天津市和平区2017届高三第一次质量调查(一模)考试数学(理)试题Word版含答案
天津市部分区高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4 B．6 C．8 D．104．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3 B．2C．4D．125．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=17．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=．10．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是．（用数字填写答案）11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．2017年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而得到C R A，由此能求出集合A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴C R A={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（∁R B）={1，2}．故选：A．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．故选：B．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】程序框图．【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，故选：C．4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3 B．2C．4D．12【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，∴由正弦定理可得：c=，∵B=，b=6，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．故选：C．5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q的x 的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，故命题p：1≤x≤3；f（x）==x+，x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，故命题q：x≠0，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：=1．故选：D．7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，综合可得a＜﹣3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，则===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案为：410．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是﹣280．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．=•（﹣2）r•，令【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为T r+1=﹣1，求得r=3，可得x﹣1的系数为•（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，计算三棱锥的体积为V=××2×2×3=2．故答案为：2．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为1．【考点】定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】1解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，曲线y=4x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫01（4x﹣4x3）dx，而∫01（4x﹣4x3）dx=（2x2﹣x4）|01=2×1﹣1=1∴曲边梯形的面积是1，故答案为：1．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为x+y﹣4=0．【考点】直线的参数方程．【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵k CP==1，k AB=﹣1∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f （|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）当x∈[，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为，由此能求出这2名学生不属于同一班级的概率．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为…设2名学生不属于同一班级的事件为A所以．…（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，，，，．…所以X的分布列为所以．…17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，CF，证明BE∥CF即可；（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（Ⅲ）建系同（II）利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点F，连接EF，CF∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且；…∵，BC∥AD，∴EF∥BC且EF=BC；∴BE∥CF．…又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，，．…设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则从而令x=2，得n=（2，0，﹣1）．…同理可求平面ABD的一个法向量为．…．平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，C（0，0，1），B （1，0，1），，…设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，，令，得x=z=1，即．…易求平面ABC的一个法向量为．…．所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（Ⅲ）（方法一）建系同（II）（方法一），设Q（0，x，0），由（II）知平面ABCD的一个法向量为，；…若BQ与平面ABCD所成的角为，则==sin解得，所以Q（0，，0），，．…（方法二）建系同（II）（方法二），设，则，，由（II）知平面ABCD的一个法向量为．…若BQ与平面ABCD所成的角为，则．解得，则，从而…18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，可得{a n}为等差数列．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1），lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1），作差可得b n=，（n≥2）．c n==，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得，然后求解离心率即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．求出椭圆方程，直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求出AB的中点，推出﹣，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，…则，结合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，结合0＜e＜1，解得．所以椭圆C的离心率为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．所以椭圆方程为．…易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…由，得AB的中点，因为N在直线上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|===．又原点O到直线l的距离d=，…所以．当且仅当12﹣m2=m2，m=时等号成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：．…20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅲ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，则f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅱ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣，①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是减函数．②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点：，列表如下：综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；当a＞2时，f（x）的增区间是，减区间是，．（Ⅲ）证明：根据（Ⅱ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，从而．由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），则．当1＜t＜2时，h'（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，从而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．2017年4月10日。
2017年天津市和平区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{a+1，a2﹣2}，若A∩B＝{﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或1B．0或1C．﹣2或﹣1D．0或﹣2 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23] 3．（5分）在△ABC中，若AB＝4，AC＝BC＝3，则sin C的值为（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．5．（5分）“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知A、B分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．30°或120°7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（4，5）D．（0，5）二、填空题9．（5分）已知复数＝a+bi，则a+b＝．10．（5分）（﹣）8的展开式中x2的系数为．（用数字作答）四、标题11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．（5分）在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ＝﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．13．（5分）已知f（x）＝x3+3x2+6x，f（a）＝1，f（b）＝﹣9，则a+b的值为．14．（5分）若不等式3x2+y2≥mx（x+y）对于∀x，y∈R恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．16．（13分）理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB＝AP＝2，DA＝DC＝1，E为PC上一点，且PE＝PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．18．（13分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝1，a n+1＝2S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若＝3n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．20．（14分）设函数f（x）＝x2+alnx，（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）＝x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{a+1，a2﹣2}，若A∩B＝{﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或1B．0或1C．﹣2或﹣1D．0或﹣2【解答】解：∵集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{a+1，a2﹣2}，A∩B＝{﹣1，2}，∴或，解得a＝﹣2或a＝1．故选：A．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23]【解答】解：由约束条件，作可行域如图．由z＝3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A，B时，目标函数取得最值，由：，可得A（4，5），由可得B（1，2）时，目标函数取得最小值和最大值，分别为z max＝3×4+2×5＝22，z min＝3×1+2×2＝7．目标函数的范围：[7，22]．故选：B．3．（5分）在△ABC中，若AB＝4，AC＝BC＝3，则sin C的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝4，AC＝BC＝3，∴cos C＝＝＝，∴sin C＝＝．故选：D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i＝1，S＝0，k＝1；k＝1，不满足条件i＞4，S＝1，i＝2；k＝，不满足条件i＞4，S＝，i＝3；k＝，不满足条件i＞4，S＝，i＝4；k＝，不满足条件i＞4，S＝，i＝5；k＝，满足条件i＞4，退出循环，输出S＝．故选：C．5．（5分）“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x+1|+|x﹣2|≤5，x≥2时，化为2x﹣1≤5，解得2≤x≤3；﹣1≤x＜2时，化为x+1﹣（x﹣2）≤5，化为：3≤5，因此﹣1≤x＜2；x＜﹣1时，化为﹣x﹣1﹣x+2≤5，解得﹣2≤x ＜﹣1．综上可得：﹣2≤x≤3．∴“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的充要条件．故选：C．6．（5分）已知A、B分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．30°或120°【解答】解：双曲线的离心率为，则a＝b，双曲线方程为x2﹣y2＝a2，若|AB|＝|BP|＝2a，设P（m，n），则，∴m＝2a，∴∠PBx＝60°，∴∠ABP＝120°；若|AB|＝|AP|＝2a，设P（m，n），则，∴m＝﹣2a，∴∠P AB＝120°，∴∠ABP＝30°，故选：D．7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]【解答】解：建立如图所示的以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵满足＝＝λ，λ∈[0，1]，＝+＝+（1﹣λ）＝+（1﹣λ）＝（，）+（1﹣λ）（2，0）＝（﹣2λ，）；＝+＝﹣+（1﹣λ）＝（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）＝（﹣﹣λ，（1﹣λ）），则•＝（﹣2λ，）•（﹣﹣λ，（1﹣λ））＝（﹣2λ）（﹣﹣λ）+•（1﹣λ）＝λ2+λ﹣3＝（λ+）2﹣，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（4，5）D．（0，5）【解答】解：作出函数的图象，如图所示，关于x的方程f（x）﹣m＝0恰有五个不相等的实数解，则y＝f（x）与y＝m有五个不同的交点，∴0＜m＜4，故选：B．二、填空题9．（5分）已知复数＝a+bi，则a+b＝2．【解答】解：∵＝，∴，．则a+b＝．故答案为：2．10．（5分）（﹣）8的展开式中x2的系数为70．（用数字作答）【解答】解：T r+1＝＝（﹣1）r，令8﹣＝2，解得r＝4，∴展开式中x2的系数＝＝70．故答案为：70．四、标题11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为20cm3．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示；该几何体的体积为V＝×3×4×4﹣××2×3×4＝20cm3．故答案为：20．12．（5分）在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ＝﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y+1＝0，圆ρ＝﹣4cosθ即ρ2＝﹣4ρcosθ，即x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4，表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C的圆心到直线l的距离为＝，故答案为．13．（5分）已知f（x）＝x3+3x2+6x，f（a）＝1，f（b）＝﹣9，则a+b的值为﹣2．【解答】解：∵f（x）＝x3+3x2+6x，f（a）＝1，f（b）＝﹣9，∴f（x）＝（x+1）3﹣3x﹣1+6x＝（x+1）3+3x﹣1＝（x+1）3+3（x+1）﹣4，∴函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣4）对称，∵f（a）＝1，f（b）＝﹣9，∴（a，f（a）），（b，f（b））恰好关于（﹣1，﹣4）对称，∴a+b＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）若不等式3x2+y2≥mx（x+y）对于∀x，y∈R恒成立，则实数m的取值范围是[﹣6，2]．【解答】解：∵3x2+y2≥mx（x+y）恒成立，即（3﹣m）x2﹣my•x+y2≥0恒成立，∴，∴，解得﹣6≤m≤2．故答案为[﹣6，2]．三、解答题15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax ﹣）（a＞0），化简可得：f（x）＝sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1＝﹣cos2ax+sin2ax+1＝2sin（2ax﹣）+1∵函数的最小正周期为．即T＝由T＝，可得a＝2．∴a的值为2．故f（x）＝2sin（4x﹣）+1；（Ⅱ）x∈[0，]时，4x﹣∈[，]．当4x﹣＝时，函数f（x）取得最小值为1﹣．当4x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为2×1+1＝3∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．16．（13分）理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．可以得到个不同的样本．（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，则P（X＝k）＝，可得P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．其X分布列为：数学期望E（X）＝0+1×+2×+3×＝．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB＝AP＝2，DA＝DC＝1，E为PC上一点，且PE＝PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．【解答】（Ⅰ）解：∵四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB＝AP＝2，DA＝DC＝1，E为PC上一点，且PE＝PC，∴AC＝＝，∴PC＝＝＝，∴PE＝PC＝．（Ⅱ）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（），B（2，0，0），＝（），＝（2，0，﹣2），＝（1，1，﹣2），＝＝0，＝＝0，∴AE⊥PB，AE⊥PC，又PB∩PC＝P，∴AE⊥平面PBC．（Ⅲ）解：D（0，1，0），＝（2，0，0），＝（0，1，0），＝（），设平面ABE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，﹣1），设平面ADE的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，0，﹣1），设二面角B﹣AE﹣D的度数为θ，则cos（π﹣θ）＝cos＜，＞＝＝＝．∴θ＝120°，∴二面角B﹣AE﹣D的度数为120°．18．（13分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝1，a n+1＝2S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若＝3n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1＝2S n+1，∴a n＝2S n﹣1+1，（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n＝2a n，即＝3．又n＝1时，a2＝2a1+1＝3，∴，∴{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列．∴a n＝3n﹣1．（Ⅱ）b n＝（3n﹣1）a n＝（3n﹣1）•3n﹣1，∴T n＝2•30+5•31+8•32+…+（3n﹣1）•3n﹣1，①∴3T n＝2•31+5•32+8•33+…+（3n﹣1）•3n，②∴﹣2T n＝2+32+33+34+…+3n﹣（3n﹣1）•3n＝﹣1﹣（3n﹣1）•3n＝（）•3n﹣，∴T n＝（﹣）•3n+．19．（14分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2b＝a，将（2，1）代入椭圆方程：，解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程；（Ⅱ）由丨PM丨2＝（x﹣2）2+y2，由P（x，y）在椭圆上，（﹣4≤x≤4）则y2＝4﹣，∴丨PM丨2＝x2﹣4x+4+4﹣＝x﹣4x+8＝（x+）+，∴当x＝﹣时，丨PM丨取最小值，最小值为，∴当x＝﹣，解得：y＝±，∴|PM|的最小值，P点的坐标（﹣，±）．20．（14分）设函数f（x）＝x2+alnx，（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）＝x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+alnx的导数为f′（x）＝x+，由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，可得2+＝，解得a＝﹣3；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，当a＜0时，f′（x）＝，当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；（3）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x＝﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数．当a≤﹣1时，F′（x）＝﹣x+1﹣a+＝﹣，①当a＝﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，由F（3）＝﹣+6﹣ln3＝﹣ln3＞0，F（4）＝﹣8+8﹣ln4＜0，由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；②当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，由极小值F（1）＝﹣+（1﹣a）+aln1＝﹣a＞0，极大值F（﹣a）＝﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）＝a2﹣a+aln（﹣a）＞0，由x→+∞时，F（x）→﹣∞，可得F（x）存在一个零点．综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．。
天津市和平区高三数学第一次质量调查(一模)考试试题
和平区2016-2017学年度第二学期高三第一次质量调查数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+- ，若{1,2}A B =-I ，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-2 2、设变量,x y 满足约束条件3010230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数32z x y =+的取值范围是A ．[]6,22B ．[]7,22C ．[]8,22D ．[]7,233、在ABC ∆中，若4,3AB AC BC ===，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．459 4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32 B ．53C ．4124D ．10360 5、“125x x ++-≤”是“23x -≤≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP ∆为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP ∠的度数为A ．030B ．060C ．0120D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BAD AB AD π∠===， 若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC AD DC λ==, 其中[]0,1λ∈，则AN BM ⋅u u u r u u u u r 的取值范围是A ．[]3,1--B ．[]3,1-C ．[]1,1-D ．[]1,38、已知函数()2223,2213,2x x x f x x x x ⎧+-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范围是A ．[]0,4B ．(0,4)C ．(4,5)D ．(0,5)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9、已知复数121i a bi i +=++，则a b += 10、8()x y y x-的展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 11、已知一个几何体的三视图如右图所示（单位：cm ）则该几何体的体积为 3cm 12、在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程是312(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为13、已知()3236,()1,()9f x x x x f a f b =++==，则a b +的值为 14、若不等式223()x y mx x y +≥+对于,x y R ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分13分）已知函数()223sin()cos()2cos ()(0)444f x ax ax ax a πππ=--+->，且函数的最小正周期为2π. （1）求a 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值.16、（本小题满分13分）理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可)；（2）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如下表：规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,//,,2,ABCD AB DC DA AB AB AP ⊥== 1,DA DC E ==为PC 上一点，且23PE PC =. （1）求PE 的长；（2）求证：AE ⊥平面PBC ；（3）求二面角B AE D --的度数.18、（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知111,21()n n a a S n N ++==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(23,1)，且以椭圆的短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.（1）求椭圆E 的方程；（2）设(,)P x y 是椭圆E 上的动点，(2,0)M 为以定点，求PM 的最小值及取得最小值时点P 的坐标.20、（本小题满分14分）设函数()21ln ,(0)2f x x a x a =+<.（1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()2(1)g x x a x =--，当1a ≤-时，讨论()f x 与()g x 图象交点的个数.。
2020届天津市和平区2017级高三高考一模考试数学试卷及解析
2020届天津市和平区2017级高三高考一模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}33,I x x x Z =-<<∈,{}1,2A =,{}2,0,2B =-,则()I AC B =( ) A. {}1B. {}1,1,2-C. {}2D. {}0,1,2 【答案】B【解析】先利用补集运算求出I C B ,即可根据并集运算求出()I A C B ． 【详解】因为{}{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--,所以{}1,1I C B =-, 故()I A C B ={}1,1,2-．故选：B ．2.“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据特殊角的正切函数值,可知()tan ,6366k k Z πππααπ⎛⎫-=⇔-=+∈ ⎪⎝⎭,根据充分必要条件的判断,即可求出结果.【详解】由题意可知,()()tan ,63663k k Z k k Z ππππααπαπ⎛⎫-=⇔-=+∈⇔=+∈ ⎪⎝⎭,,所以“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件.故选：C.3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,()[]g x x =为取整函数,0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点,则()0g x =（ ）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】C【解析】根据零点存在定理,可判断出零点所在的相邻整数区间,即可由定义求得()0g x 的值.【详解】函数()ln 4f x x x =+-(0,)+∞递增, 且(2)ln 220f =-<,(3)ln 310f =->,所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈,故()02g x =,故选：C.4.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线2:2(0)y px p Γ=>的准线分别交于A ,B 两点．若双曲线C 的离心率为2,ABO ,O 为坐标原点,则抛物线Γ的焦点坐标为 ( )A. 0)B. (1,0)C. ,0)2D. 1(,0)2【答案】B【解析】 求出双曲线双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线方程与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程,进而求出A ,B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,△AOB 列出方程,由此方程求出p 的值． 【详解】∵双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,。
天津市和平区2017届高三数学第一次质量调查(一模)考试试题 文
和平区2016-2017学年度第二学期高三第一次质量调查数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合{1,2,3},{|1,}A B y y x x A ===-∈,则A B 等于A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,3,42、一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为A ．310 B ．25 C ．12 D ．353、已知一个几何体的三视图如右图所示（单位：cm ）则该几何体的体积为A ．312cmB ．316cmC ．318cmD ．320cm4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的方程是y =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，则双曲线的方程为 A ．221824x y -= B ．221248x y -= C ．221412x y -= D ．221124x y -= 5、“25x -≤”是“37x -≤≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知函数()22log (23)f x x x =--，则下列各区间中，能满足()f x 单调递减的是 A ．()3,6 B ．()1,2 C ．()1,3- D ．()4,1--7、7、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BAD AB AD π∠===， 若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC AD DCλ==, 其中[]0,1λ∈，则AN BM ⋅的取值范围是A ．[]3,1--B ．[]3,1-C ．[]1,1-D ．[]1,38、已知函数()3sin()6f x wx π=-与()2(2)1g x os x ϕ=+-的图象有相同的对称轴，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是A ．3(,3)2-B ．3[,3]2-C ．33[,]22- D ．[3,3]-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9、已知复数(2).()ai i a R +∈ 的实部与虚部互为相反数，则a 的值为10、若过点(1,1)的直线与圆226440x y x y +--+=相交于,A B 两点， 则AB 的最小值为11、阅读右面的程序框图，当该程序运行后输出的x 的值是12、在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =的图象与1()2x y = 的图形关于直线y x =对称，而函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于y 轴对称，若()2g a =-，则a 的值为13、已知()3236,()1,()9f x x x x f a f b =++==，则a b +的值为 14、若不等式223()x y mx x y +≥+对于,x y R ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分13分）在ABC ∆中，已知42,3,cos 5AC BC A ===-. （1）求sin B 的值；（2）求sin(2)6B π+的值.16、（本小题满分13分）某化肥厂输出甲乙两种混合肥料，需要A 、B 两种主要原料，生产1吨甲种化肥和生产1吨乙种化肥所需要的原料的吨数如下表所示：每日可用A 种原料12吨，B 种原料8吨，已知输出1吨甲种化肥可获利润3万元；生产1吨乙种化肥可获利润4万元，分别用,x y 表示计划输出甲乙两种化肥的吨数.（1）用,x y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问每日分别生产甲乙两种化肥各多少吨，能够产生最大利润？并求出此最大利润.17、（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD 中，,BA BD AD CD =⊥，点,E F 分别为,AC AD 的中点.（1）求证：//EF 平面BCD ；（2）求证：平面EFB ⊥平面ABD ；（3）若2,BC BD CD AD AC =====求二面角B AD C --的余弦值.18、（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知111,21()n n a a S n N ++==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若31n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点，且以椭圆的短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.（1）求椭圆E 的方程；（2）设(,)P x y 是椭圆E 上的动点，(2,0)M 为以定点，求PM 的最小值及取得最小值时点P 的坐标.20、（本小题满分14分）设函数()21ln ,(0)2f x x a x a =+<.（1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()2(1)g x x a x =--，当1a ≤-时，讨论()f x 与()g x 图象交点的个数.。
天津市2017届高三毕业班联考一数学理试题Word版含答案
2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1.已知集合{}24M x x =|>,{}3N x x =|1<<，则R NC M = （ ）A. {}1x x |-2≤<B.{}2x x |-2≤≤C. {}2x x |1<≤D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．11C ．23D ． 47 4.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题； ②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”；③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)mx -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．83B ．163C ．1633D ．8337.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，()()22log 22f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[2,)+∞8．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ． ()1,0-C ．()()2,11,0---D ． ()2,1--第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i 为虚数单位，则复数243ii--的模为 . 10. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为 . 11. 已知直线l 的参数方程为4x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为22sin()4πρθ=+ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为 .12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .13. 设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足C,D .若2AF BF =，且三角形CDF ，则p 的值为 .14.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中，090C ∠=，点,N M 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅=，则MD DN ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 （Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.16．（本小题满分13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． （Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .17．（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯正视图ACBDEPD EC形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点.（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值AG 的长.18．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式a nS n n n ⋅->++)1(21恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于,A B 两点，点C 在椭圆E 上，AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点，ABD ∆的面积为2ab 时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b AB AC ==时，求k 的取值范围．20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题:每小题5分，共30分.10.18；11.12.1；；14.512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）………2分………4分由()42xk k Zππ≠+∈得()f x的定义域为(){}|24x x k k Zππ≠+∈………6分（k Z∈占1分）故()f x的最小正周期为2412Tππ==……7分（Ⅱ）0xπ-≤≤23266xπππ∴-≤-≤-……8分2,,()26326xx f xπππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减……9分0,()26266xx f xππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增……10分min()()6f x fπ∴=-=……11分而3(0)()2f fπ∴=-=-……12分max()(0)f x f∴==……13分（注：结果正确，但没写单调区间扣2分）16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)3343101239(A)1()2240C P C =-⋅=所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为239240. ……5分 （Ⅱ）由题可知X 可能取值为0,1,2,3. ……6分30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ……10分则随机变量X 的分布列为……11分1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ……13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD 的中点Q ，连接PQ BQ ，，则PQ ∥AF ∥BE ,且12PQ AF BE ＝＝，所以四边形BEPQ 为平行四边形 ……2分所以PE ∥BQ ，又BQ ⊂平面ABCD ，PE ⊄ 平面ABCD ， 则PE ∥平面ABCD . ……3分（Ⅱ）取AB 中点O ，连接CO ，则CO AB ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，交线为AB ，则CO ⊥平面ABEF……4分作OM ∥AF ，分别以,,OB OM OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则((1,4,0),E(1,2,0)D F -- ……5分于是(1,4,3),(2,2,0)DF EF =-=- ，设平面DEF 的法向量(,,)m x yz = ，则{4022x y x +=-+令1x =，则1,y z == ……6分平面AEF 的法向量(0,0,1)n = ……7分所以3cos ,3131m n == ……8分又因为二面角D EF A －－. ……9分 （Ⅲ）(1,0,0),(1,0,3),(),A AD AG λ-=-=-则()G λ-- ，(,)FG λ=-- ，而平面ABEF 的法向量为(0,0,1)m =，设直线FG与平面ABEF 所成角为θ，于是sinθ==……11分于是λ=AG = . ……13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则⎩⎨⎧==+820)1(121q a q a ，……1分 ∴02522=+-q q …2分∵1q >，∴⎩⎨⎧==241q a ，∴数列{}n a 的通项公式为12+=n n a ．……5分（Ⅱ）解：12+=n n n b∴14322232221+++++=n n nS=n S 2121432212221+++-+++n n n n ∴2143222121212121++-+++=n n n nS ……7分 ∴1321221212121+-+++=n n n nS =1112212212121++++-=--n n n n n ……9分∴n n a 211)1(-<⋅-对任意正整数n 恒成立，设n n f 211)(-=，易知)(n f 单调递增． ……10分n 为奇数时，)(n f 的最小值为21，∴21<-a 得21->a ， ……11分n 为偶数时，)(n f 的最小值为43，∴43<a ， ……12分综上，4321<<-a ，即实数a 的取值范围是)43,21(-． ……13分19．（本小题满分14分） 解：直线AB 的方程为by x b a=+ 直线AC 的方程为()ay x a b =-+，令0x =，2a y b =- ……2分21()22ABDa Sb a ab b∆=⋅+⋅= ……3分 于是2224a b b +=，223,e c a b a === ……5分（Ⅱ）直线AB 的方程为()y k x a =+，联立()22213x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222324223230a k x a k x a k a +++-= 解得x a =-或322233a k a x a k -=-+， ……7分2263a AB a a k==+所以 ……8分263aAC a k k=+同理 ……9分 因为2AB AC =22266233a aa a kk k=++所以，整理得，223632k k a k -=-． ……11分因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以23a >，即236332k kk ->-，……13分整理得()()231202kk k +-<-2k <<．……14分20．（本小题满分14分）解：……1分当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间． ……2分 当0a >时，由()'0f x >，()'0f x <，得所以函数()f x……3分（Ⅱ）（1因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ……4分所以()F x 的最小值244ln 02a a a a -+-<. ……5分 因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.…6分当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. ……7分又当3a =时，()()()332ln30,F 10F =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. ……8分（2）证明 ：不妨设120x x <<，于是()()22111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=-- 即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =. ……10分0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()F'0x >，2a 即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， ……11分即证()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，也就是证11221222ln－＋x x x x x x <. ……12分 设()1201x t t x =<<．因为0t >，所以()0m t '≥， ……13分文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11word 版本可编辑.欢迎下载支持. 当且仅当1t =时，()0m t '=， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数． 又()10m =，所以当()()0,1,m 0m t ∈<总成立,所以原题得证． ……14分。
天津市和平区2017届高三上学期期末质量调查数学理试题Word版含答案
数学（理）学科第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则A B =I （ ）A ．(2,1]-B ．(3,2]--C ．[3,2)--D ．(,1](3,)-∞+∞U 2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（ ）A． B． C ．8 D．4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（ ）A ．57B ．120C ．183D ．247 5.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为 ）AB ．2 CD ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是（ ） A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,7 8.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3(0,)4 C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i =+，234z i =-，若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ．10.91(2x的展开式中的常数项为 ．（用数学作答） 11.几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 2cm ．12.直线3y kx =+(0k ≠)与圆226490x y x y +--+=相交于A 、B两点，若||AB =，则k 的值是 ．13.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是 ． 14.定义在R 上的奇函数()f x 是周期为2的周期函数，当[0,1)x ∈时，()21x f x =-，则2(log 3)f 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-++-． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间． 16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23． （1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥；（2）求证：//BD 平面PEC ；（3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =． （1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分） 已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）． （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区2016-2017学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷答案一、选择题1-5:CBCBA 6-8:BCD二、填空题9.4 10.21211.12.34- 13.414.13- 三、解答题15.解：（1）∵1()cos 22(sin cos )(sin cos )2f x x x x x x x =++- ∴()f x 的最小正周期22T ππ==． 则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=． （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()， 33328(3)()327P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为∴随机变量X 的数学期望()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD u u u r 、AB u u u r 、APu u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．∵(2,0,2)AF =u u u r ，(4,4,4)PC =-u u u r ，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=u u u r u u u r ， ∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-u u u u r ，(4,4,0)BD =-u u u r ，∴2BD EM =u u u r u u u u r ，∴//BD EM ．∵EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ．（3）解：∵AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =I ，∴AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =u u u r 为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =r ，∵(4,4,4)PC =-u u u r ，(0,4,2)PE =-u u u r ，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =r ．∴cos ,2AF n <>==u u u r r ， ∴锐二面角D PC E --18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯… 101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥）， ∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-．（2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，①则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，②①-②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+，∴3(1)232(123)n n S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3nn n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）． ∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=， 由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞， ∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+，∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-．∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立，∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，故a 的取值范围是[]1,3．。
天津市和平区2017届高三总复习质量检测数学(文)试卷Word版含答案
天津市和平区2017届高三总复习质量检测数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24Rπ球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合={01234}U ，，，，，={123}A ，，，={24}B ，，则()U C A B =（A ）{2} （B ）{24}，（C ）{04}， （D ）{4}（2）i 是虚数单位，复数34i12i+=-（A ）12i + （B ）12i -（C ）12i -+ （D ）12i --（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （A ）2016 （B ）2 （C ）12（D ）1-（4）若1311321=()=log 2=log 32a b c ，，，则a b c ，，三者的大小关系是（A ） b c a >>（B ）c a b >>（C ） a b c >>（D ）a c b >>（5）设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“+3x y ≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -（7）若函数()=sin +f x x x 的图象关于直线x=a 对称，则最小正实数a 的值为 （A ）π6（B ）π4（C ）π3 （D ）π2（8）已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x +x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c 的取值范围是（A ）(3)∞-， （B ）(03]，（C ）[03]， （D ）(03)，第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2017届天津市高三第一次六校联考理科数学试题及答案
2017届高三六校联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( )A ．21- B ．2 C ．2- D ．212．已知正数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z )21()41(⋅=的最小值为（ ）A ．116B ．41C ．322 D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知0,0>>y x ，112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,2(-B ．)2,4(-C ．]4,2[-D ．]2,4[-5．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A ．455B ．355C ．255D ．556．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．16B ．32C ．48D ．144 7．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若μλ+=),(R ∈μλ，且81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．223 B ．2 C ．332 D ．28．已知函数⎩⎨⎧-=22)(x x x f )0()0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．),2[+∞B ．),2[+∞C ．]2,0(D ．]3,2[]1,2[ --第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9．设Q P ,分别为直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x 531541（t 为参数）和曲线C：)4cos(2πθρ+=上的点，则PQ的最小值为 ．10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则31log (a 5＋a 7＋a 9)的值是 ．11．向平面区域Ω＝{(x ，y )|2π-≤x ≤2π，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos x 下方 的概率是 ．12．在平行四边形ABCD 中，N M ,分别是BC CD ,的中点，)1,3(,)2,1(==，则=⋅ ．13．如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ． 若PA ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________．14．函数ax x x f -=ln )(在区间]3,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . （I ）求)(x f 的单调递增区间；（II ）求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值． 16．（本题满分13分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为52,53,54，且各轮问题能否正确回答互不影响． （I ）求该同学被淘汰的概率；（II ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 17．（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？ 证明你的结论． 18．（本题满分13分）已知数列}{},{n n b a 的每一项都是正数，8,411==b a 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*N n ∈（Ⅰ）求22,b a ；（Ⅱ）求数列}{},{n n b a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，都有3211111121<-+-+-n a a a ．19．（本题满分14分） 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，且椭圆经过点)1,0(-A（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如果过点)53,0(H 的直线与椭圆E 交于N M ,两点（点N M ,与点A 不重合），①若AMN ∆是以MN 为底边的等腰三角形，求直线MN 的方程；②在y 轴上是否存在一点B ，使得⊥，若存在求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分14分）设函数ax x x a x f 21ln )2()(++-=，x a xax x g ln )3(1)(-++=，R a ∈ （Ⅰ）当0=a 时，求)(x g 的极值； （Ⅱ）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数)(x F y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数)(x F y =图象上的点),(00y x M （其中2210x x x +=）总能使得)()(21x F x F -))((210'x x x F -=成立，则称函数具备性质“L”．试判断函数)()()(x g x f x F -=是否具备性质“L”，并说明理由．2017届高三六校联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分. 9．1025-9； 10．－5； 11．2π； 12．310； 13．1077；14．)1,33ln [e三、解答题15．(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x 当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ， )62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ.(Ⅱ)当]2,0[π∈x 时，656ππ≤≤-x ，1)62sin(21≤-≤-πx 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为2116．2557251232582511=⨯+⨯+⨯=∴ξE 17．解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-= 设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩ 取1y =-，得1(1,1,1)n =- ．∵1220PA n ⋅=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴ ，又平面平面 （II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量．设二面角CDE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ∴33,cos cos 21>=<=n n θ故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-=∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλPB PF ，则(2,2,2)PF λλλ=- ，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=- 由0PF DF ∙= 得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE//PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．（II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线, BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中,PD a =，BD =，PB =，a PF 33=．所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ．18．19．20．。
天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案(1)
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求 .
1. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 则“ a b ”是“ sin A sin B ”的
.
17. （本题满分 12 分）
已知函数 f x
3 sin 2x
cos2 x
1 ,x
R.
2
2
（ 1 ）求函数 f x 的最小值和最小正周期； （ 2 ）设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 c 3, f C 0,sin B 2sin A ，求 a,b 的值 .
18. （本题满分 12 分） 山西某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（本科学历）的
直线 y
5 上找到一点 P, 在椭圆 C 上找到一点 Q, 满足 PM
NQ ？若存在，求出直线 l 的
3
方程；若不存在，说明理由 .
21. （本题满分 12 分）
已知函数 f x ln x ax2 bx （其中 a, b 为常数，且 a 0）在 x 1 处取得极值 . （ 1 ）当 a 1时，求 f x 的单调区间； （ 2 ）若 f x 在 0,e 上的最大值为 1，求 a 的值 .
5 的概率为 ，求 x, y 的值 .
39
19. （本题满分 12 分） 如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， EA
1 且 FD EA 1.
2
（ 1 ）求多面体 EABCDF 的体积； （ 2 ）求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值； （ 3 ）记线段 BC 的中点为 K, 在平面 ABCD 内过点 K 作一 条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图的痕迹， 但不要求证明 .
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和平区2016-2017学年度第二学期高三第一次质量调查
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+- ，若{1,2}A B =- ，则m 的值为
A ．-2或-1
B ．0或1
C ．-2或1
D ．0或-2
2、设变量,x y 满足约束条件3010230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则目标函数32z x y =+的取值范围是
A ．[]6,22
B ．[]7,22
C ．[]8,22
D ．[]7,23
3、在ABC ∆中，若4,3AB AC BC ===，则sin C 的值为
A ．23
B ．19 C
．3 D
．9
4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为
A ．
32 B ．53
C ．4124
D ．10360 5、“125x x ++-≤”是“23x -≤≤”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、已知,A B 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP ∆
ABP ∠的度数为
A ．030
B ．060
C ．0120
D ．030或0120
7、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13
BAD AB AD π
∠===， 若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC AD DC λ==, 其中[]0,1λ∈，则AN BM ⋅ 的取值范围是
A ．[]3,1--
B ．[]3,1-
C ．[]1,1-
D ．[]1,3
8、已知函数()2223,2213,2
x x x f x x x x ⎧+-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范围是
A ．[]0,4
B ．(0,4)
C ．(4,5)
D ．(0,5)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..
9、已知复数
121i a bi i +=++，则a b += 10
、8(x y 的展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 11、已知一个几何体的三视图如右图所示（单位：cm ）
则该几何体的体积为 3
cm 12、在直角坐标系xOy
中，直线的参数方程是1(12
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为
13、已知()32
36,()1,()9f x x x x f a f b =++==，则a b +的值为 14、若不等式223()x y mx x y +≥+对于,x y R ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（本小题满分13分）
已知函数(
)2)cos()2cos ()(0)444f x ax ax ax a πππ=-
-+->，且函数的最小正周期为2
π. （1）求a 的值；
（2）求()f x 在[0,
]4π上的最大值和最小值.
16、（本小题满分13分）
理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可)；
（2）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如下表：
规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
17、（本小题满分13分）
如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,//,,2,ABCD AB DC DA AB AB AP ⊥== 1,DA DC E ==为PC 上一点，且23PE PC =
. （1）求PE 的长；
（2）求证：AE ⊥平面PBC ；
（3）求二面角B AE D --的度数.
18、（本小题满分13分）
设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知
111,21()n n a a S n N ++==+∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若
31n n
b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19、（本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>经过点，且以椭圆的短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设(,)P x y 是椭圆E 上的动点，(2,0)M 为以定点，求PM 的最小值及取得最小值时点P 的坐标.
20、（本小题满分14分）
设函数()21ln ,(0)2
f x x a x a =+<. （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线斜率为
12，求实数a 的值； （2）求()f x 的单调区间；
（3）设()2
(1)g x x a x =--，当1a ≤-时，讨论()f x 与()g x 图象交点的个数.。