14-7.二重积分的换元法PPT
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第二换元广义积分PPT课件
π
a a2 x2dx 0
π
2 a cos t a cos tdt 0 π
a2 2 cos2 tdt 0
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π
a2 2 cos2 tdt 0
a2
π
2
1
cos
2t
dt
0
2
π
π
cos 2t 2cos2 t 1
a2
(
π
2 dt
1 sin 2t
π
2)
20
2
0
a2 π a2π .
精选课件ppt24aa则称此极限为函数简称无穷限积分记作发散无穷限反常积分收敛fxxfxx精选课件ppt25fxxfxxfxxfxxa任意取右侧两个积分都收敛时称精选课件ppt26三无穷限积分的几何意义精选课件ppt27fxxfxx四举例精选课件ppt28精选课件ppt29精选课件ppt30limarctanarctan0精选课件ppt31精选课件ppt32xedx练习xx精选课件ppt33所围成的图形的面积
-2
y
x2
(0,0), (2,4), (3,9).
8 6 4 2
-1 -2 -4 -6
1
2
3
选 x 为积分变量 x [2, 3]
第36页/共37页
8 6 4 2
-2
-1
-2
-4
-6
1
2
3
所求的面积为{在区间[-2，0]上
的面积
—
的面积
+ 在区间[0，3]上
—
的面积
的面积}
第37页/共37页
22 4
v 2t
第6页/共37页
由(uv) uv uv, uv是uv uv的原函数, 用牛顿 莱布尼茨公式即可证明.
微积分第二类换元法
平方和、差 再开方
分母阶 数高
非“平方和、 差再开方”
基 本 积 分 表
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln sec x tan x C; csc xdx ln csc x cot x C; 1 1 x a x dx a arctan a C;
(9) sec x tan xdx sec x C
(10) csc x cot xdx csc x C
(11) 1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (12) dx arctan x C 2 1 x
(13) tan xdx ln cos x C
sec tdt ln sect tan t C
x ln a
x2 a 2 a
C1
x
x2 a2
atຫໍສະໝຸດ ln x x2 a 2
C.
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
例4 解
求积分
x 3 ln xdx .
3
u ln x ,
3
x dv x dx d ( ), 4
4
1 4 1 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
最新不定积分的第二类换元积分法教程文件精品课件
4x2 9
（3）
xdx 2x x2
11
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铃
（1） 求
1 dx. x3 x4 1
解
令 x 1,
t
1 dx t2 dt
x3
1 dx x4 1
t3
1 t4
1t12dt
t3 dt 1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
1 1t4 C 2
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铃
xlnt(2 1),
dx
t
2t
2
dt. 1
1 dx
1 ex
1 t
2t
t2
dt 1
2 dt t2 1
ln t 1 C
t 1
2ln1 (ex1)xC
9
第九页，共17页。
(3)倒代换 一些(yīxiē)情况下(如被积函数是分式, 分母的方
幂
(dà例i 6hu求àn x)(x712)dx
较高时), 可作(kě zuò)倒x 1 .
代换
t
解
令 x 1, t
dx
1 t2
dt
1
x(
x7
dx 2)
t 17 t
2
1 t2
dt
t 1
1 14
6
2t7 dt d(12t7)
12t7
1ln|12t7|C
14
11>>l4>n|2x7|1 2ln|x|C
10
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课堂练习：
(1)
1 dx.
x3 x4 1
（3）
xdx 2x x2
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铃
（1） 求
1 dx. x3 x4 1
解
令 x 1,
t
1 dx t2 dt
x3
1 dx x4 1
t3
1 t4
1t12dt
t3 dt 1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
1 1t4 C 2
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铃
xlnt(2 1),
dx
t
2t
2
dt. 1
1 dx
1 ex
1 t
2t
t2
dt 1
2 dt t2 1
ln t 1 C
t 1
2ln1 (ex1)xC
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(3)倒代换 一些(yīxiē)情况下(如被积函数是分式, 分母的方
幂
(dà例i 6hu求àn x)(x712)dx
较高时), 可作(kě zuò)倒x 1 .
代换
t
解
令 x 1, t
dx
1 t2
dt
1
x(
x7
dx 2)
t 17 t
2
1 t2
dt
t 1
1 14
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2t7 dt d(12t7)
12t7
1ln|12t7|C
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11>>l4>n|2x7|1 2ln|x|C
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课堂练习：
(1)
1 dx.
x3 x4 1
大学高等数学ppt课件第三章2第二类换元积分法-分部积分法
sec xdx ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
dx 1 ln | a x | C a2 x2 2a a x
dx x2 a2
1 ln | x a | C 2a x a
2 ud tanu u2
2u tan u 2 tan udu u2
2u tan u 2ln cosu u2 C
2 x tan x 2ln cos x x C
◆求不定积分方法小结
直接积分法——变形、用公式（24条）
2
(1
1 )du u2 1
2u
arctanu
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
原式
3u2 du 3 u 1
( t )
对于
a2 x2 ,
2
2
令 x a tan t,则
a2 x2 asect
( t )
对于
x2 a2 ,
令
22
x asect,
则
x2 a2 a tan t
(0 t )
t 上式中，均假设 a 0, 为各2 对应反三角函数的主值区间。
ex (x2 2x 2) C
例3 求不定积分 x2 ln xdx
udv uv vdu
解 原式 1 ln xdx3 3
幂函数对数函数dx
定积分的换元法优秀PPT
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
( dt 1 0) dx 2x 1
于是
4 x 2 dx 1 3 (t 2 3)dt 22
0 2x 1
21
3
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
t 1,
11
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f ( x) ( x)dx f (t )dt
a
这说明可用 t ( x) 引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t ( x)
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a 2
4
解2 a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C
a
2
2
a
故 a2 x2dx a 2
0
4
9
解3 令 x a sin t dx acos t
x0t0 xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
0
0
a2
2
则
2
I J dt
0
2
I
J
2 0
cos t sin tdt sin t cos t
ln(sin t
cos t) 2 0
0
IJ
4
16
例 7 当 f ( x)在[a, a]上连续，则有
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
( dt 1 0) dx 2x 1
于是
4 x 2 dx 1 3 (t 2 3)dt 22
0 2x 1
21
3
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
t 1,
11
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f ( x) ( x)dx f (t )dt
a
这说明可用 t ( x) 引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t ( x)
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a 2
4
解2 a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C
a
2
2
a
故 a2 x2dx a 2
0
4
9
解3 令 x a sin t dx acos t
x0t0 xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
0
0
a2
2
则
2
I J dt
0
2
I
J
2 0
cos t sin tdt sin t cos t
ln(sin t
cos t) 2 0
0
IJ
4
16
例 7 当 f ( x)在[a, a]上连续，则有
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
高等数学-十一、第二类换元法分步积分法27页PPT
两边积分得 u v d x ( u v ) d x v u d x
u d v uv vdu 分步积分公式
例 (1) xcosxdxxdsinx xsinxsinxdx xsinx co sx c
(2) arctgxdxxarctgxxdarctgx
xarctgx
x 1 x2 dx
xarctgx1ln1x2 c 2
第二类换元法
f (x)dx 设 x (t) dxd(t) dx(t)dt
f[(t)](t)dt F(t)c
t 1(x)
FHale Waihona Puke 1(x)]c例题 (1)11
dx x
设
x t x t 2 dx2tdt
2t 1
t
dt
2t
11dt 1t
2[dt11tdt]
2t2lnt1c2x2ln x1c
(2 ) x(x 1 )2 0 d x设 x1t xt1dxdt (t1)t20dt (t21t20)dt t22 t21 c
22 21 (x1)22(x1)21c
22 21
(3)
x1dx 设 3 3x1t 33x1
t3 1 1 3 t2dt
dxt2dt (t3 2)t
dt
t
3
x t3 1 3
1 t4dt2 tdt 1t51t2c
3
3
15 3
1(33 x 1 )5 1 (33 x 1 )2 c
1 5
3
13(3x1)2(3x6)c 15
高等数学-十一、第二类换元法分步积 分法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
u d v uv vdu 分步积分公式
例 (1) xcosxdxxdsinx xsinxsinxdx xsinx co sx c
(2) arctgxdxxarctgxxdarctgx
xarctgx
x 1 x2 dx
xarctgx1ln1x2 c 2
第二类换元法
f (x)dx 设 x (t) dxd(t) dx(t)dt
f[(t)](t)dt F(t)c
t 1(x)
FHale Waihona Puke 1(x)]c例题 (1)11
dx x
设
x t x t 2 dx2tdt
2t 1
t
dt
2t
11dt 1t
2[dt11tdt]
2t2lnt1c2x2ln x1c
(2 ) x(x 1 )2 0 d x设 x1t xt1dxdt (t1)t20dt (t21t20)dt t22 t21 c
22 21 (x1)22(x1)21c
22 21
(3)
x1dx 设 3 3x1t 33x1
t3 1 1 3 t2dt
dxt2dt (t3 2)t
dt
t
3
x t3 1 3
1 t4dt2 tdt 1t51t2c
3
3
15 3
1(33 x 1 )5 1 (33 x 1 )2 c
1 5
3
13(3x1)2(3x6)c 15
高等数学-十一、第二类换元法分步积 分法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
第二类换元法
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx
x4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m, n的最小公倍数 .
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例11. 求
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式
3u 1
2
u
du
3
(u2 1) 1 u
1 du
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
F(x) [ 1(x)] (t) f [ (t)] (t)
t
1
12
t
1
1 t2
dx
t3 1
dt t2
1 2
t 2 dt 2 1 t2
u t2
1 2
u 1
u
du
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程计算
总结词
定积分在变速直线运动的路程计算中有着重要的应用。 通过定积分，我们可以求出物体在一定时间内的位移， 从而得到物体的运动轨迹。
详细描述
在变速直线运动中，物体的速度是随时间变化的。为了 计算物体在一定时间内的位移，我们需要将这段时间分 割成许多小的等时间段，并计算每个时间段内物体的位 移增量。将这些位移增量相加，就可以得到物体在整段 时间内的位移。这个过程可以用定积分来表示，其中被 积函数表示速度函数，积分变量表示时间，积分区间表 示时间范围。通过定积分的计算，我们可以得到物体在 一定时间范围内的位移。
定积分的计算方法
要点一
直接积分法
要点二
换元积分法
根据定积分的定义，直接计算出函数 在区间[a,b]上的积分值。
通过引入新的变量替换原来的被积函 数中的变量，将复杂函数的积分转化 为简单函数的积分。
要点三
分部积分法
通过将两个函数相乘，将其中一个函 数的积分转化为另一个函数的积分， 从而求得原来函数的积分。
恒力做功的计算
总结词
定积分在恒力做功的计算中也有着广泛的应用。通过 定积分，我们可以求出物体在一定距离内受到恒力作 用所做的功。
详细描述
在恒力做功的计算中，物体的受力是恒定的，而物体 移动的距离是变化的。为了计算物体在一定距离内受 到恒力作用所做的功，我们需要将这段距离分割成许 多小的等距离段，并计算每个距离段内物体所做的功 。将这些功相加，就可以得到物体在整个距离范围内 受到恒力所做的总功
06
定积分的数值计算方法
梯形法
要点一
总结词
简单易懂，适合初学者，但精度较低。
要点二
高等数学第五章第三节定积分的换元法和分部积分法课件.ppt
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
例3.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
两端在 [a,b] 上积分
u( x) v( x)
b a
b
a
u(
x)v(
x)
dx
b
a
u(
x)v(
x)
dx
u(x)v(x)
b a
abu(x) v(x) dx
例7. 计算
1 1
解: 原式 = x arcsin x 2 2 00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
1
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
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D
D2
u
J =2 J：部-Vvevdu = -£‘(2e - eT)vdv = e — e_1
例2计算JJ
1 -亳2-^22dxdy,其中D为 a b
D
22
椭圆Xr + % = 1所围成的闭区域.
ab
解作广义极坐标变
x = ar cos 0,
y = br sin
其中 a > 0, b > 0, r > 0, 0 < 0 0<, 2冗.
1,二重积分换元公式
__________ ______平_:面__上__同__一_■个_点.—，直角坐标与极坐标之
x = pcos^, 间的关系为 y = psin^.
上式可看成是从直角坐标平面po(P到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于皆湃
面上的一点M3,饥，通过上式变换，变 成
xoy 平面上的一点M(x, y)，且这种变 换 是一对一的.
\x + y = =2
则 x = ,y= . 22
没
o
x
D — D,艮卩 x = 0 T u = —
v;
v
v=2
y = 0 T u = v;
u = —v
u=v
x + y = 2 T v = 2.
o
u
11
J = a (X, y) 2 2 1 d (u, v) 1 1 2,
22
y-x
u
故 JJ ey+Xdxdy = JJ ev -dudv
(3) 变换T : D'T D是一对一的，则有 JJ f ( x,
y )dxdy = JJ f [ x ( u, v ), y ( u, v )]| J ( u, v )
dudv.
D
D
2.例题
y—x
JJ 例1 计算 D 广dxdy,其中D由x轴、y轴和直
线 x + y = 2所围成的闭区域.
y
解令 u = y — x, v = y + x,
在这变换下 D T D' = ((r, 0)0 < r < 1,0 <0< 2 冗｝,
J =血） = abr. a（ r ,e）
J在P内仅当r = 0处为零, 故换元公式仍成立，1Leabharlann 22-^-^dxdy
=
JJ__V__1___-__
r2abrdrdO
=
a>
'b
Q,
—
D
Rab
・
3
定理设f (x, y)在 xoy 平面上的闭区域D上 连续， 变换 T : x = x(u, v), y = y(u, v) 将uov平面上的闭区域D变为xoy平面上的D , 且
满足
⑴(2)x在(u,Dv上), 雅y(u可, v比)在式DJ上(u具, v有) =一'阶(x'y连)莉续；偏导数；
d ( u, v )