高中数学课后提升训练七1.3.3函数的最大(小)值与导数新人教A版选修2-2

课后提升训练七函数的最大(小)值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·济南高二检测)函数f(x)=x2e x+1,x∈[-2,1]的最大值为( )A.4e-1B.1C.e2D.3e2【解析】选C.f′(x)=xe x+1(x+2),令f′(x)=0得x=-2或x=0,当f′(x)>0时,x<-2或x>0;当f′(x)<0时,-2<x<0,当x=-2时f(-2)=;当x=0时,f(0)=0;当x=1时,f(1)=e2,所以函数的最大值为e2.2.函数y=x-sinx,x∈的最大值是( )A.π-1B.-1C.πD.π+1【解析】选C.在上,y′=1-cosx≥0,所以y=x-sinx为增函数,所以当x=π时,y max=π.3.已知函数f(x)=ax-lnx,当x∈(0,e](e为自然常数),函数f(x)的最小值为3,则a的值为( )A.eB.e2C.2eD.2e2【解析】选B.由f(x)=ax-lnx得f′(x)=a-,因为x∈(0,e],所以当a≤时,f(x)在x∈(0,e]是减函数,最小值为f(e)=ae-1≤0,不满足题意,当a>,f(x)在是减函数,是增函数,所以最小值为f=1+lna=3⇒a=e2.【补偿训练】(2017·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于( ) A.0 B.1 C.2 D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.4.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于( )A. B. C. D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,令f′(x)=0得x=,又a>,所以0<<2.当0<x<时,f′(x)>0,f(x)在上单调递增;当2>x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.5.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈(0,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为( )A.a>4B.a≥4C.a<4D.a≤4【解析】选B.因为x∈(0,1],所以f(x)≥0,可化为a≥-,设g(x)=-,则g′(x)=.令g′(x)=0,得x=.当0<x<时,g′(x)>0;当<x≤1时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有极大值g=4,它也是最大值,故a≥4.6.设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是( )A.m<B.m<7C.m<D.m<【解析】选D. f′(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或-,f(-1)=,f=,f(1)=,f(2)=7.所以m<.7.(2017·武汉高二检测)函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,所以-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.8.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在[a,b]上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·北京高二检测)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值为______.【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍),当-1<x<0时,f′(x)>0;当0<x<1时,f′(x)<0,所以当x=0时,函数取得极大值即最大值.所以f(x)的最大值为2.答案:210.(2017·包头高二检测)设函数f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2]的最大值为M,最小值为m,则M+m=________. 【解析】由f(x)=x3-3x+1,得f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,-1),(1,2),单调递减区间为(-1,1),所以当x=-1时,f(x)有极大值3,当x=1时,f(x)有极小值-1.又f(-2)=-1,f(2)=3,则M+m=3-1=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·长沙高二检测)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 【解析】f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).(1)当a>0时,列表如下:x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2f′(x) + 0 -f(x) -7a+b ↗ b ↘-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,也就是函数在[-1,2]上的最大值,所以f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),所以f(2)=-16a+3=-29,所以a=2.(2)当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取极小值,也就是函数在[-1,2]上的最小值,所以f(0)=-29,即b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),所以f(2)=-16a-29=3,所以a=-2.综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.【警示误区】分类讨论由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.12.(2017·北京高考)已知函数f(x)=e x cosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=e x cosx-x,所以f(0)=1,所以f′(x)=e x(cosx-sinx)-1,所以f′(0)=0,所以y=f(x)在(0,f(0))处切线过点(0,1),斜率k=0,所以切线方程为y=1.(2)f′(x)=e x(cosx-sinx)-1,设g(x)=f′(x),所以g′(x)=-2sinx·e x≤0,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f′(x)≤0,所以f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-.【方法技巧】求切线,先求切点,再求斜率,再利用点斜式求切线方程.求最值,先求极值,再求最值. 【能力挑战题】(2017·黄山高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间.(2)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值.【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.。