数学建模与数学素养剖析
高中数学建模能力的培养
高中数学建模能力的培养摘要：数学建模是数学核心素养的重要组成部分。
通过建立模型，学生可以充分理解他们所学的数学知识。
通过规则的推导和总结，学生可以用数学语言表达数学知识，解决类似的问题。
然而，建模过程耗时费力，许多教师对这种能力的培养力度不够。
实用建模是有效促进学生学习数学和应用数学地最佳途径。
通过对高中数学建模教学案例的分析，探讨了高中数学建模能力的培养方法。
关键词：高中数学，建模，教学，能力，核心素养数学建模是数学的六个核心品质之一。
平时教学中数学建模能力的培养有助于高考数学问题的快速解决。
“数学建模”源于数理逻辑推理能力和数学抽象概括能力，基于想象、运算，最后用数学语言总结成一个数学模型。
数学建模过程如下:一、数学教学中培养数学建模能力的意义著名数学家R·柯朗对于数学学习中只注重反反复复的习题训练方法提出质疑，因为大量数学习题训练只能提升解题能力，但是却弱化了学生独立思维能力，也忽视了数学的实际应用价值以及和其他学科的关联。
题海训练让学生只是被动地从作业中学习一些解题技巧，容易引起厌倦和反感。
有过一个实验，一所重点大学，学生入学成绩数学平均120分，开学后，学校再次用高考难度的数学卷子考试，学生平均分却下降到95分，再过一段时间，学校再次测验，平均分都90分以下了，都没有达到及格线。
这是因为高考结束后，没有高考压力，很多知识和解题技巧都忘记了，说明都是为了高考有些知识是被动记忆而已，并没有形成一种解决题能力。
数学建模（mathematica modeling）是一种能力培养，一旦养成，就会长期运用并解决数学问题，让学生体会到学习数学的意义和用处。
（一）有利于拓展学生知识面数学建模并不容易。
建模不仅需要数学的基础知识，还需要对其他学科原理的理解。
一些数学模型的建立需要对实际情况进行调查研究，并获取相关资料，这些资料涉及化学知识、经济学原理、社会学问题等学科。
因此，在建模的过程中，学生也将扩展他们的知识，理解和学习其他专业知识。
素养导向 数学建模、数据分析——概率统计问题
(需要理解并会利用数学期望解决决策性问题)
所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.
真题实战
练习 一台设备由3个部件构成,假设在一天的运转中,部件甲、乙、丙需要
调整的概率分别为0.1,0.3,0.4,各部件的状态相互独立.
ഥ)P(B
ഥCത )=P(A
ഥ)P(Cത )=0.9×0.7×0.6=0.378,
P(X=0)=P(A
ഥCത )+P(CA
ഥB
ഥCത )+P(BA
ഥ)=0.1×0.7×0.6+0.3×0.9×0.6+0.4×0.9×0.7=
P(X=1)=P(AB
0.456,
ഥBC)=0.1×0.3×0.6+0.1×0.7×0.4+0.9×0.3×0.4=
若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个
问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正
确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,
且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
ഥC)+P(A
P(X=2)=P(ABCത )+P(AB
0.154,
真题实战
P(X=3)=P(ABC)=0.1×0.3×0.4=0.012,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.378
0.456
0.154
高一数学应试必备策略提高数学建模素养
高一数学应试必备策略提高数学建模素养在高一阶段，数学学习的重要性不言而喻。
而在应对考试时，掌握有效的策略以及提高数学建模素养，对于取得优异成绩和提升数学综合能力至关重要。
首先，我们要明确什么是数学建模素养。
简单来说，数学建模就是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法解决问题的过程。
具备良好的数学建模素养，意味着能够敏锐地从复杂的现实情境中提取关键信息，将其转化为数学语言和符号，运用所学的数学知识和方法进行求解，最终将结果还原到实际情境中进行解释和验证。
那么，如何在高一数学学习中提高数学建模素养呢？一、扎实掌握基础知识高一数学的基础知识包括函数、集合、数列、三角函数等。
这些知识是构建数学模型的基石。
例如，函数概念的理解对于建立许多实际问题的模型至关重要。
只有熟练掌握了函数的性质、图像和运算，才能在面对实际问题时，准确地建立函数模型来描述变量之间的关系。
对于基础知识的学习，要做到不仅知其然，还要知其所以然。
不能仅仅满足于记住公式和定理，更要理解其推导过程和内在逻辑。
通过大量的练习题来巩固所学知识，加深对概念的理解和运用能力。
二、注重培养数学思维数学思维是提高数学建模素养的关键。
包括逻辑思维、抽象思维、创新思维等。
逻辑思维能够帮助我们在分析问题时保持清晰的思路，有条不紊地进行推理和论证。
在解决数学问题时，要学会从已知条件出发，逐步推导得出结论，确保每一步都有合理的依据。
抽象思维则有助于我们从具体的问题中提炼出本质的数学结构和关系。
例如，将实际问题中的数量关系抽象为数学表达式或方程。
创新思维可以让我们在面对复杂问题时，尝试从不同的角度思考，寻找新颖的解决方法。
培养创新思维需要敢于质疑和突破常规，勇于尝试新的思路和方法。
三、多接触实际问题在日常生活和学习中，多留意身边的数学现象和问题。
比如，商场的促销活动中的折扣计算、银行的利率问题、物体的运动轨迹等。
尝试用数学的眼光去观察和分析这些问题，将其转化为数学模型并求解。
人教版高中数学必修一《高中数学核心素养之数学建模》
m 2 ln x 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 x2 ) ，则 mx2 的取值范围为（ x
）
32 32 32 A. 0, B. 1, C. , 2 D.1, 2 27 27 27
2、函数 f（x）
是
1 3 1 2 x bx cx d 在(0,2)内既有极大值又有极小值，则 c 2 2bc 4c 的取值范围 3 2
1 ，数列 bn 满足 2an bn 1 ，若对于任意 n N ，不等式： 2n 1
.
b2b3 bn1
k 恒成立，则 k 的最大值为. 1 a1 1 a2 1 an
（二）题组二（练结） 1 、若 m R ，函数 f ( x ) x
数学素养
通识素养：学会学习； 应用能力（应用意识）； 创新意识。
数学素养
数学素养： 抽象概括（数感、符号意识）； 推理能力； 数学建模（模型思想）； 运算能力； 几何直观（+空间观念）； 数据分析，纷纭世界有模型。 描摹万象得神韵，识破玄机算古今。 岂是空文无实效，能生妙策济苍生。 经天纬地展身手，七十二行任纵横。
.
（一）题组一（导练、练悟） 1、若实数 x,y 满足 x 2 2 xy 5 y 2 4 ，则 x 2 y 2 的取值范围是 .
2、已知实数 x,y 满足 2 x 3 y 4 x 9 y ，试求 U 8 x 27y 的取值范围
3、已知数列 an 的通项公式为 a n
高中生核心素养之“数学建模”能力的培养与思考——以“建立数列模型解决实际问题”教学为例
2019年第2期（下)中学数学研究31高中生核心素养之“数学建模”能力的培养与思考一以“建立数列模型解决实际问题”教学为例广东省广州市番禺区石楼中学（511447) 梁振强数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型、用数学知识解决问题的素养，是 学生高中阶段必备的数学核心素养之一.《普通高中数学课 程标准P017年版）》明确指出：“数学核心素养是数学课程 目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中 阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直 观想象、数学运算和数学分析.”其中,更是强化了数学建模 思想的核心地位,并以主题的形式要求学生参与数学建模活 动与数学探究活动的全过程，使学生认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用,提升实践能力、增强创新意 识和科学精神.笔者认为，要想提高学生核心素养，首先要提高学生数 学建模能力.如何在高中数学课堂教学中渗透数学模型核心 素养能力的培养，值得一线数学教师实践与思考.下面以“建 立数列模型解决实际问题”的教学为依托，浅谈一下学生核 心素养的根植与培养•一、教学内容与目标1.教材和学情分析本节课是对普通高中新课程标准实验教科书《数学5》(人教A版)第二章《数列》中2.2节一2.5节内容进行整合而 形成的一节实际应用课,主要内容是通过对日常生活中的两 个实例分析，得到等差、等比两种数列模型以及建立数列模 型的具体步骤.数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律 的基本数学模型，等差、等比数列又是数列中最特殊的两种 数列，在日常生活中有着广泛的应用.本节课是关于等差、等 比数列及其求和公式实际应用的一节整合课,是本章内容的 升华，目的是让学生感受这两种数列模型应用的广泛性，并 能够利用它们解决生活中的实际问题.学习本节课之前，学生已经对等差、等比数列的概念及 其前n项和公式有了较深的认识，这对建立这两种数列模型 做好了知识储备.从认知结构方面，大量的数学思维方法如 类比思想、归纳思想、数形结合思想、方程思想等已为学生所 习知.但在分析问题的实际背景、明确问题的复杂条件等方 面还有一定的困难，尤其是用函数的背景和研究方法来认识、研究数列,还没有形成思维习惯，所以“建模”和“解模”两步对学生来说还是个难点.2.教学目标要解决日常生活中有关数列的问题，必须从实际情境中抽象出相应的数列模型，进而转化成数学问题求解.基于以上学情分析，本节课的教学目标如下：(1)学会解决有关等差数列模型的实际问题.⑶学会解决有关等比数列模型的实际问题.(3)明确建立数列模型的步骤.教学重点:建立数列模型的步骤，解决有关等差、等比数列模型的实际问题.教学难点：从生活背景中提炼出相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决.二、主体教学过程设计(—)回顾旧知问题1等差、等比数列相关知识的复习.问题2解决应用问题的思路.教师活动:提问与引导；设计意图让学生更加熟悉数列建模的必备知识并憧得数学知识的系统性与关联性.(二）实例情境1假设某市2013年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2〇13为累计 第一年)将首次不少于4750万平方米？(2) 当年建造的中低价房的面积占建造住房面积的比例 首次大于85%?设计意图以实际生活实例让学生感受建立两种特殊数列模型的方法和步骤.问题1描述中低价房的关键信息是什么？它的数学实质是什么？如何把第（1)问转化为数学问题？32教师活动：多重设问引导学生提炼关键信息，板书建模 解模步骤；设计意图使学生很自然地从实际情境中抽象出等差数 列模型并明确“建模”步骤:设—建—解—答.问题2描述新建住房的关键信息是什么？它的数学实 质是什么？如何把第(2)问转化为数学问题？教师活动:提问并组织学生交流解题过程；设计意图培养学生从实际情境中抽象出等比数列模型 醜力.问题3解模中的不等式“n+ 4 > 6.8 x 1.08"-1”能否 用数形结合的方法？教师活动:用几何画板演示.设计意图通过数形结合的方法使学生进一步理解数列 是一种特殊函数.问题4 “每年新建住房面积平均比上一年增长8%”和 “中低价房的面积比上一年增加50万平方米”的数学实质是 什么？设计意图强化学生“识模”B U“抓关键信息”的能九总结建模的步骤:识模—建模—解模—答模，从而突出重点.(三） 实例情境2某家庭打算在2013年的年底花40万购一套商品房，为 此，计划从2007年初开始,每年初存入一笔购房专用款，使 这笔款到2013年底连本带息共有40万元.如果每年的存款 数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存人多少 钱？（1.027«1.1487)设计意图实践建模方法过程.问题5题目中的关键信息是什么？它的数学实质又是 什么？设计意图训练学生抓关键信息、分析关键信息的能力.问题6从2007年到2013年共存了几次钱？每次存的 万元到2013年底的本利和分别是多少？如何把这一问题 转化为数学问题？设计意图明确数列中的计数问题，亲历建立等比数列 模型的方法,重视解模答模的过程，从而突破难点.(四） 目标检测目标检测题1某市一家商场的新年最高促销奖设立了 两种领奖方式，获奖者可以选择2000元的奖金,或者从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天 领取的奖品的价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加 10元，哪种领奖方式获奖者受益更多？你会选择哪种方式？目标检测题2 —名体育爱好者为了观看2016年里约热 内卢奥运会，从2010年起,每年的5月1日到银行存人a元 一年期定期储蓄，假定年利率为P(利息税已扣除)且保持不2019年第2期（下）变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2016年5月1日将所有存款和利息全部取出，则可取出的钱的总数是（）A.-(1+p)7B.®[(l+p)6-(l+p)]P PC.^[(l+p)7-(l+p)]D.^(1+p)6设计1图了解建立等差数列、#比数列模型的达成情况.三、 教学思考数学建模素养作为主要的核心素养，加强其在平常教学中的渗透尤为重要.教师要善于发挥教学的主导和引领作用,促进数学建模素养的落实.新颁布的高中数学课程标准修订稿将数学建模素养划分为三个水平，并且有十分详细的描述,如了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义;能够在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用;能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题等.教师的教学活动应基于数学核心素养而进行，特别是针对三个水平展开对学生数学建模素养的培养•(一） 丰富课堂阅读材料，为学生的数学建模思想应用奠 基.教师应为学生提供丰富的阅读材料，让学生多接触实际生活中的数学问题，了解所熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，从而为学生用数学模型解决现实问题积累经验.(二） 组织学生开展数学建模活动，培养学生的数学能 力.通过开展数学建模活动，可以让学生经历发现问题、解决问题的过程，进而体会数学建模的思想和方法.在数学建模活动中，通过讨论式的教学方法，让学生参与到教学环节中，充分发挥学生的主体作用.(三：）从日常教学抓起,促进学生的综合发展.在教学中不断引导学生会学习、会思考、会应用,能够用数学的思维方式去观察、分析和表示实际问题中的各种度量关系和位置关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出数学信息并建立数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题和解决问题的习惯,在数学教学中进行主题式教学设计和实施，让数学建模素养真正落地.四、 结语重视培养学生数学建模的能力已成为数学教育界的共识，在新课程改革的稳步推进中，数学建模将逐步成为数学教育者关注的重点议题.通过数学模型教学案例探析教学活动，学生的数学运算、逻辑思维能力、数学分析等几个核心素养在模型建构中也会有充分的体现，应用数学的意识肯定能得到逐步增强•可以说六大核心素养是蕴含（下接第15页）中学数学研究中学数学研究15 2019年第2期（下）—、几点感悟1. 关注概念的获得过程.心理学研究成果表明，概念获得方式主要有两种：概念 的同化、概念的形成.数学概念的教学要经历“具体^象体”的认识过程，B卩“概念的外延分类念内涵的归纳、概括-«念的外延辨析”的认识过程，教学设计中要从具体的 角的分类和辨析，归纳得到圆周角的内涵，再通过具体圆周 角的辨析，完成概念的同化和形成过程.于本节课而言，明确 圆周角从那里来尤为重要.章建跃博士指出，“明数学之道，方能优教学之术圆周角首先是一个角，它有一个顶点、两条射线.圆周角,顾名思 义，自然与圆有关，与圆有怎样的关联呢？我们在引导的时候 要强调或解释的内容要点有：圆周角的顶点一定在圆上、并 且两边一定要截一段弧;在圆上，一个圆周角对应圆上一条 弧，圆上一条弧对应着无数个圆周角.圆周角不是来自于圆 心角，但它的两边在圆上所夹的一段弧与所对的圆心角有联 系，因此圆周角与它所对的弧有关，是圆上的一条“弧”维系 着圆心角的“一”与圆周角的“多可以说，圆周角、圆心角 都与它们所对的弧有联系，圆周角因圆而产生，它来源于圆 中的“弧在课堂中，教师利用几何画板，让图形由原来的“不动”变成了“多动”，学生真真实实地经历了观察、猜测、推理、验 证等活动.弥补了传统教学中获得方式的不足，极大地丰富 了学生获取知识的途径.2. 突出图形性质探究中的思维过程.几何探究的核心价值的实现需要通过具体问题的探究 任务来引导学生的探究活动，并使学生的几何直观和推理 能力（数学思维)得到发展.在圆周角性质的探究过程中，通 过从特殊到一般的过程获得性质，再通过演绎推理证明性 质,培养学生直觉思维和逻辑思维能力，符合几何学习的一 般规律,突出思维过程.在教学中，教师利用几何画板度量 ZAOS,得到ZAOS=80°,由此可验证同学们的猜想.并将 其从特殊到一般，在几何画板中改变弧A B的大小，然后再度 量乙40S与角乙4CB,我们同样得到= •乙40S,由此进一步验证同学们的猜想.3. 数学思想的渗透要符合学生的认知生成过程.在图形性质的探究过程中，渗透特殊到一般、分类讨论、化归等基本数学思想，要让学生在具体的探究活动中体验和 反思，形成自觉运用这些思想方法的习惯和能力，要符合学 生的认识规律，不能将思想方法的运用直接抛给学生，而忽 视学生的认知过程.在圆周角性质的探究中，若直接告知学 生分成三种类型，学生不理解要为什么要如此分？为什么首 先研究最特殊的情形？用思维的结果代替思维过程，不符合 学生的认知过程;通过对各种图形进行分析，自主选择研究 (当然也可以首先研究最特殊情形)，反思研究的几种类型，学生感悟到分成三种类型是必要的，明确分类的标准和方法, 完成性质定理的探究和证明，符合学生的“认知生成过程”.本课中，教师利用几何画板，当移动圆周角的顶点时,就出现 了圆心与圆周角的三种位置关系一圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部.较好地突破将 无数个圆周解分成三种位置类型这一难点，为证明作好铺垫.4.几何画板辅助教学要找准切入点，切忌花俏.“教之道在于度，学之道在于悟几何画板的辅助教学如何引导，何时介入，介入多少，这里便有个“度”的问题，要 处理好这个“度”的问题关键是找准切人点.几何画板与数学 课程的整合应整合在关键处,如难点的突破、认知的冲突、规 律的生成以及数学思想方法的呈现等.同时，在课件的设计上切忌花俏,几何画板辅助教学不 是功能展示课,课件的制作过于华丽、花俏，容易分散学生的 课堂注意力，几何画板的辅助教学应在是否体现新的教学思 想;是否体现新的数学思想;是否更简单直接突破教学的重、难点上下功夫.另外要注意的是在教学中,能用黑板或其它教具讲清楚 的问题，不一定要用多媒体，特别是例题或习题讲解时，切忌 用多媒体，要注意黑板的板书,因为板书是把思维过程呈现 给学生的一个重要载体.参考文献[1]胡滨.“圆周角”教学设计应特别关注的三个环节[J].中学数学月刊,2014(7).[2]张爱平.几何课程中体现“过程”的教学策略妨探[J].初中数学教与学，2〇13(1).[3]佘飞.有效设问激活数学课堂的活力[J].教师通讯，2015(2).(上接第32页）在模型建构教学的整个过程中的，因此应当重 视学生的数学建模能力，发展学生的应用意识，从而将学生 的数学核心素养落实到位.参考文献[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准(2017年版）[M]，人民教育出版社，2018.[2]牛伟强，张倜，熊斌，中国中小学数学建模研究的回顾与反思[J],数学教育学报，2017,（5): 66-70.[3]彭慧，高中数学核心素养之建模能力的培养[J],数学教学通讯，2017 (2) : 62-63.。
高中数学课堂培养学生建模素养的实践探索
高中数学课堂培养学生建模素养的实践探索摘要：本文通过对高中数学课堂培养学生建模素养的实践探索进行研究，总结了一套有效的教学方法和策略。
研究结果表明，在数学课堂中引入建模任务和问题，培养学生的数学建模能力和思维，有助于提高学生的数学素养和解决实际问题的能力。
本文提供了一些实践经验和教学建议，旨在为高中数学教师提供参考。
关键词：高中数学；建模素养；实践探索；教学方法高中数学教育是培养学生数学素养和综合能力的重要阶段。
随着社会的发展和变革，数学教育也需要适应新的需求和挑战。
建模素养作为数学学科的重要组成部分，对于学生的综合能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
因此，在高中数学课堂中培养学生的建模素养成为一个重要的教学目标。
1建模素养的概念和重要性建模素养是指学生在数学学科中运用数学知识和技能解决实际问题的能力和意识。
它涵盖了数学建模的各个方面，包括问题的理解和分析、建立数学模型、运用数学方法求解、对结果进行解释和验证等。
建模素养不仅要求学生具备扎实的数学知识基础，还需要培养学生的创新思维、问题解决能力和实践能力。
建模素养对学生的综合能力和实际问题解决能力具有重要意义。
首先，通过建模，学生能够将抽象的数学理论与实际问题联系起来，提高数学知识的实用性和可操作性。
其次，建模培养了学生的逻辑思维和创新意识，使他们能够独立思考和解决新颖的问题。
此外，通过参与建模活动，学生还能提高团队合作和沟通能力，培养良好的学习态度和解决问题的自信心。
2高中数学课堂建模素养培养的实践探索2.1 引入实际问题和建模任务在数学课堂中引入与学生实际生活和社会问题相关的建模任务，可以激发学生的兴趣和动力。
通过将数学与实际问题联系起来，学生能够看到数学在现实中的应用和意义，从而增加他们对数学的兴趣和动机。
这些实际问题可以来自各个领域，如工程、经济、环境等，与学生的日常生活密切相关。
通过解决这些问题，学生能够直接体验到数学的应用和作用，并将所学的数学知识转化为实际解决问题的能力。
高中数学六大核心素养
高中数学六大核心素养教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长、博士生导师王尚志教授提出，中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养。
（1）数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。
主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。
数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。
学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。
（2）逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。
主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。
（3）数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。
高中生数学建模素养测评模型的构建
高中生数学建模素养测评模型的构建构建高中生数学建模素养测评模型需要考虑到学生在数学建模方面的知识、技能和态度等多个方面的表现。
以下是一个可能的高中生数学建模素养测评模型的构建思路：1. 数学建模知识与理解能力：考察学生对数学建模的基本概念、方法和原理的掌握程度。
可以通过选择题或填空题等形式，评估学生对数学建模相关概念和理论的理解和运用能力。
2. 数学建模问题分析与建模能力：考察学生在面对实际问题时的分析和建模能力。
可以给学生提供一些实际问题场景，要求他们识别和提取出关键信息，结合数学知识和技巧，建立数学模型并进行求解。
3. 数学模型求解与解释能力：考察学生对已建立的数学模型进行求解和解释的能力。
可以要求学生运用适当的数学方法、工具或软件，对所建立的模型进行求解，并解释模型的结果和意义。
4. 数学建模结果评价与验证能力：考察学生对数学建模结果的评价和验证能力。
学生需要对模型的适用性、精确性、可行性等进行评价和验证，并提出合理的改进意见。
5. 团队合作与沟通能力：考察学生在小组或团队中合作与沟通的能力。
给学生提供合作性的建模任务，并评估学生在团队合作、角色分工、有效沟通和协作等方面的表现。
6. 创新和批判性思维能力：考察学生在数学建模过程中的创新和批判性思维能力。
可以要求学生提出新颖的解决方案或改进策略，并对模型和方法进行批判性思考和评价。
7. 报告和展示能力：考察学生对数学建模过程和结果的报告和展示能力。
学生需准备清晰、准确和逻辑性的报告，能够有效地展示数学建模的思路、方法和结果。
针对以上的测评要素，可以设计适当的题目、任务和评分标准，可以采用书面考核、口头答辩、小组展示等形式进行评估。
同时，还可以引入评价专家的意见和自评等多样化的评价方法，为学生提供全面的数学建模素养测评。
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研究数学模型的意义
1. 辉煌历史
欧几里德几何——古老经典的数学模型 牛顿三大定律——数学模型的光辉典范
2 现实意义（国民经济中的数学模型） （1）产品设计与制造
Eg1: 波音767飞机的成功设计中，应用了数学家建立的超音速流 和 激波的数学模型，设计出了防激波的飞机翼型；用有限元法计算 出了飞机的强度；自动导航和降落系统完全基于新的数学模型等。
• 讲课重点在实际背景、问题分析、假设和建模、结 果的分析等，求解过程尽量简化。
• 条件许可时课堂采取讨论式。
• 作业、课外阅读、考试形式多样化。
历年全国数学建模试题及解法
93A 非线性交调的频率设计 93B 足球队排名 划
拟合、规划 图论、层次分析、整数规
94A 逢山开路
图论、插值、动态规划
94B 锁具装箱问题
组合优化、运输问题 曲线拟合、曲面重建 多目标规划
非线性规划 单目标决策 微分方程、差分方程
03B 露天矿生产的车辆安排 整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计 统计分析、数据处理、优化
04B电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测 预测评价、数据处理
多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论
历年全国数学建模试题及解法
00A DNA序列分类 网络
模式识别、Fisher判别、人工神经
00B钢管订购和运输 01A血管三维重建 01B 公交车调度问题 02A车灯线光源的优化 02B彩票问题 03A SARS的传播
数学模型与数学素养
数学模型
定义：对现实世界的一个特定对象，为了一个特定 目的，据其内在规律，作出一些必要的简化、假 设，运用适当的数学工具，而得到的一个数学结 构。
简言之：用数学术语对部分现实世界的描述。
具体讲：是为了某种目的，用字母、数字及其他 数学符号建立起来的等式或不等式，以及用图表、 图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系 的数学结构表达式。
高速电子通讯中的信息传输、压缩、安全保密也得益于相应
的数学模型。
（4）高新技术领域
Eg1: CT 装置的核心技术中包含三维重构的数学模型和拉东变换 方法的软件。
Eg2: 虚拟现实技术——数学模型、数值模拟与多媒体技术结合的 产物。
研究数学模型的意义
国际上的共识
数学是一种关键性的、普遍的、能够实 行的技术。
面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力
关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风 团结合作精神和进行协调的组织能力
查阅文献、收集资料以及撰写科技论文的文字表达能力
数学建模课程
• 课程目的：培养用数学方法分析、解决实际问题的 意识和能力——引起注意 激发兴趣 介绍方法 培养 能力 • 精心选择案例：实际背景简明，问题能吸引人，假 设和建模的依据容易理解，求解不太复杂。
高新技术本质上是一种数学技术。
数学建模
建立数学模型的型
实
假设
际
问
题
确立
参数
并 数学、 数值地 求解
用实际问题 的
实测数据 检验
数学模型
符合实际 不
交付 使用 产生 效益
和
符合
变量
确定参数
实际
数学模型的分类
初等方法建模（初等数学中代数、几何、概率方法） 微分法建模（静态优化模型） 数学规划模型(线性、非线性规划） 微分方程模型（常微分、偏微分方程） 随机模型（概率分布方法建模、随机过程建模） 动态规划模型、随机规划 层次分析法建模、模糊分析模型、灰色系统模型 插值与拟合 统计分析模型（回归分析、方差分析、时间序列分析） 差分方程模型、变分法模型 图论模型、决策及对策模型 计算机模拟分析
（3）预测与管理
Eg1 : 经济学家因为采用数学方法的重要成就，提出了新的经济模 型，从而多次荣获诺贝尔经济学奖。
Eg2：我国粮食产量的预测十分准确，连续15年的平均误差控制在 1%之内；上海经济发展预测误差不超过5%。均得益于相应的预测 模型。
Eg3: 气象预报的准确性，得益于大型计算机的数值模拟模型；
Eg2: CAD/CAM 计算机辅助设计/制造 软件 几何造型系统几何成像模型；性能分析系统评价模型； 优化系统数学模型与优化技术结合的产物； 工程数据库数据结构模型 等等。
研究数学模型的意义
（2）质量控制 TQC——全面质量管理
二次世界大战后，日本作为战败国，百废待兴。美国的著名统计 学家戴明（Deming)在日本工商业广泛推广与应用其质量控制理论 与方法，使日本的工业产品以惊人的速度成为世界上最具竞争力 的产品。
全国大学生数学建模竞赛简介
一、赛事规模
• 1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第 一次竞赛
• 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每 年一次(9月)
• 参赛院校由1992年的79个，发展到2008年的2300 多个；
• 参赛队数：由1992年300多个，发展到2008年的 30000多个；
四、评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确 性和文字表述的清晰程度。
大学阶段难得的一次近似于“真刀真枪”的训练，模拟了毕 业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活， 也为优秀学生脱颖而出创造了条件。
数学建模竞赛：培养学生创新精神，提高学生综合素质
运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件） 分析和解决实际问题的能力
全国大学生数学建模竞赛简介
二、竞赛内容：题目由工程技术、管理科学、社会科学中的 实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分 余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。 三、竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、 调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内 分工合作完成一篇论文。
图论、组合数学
95A 飞行管理问题
非线性规划、线性规划
95B 天车与冶炼炉的作业调度 动态规划、排队论、图论
96A 最优捕鱼策略 96B 节水洗衣机 97A 零件的参数设计 97B 截断切割的最优排列
微分方程、优化 非线性规划 非线性规划 随机模拟、图论
98A 一类投资组合问题 98B 灾情巡视的最佳路线 99A 自动化车床管理 99B 钻井布局