17.2一元二次方程的解法(1)
八年级数学下册17.2一元二次方程的解法教学设计新版沪科版
八年级数学下册17.2一元二次方程的解法教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版八年级数学下册》第17.2节主要介绍一元二次方程的解法。
本节内容是在学生已经掌握一元二次方程的基本概念和求解方法的基础上进行拓展的，目的是使学生能够灵活运用各种方法解一元二次方程，并提高他们解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的基本概念和求解方法有一定的了解。
但是，他们在解题过程中可能会遇到一些困难，如对于方程的转化、公因式的提取等操作不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要针对这些难点进行讲解，并通过适当的例子进行引导，让学生能够更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用各种方法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.教学难点：对于方程的转化、公因式的提取等操作的熟练运用。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解和举例，引导学生掌握一元二次方程的解法。
2.实践法：学生通过动手操作，加深对一元二次方程解法的理解。
3.讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔、练习题。
2.学生准备：课本、笔记本、文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法、配方法等，同时进行讲解和举例。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试解决一些简单的一元二次方程。
一元二次方程的解法—因式分解
∴x+6=0，或x-4=0． ∴x1=-6， x2=4．
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22 2 a2 6a 9 原式 x 32 3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
注意： 1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解， 而右边等于零; 2．关键是熟练掌握因式分解的知识; 3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么 至少有一个因式等于零．”
我思 我进步
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法： am+bm+cm=m（a+b+c）．
（2）公式法： 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0来自 x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗？
我思 我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式．
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解 因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次 方程的方法称为分解因式法．
解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
例题欣赏 ☞
例3 解下列方程：
（1）x（x-2）+x-2=0；（2）5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：x(x 2) x 2 0， 解：移项，合并同类项，得：
x 2 x 1 0.
x 2 0，或x 1 0.
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得 x2 3x.
沪科版八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法(配方法)教案
4.通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望.
重点：会用配方法解一元二次方程
重难点
难点：如何进行配方（尤其是二次项系数不为 1 的一元二次方程）
（一）知识准备
解下列方程：
（1） x2 = 9
（2） 3x2 = 15
（二）对比探究，解决问题
（3） (x + 3)2 = 25
1. 解方程： x2 + 6x + 9 = 25
2. 解方程： x2 + 6x −16 = 0
问题：把你得出的方程和会解的方程进行对比，你能得到什 教 么启发？
1/3
像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后， 学 再直接开平方求解的方法，叫做配方法。
（三）例题讲解 过
沪科版八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法（配方法）
时间 课题
配方法
地点
B301
课时 第 1 课时
主备人 科任教师
1. 了解能够用直接开平方法解的一元二次方程的类型，掌握用直接开 平方法解相关方程；
教学 2. 了解配方法的定义,掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法 目标 解一元二次方程；
2：观察上面所填的常数与一次项系数之间有什么关系?
总结 步骤 过程
小结：
对二次项系数是 1 的一元二次方程配方时要注意在方程两 边都加上一次项系数一半的平方。） x2 + x −1 = 0
（2） x2 − 3x − 2 = 0
（3）2x2 + 5x −1 = 0 （六）深化学习
不小于零。
过
系数
不为
1的
17.2一元二次方程的解法---直接开平方法
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解； 解：（1）
x+1= x+1=
2
x+1=
2 或
2
∴ 原方程的解是x1=-1+
2 ，x2=-1- 2
例2解下列方程： ⑵ （ x － 1） 2 － 4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解； 解：（2）移项，得（x-1）2=4 x 1 4 x-1=±2 x-1=2 或x-1=-2
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
7 x1= 4
1 ;x2= 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
归纳总结 1、用开平方法解一元二 次方程的一般步骤； 2、任意一个一元二次方程都 可以用开平方法解吗？
例：设a是方程x2-2006x+1=0的一个实数根， 则 a 2 2005 a 2006 a2 1
评：本题主要考察学生整体代 换的数学思想方法和二次根式 的化简。
22 3 22 3 （ 2 1 3） 2 3 原式 2 3 2 1 3 3 3 （ 3 1 3)
用开平方法解下列方程
( x 1) 4 0
2
解： ( x 1) 4
2
12 ( x 2) 9
开平方法解一元二次方程的基本步骤： 2 （1）将方程变形成 x 例2解下列方程： （2）x a ,x 1 2
⑴ （ x ＋ 1） 2 = 2 ⑵ （ x － 1） 2 － 4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
17.2(3)一元二次方程的解法-配方法
(2) 2x2 ＋ 3x －1=0
第10页，共13页。
1：用配方法解下列方程：
(1) x2＋12x =－9
No (2) －2x2＋4x－3=0
(3) 4x2＋12x－7=0
Image (4) 1 x2 3x 1 0 2
2. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
(1) x2 6x 7 0
(2) x2 3x 1 0
第6页，共13页。
(1) x2 6x 7 0
解（1）移项，得 x2 6x 7
配方，得
x2 6x 32 7 32
则 (x 3)2 16
即 x 3 4
x 3 4或 x 3 4
x 7或 x 1
x1 7, x2 1 是根原方程的
第7页，共13页。
(2) x2 3x 1 0
解：移项 x2 3x 1
配方
x2
3x
3 2
2
1
3 2
2
得
(x 3)2 5
2
4
即
x 3 5
2
2
x1
3 2
5 2
,
x2
3 2
5 2
是原方程的 根
第8页，共13页。
用配方法解一元二次方程的步骤:
1、通过移项，两边同除以二次项系数，将原方程变形
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
它们之间有什么关系?
第3页，共13页。
x2 6x 4 0
想一想如何x2解 6方x移程项x42 6x 4 0 ?
两边加上32,使左边配成完 全平方式
17.2一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法------公式法学习目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）b 2-4ac ≥0 ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 解：移项，得：ax 2+bx=_________二次项系数化为1，得x 2+b a x=___________ 配方，得：x 2+b a x+（ ）2=-c a +（ ）2 即（x+2ba ）2=________________∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba =±___________________ 即x=______________∴x 1= ______________ ， x 2=_________________.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2a（2）这个式子叫做__________________________.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫__________．（4）由求根公式可知，一元二次方程若有实根，有_________个实数根．（5）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（6）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、应用新知：1、用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）4x1)1x (22=--2、解方程 (1) 04722=--t t （2）210x x -+=三、总结归纳：用公式法解一元二次方程的步骤：1、化为 ，2、确定 ，3、计算 的值，当 时，带入求根公式求解，当 时，此方程无解。
一元二次方程的解法—公式法
ax2 bx c 0(a 0)
如果b2 4ac 0，那么方程的两个根为
x b b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解下列一元二次方程：
(1)2x2 7x 4 0
解：（1） a 2,b 7, c 4,
b2 4ac 72 4 2(4) 81 0
x 7 81 -7 9
22
4
1 x1 2 , x2 -4.
运用公式法解一元二次方程的的解步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出的 b2 4ac 值；
（3）若 b2 4ac 0，把a、b、c及 b2 4ac的值代
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2 b x ( b )2 c ( b )2 a 2a a 2a
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
开方
x b b2 4ac b2 4ac 0
2a
4a2
x 10 3
解得
x b b2 4ac 2a
知识要点
2x2 12x 2 0
并模仿解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
2x2 12x 2 0
x2 6x 1 0
x2 6x 1
x2 6x 9 19
(x 3)2 10 x 3 10
步骤
两边同 除以a 移项
两边同时 加上 ( b )2
2a
整理
ax2 bx c 0(a 0)
这个公式叫做一元二次方程的求根公式； 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
(备选)选择恰当的方法解下列方程：
一元二次方程的解法(公式法)(沪科版)
17.2 一元二次方程的解法（公式法）教学内容：求根公式法解一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
学习重点：求根公式的推导和公式法的应用学习难点：一元二次方程求根公式的推导教学过程（一） 创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。
教师：下面我们先用配方法解下列一元二次方程学生：（每组一题，每组派一名同学板演）1．22x -4x-1=0 2. 2x +1.5=-3x完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为2)(m x =n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生：独立思考（二）新知探索教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
学生：动手亲自解方程02=++c bx ax （a ≠0）找一名同学板演。
教师：巡视，作个别点评，辅导。
教师：现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （a ≠0）bx ax +2=-c移项：2x +b a x=-ca将二次项的系数化为1：2x +x a b 2+2)(a b =-c a +2)2(a b 即2)(a b x +=2244b ac a - 配方：开平方运算思考：有条件限制吗？学生: 有 当2244b aca -≥0时,才可以开平方 教师：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生：（思考、回答）因为a ≠0所以４a2 ＞0，如果使2244b aca -≥0，那么只有ac b 42-≥0教师：如果 ac b 42-<0 时，可以进行开平方运算吗？学生：不可以，因为负数没有平方根教师：同学们推导的都很好，那么我们来总结一下，在用配方法解02=++c bx ax （a ≠0）时，需注意什么？学生：畅所欲言 --------发挥学生的主动性归纳总结：对于02=++c bx ax （a ≠0），当 ac b 42-≥ 0 时，在这里我们把称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。
配方法
求真知 做真人
探究交流2
怎样解方程: x2+2x-1=0
解： x2+2x-1=0
方程配方的方法：
移常数项
x2&全上一次项
平方式：常数项等于一
两边都加上1
系次项数系一数半一半的的平平方方..注意是在
x2+2x+1=1+1
写成( x+n)2=p的形式
二次项系数为1的前提下进
（1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+（-3）2 = ( x- 3 )2
（3）x2 -8x+（-4）2= ( x- 4 )2
（4） x2 + 43x+
= ( 2 )2 3
(
x+
2 3
)2
你发现了什么规律？
想一想：
p
p
x2+px+( 2 )2=(x+ 2 )2
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
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沪科版初中数学八年级下册 17.2一元二次方程的解法—配方法（1）
滁州市凤阳县实验中学
车灵通
求真知 做真人
你还记得吗？
用直接开平方法解下列方程 (1) x2 16 0 (2) (x 3)2 5 (3) (x 1)2 4 0
求真知 做真人
学习目标
(x+1)2=2
行的.
直接开平方法
x+1= 2
求真知 做真人
要点归纳 配方法的定义 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法. 配方法解方程的基本步骤
公式法求解
要点归纳 公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂练习 1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
注意
二 公式法解方程
典例精析
例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0. 解：∵a 5,b 4,c 12,
x b b2 4ac 2a
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
∴x b b2 4ac 2a
(4) 256 4 16 = 2 8
25
10
5
x1
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解： a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361,
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0
解：∵ a 4,b 3,c 2. ∴b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0. ∵在实数范围内负数不能开平方， ∴方程无实数根.
17.2 一元二次方程的解法
17.2.2 公式法
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重 点）
复习引入
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
一 求根公式的推导
合作探究