2ln 1x x x+≤，所以0x>时，()()21ln 1xe e x x x ---≥+，即0x>时，()1ln 1xe ex x x --≥-.【点睛】此题考察了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察构造新函数求最值证明不等式，是难题．请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.答题时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔α为参数〕.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-.〔1〕求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； 〔2〕假设曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB⋅的值.【答案】〔1〕1C 的普通方程为()2225x y +-=，2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=；〔2〕3. 【解析】 【分析】〔1〕直接消去参数可得C 1的普通方程；结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ得C 2的直角坐标方程；〔2〕将两圆的方程作差可得直线AB 的方程，写出AB 的参数方程，与圆C 2联立，化为关于t 的一元二次方程，由参数t 的几何意义及根与系数的关系求解． 【详解】〔1〕曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.〔2〕将两圆的方程()2225xy +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=.点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕，代入22430xy x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=124t t =.因为点M对应的参数为1222t t +=，所以121222t t PM AB t t +⋅=⋅-=32==.【点睛】此题考察简单曲线的极坐标方程，考察参数方程化普通方程，着重考察直线参数方程中参数t 的几何意义，是中档题． 23.选修4-5：不等式选讲 函数()21f x x a x =--+.〔1〕当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；〔2〕假设()20f x a --≤恒成立，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕(],0-∞；〔2〕[]1,1-.【解析】 【分析】〔1〕将a ＝1代入f 〔x 〕中去绝对值，然后分别解不等式；〔2〕f 〔x 〕﹣a ﹣2≤0恒成立等价于f 〔x 〕max ≤a +2，求出f 〔x 〕的最大值后解不等式．【详解】〔1〕当1a =时，()3,22112,123,1x f x x x x x x ->⎧⎪=--+=--≤≤⎨⎪<-⎩，当2x >时，31-≥，无解； 当12x -≤≤时，121x -≥，得0x ≤，所以10x -≤≤；当1x <-时，3≥1，符合. 综上，不等式()1f x ≥的解集为(],0-∞.〔2〕因为()20f x a --≤恒成立等价于()max 2f x a ≤+，因为()212121x a x x a x a --+≤--+=+，所以212121a x a x a -+≤--+≤+.所以212a a +≤+，所以2212a a a --≤+≤+，解得11a -≤≤.所以所务实数a 的取值范围为[]1,1-.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考察了转化思想，属根底题．。
精选高三数学上学期第一轮复习第五次阶段性过关考试试题文
武威六中 2018—2019学年度高三一轮复习过关考试（五）数学试题（文）第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合},32|{A x x y y B ∈-==，则=B A （）A ．}1,0,1{-B ．}1,1{-C ．}2,1,1{-D ．}2,1,0{2.若复数满足(12)1i z i +=-，则复数为( )A ．1355i +B ．1355i -+C ．1355i -D ．1355i -- 3.函数24x ++=x y 的定义域是（） A.()+∞-,4 B.()2,∞- C.[)()+∞-⋃--,22,4 D.()()+∞⋃-,22,44.“3m =”是“椭圆222125x y m+=的焦距为8”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.执行右面的程序框图，则输出的值为（）A.98B.99C.100D.1016.曲线y=x 3-2x+1在点（1,0）处的切线方程为( )A ．1y x =-+B ．1y x =-C ．22y x =-D ．22y x =-+7.已知等比数列{}n a 满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（） A.7B.14C.21D.268.已知双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，21,F F 为双曲线的左右焦点，为渐近线 上一点且在第一象限，且满足021=⋅PF ，若02130=∠F PF，则双曲线的离心率为（） A ．B ．22C ．2D ．39.已知,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，l α⊥，m β≠⊂，则有下面四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ.其中所有正确的命题是（）A.②③B.①④C.①③D.①②③④10.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， 将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于轴对称，则（） A.函数()f x 的周期为 B.函数()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.函数()f x 图象关于直线12x π=对称D.函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 11．函数x x y sin 2-=的图象大致是（）12．已知函数x x x f a +=log )(，)1(4log )1ln()(>+--=a a x x g x ，若存在实数使得)()(00x g x f =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题:6p x π∀≤，1sin 2x ≤，则命题:p ⌝． 14.已知满足，则.15.已知圆与轴相切，圆心在轴的正半轴上，并且截直线10x y -+=所得的弦长为2，则圆的标准方程是________.16. 函数⎩⎨⎧>+-≤-+=,0,ln 1,0,2)(2x x x x x x f 的零点为． 三、解答题：共70分。
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2017-2018学年度高三一轮复习过关考试（五）数学（理）一、选择题C. 2. 设集合{}-11A =，，{}1B x ax ==，若B A Í，则实数a 取值的集合是( ) A. {}1- B. {}1 C. {}1,1-D. {}01,1-， 3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a b ，分别为5，2，则输出的n 为( )A ．2B ．3C ．4D ．54.设D 为ABC D 所在平面内一点，3BC CD =，则( )A. 1433AD AB AC =-+B. 1433AD AB AC =-C. 4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC =-5. 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则( ) A. 2sin(2)6y x π=- B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+D.2sin(2)3y x π=+ 6. 函数cos sin y x x x =+的图象大致为( )7．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为( )A. 29y x =B. 26y x =C. 23y x =D. 2y8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．8(12)3p +B ．8(1)3p +C ．4(23)3p +D ．4(2)3p +9.在ABC D 中，4B p =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =( ) A. 31010 B. 1010 C. －1010D. －3101011.已知函数()f x 为定义在(0,)2上的可导函数，'()f x 是()f x 的导函数，且恒有'()()tan f x f x x <?成立则( )()()43f pp B.(1)2()sin16f f π> ()()64f f pp ()()63f f p p 12.已知函数21,10()22,01x f x x x x x ìïï-＃ï=+íïï-<?ïî ，若()(2)f n m f m n -?，则m n +的最小值是( )A. -5B.5C.-2D.2 二、填空题13. 已知函数(cos )cos 2cos f x x x =+，则'()4f p = .14．已知过点(3,0)M -的直线l 被圆22(2)25x y ++=所截得的弦长为8，那么直线l 的方程为________．15.在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ^， 6 8AB BC ==，，15AA =，则V 的最大值是 ．16. 如图所示，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为a ，且t a n 7a =，OB 与OC的夹角为045．若O C m O A n =+ ()m n R Î，， 则m n += ．三、解答题17. 在公差不为零的等差数列{n a }中，23a =，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }的前n 项和为n S ，记31n nb S =. 求数列}{n b 的前n 项和n T .18. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19.在四棱锥中P ABCD -，底面是正方形，侧面PAD ^底面ABCD ，且2PA PD AD E F ==，、，分别为PC BD 、的中点. （1）求证：//EF 平面PAD ；（2）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --出点G 的位置；若不存在，请说明理由.20. 已知点21.已知函数ln ()xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x = 在点(1(1))f ，处的切线与x 轴平行．（1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 是()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2()1g x e -<+．22.已知曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin r q q =+，直线1l ：()6pq r =?R ，直线2l ：()3pq r =?R .以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于O ，M 两点，直线2l 与曲线C 交于O ，N 两点，求OMN △的面积.第五次诊断考试数学答案一、选择题二、填空题13. 1p + 14. 3x =-或512150x y -+= 15. 323π16. 3 三、解答题 17.解析：（1）设{n a }的公差为(0)d d ¹，因为23a =，731,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =?. 即2222()()(5)a d a d a d +=-+，而23a =，解得：1d =，所以1n a n =+ 6分 （2）由（1）知：33(231)9(1)22n n n n n S +++==所以312211()9(1)91n n b S n n n n ===-++，所以2111112(1)922319(1)n nT n n n =-+-++-=++ . 12分 18.解析：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. 5分(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65. 12分19.解析：（1）连接AC ，由正方形性质可知，AC 与BD 相较于点F ，所以，在PAC D 中，EF PA ，又 PA PAD Ì面，EF PAD Ë面， 所以 EF PAD 平面 4分 （2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ，因为PA PD=所以PO AD^，又因为侧面PAD ^底面ABCD ，交线为AD ，所以PO ABCD^平面.以O 为原点，分别以射线,,OA OF OP 为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 不妨设2AD =. 6分 则有：(0,0,1)P ，(1,0,0)D -，(1,2,0)C -， 假设AB 上存在符合条件的点(1,,0)G a ，02a <<，则(1,2,1)PC =-- ，(1,0,1)PD =-- ，(2,,0)DG a =因为侧面PAD ^底面ABCD ，交线为AD ，且底面是正方形，所以 CD PAD ^平面，则CD PA ^，由222PA PD AD +=，得PD PA ^所以PA PDC ^面，即平面PDC 的一个法向量为(1,0,1)PA =- 8分设平面PDG 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则020x z x a ì--=ïïíï+=ïî， 可取 (,2,)n a a =--由二面角C PD G --1a =. 10分所以线段AB 上存在点G ，且G 为AB 的中点，使得二面角C PD G --的余弦值为. 12分(0,2)， ∴|PM |2＝54，－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|<1. 综上所述， 12分21.解析：（1），依题意，为所求. 3分（2）此时(0)x >记，，所以()h x 在(0，)+∞单减，又(1)0h =，所以，当01x <<时，()0h x >，'()0f x >，()f x 单增； 当 1x >时，()0h x <，'()0f x <，()f x 单减.所以，增区间为（0，1） 减区间为（1，)+∞. 7分 （3），先研究1ln x x x --，再研究.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时，'()0i x >，()i x 单增； 当2(x e -∈，)+∞时，'()0i x <，()i x 单减 .所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+. ② 记，，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即综①②知，. 12分22. 解析：（1）依题意，直线1l 的直角坐标方程为y x =，直线2l 的直角坐标方程为y =. 因为4cos 2sin ρθθ=+，故24cos 2sin ρρθρθ=+，故2242x y x y +=+，故22(2)(1)5x y -+-=，故曲线C的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. 5分（2）联立64cos 2sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，，得到||1OM =，同理||2ON =又6MON π∠=，所以1||||sin 2MON S OM ON MON =⋅∠=△即OMN △. 10分。