空间向量综合测试(含答案)
空间向量综合测试
一、选择题:本题共12小题,每小题5分
1.已知A (3,2,1),B (1,0,4),则线段AB 的中点坐标和|AB →
|是( )
A.????2,1,52,17
B.????2,-1,52,17
C.????2,1,-52,17
D.????2,-1,-52,17
2.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA →=a ,CB →=b ,CC 1→=c ,则A 1B →等于( ) A .a +b -c B .a -b +c C .-a +b +c D.-a +b -c
3.平面α的法向量u =(1,2,-1),平面β的法向量v =(λ2,2,8),若α⊥β,则λ的值是( ) A .2 B .-2 C .±2 D.不存在
4.在空间四边形ABCD 中,若向量AB →=(-3,5,2),CD →
=(-7,-1,-4),点E ,F 分别为线段BC ,AD 的中点,则EF →
的坐标为( )
A .(2,3,3)
B .(-2,-3,-3)
C .(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 5.已知四面体ABC
D 的所有棱长都是2,点
E ,
F 分别是AD ,DC 的中点,则EF →·BA →
=( ) A .1 B .-1 C. 3 D.- 3
6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则与直线CE 垂直的直线是( ) A .AC B .BD C .A 1D D.A 1A
7.已知a =3m -2n -4p ≠0,b =(x +1)m +8n +2y p ,且m ,n ,p 不共面,若a ∥b ,则x ,y 的值为( )
A .x =-13,y =8
B .x =-13,y =5
C .x =7,y =5 D.x =7,y =8 8.已知棱长为1的正方体ABC
D -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1,则AO 1→·AC →的值为( )
A .-1
B .0
C .1 D.2
9.已知直线l 的方向向量为n =(1,0,2),点A (0,1,1)在直线l 上,则点P (1,2,2)到直线l 的距离为( )
A.
305 B.30 C.30
10
D.230 10.在四棱锥P -ABCD 中,AB →=(4,-2,3),AD →=(-4,1,0),AP →=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h =( )
A .1
B .2
C .13 D.26
11.如图,将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角,若点P 满足BP →=12BA →-12BC
→
+BD →,则|BP →
|2的值为( )
A.32 B .3 C.74 D.94
12.三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,AA 1=AB =AC =1,AB ⊥AC ,N 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上,且满足:A 1P →=λA 1B 1→
,则直线PN 与平面ABC 所成角θ取最大值时λ的值为( )
A.12
B.22
C.32
D.255
一、选择题:本题共12小题,每小题5分
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,则A 1B →·B 1C →=________.
14.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知A (1,-2,0),B (2,1,6),则向量AB →
与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________.
15.点P 是底边长为23,高为2的正三棱柱表面上的动点,MN 是该棱柱内切球的一条直径,则PM →·PN →的取值范围是__________.
16.如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC =2a ,BB 1=3a ,D 是A 1C 1的中点,点E 在棱AA 1上,要使CE ⊥平面B 1DE ,则AE =________.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图所示,在四棱锥M -ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的
长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB →,b =AD →
,c =AM →,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN →
,并求BN 的长.
18.(12分)四边形ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,P A =AD ,M 、N 分别是PC 、AB 的中点,求证:MN ⊥平面PCD .
19.(12分)如图所示,平行四边形ABCD 中,∠DAB =60°,AB =2,AD =4,将△CBD 沿BD
折起到△EBD 的位置,使平面EBD ⊥平面ABD .
(1)求证:AB ⊥DE ;
(2)若点F 为BE 的中点,求直线AF 与平面ADE 所成角的正弦值.
20.(12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,PG ⊥平面ABCD ,垂足为G ,G 在AD 上,且PG =4,AG =1
3GD ,BG ⊥GC ,GB =GC =2,E 是BC 的中点.(1)求异面直
线GE 与PC 所成角的余弦值;(2)若F 是棱PC 上一点,且DF ⊥GC ,求PF
FC
的值.
21.(12分)在△A ′BC 中,A ′B =4,A ′C =42,∠BA ′C =45°,以A ′C 的中线BD 为折痕,将△A ′BD 沿BD 折起,构成二面角A -BD -C ,在平面BCD 内作CE ⊥CD ,且CE =2,连接DE ,AE ,AC ,如图所示.
(1)求证:CE ∥平面ABD ;(2)若二面角A -BD -C 的大小为90°,求二面角B -AC -E 的余弦值.
22.(12分)如图,四边形PDCE 为矩形,四边形ABCD 为梯形,平面PDCE ⊥平面ABCD ,∠BAD =∠ADC =90°,AB =AD =12
CD =1,PD = 2.
(1)若M 为P A 的中点,求证:AC ∥平面MDE ;(2)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值;
(3)在线段PC 上是否存在一点Q (除去端点),使得平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为π3
?
空间向量综合测试答案
1.解析:选A.设P (x ,y ,z )是AB 中点,则
OP →=12(OA →+OB →)=12[(3,2,1)+(1,0,4)]=????2,1,52,d AB =|AB →
|=(3-1)2+(2-0)2+(1-4)2=17.
2.解析:选D.如图,A 1B →=AB →-AA 1→=CB →-CA →-AA 1→=CB →-CA →-CC 1→
=b -a -c .
3.解析:选C.α⊥β?u ⊥v ?u ·v =0?λ2+4-8=0?λ=±2.
4.解析:选B.取AC 中点M ,连接ME ,MF ,则ME →=12AB →=????-32,52,1,MF →=12CD →
=???
?-72,-12,-2,所以EF →=MF →-ME →=(-2,-3,-3),故选B.
5.解析:选B.如图所示,EF →=12AC →,所以EF →·BA →=12AC →·(-AB →
)=-12×2×2cos
60°=-1故选B.
6.解析:选B.以A 为原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则A (0,0,0),C (1,1,0),B (1,0,0),D (0,1,0),A 1(0,0,1),E ????12,12,1,所以CE →=????-12,-12,1,AC →=(1,1,0),BD →
=(-1,1,0),A 1D →=(0,1,-1),A 1A →=(0,0,-1).显然CE →·BD →=12-12
+0=0,所以CE →⊥BD →
,即CE ⊥BD .
7.解析:选A.因为a ∥b 且a ≠0,
所以b =λa ,即(x +1)m +8n +2y p =3λm -2λn -4λp . 又因为m ,n ,p 不共面,所以x +13=8-2=2y
-4,
所以x =-13,y =8.
8.解析:选C.由于AO 1→=AA 1→+A 1O 1→=AA 1→+12(A 1B 1→+A 1D 1→)=AA 1→+12
(AB →+AD →),而AC →=AB →+AD →
,
则AO 1→·AC →=[AA 1→+12(AB →+AD →)]·(AB →+AD →)=12(AB →+AD →)2=12
(AB →2+AD →
2)=1.
9.解析:选A.过P 点作PH ⊥l 于H 点,
则PH →=P A →+AH →,由AH →∥n ,可设AH →
=λn =(λ,0,2λ). 所以PH →
=(-1,-1,-1)+(λ,0,2λ)=(λ-1,-1,2λ-1), 由PH →⊥n ,得λ-1+2(2λ-1)=0,解得λ=35所以PH →
=????-25,-1,15. 因此点P 到l 的距离为|PH →
|=
425+1+125=305
,选A. 10.解析:选B.设平面ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则?????n ⊥AB →n ⊥AD →,即?????4x -2y +3z =0
-4x +y =0,设y
=4,则n =????1,4,43,所以cos 〈n ,AP →
〉=n ·AP →|n ||AP →
|=-6+8-32
3
133×226
=-2626,所以h =2626×226=2,故选B.
11.解析:选D.由题可知|BA →|=1,|BC →|=1,|BD →
|= 2. 〈BA →,BD →〉=45°,〈BD →,BC →〉=45°,〈BA →,BC →〉=60°.
所以|BP →
|2=(12BA →-12BC →+BD →)2=14BA →2+14BC →2+BD →2-12BA →·BC →+BA →·BD →-BC →·BD →=14+14+2-
12×1×1×12+1×2×22-1×2×22
=9
4
.
12.解析:选A.
如图,分别以AB →,AC →,AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ,则P (λ,0,1),N ????12,12,0,PN →=(1
2-λ,12,-1).易得平面ABC 的一个法向量n =(0,0,1),则直线PN 与平面ABC 所成的
角θ满足:sin θ=|cos 〈PN →
,n 〉|=
1
????λ-122
+54
,于是问题转化为二次函数求最值,而θ∈???
?0,π2,
所以当sin θ最大时,θ最大.所以当λ=12时,sin θ最大,为25
5,同时直线PN 与平面ABC 所成
的角θ取到最大值.
13解析:A 1B →·B 1C →=A 1B →·A 1D →=|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →,A 1D →
〉=2a ×2a ×cos 60°=a 2.答案:a 2
14解析:设平面xOz 的法向量为n =(0,t ,0)(t ≠0).又AB →=(1,3,6),所以cos 〈n ,AB →〉=n ·AB →|n |·|AB →|
=3t 4|t |,因为〈n ,AB →〉∈[0,π],所以sin 〈n ,AB →〉=
1-????3t 4|t |2=74 答案:74
15解析:由题意知内切球的半径为1,设球心为O ,则PM →·PN →=(PO →+OM →)·(PO →+ON →)=OP 2→
+PO →·(OM →+ON →)+OM →·ON →=|PO →|2-1.因为1≤|OP →|≤5,所以PM →·PN →∈[0,4].答案:[0,4]
16.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2a ,0,0),B 1(0,0,3a ),C (0,2a ,0).设点E 的坐标为(2a ,0,z ),则CE →=(2a ,-2a ,z ),B 1E →=(2a ,0,z -3a ).由CE →⊥B 1E →
,得2a 2+z 2-3az =0,解得z =a 或2a ,即AE =a 或2a . 答案:a 或2a
17.解:BN →=BC →+CN →=AD →+12CM →=AD →+12(AM →-AC →
)
=AD →+12[AM →-(AD →+AB →
)]=-12AB →+12AD →+12AM →.
所以BN →
=-12a +12b +12
c ,
|BN →|2=BN →2=????-12a +12b +12c 2
=14(a 2+b 2+c 2
-2a·b -2a·c +2b·c )=174
,
所以|BN →
|=172,即BN 的长为172
.
18.证明:建立空间直角坐标系如图所示,设P A =AD =a ,AB =b ,
则P (0,0,a ),D (0,a ,0),B (b ,0,0),C (b ,a ,0),N ????b 2,0,0,M ????b 2,a 2,a
2, 所以MN →=????0,-a 2,-a 2,DC →=(b ,0,0),PC →
=(b ,a ,-a ), 所以MN →·PC →=-a 22+a 22
=0,MN →·DC →
=0,
所以MN →⊥PC →,MN →⊥DC →
,即MN ⊥PC ,MN ⊥DC ,又因为PC ∩DC =C ,MN ?平面PCD ,所以MN ⊥平面PCD .
19.解:(1)证明:在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠DAB ,即BD 2
=4+16-16×1
2=12,所以BD =23,所以BD 2+AB 2=AD 2,所以△ABD 和△EBD 均为直角三角
形,所以ED ⊥DB .又DB 是平面EBD 和平面ABD 的交线,且平面EBD ⊥平面ABD ,ED ?平面EBD ,
所以ED ⊥平面ABD .
又AB ?平面ABD ,所以AB ⊥DE .
(2)由(1)知∠ABD =∠CDB =90°,以D 为坐标原点,DB ,DC ,DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略),则D (0,0,0),B (23,0,0),C (0,2,0),E (0,0,2),A (23,-2,0),F (3,0,1),所以DA →=(23,-2,0),DE →=(0,0,2),AF →
=(-3,2,1).
设平面ADE 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则有?????n ·
DA →=0,n ·DE →=0,即???23x -2y =0,2z =0.令x =1,则y = 3.又z =0,所以n =(1,3,0).
设直线AF 与平面ADE 所成的角为α,则有sin α=|cos 〈n ,AF →
〉|=|n ·AF →
||n ||AF →
|=32×22=68.
20.解:(1)以G 点为原点,GB ,GC ,GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (0,2,0),P (0,0,4),故E (1,1,0),GE →=(1,1,0),PC →
=(0,2,-4).
因为cos 〈GE →,PC →
〉=GE →·PC →
|GE →||PC →|=22×25=1010,所以GE 与PC 所成角的余弦值为1010.
(2)因为GD →=34
BC →
=????-32,32,0,所以D ????-32,32,0. 设F (0,y ,z ),则DF →
=(0,y ,z )-????-32,32,0=????32
,y -32,z . 因为DF →⊥GC →,所以DF →·GC →
=0,即????32,y -32,z ·(0,2,0)=2y -3=0,所以y =32
. 又点F 在PC 上,所以PF →=λPC →
,即????0,32,z -4=λ(0,2,-4),所以z =1,故F ????0,32,1, 所以PF →=????0,32,-3,FC →
=????0,12,-1,所以PF FC =35
25
2
=3. 21.解:(1)证明:由AB =4,A ′C =42,∠BA ′C =45°,得BC =4,所以△A ′BC 为等腰直角三
角形,又D 为A ′C 的中点,所以BD ⊥A ′C .所以折起后BD ⊥CD .又CE ⊥CD ,所以CE ∥BD ,
因为CE ?平面ABD ,BD ?平面ABD ,所以CE ∥平面ABD .
(2)由二面角A -BD -C 的大小为90°,AD ⊥BD ,得AD ⊥平面BCD ,由(1)知BD ⊥CD , 于是以D 为坐标原点,分别以DB ,DC ,DA 所在直线为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设F 为AC 的中点,连接DF ,则DF ⊥AC ,且DF =2.
因为CE ⊥CD ,AD ⊥平面BCD ,所以CE ⊥平面ACD ,所以DF ⊥CE ,所以DF ⊥平面ACE . 易求得BD =CD =AD =22,所以D (0,0,0),B (22,0,0),C (0,22,0),A (0,0,22),F (0,2,2).所以平面ACE 的一个法向量为DF →
=(0,2,2).
又AB →=(22,0,-22),AC →
=(0,22,-22),
设平面ABC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·AB →=0,n ·AC →
=0,
所以x =y =z ,取n =(1,1,1)为平面ABC 的一个法向量.所以cos 〈n ,DF →
〉=n ·DF →
|n ||DF →
|=63,
根据图形可知二面角B -AC -E 的余弦值为-
63
. 22.解:(1)证明:如图,在矩形PDCE 中,设PC 交DE 于点N ,则点N 为PC 的中点.连接MN .
在△APC 中,点M 为P A 的中点,点N 为PC 的中点,所以AC ∥MN . 又MN ?平面MDE ,AC ?平面MDE ,所以AC ∥平面MDE .
(2)由∠ADC =90°,得AD ⊥CD ,
由平面PDCE ⊥平面ABCD ,且平面PDCE ∩平面ABCD =CD ,得AD ⊥平面PDCE ,
所以AD ⊥PD .
在矩形PDCE 中,PD ⊥CD ,则DA ,DC, DP 两两垂直.
以D 为坐标原点,DA ,DC ,DP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (1,0,0),P (0,0,2),B (1,1,0),C (0,2,0),
所以AP →=(-1,0,2),CP →=(0,-2,2),BC →
=(-1,1,0). 设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则?????CP →·n =-2y +2z =0BC →·
n =-x +y =0,取n =(1,1,2).
设直线P A 与平面PBC 所成角为θ,则sin θ=|AP →
·n ||AP →
||n |=3
6.
所以直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为
36
. (3)假设存在点Q 满足条件,则可设CQ →=λCP →
(0<λ<1),得Q (0,2-2λ,2λ). 又DA →=(1,0,0),DQ →
=(0,2-2λ,2λ), 设平面QAD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则 由?????DA →·n 1=x 1=0DQ →·n 1=(2-2λ)y 1+2λz 1=0,
令y 1=2λ,则n 1=(0,2λ,2λ-2). 由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为π3
,
得cos π3=|n 1·n ||n 1||n |=|32λ-22|2×2λ2+4(λ-1)2=12,所以λ=1
3
或λ=1(舍去),
所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点,即在线段PC 上存在点Q 满足条件.
4.(2018全国卷Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M
是CD 上异于C ,D 的点. (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;
(2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.
M
D C
B
A
5.(2018天津)如图,AD BC ∥且2AD BC =,AD CD ⊥,EG AD ∥且EG AD =,CD FG
∥且2CD FG =,DG ⊥平面ABCD ,2DA DC DG ===. (1)若M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,求证:MN ∥平面CDE ; (2)求二面角E BC F --的正弦值;
(3)若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60,求线段DP 的长.
N A
B
C D E
F G M
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ,m
2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a r 为l 的方向向量,n r 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式:设1n r ,2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r (需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a
(二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=o ,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O , (2,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)S , 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ,(1,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,0)OB =u u u r ,(0,0,1)OS =u u u r , (1)cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r , 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . (2)设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r , 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ,即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =,则1y =,2z =,所以(1,1,2)n =r , sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . (3)由(2)知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r , 又OC ⊥Q 平面AOS ,OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量, 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ,则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S
高二数学-空间向量与立体几何测试题
1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ) A .0 B.1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量1D A 、1D C 、11C A 是 ( ) A .有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量 3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( ) A .// B .⊥ C .也不垂直于不平行于, D .以上三种情况都可能 4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于 ( ) A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c , 则1A B = ( ) A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=19,则向量a 与b 之间的夹角><,为( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 7.若a 、b 均为非零向量,则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9.已知则35,2,23+-=-+= ( ) A .-15 B .-5 C .-3 D .-1
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b | ? , 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向 向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量, φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | ? . 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ,如图(2)(3). 两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0,π),所以公式中要加绝对值. 直线与平面所成角的范围为????0,π 2,而向量之间的夹角的范围为[0,π],所以公式中要加绝对值. 利用公式与二面角的平面角时,要注意〈n 1,n 2〉与二面角大小的关系,是相等还是互
补,需要结合图形进行判断. 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ=cos θ1cos θ2. 如图,若OA 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在平面α内的射影,OC 为平面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角,θ1为OA 与OB 所成的角,即线面角,θ2为OB 与OC 所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ,求线段AH 的长. [解] 由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以A 为原点,分别以AB ―→,AC ―→,AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0). (1)证明:DE ―→=(0,2,0),DB ―→ =(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则????? n ·DE ―→=0,n ·DB ―→=0, 即????? 2y =0,2x -2z =0. 不妨取z =1,可得n =(1,0,1).
高二数学空间向量与立体几何测试题
高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ) A .0 B.1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量1D A 、1D C 、11C A 是 ( ) A .有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量 3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( ) A .// B .⊥ C .也不垂直于不平行于, D .以上三种情况都可能 4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于 ( ) A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c , 则1A B = ( ) A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=19,则向量a 与b 之间的夹角><,为( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 7.若a 、b 均为非零向量,则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9.已知则35,2,23+-=-+= ( ) A .-15 B .-5 C .-3 D .-1
高中数学的空间向量知识
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决,如何取向量或建立空间坐标系,找到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识: 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y,使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量,由于图不方便做就如此代替,下同) 2、对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若:OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1),则四点P、A、B、C共面. 3、利用向量证a‖b,就是分别在a,b上取向量(k∈R). 4、利用向量证在线a⊥b,就是分别在a,b上取向量. 5、利用向量求两直线a与b的夹角,就是分别在a,b上取,求:的问题. 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题:. 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标. 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到,那么就设n=(x,y,z) 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
空间向量其运算测试题
高二选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A . 321=x B . 2=y C . 32 1 =y D . 2-=y 2.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ,且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹方程是 ( ) A . 22 1169x y += B . 22 11612x y += C .22 143x y += D .22 134 x y += 1.已知向量a =(3,-2,1),b =(-2,4,0),则4a +2b 等于 ( ) A .(16,0,4) B .(8,-16,4) C .(8,16,4) D .(8,0,4) 2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA →=a ,CB →=b ,CC 1→=c ,则A 1B → = ( ) A .a +b -c B .a -b +c C .-a +b +c D .-a +b -c 4.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( ) A.OM →=2OA →-OB →-OC → B.OM →=15OA →+13OB →+12OC → C.MA →+MB →+MC → =0 D.OM →+OA →+OB →+OC → =0 6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式:①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →;②(BC → + BB 1→)-D 1C 1→; ③(AD →-AB →)-2DD 1→;④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 7.已知向量a =(1,-1,1),b =(-1,2,1),且k a -b 与a -3b 互相垂直,则k 的值是 A .1 B .15 C .35 D .-20 9 8.若a =(2,-3,1),b =(2,0,3),c =(0,2,2),a ·(b +c )的值为 ( ) A .4 B .15 C .7 D .3 9.已知四边形ABCD 满足:AB →·BC →>0,BC →·CD →>0,CD →·DA →>0,DA →·AB → >0,则该四边形 为 ( ) A .平行四边形 B .梯形 C .长方形 D .空间四边形