高二数学空间向量试题
高二数学单元试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一．选择题
（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2 a－b互
相垂直，则的值是（ ）
A． 1 B． C． D．
2．已知（ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
3．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中
能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），则a与b的夹角为
（ ）
A． 0° B． 45° C． 90° D．180°
5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，
5，1），则BC边上的中线长为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b
所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两
共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任
意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为
（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．3
7．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、
AG、MG，则+等于（ ）
A． B． C． D．
8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 则 （ ）
A． B． C． D．
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 （ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
10．已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点，且,
则点的坐标是 ( )
A． B． C． D．
11．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是 （ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为
A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
（理科）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中
点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为（ ）
A． B． C． D． 1
二．填空题
（本大题4小题，每小题4分，共16分）
13．已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a∥b,则与的值分别是
．
14．已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,
则m，n的夹角为 ．
15．已知向量a和c不共线，向量b≠0，且，d＝a＋c，则＝ ．
16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的
三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的
晶体的对角线的长为 。
高二数学单元测试答题卷
一．选择题
题
号
123456789101112
答
案
DADCBAADCCCB
二．填空题
13．________、_________、．14．____________________．60°
15．_________________．90°16．_____________________．
三．解答题
（本大题6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如
图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．
解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2,
∴ cos ， ＝ ＝ ＝ ．∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为．
18．（本小题满分12分）
在正方体中，如图Ｅ、Ｆ分别是，ＣＤ的中点，
（1）求证：平面ADE；
（2）cos．
解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），
E（1，1，），F（0，，0），
则＝（0，，－1），＝（1，0，0），
＝（0，1，）， 则＝0，
＝0， ，.
平面ADE.
（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－， ，，
则cos.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，
，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）证明 平面；
（2）证明平面EFD．
解：
解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设
(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.
依题意得
底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，
故点G的坐标为且
. 这表明.
而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
(2)证明：依题意得。又故
, 由已知，且所以平面EFD.
20．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，
SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．
解：
（1） （2）
21．（本小题满分12分）
如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，
PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（1）证明PA⊥平面ABCD；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小
（1）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
（2）解 作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.
又PE : ED=2 : 1，所以
从而
22．（本小题满分14分）
P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，
.
（1）求证：PA平面ABCD.
（2）对于向量，定义一种运算：
，
试计算的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量
这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD叫四棱锥，锥体体积公
式：V=）.
解：
（1）
（2）
V＝
猜测：在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以
AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）
高二数学空间向量与立体几何测试题
高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．//B ．⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A.+-a b cB. -+a b cC. -++a b cD. -+-a b c6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><b a ,为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知的数量积等于与则35,2,23+-=-+=（ ）EM GDCBA10．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．12．12、若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==-，,a b 夹角的余弦值为89，则λ等于__________.13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 。
北师大版高二数学选修2-1空间向量试卷及答案
AA 1 DCB B 1C 1 图高二数学（选修2-1）空间向量试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD—A 1B1C1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030B ．21C ．1530D ．10154．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．1055．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 226．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621 B ．338 C60210 D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6π C ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）A ．66B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C一定共面；③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】以为原点，分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，, ，则由，得出，，，.于是向量，，所以，令，，则.因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.【考点】立体几何与空间向量.2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.已知，，，三角形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，所以,故选B．【考点】1．空间向量夹角公式；2．三角形面积公式．4.已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【答案】D【解析】因为∥，所以，所以x＝6，y＝．【考点】空间向量的平行．5.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是上一点，且，可得又因为是的重心，所以而，所以，所以，选A.【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.6.已知，当取最小值时，的值等于（）A．B．－C．19D．【答案】A【解析】根据空间中两点间的距离公式可得设，，故，根据二次函数的图像可知，该函数的最小值在对称轴上取到，所以当取最小值时，的值等于，选A.【考点】1.空间中两点间的距离问题；2.二次函数的图像与性质.7.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标、坚坐标的数都是相反数，故，所以，故选A.【考点】1.关于原点对称的两个点的坐标；2.空间中两点间的距离公式.8.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.9.已知，则的最小值是_______________．【答案】【解析】根据题意，由于，则可知，结合二次函数性质可知当t=时，根号下取得最小值，即可知答案为【考点】向量的数量积点评：主要是考查了运用向量的数量积来求解向量的模长的运用，属于基础题。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。
高一高二数学备战考试优质试题100例 专题21.3空间向量与立体几何(第02期)(选修21)原卷版
1．如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是（ ）A 、B 、C 、D 、2．已知向量(1,1,2),(2,2,1),m n λλ=+=+,若,则A ．B ．C ．D ．3．向量＝（2,4,x ）,＝（2,y,2），若||＝6,且⊥，则x ＋y 的值为（ ）A ．－3B ．1C ．－3或1D ．3或14．已知A （2，－5，1），B （2，－2，4），C （1，－4，1），则与的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是，则点M 关于y 轴的对称点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知A （2，3，－1），B （2，6，2），C （1，4，－1），则向量与的夹角为（ ）A ．45°B ．90°C ．30°D ．60°7．设向量，向量，若，则实数的值为（ ）A ．—1B ．1C ．2D ．38．若()()2,1,3,1,2,9a x b y ==-，如果与为共线向量，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．点P (x,2,1)到点A (1,1,2)、B (2,1,1)的距离相等，则x 等于（ ）A.12B.1C.32D.210．在空间直角坐标系中，点Ｍ（-1,2,-3）关于yoz 面的对称点是（ ）A.（-1,2,3）B.（1,2,-3）C.（1,2,3）D.（-1,-2,3）11．已知点A(,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数的值是（ ）A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－212．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb)，则实数λ的值为（ ）A ．－2B ．－ C. D ．213．已知，当取最小值时，的值等于（ ）A ．B ．－C ．19D ．14．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE.则M 点的坐标为（ ）A ．(1，1，1) B. C. D.15．若不共线，对于空间任意一点都有311488OP OA OB OC =++，则四点（ ） A ．不共面 B ．共面 C ．不共线 D ．共线16．在空间直角坐标系中，点是在坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则等于（ ）A. B. C. D.17．在四面体ABCD 中，E 、G ，分别是CD 、BE 的中点，若z y x ++=，则x ＋y＋z ＝A ．B ．C ．1 D．218．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面两两互相垂直，点，点到的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是点到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值为（ ）A ．B ．CD ．19．已知，，则直线与平面交点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．20．已知向量，，且与互相垂直，则＝（ ）A. B. C. D.21．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l 与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（ ）A. (1,－4,2)B.C.D. (0,－1,1)22．以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.(1) ,； (2) ,；(3),； (4),A. 一组B. 二组C. 三组D. 四组23．在空间直角坐标系中，平面的法向量为,为坐标原点.已知，则到平面的距离等于（）A．4 B．2 C．3 D．124．已知，，，点在平面内，则（）A．B．C．D．25．以正方体的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．26．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．427．已知，，而，且，则＝A. (，，－)B. (，－，)C. (－，，－)D. ±(，－，)28．若=（2，﹣1，0），=（3，﹣4，7），且（λ+）⊥，则λ的值是（）A．0 B．1 C．﹣2 D．229．已知=（2，3，5），=（3，x，y），若∥，则（）A．B．x=9，y=15 C．D．x=﹣9，y=﹣1530．已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且|AB|=，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或431．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．32．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）33．在空间坐标系O﹣xyz中，已知点A（2，1，0），则与点A关于原点对称的点B的坐标为（）A．（2，0，1）B．（﹣2，﹣1，0）C．（2，0，﹣1）D．（2，﹣1，0）34．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=．平面OCB1的法向量=（x，y，z）为（）A．（0，1，1）B．（1，﹣1，1）C．（0，1，﹣1）D．（﹣1，﹣1，1）35．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣9，4），则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形36．已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为. 37．已知,，，则直线与直线的夹角为_________.38．已知向量，，且，则.39．已知，，则的最小值40．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是__________．41．若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .42．已知向量)1,10,()1,5,4()1,12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，则________．43．已知)2,0,1(),0,1,1(-==b a ，则__________。
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A．B．C．4D．8【答案】B．【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【考点】向量模的运算；利用正弦定理表示三角形的面积．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.在空间直角坐标系中，点P（1,3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（ )A．（-1,3，-5）B．（1,3，5）C．（1,-3，5）D．（-1,-3，5）【答案】B【解析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标为（x，y，-z），可知答案是B.【考点】空间直角坐标系点的对称问题.4.已知向量，且∥，则实数的值为．【答案】.【解析】由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=，建立方程解得k=.【考点】（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.5.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.6.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,选A7.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.【考点】空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．8.为空间的两个不同的点，且，空间中适合条件的点的集合表示的图形是 .【答案】经过点且与垂直的平面【解析】设点M（x,y,z），那么可知设A（0，0，0），B（0，0，1），，由则可知（x,y,z）（0，0，1）=1，z=1，可知表示的图形为过点B的与AB垂直的平面。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题(空间向量与立体几何 直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.60。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1310y --=的倾斜角为（）A ．30oB ．135C ．60oD ．150【答案】A【解析】因为该直线的斜率为3，所以它的倾斜角为30o .故选A.2．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，G 为ABC V 的重心，P 在OG 上，且12OP PG = ，则AP =（）A ．211999a b c-++ B ．811999a b c--C ．811999a b c-++D ．211999a b c--【答案】C【解析】延长BG 交AC 于点D ，则点D 为AC 的中点，因为12OP PG = ，所以13OP OG =，所以()1133AP OP OA OG OA OB BG OA =-=-=+- ，所以()1121233339AP OB BD OA OB OD OB OA =+⨯-=+-- ，所以()121118992999AP OB OA OC OA OB OC OA =+⨯+-=+- ，因为OA a = ，OB b =，OC c = ，所以811999AP a b c =-++ ，故选C.3．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选A.4．直线:10l x y -+=与圆22:230C x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A 3B ．2C ．22D ．32【答案】B【解析】如图，由圆22:230C x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为(1,0)C ,半径为2，过点(1,0)C 作CD AB ⊥于D ，由(1,0)C 到直线:10l x y -+=的距离为2||22CD =,则22||2||22(2)22AB AD ==-=,故AOB V 的面积为11||||222222AB CD ⋅=⨯=.故选B.5．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为3y x =，则C 的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】由双曲线方程易知C 的渐近线为b y x a =±，所以b a2e ==.故选C.6．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的方程为（）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】不妨设1,1,2,2，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得2222122122220x x y y a a b b -+-=，整理可得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，根据题意可知直线AB 的斜率为()011312--=-，由AB 的中点坐标为(1,1)-可得12122,2x x y y +=+=-；因此()()222121222212122122b x x y y b b x x a y y a a +-=-=-==-+-，可得222a b =，又焦点为()3,0F 可得2229a b c -==，解得229,18b a ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=.故选A.7．已知直线1:50l ax y -+=与直线2:40()l x ay a a +-+=∈R 的交点为P ，则点P 到直线:3l y x =-距离的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线1l ，2l 分别过定点(0,5)A ，(4,1)B -，且互相垂直，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含点()0,1），这个圆的圆心坐标为()2,3-，半径为圆心到直线l距离为d =圆上的点到直线l 距离最大值为(0,1)，因此取值范围是.故选D.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,,(2,2)M N A 在抛物线C 上，0AM AN k k +=，其中1AM k >，则|sin sin |FMN FNM ∠-∠的最大值为（）ABCD 【答案】B【解析】点(2,2)A 在抛物线C 上，把点(2,2)A 代入2:2(0)C y px p =>中得2222p =⋅，则1p =，所以抛物线为2:2C y x =，直线()():221AM y k x k -=->，与抛物线方程联立可得，2244ky y k -+-0=，则442M k y k -⋅=，则22M ky k-=，0AM AN k k +=，则AN k k =-，所以用k -替换可得22N k y k+=-，则2222M N M NMN N M M Ny y y y k y y x x --===--212M N y y =-+，则()222122,k k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()222122,k k N k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭，直线22:k MN y k --=()222112k x k ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即21112y x k =-+-，则点F 到直线MN的距离21)d k ==>，()()222221218M N k k x x kkk -+--=-=，()()()2222224412121M N k k k x x k k k--+=⋅=，()()222222212144M N k k k x x k k k -+++=+，而1111sin sin 1122M N FMN FNM dd FM FN x x ∠-∠=-=-=++()2342321125241624M N M N M N x x k d k k x x x x -=-++++44554k k kkk --=⎝⎭，令45=-t k k，因为1k >，所以451t k k =->，故211sin sin 16168t FMN FNM t t t ∠-∠⋅⋅⋅++当且仅当()161)t t t=>，即4t =时等号成立，故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===，点M 为线段11B D 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A ．当点M 为11B D 中点时，1C M ⊥平面11BBD DB ．当点M 为11B D 中点时，直线DM 与直线BC 所角的余弦值为23C ．当点M 在线段11BD 上运动时，三棱锥1C BDM -的体积是定值D ．点M 到直线1BC 距离的最小值为63【答案】ACD【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,0,1),(2,2,1)D B C C D B ，设(,,1),02M t t t ≤≤，对于A ，1t =，(1,1,1)M ，1(1,1,0)MC =- ，1(0,0,1),(2,2,0)DD DB ==，1110,0MC DD MC DB ⋅=⋅=，即111,MC DD MC DB ⊥⊥，而11,,DD DB D DD DB =⊂ 平面11BB D D ，因此1C M ⊥平面11BB D D ，A 正确；对于B ，(1,1,1),(2,0,0)DM BC ==-，1cos ,3||||DM BC MC BC DM BC ⋅〈〉===，B 错误；对于C ，由选项A 知，点1C 到平面11BB D DBDM的面积112BD DD ⋅=因此三棱锥1C BDM -的体积23是定值，C 正确；对于D ，11(2,0,1),(,2,0)BC C M t t =-=-，则点M 到直线1BC的距离d ==53t =时取等号，D 正确.故选ACD10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB，圆2228C :(x a )(y -+=，则下列选项正确的是（）A ．当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B ．1ABC 的面积最大值为1C ．若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D ．若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,02228C :(x a )(y -+=的圆心为(a，半径为1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-≤35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC 的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=-，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0,0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且AB OP =，又AB =，所以()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0，正确.故选ABD.11．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．点()D 在曲线C 上B ．点(),1(0)M x x >在C 上，则1MF =C ．点Q 在椭圆22162x y+=上，若12F Q F Q ⊥，则Q C∈D ．过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点，则2AB <【答案】ACD【解析】对选项A ，因为()()12224DF DF =+=，由定义知D C ∈，故A 正确；对选项B ，点(),1(0)M x x >在C 上，则124MF MF ==，化简得42690x x -+=，所以x =，1MF =B 错误；对选项C ，椭圆22162x y +=上的焦点坐标恰好为()12,0F -与()22,0F ，则12FQ F Q +=12F Q F Q ⊥，所以221216F Q F Q +=，故()()22212121242F Q F Q F Q F Q F Q F Q +-+⋅==，所以Q C ∈，C 正确；对选项D ，设()2,A y ，则2AB y =，因为A C ∈，则14AF y=，又22116AF y =+，所以221616y y=+，化简得4216160y y +-=，故28y =，所以2190y -=<，故y <1，所以2AB <，故D 正确，故选ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，D 为1B B 的中点，则异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为．【答案】4【解析】以A 为坐标原点，在平面ABC 内作垂直于AC 的直线Ax 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示：则()10,0,2A，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,2C，1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭，所以11,22A B ⎫=-⎪⎪⎝⎭，11,12C D ⎫=--⎪⎪⎝⎭，所以11111152cos ,4A B C D A B C D A B C D⋅<==>，则直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为104，故答案为：10413．已知圆C ：()()22114x y ++-=，若直线5y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线夹角为60o ，则实数k 的取值范围是【答案】0k ≥或815k ≤-．【解析】圆()()22:114C x y ++-=，则圆心为()1,1C -，半径2r =，设两切点为,A B ，则PA PB =，因为60APB ∠=o ，在Rt PAC △中1302APC APB ∠=∠=o ，2AC r ==，所以||4PC =,因此只要直线l 上存在点P ，使得4PC =即可满足题意．圆心(1,1)C -，所以圆心到直线的距离4d =≤，解得0k ≥或815k ≤-．故答案为：0k ≥或815k ≤-．14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为.【答案】2【解析】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故b a2c e a ===.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知(3,1),(1,2),A B ACB -∠的平分线所在的直线的方程为1y x =+．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求AC 的直线方程．【解析】（1）AB 的中点坐标为31123,1,222-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又211134ABk -==---，-----------------------------2分故AB 的中垂线斜率为4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分故AB 的中垂线方程为()3412y x -=-，即8250x y --=；----------------------------------------------------6分（2）由对称性可知，()1,2B -关于1y x =+的对称点(),D s t 在直线AC 上，故21121122t s t s -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，-----9分解得10s t =⎧⎨=⎩，故()1,0D ，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分故直线AC 的方程为130113y x --=--，即210x y --=.---------------------------------------------------------13分16．（15分）已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．(1)若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =，求实数a 的值；(2)过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【解析】（1）圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，--------------2分直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B两点，且||AB =----------4分解得2a =-或6-；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）当切线的斜率不存在时，直线1x =，与圆C 相切，-------------------------------------------------------8分切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，---------------------------------------9分2，解得512k =-，---------------------------------------------------------13分故切线方程为512290x y +-=，综上所述，切线方程为1x =或512290x y +-=．-------------------------15分17．（15分）如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =.(1)证明：AD ⊥平面BOP ；(2)若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角O BP A --的余弦值.【解析】（1）PO ⊥ 平面,ABC BA BC ⊥，故以B 为坐标原点，BA 为x 轴正方向，BC 为y 轴正方向，与OP同向的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.设OP x =，故()()0,0,0,3,0,0B A，()33,,,22O P x D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，-----------------------------------------------------------2分()AD =-，33,,0,,,2222BO BP x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.33333330,302222AD BO AD BP ⋅=-⨯⨯=⋅=-⨯⨯= .-------------------------------5分故,AD BO AD BP ⊥⊥，,,BP BO B BP BO ⋂=⊂ 平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP .---------7分（2） 圆锥PO 的侧面积3π18π,6S PA PA =⨯=∴=，OP x ∴===由（1）可知，()AD =-为平面BOP 的法向量，---------------------------------------------------------8分设平面ABP 的法向量为(),,m a b c =，而()3,0,0BA =，3,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故303022m BA a m BP a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1c =-得()0,2,1m =- ，-----------------------------------------------12分则5cos<,5m AD m AD m AD-⨯+⨯-⋅====⋅>，所以二面角O BP A --分18．（17分）已知双曲线C 和椭圆2214x y +=有公共焦点，且离心率e =．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()2,1P 作两条相互垂直的直线,PM PN 分别交双曲线C 于不同于点P 的M N 、两点，求点P 到直线MN 距离的最大值．【解析】（1）因为椭圆2214x y +=的焦点在x 轴上，所以双曲线C的c ==，又因为c e a ==，所以1a b =，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.---------------------------------------5分（2）当直线MN 的斜率不存在时，设()()000,0M x y y >，则()00,N x y -，()()00002,1,2,1PM x y PN x y =--=---，依题意()()00002,12,10PM PN x y x y ⋅=--⋅---= ，()()2200210x y ---=，即22000450x x y --+=，由2200022004512x x y x y ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩解得006x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0021x y =⎧⎨=⎩（舍去），所以((,6,M N ，此时P 到直线MN 的距离为624-=.------------------------------------------------------------------------------8分当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+.由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得：()222214220k x kmx m -+++=，()()22222222Δ164212216880,210k m k m k m m k =--+=-++>-+>①，2121222422,2121km m x x x x k k -++==--，------------------------------------------------------------------------------10分依题意()()11222,12,10PM PN x y x y ⋅=----=，所以()()()()()()()()1212121222112211x x y y x x kx m kx m --+--=--++-+-()()()2212121225k x x km k x x m m =++--++-+()()22222224122502121m km k km k m m k k +-=+⋅+--⋅+-+=--，整理得22812230m km k m +++-=，即()()21630m k m k +-++=，由于P ∉直线MN ，12k m ≠+，所以630,63m k m k ++==--，函数()2226321343610y k k k k =---+=-+的开口向上，判别式为()2364341012961360640--⨯⨯=-=-<，故①成立.所以直线MN 的方程为63y kx k =--，即630kx y k ---=，------------------------------------------------------------------------------13分所以P 到MN的距离d ==22221221411d k k k k k ++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，当0k ≤时，22111k k +≤+；当0k >时222111211k k k k +=+≤+=++，当且仅当1,1k k k ==时等号成立.所以22,44d d d ⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭综上所述，点P 到直线MN的距离的最大值为分19．（17分）已知F 为椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左焦点，椭圆C过点(P ，且直线PF的斜率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C 上，且90MFN ∠=︒，过M ，N 分别作椭圆C 的切线1l ，2l ，1l 与2l相交于点Q.（i）求点Q的轨迹方程；（ii）求PQF△周长的最小值.【解析】（1）由题意得，直线PF的方程为()224y x=-，即20x-+=，当0y=时，2x=-，故2c=，由224214a a+=-解得28a=或22a=（舍去），椭圆C的方程22184x y+=.------------------------------------------------------------------------------3分（2）（i）设直线MN：x my t=+，()00,Q x y，1,1，2,2，与C联立()22222228028x my tm y mty tx y=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，所以12222mty ym+=-+，212282ty ym-=+，------------------------------------------------------------------------------5分由90MFN∠=︒可得()()()()()()22121212122201220x x y y m y y m t y y t+++=⇔++++++=()()()()()222221822220m t m t t t m⇔+--++++=；化简可得223840t t m+-=①--------------------7分设1l的方程为()11y y k x x-=-，即()11y kx y kx=+-，与C联立()()()()2222211111128124280x yk x k y kx x y kxy kx y kx⎧+=⎪⇒++-+--=⎨=+-⎪⎩，令()()()22221111Δ1681240k y kx k y kx⎡⎤=--+--=⎣⎦，结合221128x y+=，解得112xky=-，所以切线方程为()11112xy x x yy=--+，即直线1l方程为：11184x x y y+=，k不存在时也满足此直线方程，同理可得2l方程为：22184x x y y +=，由Q 在直线1l ，2l 上，则10102020184184x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即1,1，2,2在直线00184x x y y +=上，所以直线MN 方程为：00184x x y y +=，即00028y x y x x =-+②，由①②可得()20043y x =+，00x =时也满足此方程，所以Q 的轨迹方程为()243y x =+.-------------------------------------------------------------14分（ii ）由（i ）可知Q 在以()2,0F -为焦点，以4x =-为准线的抛物线上，过,P Q 分别向直线4x =-作垂线，垂足分别为P '，Q '，由抛物线定义可得：6PQ PF QF PQ QQ PF PP PF ++=+++='≥+'当且仅当P ，Q ，Q '共线时取等，所以PQF△周长的最小值为6+分。
高二数学空间向量与立体几何测试题
高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c,x,y,z ∈R ．其中正确命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.32．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2-3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．6494．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,则点O 是△ABC 的（ ） A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点 7．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对8．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）9．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为10．已知，，AB C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与AB C ，，共面，那么λ= ．11.已知a,b,c 是空间两两垂直且长等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 .12．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．13.在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=900,将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成600角，则B,D 两点间的距离为三、解答题（本大题共3小题,满分35分），14．(10分)如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B 两点，直线AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68求二面角α-ι-β的大小.EM GDCBA15．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ；（3）求二面角D -PB -C 的大小．16(13分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,顶点A 1在底面ABC 上的射影 恰为点B,且AB=AC=A 1B=2.(1) 求棱AA 1与BC 所成角的大小； (2) 在棱B 1C 1上确定一点P,使AP=14，并求出二面角P-AB-A 1的平面角的余弦值.BC附加题:如图，已知⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ，1===AD CD BC 。
【高中数学】新人教A版高二1.1.1 空间向量及其线性运算(练习题)
新人教A 版高二1.1.1 空间向量及其线性运算(2016)1.空间任意五个点A ，B ，C ，D ，E ，则DA →+AE →+CD →−CB →+EA →等于（ ） A.DB →B.AC →C.AB →D.BA →2.已知向量A ，→A ，→BC →满足|A |→=|A |→＋|B |→，则（ ） A.AB →=A ＋→BC →B.AB →=−AC →−BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向3.如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，设AB →=a ，AD →=b ，AA 1→=c ，则CE →=（ ）A.−a −12b +cB.a −12b +cC.a −12b −cD.a +12b −c4.下列说法中，错误的个数为（ ） ①在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC →=A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →=−C ，→则A ，→CD →为相反向量; ③AB →=CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合； ④两直线的方向向量平行，则两直线平行. A.1B.2C.3D.05.下列条件中，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ） A.OM →=2OA →−OB →−OC →B.OM →=15OA →+13OB →+12OC →C.MA →+MB →+MC →=0→D.OM →+OA →+OB →+OC →=0→6.在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若OG →=13OA →+xOB →+y O ，→且G ，M ，N 三点共线，则x +y =（ ）A.−13B.13C.23D.−237.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →=xOA →+yOB →+zOC →(x,y,z ∈R)，则“x =2，y =−3，z =2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有6OP →=O ＋→2O ＋→3O ，→则一定有（ ）A.O ，A ，B ，C 四点共面B.P ，A ，B ，C 四点共面C.O ，P ，B ，C 四点共面D.O ，P ，A ，B ，C 五点共面9.在三棱锥A −BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则化简A ＋→12BC →−32DE →−AD →的结果为 .10.如图，在正四棱锥P −ABCD 中，设AB →=a ，AD →=b ，AP →=c ，O 为底面ABCD 中一点，且PO ⊥平面ABCD ，则PO →= .11.已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点，若由OP →=15OA →+23OB →+λOC →可确定点P 与A,B,C 共面，则λ= .12.给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →=0； ②|a|−|b|=|a ＋b|是a ，b 共线的充要条件； ③若A ，→CD →共线，则AB//CD .其中错误的说法有 .(填序号)13.如图，四边形ABCD 是空间四边形,E,H 分别是AB,AD 的中点,F,G 分别是CB,CD 上的点，且CF →=23CB →,CG →=23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.14.如图,已知ABCD −A ′B ′C ′D ′是平行六面体,E 是AA ′的中点,F 在D ′C ′上且D ′F =2FC ′.(1)用AB →,AD →,AA ′→表示EF →;(2)设M 是底面ABCD 的中心,N 在侧面BCC ′B ′的对角线BC ′上，且BN =3NC ′，若MN →=αAB →+βAD →+γAA ′→，试求α,β,γ的值.15.如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点H 为PC 上的点，且PHHC =12，点G 在AH 上，且AGAH =m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，则m 的值为 .16.已知四棱锥P −ABCD 的底面是平行四边形，点E ，F ，G ，H 分别为△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，用共面向量定理证明：E ，F ，G ，H 四点共面.参考答案1.【答案】:D 【解析】:解：DA →+AE →+CD →−CB →+EA →=DA →+(AE →+EA →)+(CD →−CB →)=DA →+BD →=BA →． 故选：D ．可看出AE →+EA →=0→，CD →−CB →=BD →，从而得出DA →+AE →+CD →−CB →+EA →=DA →+BD →=BA →． 考查向量加法和减法的几何意义，以及零向量的概念．2.【答案】:D【解析】:由|A |→=|A |→＋|B |→=|A |→＋|C |→，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向.3.【答案】:A【解析】:连接AC ，AE .根据向量的三角形法则得到CE →=AE →−AC →=AA 1→+A 1E →−(AB →+BC →)=c +12b −a −b =−a −12b +c .故选A.4.【答案】:B【解析】:①中说法显然正确；AB →=−C ，→且A ，→CD →为非零向量，所以A ，→CD →为相反向量，②中说法正确；由AB →=C ，→知|A |→=|C |→，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，③中说法错误；两直线的方向向量平行，两直线可能重合，④中说法错误.5.【答案】:C【解析】:C 选项中，∵MA →=−MB →−MC →,∴点M,A,B,C 共面，故选 C.6.【答案】:B【解析】:若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得OG →=λON →+(1−λ)OM →=1−λ2OA →+λ2OB →+λ2OC →成立，所以1−λ2=13，可得λ=13，所以x =y =16，可得x +y =13.故选 B.7.【答案】:B【解析】: 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键． 【解答】解：若P ，A ，B ，C 四点共面，则满足x +y +z =1，则x =2，y =−3，z =2不一定成立，即必要性不成立．若x =2，y =−3，z =2，则满足x +y +z =2+3−2=1，则P ，A ，B ，C 四点共面，即充分性成立，故x =2，y =−3，z =2是P ，A ，B ，C 四点共面的充分不必要条件， 故选B ．8.【答案】:B【解析】:由6OP →=O ＋→2O ＋→3O ，→得OP →−OA →=2(OB →−OP →)＋3(OC →−OP →)，即AP →=2P ＋→3P ，→故A ，→P ，→PC →共面，又它们有公共点P ，因此，P ，A ，B ，C 四点共面.9.【答案】:0→【解析】:延长DE 交BC 于点F ，连接AF ，则AB →＋12BC →=AF →，32DE →＋AD →=AD →＋DF →=AF →， 故AB →＋12BC →−32DE →−AD →=0→.10.【答案】:12a +12b −c【解析】:连接AO ，PO →=PA →+AO →=PA →+12AD →+12AB →=12a +12b −c .11.【答案】:215【解析】:∵A,B,C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，且由OP →=15OA →+23OB →+λOC →可确定点P 与A,B,C 共面，∴15+23+λ=1，解得λ=215.12.【答案】:②③【解析】:显然①中说法正确；若a ，b 共线，则|a ＋b|=|a|＋|b|或|a ＋b|=||a|−|b||，故②中说法错误；若A ，→CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③中说法错误.13.【答案】:∵E,H 分别是AB,AD 的中点， ∴AE →=12AB →,AH →=12AD →。
2024-2025学年第一学期高二期中模拟检测试题数学 (空间向量-椭圆)(A3版)
2024-2025学年第一学期高二期中模拟检测试题数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO OB DO OC,则四边形ABCD 是()A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形2．已知2,1,3a ， 4,,2b y ，且a a b，则y 的值为（）A ．6B ．10C ．12D ．143．直线320x 的倾斜角为（）A ．π3B ．5π6C ．3D ．334．已知椭圆2215x y m的一个焦点坐标为(0,2) ，则实数m 的值为（）A ．1B ．4C ．7D ．95．直线0:10l x y ，直线1:210l ax y 与0l 平行，且直线2:30l x by 与0l 垂直，则a b （）A ．4B ．3C ．2D ．16．已知圆221:1C x y 与圆222:870C x y x ，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切7．若直线43120x y 与两坐标轴的交点为,A B ，则以AB 为直径的圆的方程为（）A ．22340x y x yB ．22430x y x yC ．22340x y x y D ．22430x y x y 8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，,P Q 分别是线段1,CC BD 上的点，R 是直线AD 上的点，满足//PQ 平面11,ABC D PQ RQ ，且P Q 、不是正方体的顶点，则PR 的最小值是（）A ．305B ．33C ．52D ．304二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列给出的命题正确的是（）A ．若直线l 的方向向量为 1,0,3e ，平面 的法向量为22,0,3n，则//lB ．两个不重合的平面 ， 的法向量分别是(2,2,1)u，(3,4,2)v ，则C ．若,,a b c 是空间的一组基底，则,,a b b c c a也是空间的一组基底D ．对空间任意一点O 与不共线的三点,,A B C ，若OP xOA yOB zOC（其中,,x y z R ），则,,,P A B C 四点共面10．在空间直角坐标系Oxyz 中， 2,0,0A ， 1,1,2B ， 2,3,1C ，则（）A ．5AB BC B ．23ACC ．异面直线OB 与AC 1530D ．点O 到直线BC 的距离是3421411．已知直线:210l kx y k 与圆22:670C x y y 相交于A ，B 两点，下列说法正确的是（）A ．若圆C 关于直线l 对称，则1kB ．AB 的最小值为42C ．当3k 时，对任意R ，曲线 22:36570W x y x y 恒过直线l 与圆C 的交点D ．若A ，B ，C ，O （O 为坐标原点）四点共圆，则103k第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知空间三点(1,1,1),(1,2,2),(2,1,1)A B C ，则AB在AC 上的投影向量坐标为.13．已知椭圆�:�2�2+�2�2=1�>�>0的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作x 轴的垂线交椭圆与点P ，若直线1PF 的斜率为43，则椭圆C 的离心率为.14．在如图所示的三棱锥P ABC 中，PA 平面ABC ，90ACB ，8CA ，6PA ，D 为AB 中点，E 为PAC 内的动点（含边界），且PC DE .当E 在AC 上时，AE；点E 的轨迹的长度为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知 ,1,1,1,,1,2,4,2,,a x b y c x y R ，且,a b b c∥.(1)求a b ；(2)求向量a b与2a b c 夹角的大小.16．如图所示，已知三角形的三个顶点为 2,4,1,2,2,3A B C ，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程；(3)三角形ABC 的面积.17．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b的焦距为2，点D 在椭圆M 上，过原点O 作直线交椭圆M 于A 、B两点，且点A 不是椭圆M 的顶点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，点C 是线段AH 的中点，直线BC 交椭圆M于点P ，连接AP（1）求椭圆M 的方程及离心率；（2）求证：AB AP ．18．在四棱柱1111ABCD A B C D 中，已知1B C 平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ，222AD AB BC，1BBE 是线段1B D 上的点．(1)点1C 到平面1B CD 的距离；(2)若E 为1B D 的中点，求异面直线1DD 与AE 所成角的余弦值；(3)在线段1B D 上是否存在点E ，使得二面角C AE DE 点位置；若不存在，试说明理由．19．已知圆心在原点的圆被直线1y x（1）求圆的方程；（2）设动直线 10y k x k 与圆C 交于,A B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；。