22.2.1配方法(第1课时)
配方法(1)
掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤
教学难点
理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程
教学方法
自学探究、合作交流
学生自主活动材料
一、自主学习，感受新知：
1.用公式法分解因式：（1）x2+6x+9 (2) 36x2－12x+1
2一桶油漆可刷的面积为1500,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？.
四、课后反思
五作业
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程即，如果方程能化成x2=p或(m+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=±p或mx+n=± ．
三、自主应用，巩固新知
解下列方程：
（1）2x2－8=0; (2) 9x2－5=3; (3)（x+6)2－9=0
(4）3（x－1)2－6=0; (5) x2－4x+4=5; (6) 9x2+6x+1=4 .
九年级数学上册导学稿
课题
22.2.1解一元二次方程解法----配方法（1）
课型
新授课
执笔人王静ຫໍສະໝຸດ 审核人九年级备课组教具
班级
授课时间
教师寄语
积极参与，做最好的自己。
学习目标
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或（m+n）2=p(p≥0)的方程。
2、理解一元二次方程解法的基本思想及与一元二次方程的联系。
列出方程，并写出它根
3思考：求根时用到什么知识？
二、自主交流，探究新知
探究：对照问题2解方程的过程，你认为应怎样解方程（2x－1)=5及方程x2+6x+9=2?
数学：22.2《配方法》课件(人教版九年级上)
1．用直接开平方降次法解下列方程：
(1)x2－16＝0；
(2)(x－2)2＝5.
解：(1)x2－16＝0，即 x2＝16， ∴x1＝4，x2＝－4. (2)(x－2)2＝5，即 x－2＝± 5，
∴x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5.
2．用配方法解方程 x2－6x＋2＝0，正确的是( A )
A．(x－3)2＝7 C．(x－3)2＝－7
22．2 降次——— 解一元二次方程
第 1 课时 配方法
1．直接开平方降次法 根据平方根的定义把一个一元二次方程__降__次__ ，转化为 __两__个____一元一次方程，这种方法可解形如(x－a)2＝b(b≥0)的 方程，其解为____x_＝__a_±______． 2．配方法 通过配成___完__全__平__方__式_____来解一元二次方程的方法叫做 配方法．配方是为了__降__次____ ，把一个一元二次方程转化为 _______两__个__一__元__一__次__方__程_______来解．
(5)用直接开平方降次法解变形后的方程(如果右边是非负 数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一 元二次方程无解)．
自主解答：(1)移项得：x2＋6x＝－5， 配方：x2＋6x＋32＝－5＋32，即(x＋3)2＝4， 两边开平方得：x＋3＝±2，即 x1＝－1，x2＝－5.
(2)移项得：2x2＋6x＝－2， 二次项系数化为 1 得：x2＋3x＝－1， 配方：x2＋3x＋322＝－1＋322，即x＋322＝54， 两边开平方得 x＋32＝± 25， 即 x1＝－32－ 25，x2＝－32＋ 25. (3)去括号整理得 x2＋4x－1＝0， 移项得 x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5， 两边开平方得 x＋2＝± 5， 即 x1＝－2－ 5，x2＝－2＋ 5.
22.2配方法(第1课时)
x1 5 2, x2 5 2
1.你今天学会了解怎样的一元二次方程？ 有哪些步骤？ 2.今天讨论的问题中涉及哪些数学思想 方法？
1.必做题：
教科书第31页练习第（2）（4）（6）题.
教科书第42页习题22.2第1题.
2.选做题：
教科书第43页习题22.2第12题.
方程：x 2 6 x 9 2.
③
这两个方程有什么异同？ 类比思想 转化思想
利用类比思想解方程 ② ： 方程两边开平方得 2 x 1 5,即2 x 1 5,2 x 1 5.
分别解这两个一元一次方程得
1 5 1 5 x1 , x2 . 2 2
利用转化思想解方程 ③ ： 方程的左边是完全平方形式， 即为
根据平方根的意义，得
即
x1 5, x2 5.
x 5,
设问3：5和-5是方程的两根，它们都符合问题的 实际意义吗？ 可以验证，5和-5是方程 ① 的两根，但棱长不能 是负值，所以正方体的棱长是5 dm.
对照上面解方程 ① 的过程，你认为应怎 样解以下方程？ 2 ② 方程：（2 x 1 5. ）
( x 3) 2,
2
方程两边开平方得 x 3 2 , 方程的根为
x1 2 3,
x1 2 3.
以上方程 ① ② ③ 在解法上有什么类似的 地方，可归纳为怎样的步骤？ 以上方程 ① ② ③ 都可用开平方法，将一 元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
一元二次 方 程 一元二次方程
设未知数，列方程
实际问题
一元二次方程
设问1：如何列方程？分哪些步骤？
（1）设未知数. 设正方体的棱长为 x dm. （2）找相等关系.
21.2.1 配方法(第一课时).2.1配方法(第一课时)
x p或mx n p .
【自主检测】(补充)
x 4 6.如果分式的值 为零，求x的值 x2
2
7.在实数范围内定义新运算“☆”，其规则 为
2，则方程（4☆3) ☆x=13的解。 a☆b=a2-b2 3 8.已知 ，求关于x的方程
m 1
m
x 3m 0 的解
2
【作业讲评】
x mx n 0
2
的两个根是0和-3，则m=______，n=___________
9．若关于x的方程（k2-4）x2+ k 1 x+5=0
是一元二次方程，求k的取值范围
．
【作业讲评】
13. 已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m2-9=0 有一个根是0，试确定m的值
复习旧知
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm李明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面你能算出盒子的棱长吗
【学习目标】
1.会用开平方法解形如的一元二次方程．（重点） 2.体验类比、转化、降次的数学思想方法．（难点）
7.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) （1）若a+b+c=0，则该方程必有一个根为x=____； (2) 若a-b+c=0，则该方程必有一个根为x=____； (3) 若4a-2b+c=0，则该方程必有一个根为x=____； (4)若c=0，则方程必有一根为x=____． 8．已知关于x的方程
2、你学过的整式方程有哪些？它们是如 去分母➔去括号➔移项、合并同类项➔ 何求解？ 方程 未知数的系数化为1➔得解
一元一次方程
二元一次方程组
类比 消元 降次 猜想
九年级数学上册 22.2.1 配方法教案 新人教版-新人教版初中九年级上册数学教案
2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，
3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
课堂检测
一、选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？
2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？
3、请你总结一下问题1解方程的过程。
4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=25。（注意格式）
交流与点拨：
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。
第一题为口答题，复习完全平方公式，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。
二、自主学习：
自学课本Ｐ31---P32思考下列问题：
1、仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？
2、怎样解方程x2+6x-16=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。）
6．解关于x的方程x2－10x+25=3
配方法
活动1 做一做
1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的 盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ （课件：盒子的棱长）
活动1 做一做
2．对照上述解方程的过程，你能解 下列方程吗？从中你能得到什么结论？
(2 x 1) 5
2
活动2
1．要使一块矩和 宽分别是多少？
归纳：通过配成完全平方式的形式解一 元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目 的是为了降次，把一元二次方程转化为两个 一元一次方程.
活动2
2．利用配方法解下列方程，你能从中得 到在配方时的规律吗？（课件：配方）
x 6x 9 2
2
活动1 做一做
2．对照上述解方程的过程，你能解下列方 程吗？从中你能得到什么结论？ 在解一元二次方程时通常通过“降次”把 它 转化为两个一元一次方程. 2 2 x p 如果方程能化成 或 (mx n) p( p 0) 的形式，那么可得 x p 或 mx n p .
(1) x 8 x 1 0;
2
(2)2 x 1 3 x;
2
(3)3 x 6 x 4 0.
2
活动2
利用配方法解方程时应该遵循的步骤： 2 ax bx c 0 ； （1）把方程化为一般形式 （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）方程的左边是一个完全平方式，利用平方根 的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.
活动3
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房 之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿 地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是 多少米？
22.2.1一元一次方程的解法(2)配方法1
2
(2) x 5x 6 0
2
x1 4 3 2 , x2 4 3 2
x1 6, x2 1
2
(3) x 7 6x
2
(4) x 10 2 6x
此方程无解
x1 3 2 , x2 3 2
设场地的宽为
xm,
长
x 6m ，列方程得
即
xx 6 16 2 x 6 x 16 0
方程 x
2
6 x 16 0 和方程 x 6 x 9 2
2
有何联系与区别呢？
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2－12x＋ 62 (3)x
=(x－ 6 )2
结论:在方程两边同时添加的常数项等于一次 项系数一半的平方.
随堂练习1
32
填空：
X+3
42
X－4
3 2 ( ) 4
3 x 4
例1、解下列方程： （1） x2＋2x＝5； （2） x2－4x＋3＝0.
师生合作 1
例2 用配方法解方程: (1)x2-6x-7=0 (2)x2+3x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方: 方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ 4 =(x－ 2 )2 6 (3)x2－___x＋ 9 =(x－ 3 )2
21.2.1配方法解一元二次方程第一课时
22.2 .1降次——解一元二次方程配方法（第1课时）一、教学目标1、了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．2、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．3、.运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；二、教学重点和难点重点：1、判定一个数是否是一元二次方程的根；2、运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．活动1：看课本p3例上面一段话1：知识准备一元二次方程的一般形式:____________________________2：探究问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多少？分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得___________________．整理，得________________________．1)下面哪些数是上述方程的根？0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 102)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．3、练习：（1）下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。
(2)如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？活动2、看课本p5后，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？归纳：一般的对于方程x2=p，（1）当p>0是根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，x1=-----，x2=------- （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-------（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
3配方法
22.2.1配方法(1)课型 ____________ 上课时间 ____________ 第 2 课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程。
教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题。
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（nmx+）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤。
教学重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤。
教学难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧。
教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=－7mx+）2=p（p≥0）的形式，那老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（n么可得：x=nmx+=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=－7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有。
（2）不能。
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 2+6x -16=0移项→x 2+6x =16 两边加（62）2使左边配成x 2+2b x +b 2的形式 →x 2+6x +32=16+9 左边写成平方形式 →（x +3）2=•25降次→x +3=±5 即x +3=5或x +3=－5 解一次方程→x 1=2，x 2= －8可以验证：x 1=2，x 2= －8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，长为8m 。
22.2.1配方法解一元二次方程(一)
注意：二次 根式必须化 成最简二次 根式。
2 2 x2 . 3
例题讲解
(2)3x 1 6 0
2
解： 原方程可化为Fra bibliotek x 1
2
2,
x 1 2,
∴ x 1 2, x 1 2, ∴ 原方程的两根为:
x1 1 2
x2 1 2.
2 2
如果方程能化成 x 2 p或( mx n) 2 p( p 0)的形式， 那么可得 x p或mx n p .
《新观察》
对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定
义,可解得 x1 a ,x2 a ，这种解一元二次方 程的方法叫做直接开平方法.
例题讲解
解下列方程
(1)9x 5 3
2
(2)3x 1 6 0
2
(3) x 4 x 4 5
2
(1)9x 5 3
2
解： 原方程可化为 9 x2 8, 移项 8 2 得 x , ∴ 9 28 2 ∴x , 33 2 2 ∴ 原方程的两根为: x1 3
解： 方程两边开平方得
2x 1 5
：
即 2x 1 5, 2 x 1 5 分别解这两个一元一次方程得
1 5 1 5 x1 , x2 2 2
思考
怎样解方程 2 x 1 5及
2
方程x 6 x 9 2?
2
(2) x 6 x 9 2
根据平方根的意义，得： x1=5，x2=－5 可以验证，5和－5是方程 的两根，但是棱长不能 是负值，所以正方体的棱长为5dm．
思考
怎样解方程 2 x 1 5及 对照上面解方程的过程，
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******、把方程 配方，得到 .
（1）求常数 与 的值；（2）求此方程的解
******3、用配方法解方程
******、用配方法解下列关于 的方程：
（1） （2）
二次备课
思考：用配方法解一元二次方程 ，
二、自学检测：1、用配方法解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
三、当堂训练：课本P87练习１、２、３
四、小结：小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、利用直接开平方法解之。
1、做一做：试将方程（x+3）2=2的左边展开、移项、合并同类项。
2、小组交流探索：现在，我们来研究方程：x2+6 x+7=0的解法。
我们知道，方程：x2+6 x+7=0是由方程：变形得到的，因此，要解方程：x2+6 x+7=0应当如何变形？
下面重点研究如何将方程：x2+6 x+7=0，变形为：
（小组交流、讨论）
讨论：如何求方程 的解？
二、典例分析例１、将下列各式进行配方：
⑴ ＋10x＋_____＝（x＋_____）2⑵ －6x＋_____＝（x－_____）2
⑶ － x＋_____＝（x－____）2⑷ + x＋_____＝（x＋___）2
小结：方程两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同时加的系数如何确定？。
例２、解下列方程：
（1） （2）
配方法（1）
班级：主备教师：备课组长：领导批阅：上课时间：年月日
教师寄语：天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感
学习目标：1.会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。
2.会用配方法解数字系数的一元二次方程。
重（难）点预见：掌握配方法的规律，能够熟练地进行配方。
学习流程：一、自学指导：
（教师点拨）注意找出一般规律。
（小组展示：）将方程：x2+6 x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。
由此看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上32，即：x2+2·x·3+32=－7+32，从而得到：（x+3）2=2。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。