自由曲线曲面造型技术

CAFD computer aided fixture design
CAPP computer aided process planning 计算机辅助工艺设计
CAQ computer aided quality assurance 计算机辅助质量保证 CATD computer aided tool design 计算机辅助刀具设计
MATLAB(cn)
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：
曲线拟合的方法有很多种，主要有
1、多项式拟合
2、线性最小二乘法
3 、非线性最小二乘法 4、根据具体情况取指数函数、对数函数等 拟合
5、分段拟合
等等
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： （1）
+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
曲线插值的定义
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n,其中
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
X Y
0 0
3 1.2
5 1.7
7 2.0
9 2.1
y
11 2.0
12 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
机翼下 轮廓线







x
To MATLAB(plane)
二维插值
一、二维插值定义 二、网格节点插值法
最邻近插值 分片线性插值 双线性插值
三、用Matlab解插值问题
网格节点数据的插值
1.2 发展趋势
1.2.1 能量优化法 1.2.2偏微分方程法(PDE) 1.2.3流 1.2.4小波技术（略） 这些技术21世纪有望被CAD/CAM技术所采 用。
1.2.1 能量优化法
• 1987，加那大Terzopoulos, 基于物理能量 模型的可变形曲线曲面造型技术引人计 算机图形学，用Lagrange方程建立能量模 型，并用差分法解偏微分方程。有时问 题会化为多目标规划问题.
1) si ( x) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x) C 2 [ x0 , xn ]
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
x f 1 1.5 2 3.9 4 6.6 7 11.7 9 15.6 12 13 18.8 19.6 15 20.6 17 21.1
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
y +
+
+
+ i (x+ i,yi)
+
+ +
+
y=f(x)
x
2、插值
曲线插值的方法也很多, 主要有
1)多项式插值
2)样条插值(B样条,三次样条)
3)最临近值插值
4)线性插值
等等
样条插值
比分段线性插值更光滑。
y



由柔性的薄膜形成的表面被最优化问题决定: min{ c'*x+0.5*x'*H*x : low <= x } 其中 c‘*x + 0.5*x’*H*x 能量函数不连续的近似值 H = delsq(numgrid(‘S’,30+2)); (numgrid数据格子) h = 1/(30-1); c = -h^2*ones(30^2,1);
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值
1.1.4 曲面转换(Conversion)
• 同一张曲面可以表示为不同的数学形式， 这一思想不仅有理论意义，而且具有工 业应用的现实意义。
1.1.5 曲面等距性(offset)
• 在计算机图形及加工中有广泛的应用。 （如：平面到柱面）
clear,close; close;x=-3:0.1:3;y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y); figure(1) plot3(X,Y,Z) figure(2) N=100;R=[1 1];[X,Y,Z] = CYLINDER(R,N); plot3(X,Y,Z);;hold on; plot3(X(1,:),Y(1,:),Z(1,:));hold on plot3(X(2,:),Y(2,:),Z(2,:));
自由曲面理论的发展经历了长期的实践酝 酿，早在二战期间，飞机工业就成功创造了成 套的飞机外形及其主要结构件的数据定义方法。 20世纪60年代Coons和Bé zier通过长期从事飞 机汽车的外形设计加工，提出更加完美、通用 的曲面表达式，最终导致了完备的非均匀有理 B样条(NURBS)曲面理论体系的诞生。
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]2
i 1 k 1
m
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
但人们并不安于现状，继续探索新的造型 方法。相继出现了自由变形造型、偏微分方程 造型、能量法造型、小波技术等。这些方法目 前还处于深入研究阶段，有望于21世纪得到广 泛的应用。
插值(interpolation)、拟合（fitting)和 逼近（approximation)，一直是曲线曲面 造型基本的方法。 自由曲线曲面造型技术是与计算机技 术同步发展的。 样条函数由Schoenberg于1946年提出； 第一台电子计算机1946年2月问世。并非 是巧合。
计算机辅助技术的应用范围：
宇航、汽车、船舶、计算机、 机械、模具、地质、气象、 医学等等。
从数学的角度讲
曲线=一元函数的图象（表示）
曲面=二元函数的图象（表示）
所谓“自由”，亦即“不依赖坐标架 的选取” 图象表示是函数的表示方式之一， 特别函数没有解析表达的时候。
市面上 超人CAD/CAM系统 是集几何造型与数控编程于一体的集成化软件, 具有统一的数据结构,数据管理和用户界面.系统 采用NURBS（Non Uniform Rational B-Spline) 方法为造型核心,统一表示二次曲线曲面和自由 曲线曲面.从根本上解决了不规则的任意边界的 曲面造型问题,解决了复杂零件的四,五坐标加工 编程问题,适用于各种刀具端铣和侧铣,大大提高 了系统的数控编程能力.可以大面积切除毛坯余 量,提高加工效率.系统具有良好的开放性.
*
y1 y0
y
*





节点可视为由 y g ( x) 产生,，
g 表达式复杂,，
或无封闭形式,， 或未知.。
x0 x1 x*
xn
构造一个(相对简单的)函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
再用
f ( x) 计算插值，即 y f ( x ).
* *
y1 y0
y
*





x0 x1 x*
xn
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
lim S ( x ) g ( x )
n
g(x)为被插值函数。
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插 值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能 够超过x的范围。
例
Байду номын сангаас
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
1.1 研究现状
1.1.1 曲面变形
（Deformation or Shape Blending)