5.1傅立叶级数

第五章傅立叶变换5.1傅立叶级数

20cos(),~~kkxmxmxkxxAtm谐振动，谐波

教学重点：周期函数的傅立叶级数展开振动和波在科学技术的各个领域广泛存在，如弹簧振子、机械振动、声振动、声波、交变电流、电磁振荡、电磁波等。

对于弹簧振子的运动：对于声波的传播：

正弦或余弦函数可用来描写谐振动和谐波。实际的复杂振动是一系列各种频率的谐振动的叠加。在数学上，就是把周期函数分解为傅立叶级数。

知道人耳是怎样听到声音的吗？人耳科蒂斯器官包括成千上万条振动频率不同的纤维，当声振动传入人耳，声振动包含的各种谐振动频率与人耳同振动频率的纤维产生共振，刺激相应的神经末梢传到大脑，从而听到和识别各种声音，这是发生在我们身上的一个实际物理过程。无线电电子学上要经常用到这种分解和叠加。（一）周期函数的傅里叶级数展开(2)()21coscos......cos......2sin,sin......sin......1cos0(0)sinsin0()1sin0cossinllllllfxlfxxxkxlllxxkxlllkxkxnxdxkdxknlllkxkxnxdxdxlll周期函数：满足上式的谐函数有：，，，，，

，，，不难证明，任意两个都是正交的。

0010coscos0()()()(cossin)(cossin)()llllkkkkkkkkkxnxdxknllfxkxkxkxkxfxabaabllllfxab

这组函数具有正交性，也具有完备性，可作为基本函数族，将展为级数

称为周期函数的傅里叶级数.、称为傅里叶系数。00111()cos()(cossin)(c()sinossin)()llkkllkkkkkkkkkafdbfkxkxkxkxfxabaabAlllldllll



利用正交性可在一个周期内对(A)式两求得:；证：边逐项积分00101()(cossin)()2200lllllkklllllkkkfdadadbdafdlllla





01()coscos(coscossinccosos)00llllllkklllklnnfdadllknknanddbdllllknl

用(A)并用作除项都为用：

221cos1(cos)()cos.2201()cos;10lllnnnnllllnnlnnnnl

adadlaafdlllnnafdnll两式合写＝＝

为：＝0101()(cossin)Asin()sinsin(cossinsinsin)001()sinkkkllllllllkknllklnlkkfaabllndlnnfdadllknknadbdlbllllknnbfdll







（）用(A)并用作用：

除项都为222nn1cossinllllllnnablldddll注意、中的2或分别来自；和()()()1[(0)(0)]2fxfxxfxfx关于傅里叶级数敛散性问题的狄里希利定理：若函数满足条件（1）处处连续或在每个周期只有有限个第一类间断点（2）在每个周期中只有有限个极值点在连续点则级数收敛，且级数和＝（在间断点）0sin,tt例：交流电压E()=E经半波整流，负压被“削去”，试研究半波整流电压的傅里叶级数。

0/2/3/-/-2/

t

E(t)2sinsin(2)sin()22tttlTl



解：整流之前：

0011()(cossin)(cossin)kkkkkkktktEtaabaaktbktll



0

0[,0]2T=();()sin[0,]EtEt

整流以后周期仍然为：见图

000000000021()()[0sin()]22221()cossin()cos1()sinsin()sin()lllkllklEEafdEtdtdtEtdtlkafdEtktdtllkbfdEtktdtll





0000001000001()cossin()cossin[(1)]sin[(1)]211,sin(2)cos(2)0222111,cos[(1)]cos[(1)]2(1)(1)lklkkafdEtktdtllEktktdtEEkatdttEkaktktkk













11002021(1)1(1)1[]222(1)(1)(1)(1)(14)kkknEEknkkkkn







000000100001()sinsin()sin()[cos(1)cos(1)]21,(1cos2)22111,[sin[(1)]sin[(1)]]02(1)(1)lklkkbfdEtktdtllEktktdtEEkbtdtEkbktktkk







()()()()()()llllfxfxdxFxFxFxFxFlFlfxfxdxFxFxFxFxFlFlFl设为奇函数，则为偶函数,(-)=()()()-(-)=0设为偶函数，则为奇函数,(-)=-()()（二）奇函数和偶函数的傅里叶()-(-)级数=2展(开)

0000()11()0;()cos02()(cossin)sin12()sin()sinllnllkkkkkllklfxnafdafdlllkxkxkxfxabblllkkbfdfdllll







若周期函数为奇函数，则由＝则～～称为傅里叶正弦级数且00101()()sin0()(cossin)cos12()cos()cos,2010lklkkkkkllklkkkkfxbfdllkxkxfxabllkxaalkkafdfdllllkk





若为偶函数，则所有～～称为傅里叶余弦级数且由对称性

()()(),()()()(0)()0'(0)'()0lfxxxlfxfxfflffl三定义在有限区间上的函数的傅里叶展开对于定义在有限区间上[0,)上的函数可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数F对F作傅里叶级数展开，其级数在[0,)上代表。有奇、偶延拓，采取何种开拓方式根据在边界上的行为来限制。如：若要求应延拓为奇的周期函数若要求应延拓为偶的周期函数-lll-l0000()0()()0(),()0,02()sin[]()~sin[0]()~sinnln

nnnnlfxfxlxFxfxxllFxFxlaanxbfxdxllnxFxblnxlfxbl





如定义在[0,]上的(),奇式开拓傅里叶正弦级数令再以2为周期将延拓于(-)则就是一个以2为周期的奇函数。根据公式：

在-,上，在，上，再讨论级数的敛散性，()[0]fxl即得在，上的傅里叶正弦级数。

0000101()0()()0(),()10()2()cos(0)[]()~cos[0]()~coslnln

nnnnfxlxFxfxxllFxFxlbafxdxlnxafxdxnllnxFxaalnxlfxaal





偶式开拓傅里叶余弦级数令再以2为周期将延拓于(-)则就是一个以2为周期的偶函数。

根据公式：；

在-,上，在，上，再讨论级数的()[0]fxl敛散性，即得在，上的傅里叶余弦级数。