平面运动刚体上各点的速度
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理论力学第4章 刚体的平面运动
的位置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量。
2021/7/17
.
13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
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独立的参变量。
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xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
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7刚体的平面运动
7.2 求平面图形内各点速度的基点法 例题
例7-1 在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连
杆AB长l，曲柄以匀角速度转动，当OA与铅垂线的 夹角 = 45时，OA正好与AB垂直，试求此瞬时AB杆
的角速度、AB杆中点C的速度及滑块B的速度。
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7.2 求平面图形内各点速度的基点法
选速度已知的点A为基点
而vDA ＝II·r2。
O
vDA
I
所以
II
vDA r2
0 (r1 r2 )
r2
以A为基点, 分析点B的速度。 vB vA vBA
II
vDA r2
0 (r1 r2 )
r2
vBA II BA 0 (r1 r2 ) vA
vBA与vA垂直且相等, 点B的速度
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7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法 7.3.2 速度瞬心法
几点讨论
每瞬时平面图形上都存在唯一的速度瞬心。它可 位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。 瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不 同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度 并不等于零。 平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是 绕一系列的速度瞬心的转动。
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8.1 刚体平面运动的运动方程 绕基点转动的特点
基点不同转角相同
B
1 2
A
ω1 ω2
B
B
A
A
1 2
结论：任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基 点转动的角速度与角加速度都相同。
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7.1 刚体平面运动的运动方程
讨论
选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和 加速度不相同。 相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无 关。于是可以直接称为平面运动的角速度和角加速度 今后标注平面图形的角速度和角加速度时，只需注 明它是哪个刚体的，不必注明它是相对于哪个基点。
刚体平面运动
DE C
D B DB
大小 ？ l ? 方向
vD vDB vB l
v v 5 rad s DE l v v 5 rad s BD l
D B DE
DB
B
BD
22
[例3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 匀角速度ω转动。
变．也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运 动．这种运动称为刚体的平面运动．
1
刚体平面运动动画一：行星齿轮
2
刚体平面运动动画二：车轮运动情况
3
二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的 运动 A1A2作平动 A点代表A1A2的运动 S代表刚体的运动
因此，在研究平面运动时， 不需考虑刚体的形状和尺寸，只
。如曲柄OA以 3r
求：当 60 ， 0， 90 时点B的速度。
23
已知：OA r , AB
3
r , OA , 求：vB。
解：1 AB作平面运动,基点：A
2
vB v A vBA 大小 ？ r ?
方向 60
vB v A cos 30 2 3r 3 0
vB v A / sin l / sin 45 不能求出 AB 2l ()
③速度瞬心法 研究AB，已知 v A , v B的方向，因此 可确定出I点为速度瞬心
v A l , AI l AB v A / AI l / l （ vB BI AB 2l ()
aa aB ; ae a A ; ar aBA aBA aBAn
由动系作平动时的加速度合成定理 aa ae ar 可得：
D B DB
大小 ？ l ? 方向
vD vDB vB l
v v 5 rad s DE l v v 5 rad s BD l
D B DE
DB
B
BD
22
[例3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 匀角速度ω转动。
变．也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运 动．这种运动称为刚体的平面运动．
1
刚体平面运动动画一：行星齿轮
2
刚体平面运动动画二：车轮运动情况
3
二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的 运动 A1A2作平动 A点代表A1A2的运动 S代表刚体的运动
因此，在研究平面运动时， 不需考虑刚体的形状和尺寸，只
。如曲柄OA以 3r
求：当 60 ， 0， 90 时点B的速度。
23
已知：OA r , AB
3
r , OA , 求：vB。
解：1 AB作平面运动,基点：A
2
vB v A vBA 大小 ？ r ?
方向 60
vB v A cos 30 2 3r 3 0
vB v A / sin l / sin 45 不能求出 AB 2l ()
③速度瞬心法 研究AB，已知 v A , v B的方向，因此 可确定出I点为速度瞬心
v A l , AI l AB v A / AI l / l （ vB BI AB 2l ()
aa aB ; ae a A ; ar aBA aBA aBAn
由动系作平动时的加速度合成定理 aa ae ar 可得：
第6章刚体的平面运动
(a)
(b)
25
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相 同，且不与AB连线 垂直。 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角 速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称 为瞬时平动。 (此时各点的加速度不相等)
对④(a)的情况，若vA＝vB，
也是瞬时平动．
26
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。 此时连杆BC的图形角速度
车轮绕基点的转动(相对运动)
15
16
2.平面运动的分解与基点选择的关系
①平面图形随基点的平动与基点的选择有关。
②平面图形绕基点的转动与基点的选择无关。 证明： 在平面图形上取任意两直线O'P、O'' P' ， 二者夹角为a， 则a =常量。 以O'为基点，作平动坐标系O'x'y'， 设O'P与x'的夹角为，则图形绕O'点转 动的角速度和角加速度分别为：
o
取长度 OI
vO / 则： vIO OI vO 方位⊥IO，指向与vO 相反。所以
vI=0
22
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）． ３．速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为， 速度瞬心在I点。以I点为基点，有：
vC 3 0 vB sin 60 r 0 2
()
34
§6-4 平面图形内各点的加速度
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 a A 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系铰接于A点， 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动．
(b)
25
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相 同，且不与AB连线 垂直。 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角 速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称 为瞬时平动。 (此时各点的加速度不相等)
对④(a)的情况，若vA＝vB，
也是瞬时平动．
26
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。 此时连杆BC的图形角速度
车轮绕基点的转动(相对运动)
15
16
2.平面运动的分解与基点选择的关系
①平面图形随基点的平动与基点的选择有关。
②平面图形绕基点的转动与基点的选择无关。 证明： 在平面图形上取任意两直线O'P、O'' P' ， 二者夹角为a， 则a =常量。 以O'为基点，作平动坐标系O'x'y'， 设O'P与x'的夹角为，则图形绕O'点转 动的角速度和角加速度分别为：
o
取长度 OI
vO / 则： vIO OI vO 方位⊥IO，指向与vO 相反。所以
vI=0
22
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）． ３．速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为， 速度瞬心在I点。以I点为基点，有：
vC 3 0 vB sin 60 r 0 2
()
34
§6-4 平面图形内各点的加速度
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 a A 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系铰接于A点， 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动．
工程力学 第八章 刚体的平面运动
例8.1.曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法; b.速度投影法 解：机构中,OA作定轴转动, AB作平面运动,滑块B作平移。
基点法
研究 AB，以 A为基点， 且 v A l , 方向如图示。 根据
vB vA vBA ,
va ve vr vB vA vBA
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v
B
v
A
v
BA
v
B
v
A
v
BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中
vBA
大小
vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
2 l ( )
在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。
vB v A / sin l / sin 45 vBA v A /tg l / tg 45 l AB vBA / AB l / l
（
）
速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
因此，图形S 的位置决定于x A , y A , 三个独立的参变量．
平面运动方程
x A f1 (t ) yA f2 ( t ) f 3 (t )
1)当图形S上A点固定不动，则刚体将作定轴转动； 2)当图形S上角不变时（ =常数），则刚体将作平移。
故刚体平面的运动可以看成是平移和转动的合成运动。
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vB sin vA
vB v A / sin l / sin 45 2l( )
刚体的平面运动18282精品文档63页
设匀，则 aBaBnAB 2()
而 a c 的方向沿AC的，aB ac 瞬时平动与平动不同
2008-7-16
35
[例]p202 已知：曲柄连杆机构
OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求：
当 =45º时, 滑块B的速度及AB杆的角
速度．
解：
基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，且vA l, 方向如图示。
S
O
x
y
A
绕着基点O的转 动(相对运动)
S O
x
o
x
结论：平面图形S的绝对运动可分解为随基点的平动
和绕基点的转动。
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23
车轮的运动．
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24
结论：
平面运动可取任一点作为基点而分解为平 动和转动。其中平动的速度和加速度与基点的 选取有关，而平面图形绕基点转动的角速度和 角加速度与基点的选取无关。
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二．平面运动的简化
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§9-2 平面运动分解为平动和转动· 刚体的平面运动方程
一．平面运动方程 swf0701.swf
平面运动方程
而 a c 的方向沿AC的，aB ac 瞬时平动与平动不同
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[例]p202 已知：曲柄连杆机构
OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求：
当 =45º时, 滑块B的速度及AB杆的角
速度．
解：
基点法（合成法）
研究 AB，以 A为基点，且vA l, 方向如图示。
S
O
x
y
A
绕着基点O的转 动(相对运动)
S O
x
o
x
结论：平面图形S的绝对运动可分解为随基点的平动
和绕基点的转动。
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车轮的运动．
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结论：
平面运动可取任一点作为基点而分解为平 动和转动。其中平动的速度和加速度与基点的 选取有关，而平面图形绕基点转动的角速度和 角加速度与基点的选取无关。
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二．平面运动的简化
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§9-2 平面运动分解为平动和转动· 刚体的平面运动方程
一．平面运动方程 swf0701.swf
平面运动方程
刚体的平面平行运动
轴为动坐标轴（o-xyz),则
J I1xi I2y j I3zk
23
J I1xi I2y j I3zk
计算第一项的导数： d
dt
dJ dt
J
x
i
J y
j
(I1xi )
J
z
k
I1I1xdidt xIi1x
J
I1x (
di dt i)
dJ x dt
i
(J
xi )
I1
x
i
I2 y
Ⅰ
基点位移均为 AA
A’
再绕A’作纯平动Ⅱ’→Ⅱ，
A
B
刚体平面平行运动=任意点的平动+绕该点的转动
Ⅱ’ B’ θ
1
2. P点的速度
建立固定系0xyz和固连系0x'y'z'.取A为基点:
独v立p 变量ddrt:
xA,
dyA(,rA dt
r ' )
vA
r
P点在固定系和固连系中的坐标为（x,y）
和（x’,y’）,其速度在固定系中的投影
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例2 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯
时, 当螺旋浆尖端B与中心A的联线和铅垂线成角时, 求B点的速度
及加速度. 已知螺旋桨的长度AB=l, 螺旋桨自身旋转的角速度为1.
解:
1 j
V R
k
v Vj r '
Vj
1
j
V R
k
l sini
l cosk
1l
解：选取坐标系如图，
yωN
mxC f
N mg 0
2 5
mR
2
fR
刚体的平面运动
对静坐标系的绝对角速度ωa ，为什么？
◆ 相对于平动坐标系的角速度ωr和相对于静坐 标系的角速度ωa有何区别？
相对角速度ωr ？ 绝对角速度ωa ？
因为平动参考系相对定
参考系没有方位的变化，平
面图形的角速度既是平面图 形相对于平动参考系的相对
角速度，也是平面图形相对
于定参考系的绝对角速度。
1 2 d ＝ lim lim t 0 t t 0 t dt
C 点的速度。
刚体平面运动
求加速度的解题步骤：
1.选择基点； 2.分析三种加速度，列表分析；
3.画加速度图；
4.根据基点法方程求解。
问题1？
基点法公式：
vB vA vBA
相对速度VAB＝AB· r , ωr是平面图形相对于 ω
平动坐标系的相对角速度。 前面例题中求相对速度时，用的是平面图形相
第三种情形
已知平面图形上两点的速 度矢量的大小与方向，而且二 矢量互相平行，并且都垂直于 两点的连线。
两速度矢量端点连线与直线AB的交点
速度瞬心
v A vB vA vB ACv BC v AB
第四种情形
B A
vB vA
已知平面图形上两点的速度矢量的 大小相等、方向相同, 二矢量互相平行， 并且都垂直于两点的连线。
两速度垂线的交点
速度瞬心
vA vB ACv BC v
(三)几种特殊情形下速度瞬心的确定
第二种情形
已知平面图形上两点的速 度矢量的大小与方向，而且二 矢量互相平行、方向相反，但 二者都垂直于两点的连线。 两速度矢量端点连线与线段AB的交点
速度瞬心
vA vB ACv BC v
(三)几种特殊情形下速度瞬心的确定
刚体的简单运动—转动刚体内各点的速度和加速度(理论力学)
二、角加速度 与an ，at的关系
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加 速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。 求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（ ）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加 速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。 求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（ ）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C
理论力学第章刚体的平面运动
E
30
B vB
A vA
vD
vB CD CB
3vB
0.693
m s－1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度 水平，由速度投影定理，D，E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s－1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ，因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度，应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA DA
O (r1
r2
r2 )
（逆时针）
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
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（基点法）
θ vCB vB vC
vBA
vB
vA
ωABC
vA
再取点B为基点，则点C的速度
vC vBvCB
vCB BvBC A22B rC 2r O 1 2练O 习 ：r7 -3O
vCvB 2vC 2 B 2vBvCB co4s5
a12r0crsvB iOsni1n351826'
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
二、平面运动的简化
直线A1A2作平移
O
点A可代表直线A1A2的运动
直线B1B2作平移
y
点B可代表直线B1B2的运动
B1
x
B
B2
于是，平面图形 S 在自身平面内的运动可代表刚体 的平面运动。
7.1 刚体平面运动的概述
三、平面运动的方程
y
M
xO' f1(t)
yO' f2(t)
xO' O'
φ
S
f3(t)
O
yO'
x
平面图形作平面运动的运动方程
7.1 刚体平面运动的概述
四、平面运动的分解
1.如 f3(t)常数平面图形在Oxy内作平移。
2.如 x O 'f1 (t) 常y O 数 'f2(t) 常数
平面图形绕 O' 轴转动。
y
y'
在点O'建立一个平移的参
M
考系O'x'y'z'，点O称为基点。
平面图形的平面运动可分
xO' O'
φ
x'
解为随基点的平移和绕基点
的转动。
O
yO''
x
7.1 刚体平面运动的概述
例如 直线滚动车轮的 运动
车轮的平面运动可以 看成是车轮随同车厢的平 移和相对车厢的转动的合 成．
车轮对于地面（定系）的平面运动
车厢（动系Ax y ) 相对定系的平移 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
sviA 4n B 5 si9 n vA 0 ()si4 n vB 5 ()
lsinrsviB4 n5 cvosAinssinrl4s(5in45)112062ccmo/ss
1si2n7 2
10
AB
vAB l
1 vA sin45 0.71r4ad/s
l cos
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：曲柄长OA=r=40cm，以匀角速度ω=5rad/s转动。连杆
AB长l=200cm，求当曲柄与水平线成45º角时，滑块B的速 度及连杆AB的角速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vA
解：杆OA作定轴转动
vA
vAr20c0m/
θ
取点A为基点，则点B速度
vB
vBvAvBA
vBA 作速度图，得
четверг, 28 мая
第7章 刚体的平面运动
7.1 刚体平面运动的概述 7.2 平面运动刚体上各点的速度 7.3 平面运动刚体上各点的加速度 7.4 运动学综合应用举例
7.1 刚体平面运动的概述
一、平面运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保
持相等的距离。这种运动称为平面运动。
vD
解：杆OA绕O轴转动
vA OA0.2m/s
vB
30º
vA
由速度投影定理，得
vE
vBco3s0 vA
摇杆CD绕C轴转动，有
vB
2vA 3
0.4m/s 3
vD
vB CD CB
3vB
（绝对运动） （牵连运动） （相对运动）
7.1 刚体平面运动的概述
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动
和绕基点的转动．
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
五、图形平面运动的角速度和角加速度 练习：7-2
B" 取点A为基点
B
B'
随点A以vA,aA作平移。
φ φ'
绕点A转动，角速度：
于是，平面图形上点M的运动是两个运动的合成，因 此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法。
vM vMO’
M
ω
O'
vO’
牵连运动：
ve vO'
vO’ 相对运动：
vr vM'O O'M
点M的绝对速度：
vMvO' vMO '
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随
vA
解：取点O为基点，则点C的速度
vDO
vD
vO
vCO
vO vAO
vC vOvCO
vO
vO
ω
vBO vB
vCOR
因0轮纯vO滚动R，所以vC=0，vRO则
vO
点A: vAORvO vA 2vO
点B: vBORvO vB 2vO
点D: vDORvO vD 2vO
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
(vB)AB(vA)AB
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB 带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB， 图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求此瞬时点E的速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
图形绕基点转动速度的矢量和。
vB vBA
B
ω
A
vA
根据这个结论，平面图形内任 意两点的速度必存在一定的关系。
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
其中
v AB BA
方向垂直AB。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知
轮轴以匀速v0前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。
vC
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这 两点连线上的投影相等。
vB vBA
B
ω
A
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
vA 将上式两端在直线AB上投影，得
(v B )A B(vA )A B (v B)AB
因 vBA⊥AB，所以（vBA)AB=0，则
A'
A
A"
取点B为基点
随点B以vB,aB作平移。
A
d
dt
绕点B转动，角速度： B
d '
dt
由 '于 所 A 以 B A B
平移与基点的选择有关，转动与基点的选择无关。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
已知：vO' ，ω，求 vM 。 取点O'为基点。 平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动， 即随基点O'的平动；2.相对运动，即绕基点O'的转动。
例：曲柄OA以匀角速度ω0转动。求在图示瞬时，点C的 速度。已知：OA=O1O=r，BC=2r。∠OAB=45º。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vBA
vB
vA
ωABC
vA
解：杆OA绕O轴转动
vAO AOrO
取点A为基点，则点B的速度
vBvAvBA
作速度图，得
vBA vBvAco4s522rO AB CvABA B v2B OAA 1 2O
θ vCB vB vC
vBA
vB
vA
ωABC
vA
再取点B为基点，则点C的速度
vC vBvCB
vCB BvBC A22B rC 2r O 1 2练O 习 ：r7 -3O
vCvB 2vC 2 B 2vBvCB co4s5
a12r0crsvB iOsni1n351826'
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
二、平面运动的简化
直线A1A2作平移
O
点A可代表直线A1A2的运动
直线B1B2作平移
y
点B可代表直线B1B2的运动
B1
x
B
B2
于是，平面图形 S 在自身平面内的运动可代表刚体 的平面运动。
7.1 刚体平面运动的概述
三、平面运动的方程
y
M
xO' f1(t)
yO' f2(t)
xO' O'
φ
S
f3(t)
O
yO'
x
平面图形作平面运动的运动方程
7.1 刚体平面运动的概述
四、平面运动的分解
1.如 f3(t)常数平面图形在Oxy内作平移。
2.如 x O 'f1 (t) 常y O 数 'f2(t) 常数
平面图形绕 O' 轴转动。
y
y'
在点O'建立一个平移的参
M
考系O'x'y'z'，点O称为基点。
平面图形的平面运动可分
xO' O'
φ
x'
解为随基点的平移和绕基点
的转动。
O
yO''
x
7.1 刚体平面运动的概述
例如 直线滚动车轮的 运动
车轮的平面运动可以 看成是车轮随同车厢的平 移和相对车厢的转动的合 成．
车轮对于地面（定系）的平面运动
车厢（动系Ax y ) 相对定系的平移 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
sviA 4n B 5 si9 n vA 0 ()si4 n vB 5 ()
lsinrsviB4 n5 cvosAinssinrl4s(5in45)112062ccmo/ss
1si2n7 2
10
AB
vAB l
1 vA sin45 0.71r4ad/s
l cos
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：曲柄长OA=r=40cm，以匀角速度ω=5rad/s转动。连杆
AB长l=200cm，求当曲柄与水平线成45º角时，滑块B的速 度及连杆AB的角速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vA
解：杆OA作定轴转动
vA
vAr20c0m/
θ
取点A为基点，则点B速度
vB
vBvAvBA
vBA 作速度图，得
четверг, 28 мая
第7章 刚体的平面运动
7.1 刚体平面运动的概述 7.2 平面运动刚体上各点的速度 7.3 平面运动刚体上各点的加速度 7.4 运动学综合应用举例
7.1 刚体平面运动的概述
一、平面运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保
持相等的距离。这种运动称为平面运动。
vD
解：杆OA绕O轴转动
vA OA0.2m/s
vB
30º
vA
由速度投影定理，得
vE
vBco3s0 vA
摇杆CD绕C轴转动，有
vB
2vA 3
0.4m/s 3
vD
vB CD CB
3vB
（绝对运动） （牵连运动） （相对运动）
7.1 刚体平面运动的概述
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动
和绕基点的转动．
7.1 刚体平面运动的概述
7.1 刚体平面运动的概述
五、图形平面运动的角速度和角加速度 练习：7-2
B" 取点A为基点
B
B'
随点A以vA,aA作平移。
φ φ'
绕点A转动，角速度：
于是，平面图形上点M的运动是两个运动的合成，因 此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法。
vM vMO’
M
ω
O'
vO’
牵连运动：
ve vO'
vO’ 相对运动：
vr vM'O O'M
点M的绝对速度：
vMvO' vMO '
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随
vA
解：取点O为基点，则点C的速度
vDO
vD
vO
vCO
vO vAO
vC vOvCO
vO
vO
ω
vBO vB
vCOR
因0轮纯vO滚动R，所以vC=0，vRO则
vO
点A: vAORvO vA 2vO
点B: vBORvO vB 2vO
点D: vDORvO vD 2vO
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
(vB)AB(vA)AB
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB 带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB， 图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求此瞬时点E的速度。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
图形绕基点转动速度的矢量和。
vB vBA
B
ω
A
vA
根据这个结论，平面图形内任 意两点的速度必存在一定的关系。
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
其中
v AB BA
方向垂直AB。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
例：半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知
轮轴以匀速v0前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。
vC
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这 两点连线上的投影相等。
vB vBA
B
ω
A
vA
取点A为动点，则点B的速度为
vBvAvBA
vA 将上式两端在直线AB上投影，得
(v B )A B(vA )A B (v B)AB
因 vBA⊥AB，所以（vBA)AB=0，则
A'
A
A"
取点B为基点
随点B以vB,aB作平移。
A
d
dt
绕点B转动，角速度： B
d '
dt
由 '于 所 A 以 B A B
平移与基点的选择有关，转动与基点的选择无关。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
已知：vO' ，ω，求 vM 。 取点O'为基点。 平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动， 即随基点O'的平动；2.相对运动，即绕基点O'的转动。
例：曲柄OA以匀角速度ω0转动。求在图示瞬时，点C的 速度。已知：OA=O1O=r，BC=2r。∠OAB=45º。
7.2 平面运动刚体上各点的速度（基点法）
vBA
vB
vA
ωABC
vA
解：杆OA绕O轴转动
vAO AOrO
取点A为基点，则点B的速度
vBvAvBA
作速度图，得
vBA vBvAco4s522rO AB CvABA B v2B OAA 1 2O