线性代数笔记
《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式- 2 -02、主对角线- 2 -03、转置行列式- 2 -04、行列式的性质- 3 -05、计算行列式- 3 -06、矩阵中未写出的元素- 4 -07、几类特殊的方阵- 4 -08、矩阵的运算规则- 4 -09、矩阵多项式- 6 -10、对称矩阵- 6 -11、矩阵的分块- 6 -12、矩阵的初等变换- 6 -13、矩阵等价- 7 -14、初等矩阵- 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -16、逆矩阵- 7 -17、充分性与必要性的证明题- 8 -18、伴随矩阵- 9 -19、矩阵的标准形：- 9 -20、矩阵的秩：- 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -22、线性方程组概念- 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -25、线性方程组的向量形式- 12 -26、线性相关与线性无关的概念- 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -29、线性表示与线性组合的概念- 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -33、线性方程组解的结构- 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数公式必背完整归纳清晰版
线性代数公式必背完整归纳清晰版线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射的理论和方法。
在学习线性代数的过程中，掌握一些重要的公式是非常重要的。
下面是线性代数中一些常见且重要的公式，希望能够帮助到你。
1.向量的加法和数乘:(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 +b2, ..., an + bn)k(a1, a2, ..., an) = (ka1, ka2, ..., kan)这是线性代数的基本操作，向量的加法是对应元素分别相加，向量的数乘是将向量中的每个元素与常数相乘。
2.内积:向量a = (a1, a2, ..., an) 和向量b = (b1, b2, ..., bn) 的内积定义为：a ·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有许多重要的性质：a·b=b·a-->内积的交换律(ka) · b = a · (kb) --> 内积的数乘关系a·(b+c)=a·b+a·c-->内积的分配律内积可以用来计算向量的夹角和向量的长度，是线性代数中的一个重要概念。
3.范数:向量a的范数定义为：a， = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2向量的范数满足以下性质：a，>=0，且当且仅当a=0时取等ka， = ，k，，a，对于任意的实数a+b，<=，a，+，b，三角不等范数是一个度量向量长度的函数，也是线性代数中常用的概念。
4.矩阵的乘法:对于矩阵A(m×n)和矩阵B(n×p)，它们的乘积C=A×B是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素可以表示为：C(i,j)=a(i,1)*b(1,j)+a(i,2)*b(2,j)+...+a(i,n)*b(n,j)矩阵乘法是线性代数中的核心概念，它在很多应用中都有重要的作用。
线性代数知识点总结
向量的模长
• 定义：向量的大小
• 计算公式：|v| = √(x² + y² + ... + n²)
向量的加法运算
向量加法的定义
• 两个向量的和是一个新的向量，其坐标等于两个向量坐标的和
• 向量加法满足交换律和结合律
向量加法的计算
• 直接将两个向量的对应坐标相加
• 可以用坐标法表示向量加法
向量加法的性质
正定二次型
• 二次型的标准化是将二次型表示为标准二次型的形式
• 正定二次型是指二次型对应的矩阵是正定矩阵
• 标准二次型的形式为f(x) = x′Ax + λx′x
• 正定二次型的二次函数在向量空间的原点处取得最小值
08
线性规划
线性规划问题的定义与模型
线性规划问题的定义
• 线性规划问题是一种优化问题，要求求解一组变量的最优值
06
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
01
特征值的定义
• 特征值是线性变换特征方程的根
• 特征值表示线性变换对向量的放大倍数
02
特征向量的定义
• 特征向量是线性变换特征方程的解向量
• 特征向量表示线性变换对向量的方向
03
特征值与特征向量的性质
• 特征值具有唯一性和稳定性
• 特征向量具有线性无关性
二次型的定义与表示
二次型的定义
二次型的表示
• 二次型是一种二次函数，表示为f(x) = Ax² + Bx + C
• 二次型可以用矩阵表示，为f(x) = x′Ax + x′Bx + x′Cx
• 其中，A、B、C是常数矩阵
• 其中，A、B、C是二次型的系数矩阵
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门重要的数学学科，在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、物理学、工程学等。
下面将对线性代数的一些关键知识点进行归纳整理。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念。
它是一个数值，可以通过特定的计算规则得到。
对于二阶行列式，其计算公式为：＼＼begin{vmatrix} a ＆ b ＼＼ c ＆ d ＼end{vmatrix} ＝ ad bc ＼对于三阶行列式，计算相对复杂些，可通过按行（列）展开来计算。
行列式具有一些重要的性质，例如：1、行列式转置后其值不变。
2、某行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
行列式的应用包括求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
二、矩阵矩阵是线性代数中的核心概念之一。
矩阵的定义：由\（m×n\）个数排成的\（m\）行\（n\）列的数表称为\（m×n\）矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。
1、矩阵加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，对应元素相加减。
2、数乘矩阵是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
3、矩阵乘法需要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，乘法运算不满足交换律。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
逆矩阵是一个重要概念，若矩阵\（A\）可逆，则存在矩阵\（B\），使得\（AB ＝ BA ＝ I\），其中\（I\）为单位矩阵。
三、向量向量可以看作是一组有序的数。
行向量是一行数，列向量是一列数。
向量的运算包括加法、减法、数乘。
向量组的线性相关性是一个重要内容。
如果存在一组不全为零的数，使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则称线性无关。
四、线性方程组线性方程组可以表示为矩阵形式\（Ax ＝ b\）。
线性方程组的解分为有解和无解的情况。
1、有解时，可能有唯一解或无穷多解。
2、无解时，方程组矛盾。
通过高斯消元法可以求解线性方程组。
五、特征值与特征向量对于矩阵\（A\），如果存在非零向量\（x\）和数\（＼lambda\），使得\（Ax ＝＼lambda x\），则\（＼lambda\）称为矩阵\（A\）的特征值，＼（x\）称为对应于特征值\（＼lambda\）的特征向量。
线性代数笔记11——向量空间
线性代数笔记11——向量空间 向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。
在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
线性组合 线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v1,v2…v n是n维向量，即v i∈R n，那么t1v1 + t2v2 + … + t n v n就是v1,v2…v n的线性组合，t i∈R。
从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。
如果有两个⼆维向量： 下⾯是可能存在的线性组合： 最后⼀个组合最终得到零向量，零向量也是⼀个线性组合。
此外，按照惯例，单个向量⽤列向量表⽰。
单个向量同样存在线性组合。
下⾯是a可能存在的线性组合：向量空间 概念没什么好解释的，经常提到⼆维空间R2，三维空间R3，n维空间R n，这些就是向量空间。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么R2空间的所有向量都可以⽤a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组合都在R2空间内。
这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。
下⾯是⼀个不封闭的例⼦，如果定义R2的第⼀象限是向量a(1,1)的向量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第⼀象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第⼀象限不对a封闭，也不是a的向量空间。
向量张成的空间 如果⼏个向量的线性组合在某⼀个向量空间中，并且该向量空间仅包括这⼏个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这⼏个向量张成的空间。
简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R2，⽤span(a, b) = R2表⽰。
如果是两个平⾏的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们⽆法张成R2，因为⽆论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是⼀条直线： 同样，span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩，所以span(a)也是⼀条直线。
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。
10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
高中数学线性代数知识点全归纳
1
②、
2
，左乘矩阵
A
，
i
乘
A
的各行元素；右乘，
i
乘
A
的各列元素；
3
n
1
1
1
③、对调两行或两列，符号 E(i, j) ，且 E(i, j)1 E(i, j) ，例如： 1
1
；
1
1
④、倍乘某行或某列，符号
E (i (k ))
，且
E(i(k))1
E(i( 1))
1
，例如：
k
AO
A (1)m n A B
CB OB
BO BC
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
n
6. 对于 n 阶行列式 A ，恒有： E A n (1)k Sknk ，其中 Sk 为 k 阶主子式； k 1
7. 证明 A 0 的方法：
①、 A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 r(A) n ； ⑤、证明 0 是其特征值；
1 a c
②、型如
0
1
b
的矩阵：利用二项展开式；
0 0 1
A O
C 1 A1
B
O
A1CB B1
1
；（拉普拉斯）
⑤、
A C
O
1
A1
B
B1CA1
O B1
；（拉普拉斯）
3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组
1.
一个
mn
矩阵
A
，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
F
Er O
O O
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
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1 / 19 线性代数笔记 第一章 行列式 ................................................................................................................................ 1 第二章 矩阵 .................................................................................................................................... 2 第三章 向量空间......................................................................................................................... 3 第四章 线性方程组....................................................................................................................... 5 第五章 特征值与特征向量 ........................................................................................................... 5
第一章 行列式 1.3.1 行列式的性质 给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。 性质1 转置的行列式与原行列式相等。即 (这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然) 性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。 推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。 推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。 可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。 性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。 以二阶为例 推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。 性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。 性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和， 注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。 性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式 例10 范德蒙行列式……
. 2 / 19
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2) 1.4 克莱姆法则 定理1.4.1 对于n阶行列式
定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:
定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。
第二章 矩阵 一、矩阵的运算 1、矩阵的加法 设A=（aij）m×n ，B=（bij）m×n ，则 A+B=（aij+bij）m×n 矩阵的加法适合下列运算规则： （1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C） （3）A+0=0+A=A 此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（aij）m×n ，0=0m×n
（4）矩阵A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=0
2、矩阵的数乘 设A=（aij）m×n，K为数，则 KA=（Kaij）m×n 矩阵的数乘适合下列运算规则： （1）K（A+B）=KA+KB （2）（K+L）A=KA+LA （3）（KL）A=K（LA） （4）1*A=A （5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。）
3、矩阵的乘法 设A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子，即A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC C（A+B）=CA+CB （3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。 由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幂是有意义的，即Ak=A*A…A共k个A相乘，从而有 （1）AkAl=Ak+l （2）（Ak）l=Akl （3）InA=AIn=A 4、矩阵的转置 将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A/ 注意A是m×n矩阵，则AT为n×m矩阵 矩阵的转置适合下列运算法则： （1）（AT）T=A （2）（A+B）T=AT+BT （3）（kA）T=kAT （4）（AB）T=BTAT
5、方阵的逆矩阵 设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则 1.可逆，且。 AA-1=A-1A=E
2.AB可逆，。
3. 也可逆，且。 （A-1）k=（Ak）-1 4.kA也可逆，且。（注：K不能为0） 5.消去律 设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。 若a≠0，ab=ac则b=c。
6.设A是n阶可逆方阵。定义 ，并定义。则有，其中k，l是任意整数。
7.设A 是 n阶可逆方阵，则。
2.3.1 逆矩阵的定义 定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。 则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。 若这样的B不存在，则称A不可逆。 定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。
定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。 推论 设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。 2.4.1 分块矩阵的概念 对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。 即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算 （1）准对角矩阵 方阵的特殊分块矩阵 形如 的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。 （2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积
则 （3）准对角矩阵的逆矩阵 若均为可逆阵。
可逆，且。 （4）准上（下）三角矩阵的行列式
。 可以证明
※（1）用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！
（2）在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化行阶梯形矩阵 定义2.5.1（线性方程组的初等变换） 称下列三种变换为线性方程组的初等变换。 （1）两个方程互换位置； （2）用一个非零的数乘某一个方程； （3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。 显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。 事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。
二、矩阵初等变换的定义 定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变 （1）对调矩阵中任意两行（列）的位置； （2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）； （3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。 把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。 定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。 等价具有反身性 即对任意矩阵A，有A与A等价； 对称性 若A与B等价，则B与A等价 传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
三、矩阵的行最简形式和等价标准形 简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。 阶梯形矩阵的定义：满足 （1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方； （2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j随着行 指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行） 行最简形式 以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。
若允许再作初等列变换可继续得 这最后的式子就是A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵
，也可能为或。 2.5.2 初等方阵 定义2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。 以三阶方阵为例 第一种： 第二种： 第三种: 显然，初等阵都是非奇异阵。 2.5.3 用初等变换法求逆矩阵
因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即 则 这表明，当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则
单位矩阵E将变成。于是有求逆矩阵的初等变换法:
写出分块矩阵作初等行变换，当A化成单位阵时，E就化成为。
2.5.4 用初等变换法求解矩阵方程 一元一次方程的标准形 ax=b（a≠0） 矩阵方程的三种标准形
AX=BXA=B （3）AXB=C则解法：对第一类 作分块矩阵对A作初等行变换，当A变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换，则得到的是。 对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由两边转置得