第四章 边界层理论解析

100 30 1.5105
2108
高速船舶： v=50kn≈25m/s:
Re
25 30 1.14 106
6.6108
1. 边界层概念的提出
Re>>1 流动意味着粘性力相对于惯性力很小，忽略粘性？ 但是由理想流体得出的速度场在靠近壁面处与真实情况不符。
—— D’Alembert paradox
vy
vx y
1
p x
n
2vx x2
p 0 y
边界条件：
y 0 vx vy 0
y vx v
讨论：
Prandtl边界层方程中 p 0 说明了什么？ y
p1 p2
p1= p2 = p3
p3
定常层流边界层问题解法概述
第一步 求位流解
略去边界层与尾迹，利用第三章求解理想位流绕流问题的
方法，求得物体表面的速度分布（需预先对表面作动量厚度
实际流体是有粘性的。
按照Newton内摩擦定律，当流场中流体之间存在速度梯度 时，粘性就以内摩擦的形式出现。其特点是使低速流体加速， 使高速流体减速。速度梯度越大，粘性力也就越大。
这样，在近靠壁面的层中，粘性力和惯性力相比是不能忽略 的。真实情况下，紧贴物体表面的流体与物体之间是没有相 对流动的，这样在紧靠物体表面附近的一层流体区域中，有 很大的速度梯度。
Ludwig Prandtl（1875－1953）
普朗特是现代力学的奠基人之 一，创立了边界层理论、薄翼 理论、升力线理论，研究了超 声速流动。 。
4.1 边界层的概念
——Large Reynolds Number Flow
低速飞机：L＝30m，
v=100m/s，n =1. 5×10-5m2/s
Re
Prandtl在1904年提出了边界层的概念，他认为流动可以 分两个区域来研究：在物体表面处有一个薄层，在这个薄层 中必须考虑粘性力的作用，这个薄层称为边界层。在边界层 外的区域中，流体可以当作理想的。
边界层概念的作用：将粘性力的作用限制在很薄的一层 中，对于薄层外部的大部分流域，则可按理想流体的处理方 法，极大地简化粘性流体分析，而且所得的结果与实际的情 况也相符。
将其代入质量方程，整理后得：
v L
v*x x*
V
v*y y*
0
1
1
左边两项应具有同一量级，因此
v V
L
y方向的特征速度V的量级应是
V
L
v
v
将运动方程无量纲化后得到
v*x
v*x x*
vy
v*x y*
p* x*
1 ( 2v*x Re x*2
1
2
2v*x ) y*2
1 1 11
1 Re
从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先建立了边 界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一 个分支——边界层理论。
边界层定义：速度梯度很大的薄层。粘性在该薄层内起作用。
v y v
v 0.99
边界层流δ
v
y
外部势流 v
(x)
o L
x
Re>>1
s
尾涡区
u
图4.1.1 平壁面绕流的边界层
图4.1.2 大Re数绕流流场划分
全流场分成二个流动区域（Plandtl BL Model） ：
外流区（y>）： 可略去粘性的作用，无粘流。 边界层（y<）：沿壁面法向的速度梯度大，考虑粘性。
2. 边界层的基本特征 (basic characters of BL)
（1）边界层很薄： ~ 1 1 ，边界层的厚度沿流向增加。
1
1
2
1
(a)
Re vL
n
通过比较方程左右两边的量级，可以发现
1 1 1
Re 2
L Re
p* x*
1
2
v*x
v*y x*
v*y
v*y y*
p* y*
1 Re
( 2
2 v*y x*2
2 v*y y*2
)
(b)
2 1
(1 2
1
Re
通过比较方程左右两边的量级，可以发现惯性项 和粘性项都是ε2 的量级，因此
修正）。求得的速度分布可视为边界层外边界上的切向速度
分布。即在任一坐标x处,y=δ时vx=v δ (x)。 沿边界层外边界，伯努利方程成立：
Re>Rec 紊流（包括层流向紊流的临界区2000~4000） 结论：用雷诺数判断流态
3.用量纲分析说明雷诺数的物理意义
惯性力 粘性力
ma Adv
dn
L3v2 L2 v
L L
vL
Re
惯性力与粘性力作用之比——判断流态
第4章 边界层理论
(Boundary Layer Theory)
Background: 粘性绕流的流动特征与粘性阻力， 阻力产生与减阻。
p* y*
2
与 p* x* 1 相比较，p* y* 2 是高阶小量，
可认为 p* y* 0
粘性不可压流定常边界层微分方程可写为
v*x v*y 0 x* y*
v*x
v*x x*
v*y
v*x y*
p* x*
1
Re 2
2 v*x y*2
p* y*
0
vx vy 0 x y
vx
vx x
粘性不可压缩流体，不计质量力，定常流过小曲率物体， 物体表面可近似当作平面。
取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界层流动有下面 两个主要性质：
1) 边界层厚度较物体特征长度小得多，即
1
L
2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级
以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简：
vx
vx x
vy
vx y
1
p x
n
(
2vx x 2
2vx y 2
)
vx
vy x
vy
vy y
1
p n ( 2vy
y
x 2Leabharlann 2vy ) y 2vx vy 0 x y
连续性方程
引进特征长度Ｌ、特征速度V，将方程中的各物理量无量 纲化：
x* x , L
y* y ,
v*x
vx v
,
v*y
vy V
,
p* p
v2
这些无量纲量除了p*外都具有1的量纲。
L ReL
（2）边界层内速度梯度很大，粘性不可忽略：vx 1
y
（3）边界层内也会出现层流及紊流状态，故有层流边界层和 紊流边界层 （4）边界层外表面不是流面，有质量、动量和能量由外流区 流入边界层内。
4.2 边界层微分方程
——(Boundary Layer Differential equation)
粘性流体的两种流态
1.雷诺实验（1883年）
（a）层流 （b）临界状态 （c）紊流
上临界流速vc’ 下临界流速vc——临界流速
vc vc '
2.雷诺数
vc d
vc Rec d
Re c
vc d
vc d
Rec——临界雷诺数（2000左右）
Re=vd/υ——雷诺数（无量纲）
Re<Rec 层流