高考理科数学基础知识巩固强化练习试题19 Word版含解析

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高考真题19年理科数学

高考真题19年理科数学2019年高考数学理科试卷涵盖了数学基础知识的各个方面，考查了学生的思维能力和解决问题的能力。

在这篇文章中，我们将详细解析2019年高考数学理科试题，希望能帮助大家更好地理解数学知识，提高解题能力。

首先，让我们来看一道选择题：1.已知集合$A=(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 4$，集合$B=(x,y)|x=-1$或者$y=2$.则集合$A\cap B$的图象为(A)直线(B)圆的一部分(C)圆心和一个点(D)圆和直线解析：首先我们要确定集合$A$和集合$B$的几何形状，集合$A$是平面上满足$x^{2}+y^{2}\leq 4$的点的集合，是一个单位圆，而集合$B$是平面上$x=-1$或者$y=2$的点的集合，分别是一条直线和一个点。

那么集合$A\cap B$即为同时属于集合$A$和集合$B$的点的集合，即单位圆与$x=-1$直线在$(-1,2)$点处的交集，为一个点，因此选项(C)圆心和一个点是正确答案。

接下来我们来看一道计算题：2.已知数列$\{a_{n}\}$的通项式为$a_{n}=(-1)^{n-1}(n+1)$，则数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=-1^{S_{n}}$为(A)$\frac{n(n+3)}{4}$(B)$\frac{n(n+1)}{4}$(C)$\frac{n(n+3)}{2}$(D)$\frac{n(n+1)}{2}$解析：首先我们来计算数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$，其通项式为$a_{n}=(-1)^{n-1}(n+1)$，则前$n$项和为$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\sum_{n=1}^{n}a_{n}=\sum_{n= 1}^{n}(-1)^{n-1}(n+1)$。

将其拆分为奇数项和偶数项相加，得到$S_{n}=-1^{n}+2-1^{n-1}+3-1^{n}+4+...+(-1)^{n-2}(n-1)+n=2+4+...+(n+2)$。

2019版高考数学理全国一轮复习规范答题强化练三数列含解析精品

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规范答题强化练（三）数列(45分钟48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且错误！未找到引用源。

=9a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=错误！未找到引用源。

·a n,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0),由错误！未找到引用源。

= 9a1 a5 = 9错误！未找到引用源。

,(2分)故q2 = 错误！未找到引用源。

= 9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a1, 2a2, a3+6成等差数列,所以a1+(a3+6)-4a2=0,解得a1=3,(4分)所以数列{a n}的通项公式为a n=3n .(6分)(2)依题意得b n=(2n+1)·3n,则T n=3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n,①(7分)3T n=3·32+5·33+7·34+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1,②由②-①得2T n=(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n)-32=(2n+1)·3n+1-2·错误！未找到引用源。

-32=2n·3n+1,(10分)所以数列{b n}的前n项和T n=n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+3,n∈N*(1)求证:数列{a n+3}是等比数列.(2)求数列{na n}的前n项和S n.【解析】(1)错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=2,(n∈N*),因此数列{a n+3}是等比数列,且公比为2. (4分)(2)由(1)及题设可知,数列{a n+3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此a n+3=4×2n-1=2n+1,于是a n=2n+1-3;所以n·a n=n·2n+1-3n.(6分)设b n=n·2n+1,c n=-3n,并设它们的前n项和分别为T n,R n.则T n=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分)所以2T n=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2②②-①得T n=-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·错误！未找到引用源。

2019年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案word精品文档8页

绝密*启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）【解】选D（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解】选A（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（）1:2p z =22:2p z i =3:p z的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-【解】选C（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（）【解】选C （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）【解】选D（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）【解】选B（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为（）【解】选C（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

第一中学2019-2020学年高三第六次考前基础强化数学(理)试题

云南省昆明市第一中学2019-2020学年高三第六次考前基础强化数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合||12}A x Z x =∈-≤≤，{}2|1B x x =≤，则（） A ．{}1,0,1AB =- B ．{}1,0,1,2A B ⋃=-C ．{}|11A B x x ⋂=-≤≤D ．{}|12A B x x ⋃=-≤≤2．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率是（）A B ．34C ．23D ．23．设有下面四个命题：1p ：0a =是(),a bi a b R +∈为纯虚数的充要条件；2p ：设复数123z i =-，212z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于第四象限； 3p ：复数1z i=的共轭复数z i =-；4p ：设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，则1||1z =. 其中真命题为（） A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3613S S =，则69SS 的值为（） A ．12B ．13 C ．23D ．145．已知偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，(2)0f =，若(1)0f x +≤，则x 的取值范围是（） A ．(,3]-∞- B ．[1,)+∞C ．[3,1]-D ．(,3][1,)-∞-+∞6．若二项式22()nx x +的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中x 的系数为（） A ．2B ．4C ．8D ．167．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．83B ．8 C．6+D．8+8．执行如图所示的程序框图，如果输出的28A =，那么在图中的判断框中可以填入（）A ．5?n ≥B ．5?n >C ．7?A ≤D ．7?A ≥9．要得到函数2cos 2y x x =+的图象，只需要将函数sin 22y x x =的图象（） A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移2π个单位 D ．向右平移2π个单位 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点∈A l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若2AB BF =，则BOF ∆的面积为（）A ．13B ．3C ．2D ．211．设函数22()()(2ln 2)f x x a x a =-+-，其中a R ∈，存在0x R ∈，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（） A ．15B ．25C ．35D ．4512．如果有穷数列12,,...,n a a a （n 为正整数）满足条件1211,,...,n n n a a a a a a -===，即i n i a a -=()1,2,3...,i n =，我们称其为“对称数列”，例如：由组合数组成的数列01,,...,m m m m C C C 就是“对称数列”，设{}n a 是项数为21(,2)k k N k -∈≥的“对称数列”，其中121,,...,k k k a a a +-是首项为50 ，公差为4-的等差数列，记{}n a 的各项和为21k S -，则21k S -的最大值为（） A ．622 B ．624C ．626D ．628第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知非零向量a ，b 满足(2)a b a +⊥，若1||||2a b =，则a 与b 的夹角为__________． 14．已知,x y 满足251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为__________．15．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ，点P 为该双曲线上一点，若OP OF =，0PA PB OF OA ⋅+⋅=，则双曲线的离心率为__________．16．已知在半径为3的球面上有,,,A B C D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值为__________．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b，c ，()(sin sin )()sin a c A C b c B +-=+（1）求A （2）若a =b c +的取值范围18．如图所示的几何体中，BE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，2==AB AF ，点M ，N 分别在棱FD ，ED 上.（1）若//BF 平面MAC ，设FMFDλ=，求λ的值；（2）若1,2EN AB AD ND ⊥=，平面AEN 平面EDC 所成的锐二面角为60︒，求BE 的长. 19．我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2019年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据：（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求价格y （百元/平方米）关于月份x 的线性回归方程；（2）用i y ∧表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值iy ∧与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即||i i i y y ξ∧=-，1,2,3,4,5i =.若0.25i ξ≤，则将销售均价的数据i y 称为一个“好数据”，现从5个销售均价数据中任取2个，求抽取的2个数据均是“好数据”的概率.参考公式：回归方程系数公式^121()()()niii niix x y y b x x ==--=-∑∑，^^a yb x =-；参考数据：511984i ii x y==∑，521135i i x ==∑.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆短轴端点，若12AF F ∆为直角三角形且周长为4+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，直线OM ,ON 斜率的乘积为22b a-，求OM ON⋅的取值范围.21．已知函数2()(12)ln ,f x x a x a x a R =+--∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线1C 交于极点O 外的三点,,A B C . （1）求||||||OB OC OA +的值；（2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值.参考答案1．A 【解析】【分析】用列举法表示出集合A ，再求解出不等式21x ≤的解集为集合B ，即可计算出,A B A B ⋃⋂的结果. 【详解】因为集合{|12}{1,0,1,2}A x Z x =∈-≤≤=-，{}2|1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，所以{1,0,1}A B ⋂=-，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，难度较易. 2．C 【解析】【分析】根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果. 【详解】在直角BCE ∆中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，则()22222112211sin 303cos15sin15()2CDE ABCDc S c P S c a b ∆︒︒︒=====+++梯形. 故选：C. 【点睛】本题考查几何概型中的面积模型，难度较易.解答问题的关键：将图形的面积比值与概率联系在一起. 3．D 【解析】【分析】1p ：考虑,a b 同为零的情况；2p ：先计算12z z +的结果，然后判断所在象限；3p ：计算出z ，然后即可得到共轭复数；4p ：设1z a bi =+，根据2z 是实数得到,a b 的关系，由此求解出1z . 【详解】命题1p ：若0a =，0b =时，则0a bi +=不是纯虚数，所以1p 为假命题；命题2p ：121z z i +=-，在复平面内所对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，所以2p 为真命题；命题3p ：1z i i==-，它的共扼复数为z i =，所以3p 为假命题；命题4p ：设1z a bi =+（,a b ∈R ，且0b ≠），则212222111a b z z a bi a b i z a bi a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，因为2z 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1||1z =，所以4p 为真命题. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念、除法运算以及复数的几何意义，属于综合型问题，难度较易.已知z a bi =+，则a 为实部，b 为虚部，共轭复数z a bi =-，复数的模z =4．A 【解析】【分析】设{}n a 的公差为d ，根据3613S S =求出1a 和d 的关系，代入69S S 计算即可. 【详解】设{}n a 的公差为d ，则31613316153S a d S a d +==+，得12a d =，所以6191615271936542S a d d S a d d +===+，故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，是基础题. 5．D 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数及(2)0f =得出，12x +≥，解出x 的范围即可. 【详解】由已知(1)0(2)f x f +≤=，又偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减可得:12x +≥，所以12x +≤-或12x +≥，即3x ≤-或1x ≥，故选：D. 【点睛】考查偶函数的定义，以及减函数的定义，绝对值不等式的解法. 6．C 【解析】【分析】二项式系数之和为16得216n =，求得n ，再通过二项展开式式的通式列方程求得r ，进而可得展开式中x 的系数. 【详解】由展开式中二项式系数之和为16，即216n =，得4n =. 展开式中44314422()2r rr r r r r T C xC x x--+== ，令431r -=，得1r =，故x 的系数为11428C =，故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，考查二项式系数的和，是基础题. 7．D 【解析】【分析】利用正方体可知实线部分为该几何体的直观图，该几何体为四棱锥，求出每个面的面积相加即可. 【详解】利用正方体可知实线部分为该几何体的直观图，该几何体为四棱锥，所以该几何体的表面积为1122+2(2(22)22⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=故选：D.【点睛】本题考查通过三视图求几何体的表面积，关键是找到直观图，是基础题. 8．B 【解析】【分析】根据程序框图，将每一次循环对应的结果列出，再根据输出结果是28A =选择判断框中的内容. 【详解】当0n =时，1A =；当1n =时，1A =；当2n =时，0A =；当3n =时，1A =-；当4n =时，0A =；当5n =时，7A =；当6n =时，28A =，所以判断框中的内容应填写：5?n >，故选：B. 【点睛】本题考查补全程序框图中的判断框内容，难度较易.处理此类问题常用的方法是根据循环语句列举出每一步的结果，然后再根据结果进行分析. 9．A 【解析】【分析】化简两个函数得2sin(2)3y x π=-，2sin(2)6y x π=+，根据相位平移可得结果.【详解】函数sin 222sin(2)3y x x x π==-，向左平移4π个单位得到函数2cos22sin(2)6y x x x π=+=+的图象，故选A. 【点睛】本题考查相位平移及三角化简，是基础题. 10．B 【解析】【分析】作BH l ⊥于H ，根据点B 为AF 的三等分点及抛物线的定义可得13B x =，进而可得B y ，代入△BOF 的面积公式可得答案. 【详解】由已知得：点B 为AF 的三等分点，作BH l ⊥于H （如图），则2433BH FK ==，所以413B BF BH x ==+=，由13B x =得B y =所以△BOF 的面积为：112S =⨯故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质，关键是抛物线焦半径公式的灵活应用，是基础题. 11．A 【解析】【分析】函数()f x 可以看作点(,2ln )M x x 与点(,2)N a a 之间距离的平方，进而转化为曲线2ln y x =上的点到直线2y x =距离平方的最小值问题，利用导数找到2ln y x =上距离直线2y x =的最小的点，再利用垂直关系列方程求解. 【详解】函数()f x 可以看作点(,2ln )M x x 与点(,2)N a a 之间距离的平方，可将问题转化为曲线2ln y x =上的点到直线2y x =距离平方的最小值为45，又'2y x =，令22x =，得1x =，即2ln y x =上的点()1,0到直线2y x =的距离最小，所以20112a a -=--，解得15a =，故选：A. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是将函数()f x 可以看作点(,2ln )M x x 与点(,2)N a a 之间距离的平方，构造函数解决问题，是中档题. 12．C 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式可求得1212252k k k k k a a a +-++=-++，从而可得221=4(13)626k S k ---+，从而可得答案；【详解】由已知得21121(1)(4)502252k k k k k a a a a k k k +-=--⨯-++++=+++211121=k k k k S a a a a -+-+++++()()2121=2410050k k k k a a a a k k k +-+++-=--+-221=4(13)626k S k ---+，当13k =时，21k S -取到最大值，且最大值为626. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的求和，突出考查等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题. 13．π 【解析】【分析】根据向量垂直对应的数量积为0，得到关于,a b <>的等式，将1||||2a b =代入即可计算出,a b <>的值.【详解】因为()2a b a +⊥，所以()20a b a +⋅=，即2||20a a b +⋅=，解得cos ,1a b <>=-，所以,a b π<>=. 故答案为：π. 【点睛】本题考查向量夹角的计算，难度较易.注意当a b ⊥时，一定有0a b ⋅=，反之亦成立. 14．307【解析】【分析】作出251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩表示的可行区域，根据图像得出2z x y =+在点A 处取得最小值，求出点A ，代入2z x y =+即可. 【详解】作出251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩表示的可行区域，如图可知目标函数2z x y =+在点A 处取得最小值，联立25100y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1010()77A ，，则min 1010302777z =+⨯=. 故答案为：307.【点睛】本题考查线性规划求目标函数的最值，关键是准确画出可行域，是基础题. 15【解析】【分析】由若OP OF =，0PA PB OF OA ⋅+⋅=可得220--=c a ac ，转化为210e e --=，解方程即可. 【详解】因为()()()()2222PA PB OA OP OB OP OA OP OA OP OP OA c a⋅=-⋅-=-⋅--=-=-，而OF OA ac ⋅=-，所以220--=c a ac ，所以210e e --=，解得：12e +=.. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要建立,,a b c 的等量关系，是中档题.16．3【解析】【分析】过CD 作空间四边形ABCD 的截面PCD ，由体积公式可知只需求解出PCDS 的最大值即可，由此进行分析求解. 【详解】过CD 作平面PCD ，使得AB ⊥平面PCD ，交AB 于P 点，如下图：设P 到CD 的距离为h ，所以122223323PCDh h V S ⨯=⨯⨯=⨯=，当球的直径通过,AB CD 的中点时，此时h 的值最大，且max h ==所以max 3V =.故答案为：3. 【点睛】本题考查几何体的体积最值与球的综合运用，难度较难.涉及到几何体外接球的问题，注意利用球本身的性质去分析问题，从而达到简化问题的目的.17．（1）23A π=（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得()()()a c a c b c b +-=+，整理代入余弦定理可得答案；（2）利用正弦定理可得2sin 2sin 2sin()3b c B C C π∴+=+=+，根据(0,)3C π∈，利用正弦函数的性质可得取值范围. 【详解】解：（1）由()(sin sin )()sin a c A C b c B +-=+得()()()a c a c b c b +-=+，整理得222b c a bc +-=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-，又()0,A π∈，23A π∴=.（2）由2sin sin sin a b c A B C ====得2sin b B =，2sin c C = 2sin 2sin 2sin()2sin 2sin()33b c B C C C C ππ∴+=+=-+=+因为(0,)3C π∈，2(,)333C πππ∴+∈，可得2sin()2]3C π+∈，所以b c +的取值范围. 【点睛】本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角函数值域的求解，注意自变量的取值范围，是中档题. 18．（1）12（2）2【解析】【分析】（1）连接AC ，BD ，设AC BD P =，可得BF ∥平面MAC ，进而可得BF ∥MP ，由中位线的性质可得答案；（2）如图建立空间直角坐标系，设BE a =，求出平面AEN 和平面ECD 的法向量，利用空间向量的夹角公式列方程求解. 【详解】（1）解：连接AC ，BD ，设ACBD P =，因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 的中点，连接MP ，因为BF ∥平面MAC ，且平面BFD ⋂平面MAC MP =，所以BF ∥MP ，因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点，即12FM FD λ==；（2）AB AD ⊥，又四边形ABCD 为菱形，则四边形ABCD 为正方形，AB BC ∴⊥，又因为BE ⊥平面ABCD ，可如图建立空间直角坐标系，则(2,0,0)C ，(2,2,0)D ，(0,2,0)A ，设BE a =，则)(0,0,E a ，因为12EN ND =，所以13EN ED =，所以2)3aN ，设平面AEN 的法向量为()1111,,n x y z =，又()()0,2,,2,2,a E E a A D =-=-，由 110n AE n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111120220y az x y az -+=⎧⎨+-=⎩，取()10,,2n a =，设平面ECD 的法向量为()2222,,n x y z =，又()()0,2,0,2,2,DC ED a =-=-由220n DC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得222220220y x y az -=⎧⎨+-=⎩，取()2,0,2n a =，因为平面AEN 与平面EDC 所成的锐二面角为60，所以11221c os602n n n n a ⋅===，解得2a =，即BE 的长为2.【点睛】本题考查线面平行的性质，考查向量法求二面角，考查学生的计算能力与推理能力，是中档题.19．（1） 1.688y x ∧=-+；（2）310P = 【解析】【分析】（1）先计算出,x y ，然后根据b 的计算公式求解出b ，再根据线性回归方程过样本点中心(),x y 求解出a ，由此求解出线性回归方程；（2）先根据定义计算出()1,2,3,4,5i i ξ=，利用古典概型的概率计算方法，先列举出所有可能的情况，然后分析其中满足的情况，由此计算出抽取的2个数据均是“好数据”的概率. 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==，8382807877805y ++++==，所以219845580 1.613555b ∧-⨯⨯==--⨯，则80 1.6588a ∧=+⨯=，所以y 关于x 的回归方程1.688y x ∧=-+.（2）利用（1）中的回归方程为 1.688y x ∧=-+，可得13x =，183.2y ∧=，24x =，281.6y ∧=，35x =，380y ∧=，46x =，478.4y ∧=，57x =，676.8y ∧=，所以10.2ξ=，20.4ξ=，30ξ=，40.4ξ=，50.2ξ=，即5个销售均价数据中有3个即1y ，3y ，5y 是“好数据”，从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种，抽取的2个数据均为“好数据”的结果是：()13,y y ，()15,y y ，()35,y y ，共3种，所以310P =. 【点睛】本题考查线性回归方程的求解和古典概型的概率计算，难度一般.（1）求解回归直线方程中的参数值时，注意回归直线方程过样本点的中心(),x y ；（2）利用古典概型求解概率时，最常用的方法是列举法，将所有的基本事件列举出来，同时写出目标事件对应的基本事件，根据事件数目即可计算出对应的概率.20．（1）22142x y +=；（2）[]1,1- 【解析】【分析】（1）根据12AF F ∆的形状以及周长，计算出22,a b 的值，从而椭圆C 的方程可求；（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数,k m 关系找到，由此即可化简计算出OM ON ⋅的取值范围. 【详解】（1）因为12AF F ∆为直角三角形，所以b c =，a =，又12AF F ∆周长为4，所以222)4a c c +==，故c =24a =，22b =，所以椭圆C ：22142x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率不存在时，121212OM ONy y k k x x ⋅==-,12x x =，12y y =-，所以212112OM ON y k k x ⋅=-=-，又2211142x y +=，解得212x =，211y =，221212111OM ON x x y y x y ⋅=+=-=.当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124240k x kmx m +++-=，>0∆得()()222216412240k m k m -+->即2242m k <+，12221224122412km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()()2222121212122412m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+ 由121212OM ONy y k k x x ⋅==-得22222411224212m k k m k -+=--+，即2221m k =+，所以22121212222122121[1,1)2121212m k OM ON x x y y x x k k k --⋅=+====-∈-+++所以[]1,1OM ON ⋅∈-.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：()2a c +；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解. 21．（1）见解析（2）()1,a ∈+∞ 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论即可求出()f x 的单调区间；（2）根据()f x 的单调性，得出0a >，必有()()2min ln 0f x f a a a a a ==-+-<，即ln 10a a +->，构造()ln 1g x x x =+-，求导，得出()g x 在()0,∞+上单调递增，故由()0g a >得1a >，接下来验证当1a >时()f x 的零点情况即可.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，因为()()()()221221212x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==，若0a ≤，则()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增；若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(0,)a 单调递减，则(),a +∞单调递增；（2）由（1）可知，要使()f x 有两个零点，则0a >，则()()2min ln 0f x f a a a a a ==-+-<，即ln 10a a +->，构造()ln 1g x x x =+-，则()110g x x'=+>，故()g x 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，故当()1,x ∈+∞时，()0>g x ，故由()0g a >得1a >，当1a >时，由()121120e f e a e e e --⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()()1e 0f f a -⋅< 结合零点存在性知，在(0,)a 存在唯一实数1x ，使得()10f x =，构造()ln 1h x x x =-+，1x ≥，则()110h x x'=-≤，故()h x 在[)1,+∞单调递减，又()10h =，故()0h x ≤，即ln 1x x x ≤-<，则2ln 3x x x +<，故()()()222ln 313f x x x a x x x x ax x x a =+-+>+-=+-，则()330f a a >>，则()()30f a f a ⋅<，又31a a >>，结合零点存在性知，在(,)a +∞存在唯一实数2x ，使得()20f x =，综上，当()f x 有两个零点时，()1,a ∈+∞. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题.22．（1；（2）2m =，23πα= 【解析】【分析】（1）利用极坐标表示出,,A B C ，然后将,,OA OB OC 转化为极径，根据对应的极径即可计算出||||||OB OC OA +的值；（2）先求解出BC 的极坐标将其转化为直角坐标可求斜率，由此先求解出倾斜角α的值，再根据点在线上代入求解出m 的值即可. 【详解】（1）设点,,A B C 的极坐标分别为()1,ρϕ,2,4πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭,3,4πρϕ⎛⎫-⎪⎝⎭, 由点,,A B C 在曲线1C 上得：14cos ρϕ=，24cos 4πρϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，34cos 4πρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以23||||4cos 4cos 44OB OC ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1||4cos OA ρϕ==，所以||||||OB OC OA +=（2）由曲线2C 的参数方程知，曲线2C 是倾斜角为α且过定点()0m ,的直线，当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫-⎪⎝⎭，化为直角坐标为(B ,(3,C ,所以，直线的斜率为tan α=，所以23πα=，又因为直线BC 的方程为：y =+由点()0m ,在直线BC 上得：2m =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线的参数方程化为普通方程、根据点在曲线上求解参数值，难度一般.直角坐标与极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==.。

2019年全国统一高考数学试卷(理科含解析版)精品文档A4版

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12 B．16 C．20 D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(完整word版)2019年山东省高考理科数学试卷及答案【word版】

2019年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，，答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。

2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷(6)

2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（6）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________当0d >时，()101n a +的取值范围为()10,+∞.2．[2024届·河南·模拟考试联考]在空间解析几何中,可以定义曲面（含平面）S 的方程,若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解;②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上,则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =,方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知空间中某单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,双曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面,已知直线l 过C 上一点()1,1,2Q ,且以()2,0,4d =--为方向向量.（1）指出xOy 平面截曲面C 所得交线是什么曲线,并说明理由;（2）证明：直线l 在曲面C 上;（3）若过曲面C 上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,求异面直线l 与l '所成角的余弦值.答案：（1）以原点O 为圆心,1为半径的圆（2）点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上（3）810+解析：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知,坐标平面xOy 的方程为0z =,已知单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,当0z =时,xOy 平面截曲面C 所得交线上的点(,,0)M x y 满足221x y +=,从而xOy 平面截曲面C 所得交线是平面xOy 上,以原点O 为圆心,1为半径的圆.（2）设()000,,P x y z 是直线l 上任意一点,由(2,0,4)d =--,QP 均为直线l 的方向向量,得//QP d ,从而存在实数λ,使得QP d λ=,即()0001,1,2(2,0,4)x y z λ---=--,则00012,10,24,x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得00012,1,24,x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以点P 的坐标为(12,1,24)λλ--,于是22222(12)1(24)(12)1(12)1114λλλλ--+-=-+--=,因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上.（3）直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点,直线l '的方向向量为(,,)d a b c '=,由d ',TM均为直线l '的方向向量,得//TM d ' ,从而存在实数t ,使得TM td '=,即()111,2(,,)x y z t a b c --=,则111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩所以点M的坐标为,,2)at bt ct ++,因为点M 在曲面C 上,所以222(2)()(2)1114at bt ct +++-=,整理得2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭,因为M 为直线l '任意一点,所以对任意的t ,有2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭恒成立,所以22204c a b +-=,且0c -=,所以c =,b a =或c =,b a =-,不妨取a =,则4c =-,b =或4c =-,b =,所以(4)d '=-,或(4)d '=-,又直线l 的方向向量为(2,0,4)d =--,所以异面直线l 与l '所成角的余弦值为810||d d d d ''⋅+==.3．[2024届·贵州黔南州·二模]1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n 次多项式方程在复数域上至少有一根（1n ≥）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）.对于n 次复系数多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++，其中1n a -，2n a -，0,a ⋅⋅⋅∈C ，若方程()0f x =有n 个复根1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，则有如下的高阶韦达定理：()1121311201ni n i ni j n i j nni j k n i j k n n n x a x x a x x x a x x x a-=-≤<≤-≤<<≤⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅=-⎩∑∑∑(1)在复数域内解方程240x +=；(2)若三次方程320x ax bx c +++=的三个根分别是11i x =-，21i x =+，32x =（i 为虚数单位），求a ，b ，c 的值；(3)在4n ≥的多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++中，已知11n a -=-，21a n a =-，0a a =，a 为非零实数，且方程()0f x =的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n 的式子表示）.答案：(1)2i x =±；(2)4a =，6b =，4c =-；(3)121111n x x x n==⋅⋅⋅==解析：（1）由240x +=可得24x =-，解得2i x =±.（2）由题意可知：123122313123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，将11i x =-，21i x =+，32x =代入可得464a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以4a =，6b =，4c =-.（3）设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅ ，()12,,,n b b b b =⋅⋅⋅，1212,,,,,,,0n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，因为a b a b ⋅≤ ，当且仅当//a b时，等号成立，可得1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，即1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时，等号成立，因为方程()11100n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++=的根恰好全是正实数，设这n 个正根分别为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，且11n a -=-，21a n a =-，0a a =，由题意可知：()()()1212121122312111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n a x x x a ---⎧++⋅⋅⋅+=⎪⎪⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=--⎨⎪⋅⋅⋅=-⎪⎩，因为121n x x x ++⋅⋅⋅+=，且1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 均为正数，则()121212111111n n n x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭22n ⎫≥⋅⋅⋅+=，当且仅当121111n x x x n==⋅⋅⋅==时，等号成立，又因为()()()1221211223211211111nn n n n n nn n a x x x x x x x x x n x x x x x x a-----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=，即212111nn x x x ++⋅⋅⋅+=，所以121111n x x x n==⋅⋅⋅==.11122122a ，我们定义方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，方阵A 对应的行列式记为()det A ，且()11221221det A a a a a =-，方阵A 与任意方阵11122122bb B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的乘法运算定义如下：A B C ⨯=，其中方阵11122122c c C c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且{}()21,1,2nn mi in i c a b m n ==∈∑.设cos sin sin cos M αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，cos sin sin cos N ββββ⎛⎫=⎪-⎝⎭，1001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）证明：()()det det M N E ⨯=.（2）若方阵A ，B 满足A B E ⨯=，且()det A ，()det B ∈Z ，证明：()()()()det det det det A B M N +=+.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：设方阵11122122k k K M N k k ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，则()()()11cos cos sin sin cos k αβαβαβ=+--=-，()()12cos sin sin cos sin k αβαββα=+-=-，()()21sin cos cos sin sin k αβαβαβ=+-=-，()22sin sin cos cos cos k αβαβαβ=+=-，则()()()()cos sin sin cos K αββααβαβ--⎛⎫= ⎪--⎝⎭，所以()()()()()2det det cos sin sin M N K αβαββα⨯==----()()22cos sin 1αβαβ=-+-=.因为()det 11001E =⨯-⨯=，所以()()det det M N E ⨯=，证毕.（2）证明：设11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，11122122b b B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A B E ⨯=，可得111112211a b a b +=，①111212220a b a b +=，②211122210a b a b +=，③211222221a b a b +=，④由①×④，得111121121111222212212112122122221a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑤由②×③，得111221111112222112222111122222210a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑥由⑤-⑥，可得111122221221211211122221122221111a b a b a b a b a b a b a b a b +--=，整理得()()11221221112212211a a a a b b b b --=，即()()det det 1A B ⨯=.由()()det ,det A B ∈Z ，可得()()det 1,det 1,A B =⎧⎪⎨=⎪⎩或()()det 1,det 1,A B =-⎧⎪⎨=-⎪⎩则()()det det 2A B +=.又()()det det 1M N ==，所以()()()()det det det det A B M N +=+，证毕.6．[2024届·湖北黄冈·模拟考试校考]第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线():C y f x =上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线A l 也随着转动到B 点的切线B l ，记这两条切线之间的夹角为θ△（它等于B l 的倾斜角与A l 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义ΔΔK sθ=为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义()3022lim 1y K sy θ∆→''∆==∆'+（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率.（其中y '，y ''分别表示()y f x =在点A 处的一阶､二阶导数）（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点()3,y 处的曲率是多少？（2）若函数()11212x g x =-+，不等式()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；（3）若动点A 的切线沿曲线()228f x x =-运动至点()(),n n B x f x 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N .若14x =，2n n b x =-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明3n T <.答案：（1）212（2）[]1,1-（3）()*3n T n <∈N 解析：（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则3p =，即抛物线方程为26x y =，即()216f x y x ==，则()13f x x '=，()13f x ''=，又抛物线在点()3,y 处的曲率，则32211233121139K ===⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭，即在该抛物线上()3,y 处的曲率为212.（2）()()112111212212221x xx x g x g x --=-=-=-=-+++ ，()g x ∴在R 上为奇函数，又()g x 在R 上为减函数.∴不等式()e e 2cos 2x xg g x ω-⎛⎫+≤-⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，等价于e e cos 22x xx ω-+≥-对于x ∈R 恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记()cos p x x ω=，()e e 22x xq x -+=-，则曲线()p x 恒在曲线()q x 上方.()sin p x x ωω'=-，()e e 2x xq x -=-'-，又因为()()001p q ==，所以在0x =处三角函数()p x 的曲率不大于曲线()q x 的曲率.即()()()()332222001010p q p q ≤⎡'''⎤⎡⎤++⎣⎦⎣'⎦''又因为()2cos p x x ωω'=-'，()e e 2x xq x -+=''-，()20p ω''=-，()01q ''=-，所以21ω≤，解得：11ω-≤≤，因此，ω的取值范围为[]1,1-.（3）由题可得()4f x x '=.所以曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程是：()()()n n n y f x f x x x '-=-.即()()2284n n n y x x x x --=-.令0y =，得()()2142n n n n x x x x +--=-.即2142n n n x x x ++=.显然0n x ≠，122n n n x x x +∴=+.由122n n nx x x +=+，知()21222222n n n n n x x x x x +++=++=，同理()21222n n n x x x +--=，故2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭.从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，设2lg 2n n n x a x +=-，即12n n a a +=.所以，数列{}n a 成等比数列.故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-.即12lg 2lg 32n n n x x -+=-.从而12232n n n x x -+=-所以()112223131n n n x --+=-，1242031n n n b x -∴=-=>-，111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-∴==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<.当1n >时，21121111333n n n n b b b b ---⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112111113111333133313n n n n n b T b b b b b b -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴=+++<+++==-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .综上，()*3n T n <∈N .。

2019年高考数学l卷(理科)word版(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页、23小题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型B 填涂在答题卡相应的位置上，将条码贴在答题卡上右上角“条形码粘贴处”。

2、作答选择题时，想出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡，各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|－4＜x ＜2}，N={x|x 2－x －6＜0}，则M ∩N=A.{x|－4＜x ＜3}B.{x|－4＜x ＜－2}C.{x|－2＜x ＜2}D.{x|2＜x ＜3}2.设复数z 满足|z-i|=1，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则A.(x+1)2+y 2=1B.(x －1)2+y 2=1C.x 2+(y －1)2=1D.x 2+(y+1)2=13.已知a=log 20.2，b=20.2，c=0.20.3，则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是21-5（21-5≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚挤的长度之比也是21-5。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A.105cmB.175cmC.185cmD.190cm5.函数f(x)=2x cosx x sinx ++，[-π,π]的图像大致为A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yáo ）组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“--”，右图就是一重卦。

2019届高考理科数学全国通用版一轮复习解答题规范答题强化练 Word版含解析(全套打包)

规范答题强化练(一)函数与导数(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=e x+x2-x, g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值.(3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.【解析】(1) F(x)=e x-2x-b,则F′(x)=e x-2.(1分)令F′(x)=e x-2>0,得x>ln 2,所以F(x)在(ln 2,+∞)上单调递增.令F′(x)=e x-2<0,得x<ln 2,所以F(x)在(-∞,ln 2)上单调递减. (4分)(2)因为f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,所以l的方程为y=1.依题意,g′(x)=2x+a,g′(1)=2+a=0,所以-=1, c=1.于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1),由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.(3)设h(x)=f(x)-g(x)=e x-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h′(x) =e x-(a+1).(6分)①当a+1≤0时,因为h′(x)>0,所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;(7分)若a+1<0,取x0<0且x0<,此时h(x0)=-(a+1)x0-b<1-(a+1)-b=0,所以h(x)≥0不恒成立.不满足条件;(8分)②当a+1>0时,令h′(x)=0,得x=ln (a+1).由h′(x)>0,得x>ln (a+1);由h′(x)<0,得x<ln (a+1).所以h(x)在(-∞,ln (a+1))上单调递减,在(ln (a+1),+∞)上单调递增.(10分)要使得“h(x)=e x-(a+1)x-b≥0恒成立”,必须有“当x=ln (a+1)时, h(x)min=(a+1)-(a+1)ln (a+1)-b≥0”成立.所以b≤(a+1)-(a+1)ln (a+1).则a+b≤2(a+1)-(a+1)ln (a+1)-1.令G(x)=2x-xln x-1,x>0,则G′(x)=1-ln x.令G′(x)=0,得x=e.由G′(x)>0,得0<x<e;由G′(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,当x=e时, G(x)max=e-1.从而,当a=e-1,b=0时,a+b的最大值为e-1.综上, a+b的最大值为e-1.(12分)2.(12分)已知函数f(x)=a x+x2-xln a-b(a, b∈R, a>1),e是自然对数的底数.(1)当a=e, b=4时,求函数f(x)的零点个数.(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.【解析】 (1)f(x)=e x+x2-x-4,所以f′(x)=e x+2x-1,所以f′(0)=0,(1分)当x>0时, e x>1,所以f′(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数,(2分) 当x<0时, e x<1,所以f′(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数,(3分) f(1)=e-4<0, f(2)= e2-2>0,所以存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;(4分)f(-2)=+2>0, f(-1)=-2<0,所以存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点,所以f(x)的零点个数为2.(6分)(2)f′(x)=a x ln a+2x-ln a =2x+(a x-1)ln a,(7分)当x>0时,由a>1,可知a x-1>0, ln a>0,所以f′(x)>0,当x<0时,由a>1,可知a x-1<0, ln a>0,所以f′(x)<0,当x=0时, f′(x)=0,所以f(x)是[-1,0]上的减函数, [0,1]上的增函数,所以当x∈[-1,1]时, f(x)min=f(0), f(x)max为f(-1)和f(1)中的较大者.而f(1)-f(-1)=a--2ln a,设g(x)=x--2ln x(x>1),因为g′(x)=1+- =≥0(当且仅当x=1时等号成立),(8分)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,(10分)所以当x>1时, g(x)>0,即a>1时, a--2ln a>0,所以f(1)>f(-1).所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a-ln a.(12分)3.(12分)已知函数f(x)=ln x+,其中常数k>0.(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k∈[4,+∞)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,试求x1+x2的取值范围.【解析】(1)由已知得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=--1=-=-(k>0),(2分)①当0<k<2时, >k>0,且>2,所以x∈(0,k)时, f′(x)<0; x∈(k,2)时, f′(x)>0.所以,函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;(3分)②当k=2时, =k=2, f′(x)<0在区间(0,2)内恒成立,所以f(x)在(0,2)上是减函数;(4分)③当k>2时, 0<<2,k<,所以x∈时, f′(x)<0; x∈时,f′(x)>0,所以函数在上是减函数,在上是增函数.(6分)(2)由题意,可得f′(x1)=f′(x2), x1x2>0且x1≠x2,即--1 =--1,化简得, 4(x1+x2)=x1x2,(8分)由x1x2<,得4(x1+x2)<,即x1+x2>对k∈[4,+∞)恒成立,(10分)令g(k)=k+,则g′(k)=1-=>0对k∈[4,+∞)恒成立,所以g(k)在[4,+∞)上单调递增,则g(k)≥g(4)=5,所以≤,所以x1+x2>,故x1+x2的取值范围为.(12分)4.(12分) 设函数f(x)=ln x.(1)令F(x)=f(x)+(0<x≤3),若F(x)的图象上任意一点P (x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围.(2)当a>0时,设函数g(x)=(x2-2x)f(x)+ax2-x,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范围.【解析】(1)F(x)=f(x)+=ln x+,x∈(0,3],则有F′(x0)=≤在x0∈(0,3]上恒成立,(2分)所以a≥,(4分)x0∈(0,3],当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a≥. (6分) (2)因为x∈(0,+∞),令g(x)=(x2-2x)f(x)+ax2-x=0,则(x2-2x)ln x+ax2=x,即a=,(7分)令h(x)=,则h′(x)=--+=,(8分)令t(x)=1-x-2ln x,t′(x)=-1-=,因为t′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为t(1)=h′(1)=0,所以当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.(10分)当a=1时,g(x)=(x2-2x)f(x)+x2-x,若e-2<x<e,g(x)≤m,则g(x)max≤m,g′(x)=(x-1)(3+2ln x),令g′(x)=0得x=1或x=,又因为e-2<x<e,所以函数g(x)在(e-2,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,又g()=-e-3+2,g(e)=2e2-3e,因为g()<g(e),所以g(x)max=g(e)=2e2-3e,所以m≥2e2-3e.(12分)规范答题强化练(二)三角(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin (ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【解析】 (1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos 2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.(2分)因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(4分)(2)由(1)知,f(x)=2sin +.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增; (8分)当<2x+≤,即<x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. (12分)2.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos 2cos B-sin (A-B)sin B+cos (A+C)=-.(1)求cos A的值.(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.【解析】 (1)由2cos 2cos B-sin (A-B)·sin B+cos (A+C)=-,得[cos (A-B)+1]cos B-sin (A-B)sin B-cos B=-,(2分)即cos (A-B)cos B-sin (A-B)sin B=-,则cos (A-B+B)=-,即cos A=-. (4分)(2)由cos A=-,0<A<π,得sin A=.(6分)由正弦定理,有=,所以sin B==.(8分)由题意知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5×c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)3.(12分)设函数f(x)=cos +2cos 2x.(1)求f(x)的最大值,并写出使f(x)取最大值时x的集合.(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,b+c=2,求a的最小值.【解析】 (1)因为f(x)=cos +2cos 2x=cos +1,所以f(x)的最大值为2.(3分)f(x)取最大值时,cos =1,2x+=2kπ(k∈Z),故x的集合为{x|x=kπ-,k∈Z}. (5分)(2)由f(B+C)=cos +1=,可得cos =,由A∈(0,π),可得A=.(8分)在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc,由b+c=2知bc≤=1,当b=c=1时bc取最大值,此时a取最小值1. (12分)4.(12分)设函数f(x)=-sin 2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=-sin 2ωx-sin ωxcos ωx=-·-sin 2ωx=cos 2ωx-sin 2ωx=-sin .(4分)因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,又ω>0,所以=4×.因此ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=-sin .当π≤x≤时,≤2x-≤.所以-≤sin ≤1.(10分)因此-1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1. (12分)规范答题强化练（三）数列(45分钟48分)1.(12分)已知正项等比数列{a n}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且=9a1a5.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=·a n,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0),由= 9a1 a5 = 9,(2分)故q2 = = 9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a1, 2a2, a3+6成等差数列,所以a1+(a3+6)-4a2=0,解得a1=3,(4分)所以数列{a n}的通项公式为a n=3n .(6分)(2)依题意得b n=(2n+1)·3n,则T n=3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n,①(7分)3T n=3·32+5·33+7·34+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1,②由②-①得2T n=(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n)-32 =(2n+1)·3n+1-2·-32=2n·3n+1,(10分)所以数列{b n}的前n项和T n=n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+3,n∈N*(1)求证:数列{a n+3}是等比数列.(2)求数列{na n}的前n项和S n.【解析】(1)==2,(n∈N*),因此数列{a n+3}是等比数列,且公比为2. (4分)(2)由(1)及题设可知,数列{a n+3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此a n+3=4×2n-1=2n+1,于是a n=2n+1-3;所以n·a n=n·2n+1-3n.(6分)设b n=n·2n+1,c n=-3n,并设它们的前n项和分别为T n,R n.则T n=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分)所以2T n=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2②②-①得T n=-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·=(n-1)·2n+2+4,(10分)又R n=·n=-n2-n,故S n=T n+R n=(n-1)·2n+2-n2-n+4.(12分) 3.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=2a n-1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,不等式k(S n+1)≥2n-9恒成立,求实数k的取值范围.【解析】 (1)令n=1,S1=2a1-1=a1,解得a1=1.(2分)由S n=2a n-1,有S n-1=2a n-1-1, 两式相减得a n=2a n-2a n-1,化简得a n=2a n-1(n≥2),所以数列{a n}是以首项为1,公比为2 的等比数列,所以数列{a n}的通项公式a n=2n-1.(4分)(2)由k(S n+1)≥2n-9,整理得k≥,令b n=,则b n+1-b n=-=, n=1,2,3,4,5时,b n+1-b n=>0,所以b1<b2<b3<b4<b5. n=6,7,8,…时,b n+1-b n=<0,(8分)即b6>b7>b8>….因为b5=<b6=, 所以b n的最大值是b6=.所以实数k的取值范围是.(12分)4.(12分)数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a3+1,a4成等差数列.世纪金榜导学号12560596(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.【解析】 (1)由题意,S n=2a n-a1,则当n≥2时,S n-1=2a n-1-a1,两式相减得a n=2a n-1(n≥2),所以a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=2a3=8a1,又a1,a3+1,a4成等差数列,所以2(4a1+1)=a1+8a1,解得a1=2,(4分)所以数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n=2n.(6分) (2)b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=1+2+3+…+n=,由(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立,知≥k对n∈N*恒成立,(8分)设c n=(n-8)(n+1)=(n2-7n-8),则当n=3或4时,c n取得最小值,为-10,所以k≤-10.(12分)规范答题强化练(四)立体几何(45分钟48分)1.(12分)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,其中∠BAD=,AD=,AB=1,等边△ADE所在平面与平面ABCD垂直,FC⊥平面ABCD,且FC=.(1)点P在棱AE上,且=2,Q为△EBC的重心,求证:PQ∥平面EDC.(2)求平面DEF与平面EAB所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)如图,在棱BE上取点M,使得BM=2ME;连接BQ并延长,交CE于点N.则在△ABE中,又AP=2PE,所以PM∥AB,(2分)又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,所以PM∥CD. 在△BCE 中,Q为重心,所以BQ=2QN,又BM=2ME,(3分)所以MQ∥EC.又因为PM∩MQ=M,CD∩EC=C,所以平面MPQ∥平面DEC.又PQ⊂平面MPQ,所以PQ∥平面EDC.(4分)(2)在△ABD中,∠BAD=,AD=,AB=1,由余弦定理可得.BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=12+()2-2×1×cos=1.所以BD=1.(6分)取AD的中点O,连接EO,OB.在△EAD中,EA=ED=AD=,所以EO⊥AD,且EO=AD=.又因为平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,所以EO⊥平面ABCD.又在△ABD中,AB=BD=1,AD=,所以OB⊥AD,且OB=.如图,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.(8分)则A,D,B,E,C,F.则=,=,=,=.设平面ABE的法向量为m=(x1,y1,z1),则由可得整理得令z1=1,则x1=,y1=3.所以m=(,3,1)为平面ABE的一个法向量.设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则由可得整理得令z2=-1,则x2=,y2=6.所以n=(,6,-1)为平面DEF的一个法向量. (10分)所以cos<m,n>===,设平面DEF与平面EAB所成锐二面角为θ,则cos θ=cos<m,n>=. (12分)2.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BC=2,BB1=4,点D在棱CC1上,且CD=λCC1(0<λ<1).建立如图所示的空间直角坐标系.(1)当λ=时,求异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值.(2)若二面角A-B1D-A1的平面角为,求λ的值.【解析】(1)易知A(0,0,2),B1(0,4,0),A1(0,4,2).因为BC=CD=2,∠BCC1=,所以C(,-1,0),当λ=时,D(,1,0).所以=(0,4,-2),=(,-3,-2).(3分)所以cos<,>===.(5分)故异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值为. (6分)(2)由CD=λCC1可知,D(,4λ-1,0) ,所以=(-,5-4λ,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面AB1D的法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,解得x=,z=2,所以平面AB1D的一个法向量为m=.(7分)设平面A1B1D的法向量为n=(x′,y′,z′),则即令y′=1,解得x′=,z′=0,所以平面A1B1D的一个法向量为n=. (8分)因为二面角A-B1D-A1的平面角为,所以|cos<m,n>|===,即(5-4λ)2=9,解得λ=或λ=2(舍),故λ的值为.(12分)3.(12分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(1)求证:EF⊥平面BCF.(2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD=,所以AB=2,(2分)所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3.所以AB2=AC2+BC2.所以BC⊥AC.因为CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥CF,(4分)而CF∩BC=C,所以AC⊥平面BCF,因为EF∥AC,所以EF⊥平面BCF. (6分)(2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系如图所示,(8分)AD=CD=BC=CF=1,令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),所以=(-,1,0),=(λ,-1,1),设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由得取x=1,则n1=(1,,-λ),因为n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,(9分)所以cos θ===,(10分)因为0≤λ≤,所以当λ=0时,cos θ有最小值,所以点M与点F 重合时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.(12分)4.(12分)在如图所示的几何体中,平面ADNM⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,四边形ADNM是矩形,∠DAB=,AB=2,AM=1,E是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面ABM.(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BD,因为四边形ABCD是菱形,∠DAB=,E是AB的中点,所以DE⊥AB,(2分)因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,所以MA ⊥平面ABCD,又DE⊂平面ABCD,所以DE⊥AM,又AM∩AB=A,所以DE⊥平面ABM.(4分)(2)由DE⊥AB,AB∥CD,可得DE⊥CD,因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,ND⊥AD,所以ND⊥平面ABCD,以D为原点,DE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)则D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设P(,-1,m)(0≤m ≤1),则=(-,2,0),=(0,-1,m),因为ND⊥平面ABCD,平面ECD 的一个法向量为=(0,0,1),(7分)设平面PEC的法向量为n=(x,y,z),n·=n·=0,即取z=1,可得n=,(8分)假设在线段AM上存在点P,使二面角P-EC-D的大小为,则cos==,解得m=,(11分)所以在线段AM上,符合题意的点P存在,此时AP=. (12分)规范答题强化练(五)解析几何(45分钟48分)1.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点,左右焦点分别为F1,F2,坐标原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点,过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M,N两个不同的点,的值是否为一个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.【解析】(1)原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,则=1,所以b=.因为点在椭圆上,所以+=1,所以a=,所以椭圆C的标准方程为+=1. (3分)(2)设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),OQ的方程为x=my,则MN的方程为x=my+1,由得即所以|OQ|=|y0|=, (6分)由得(2m2+3)y2+4my-4=0.所以y1+y2=-,y1y2=-, (8分)|MN|=|y1-y2|=·=·=. (10分)所以==.所以的值是常数. (12分)2.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C相交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在定点N,使得直线PN与直线QN关于x轴对称?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意得b=2,a2=8,故椭圆C的方程为+=1.(4分) (2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ与x轴不垂直时,设PQ的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程化简得:(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以k PN+k QN=+=+==,(8分)因为2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=-+2m=,(10分) 所以当m=4时,k PN+k QN=0,直线PN与直线QN关于x轴对称,当PQ⊥x轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN与直线QN关于x轴对称,综上可得,在x轴上存在定点N(4,0),使得直线PN与直线QN关于x轴对称.(12分)3.(12分)已知F1,F2是椭圆Ω:+=1(b>0)的左,右焦点.(1)当b=1时,若P是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-,求点P的坐标.(2)当椭圆Ω的焦点在x轴上且焦距为2时,若直线l:y=kx+m与椭圆Ω相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且3x1x2+4y1y2=0,求证:△AOB的面积为定值.【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为+y2=1,则F1(-,0),F2(,0)(1分).设P(x,y)(x>0,y>0),则=(--x,-y),=(-x,-y),(2分)由·=-,得x2+y2=,(3分)与椭圆方程联立解得x=1,y=,即点P的坐标为.(4分) (2)当椭圆Ω的焦距为2时,c=1.则b2=a2-c2=3,所以椭圆Ω的方程为+=1.由得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分)因为Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)=48(3+4k2-m2)>0,所以3+4k2-m2>0, 所以x1+x2=-,x1x2=.所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由3x1x2+4y1y2=0,得3·+4·=0.(8分)所以2m2=3+4k2.因为|AB|=·|x1-x2|=·=·=·=·.(10分)又点O到直线AB的距离d==,所以S△AOB=·|AB|·d=···=.即△AOB的面积为定值.(12分)4.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为以F为顶点的等腰三角形,求C 的方程.(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x 轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为,并求点P到直线AB的距离d的取值范围.【解析】(1)由题知F,=3+,(2分)则D(3+p,0),FD的中点坐标为,(3分)则+=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(4分)(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0,因为x0≥.所以Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,(6分)设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知∥,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P==,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0),由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,(8分)所以y1-y2=4,所以(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d===,令=t∈,x0=2-t2,d==-2t,(10分)易知f(t)=-2t在上是减函数,所以d∈.(12分)规范答题强化练（六）概率与统计(45分钟50分)1.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).(1)求图中a的值.(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表).(3)根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关?(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解析】(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1,故a=0.005.(2)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40, 0.20,0.05,故可估计平均分=55×0.05+65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.05=74(分).(3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25,故晋级成功的人数为100×0.25=25(人),列联表如下(10分)假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得K2的观测值k=≈2.613>2.072,所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“晋级成功”与性别有关.(12分)2.(12分)在一次全国高中五省大联考中, 有90万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布N(μ,σ2).用茎叶图列举了20名学生的英语成绩, 巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.世纪金榜导学号12560836(1)求μ,σ.(2)给出正态分布的数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4①若从这90万名学生中随机抽取1名, 求该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率;②若从这90万名学生中随机抽取1万名, 记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数, 求X的数学期望.【解析】(1)因为通过计算可得这20个数据的平均数为=90,所以由题可得μ=90-0.9=89.1,σ==7. (3分)(2)①因为μ=89.1,σ=7,所以(82.1,103.1)=(μ-σ,μ+2σ),所以该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为=0.818 5. (6分)②由题可得X服从二项分布B(10 000,0.8185),所以E(X)=10 000×0.818 5=818 5. (12分)3.(13分)观察研究某种植物的生长速度与温度的关系,经过统计,得到生长速度(单位:毫米/月)与月平均气温的对比表如下:(1)求生长速度y关于温度t的线性回归方程.(斜率和截距均保留为三位有效数字).(2)利用(1)中的线性回归方程,分析气温从-5℃至20℃时生长速度的变化情况,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长多少. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:【解析】(1)由题可知于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为:=3.560+0.305t.(8分)(2)利用(1)的线性回归方程可以发现,月平均气温从-5℃至20℃时该植物生长速度逐渐增加,如果某月的平均气温是2℃时,预测这月大约能生长3.560+0.305×2=4.17 mm.(13分)4.(13分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计,其中40岁以下占,采用微信支付的占,40岁以上采用微信支付的占.(1)请完成下面2×2列联表:并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,从“40岁以上”的人中抽取1人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少?参考公式:K2=,n=a+b+c+d.参考数据:【解析】(1)由已知可得,40岁以下的有100×=60人,使用微信支付的有60×=40人,40岁以上使用微信支付的有40×=10人.(2分)所以2×2列联表为:(4分)由列联表中的数据计算可得K2的观测值为k==,(6分)由于>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信支付与年龄有关”.(8分)(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人,这两人使用微信支付分别记为A,B,则P(A)=P(B)=,从“40岁以上”的人中抽取1人,这个人使用微信支付记为C,则P(C)=,显然A,B,C相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为1-P()=1-××=,故至少有一人使用微信支付的概率为.(13分)。

2019版高考数学(理科)总复习4.1数列基础题练习.docx

2019 版高考数学（理科）总复习4.1数列基础题命题角度 1 求数列的通项公式高考真题体验·对方向1.(2016浙江·13)数列{ a n}的前n和S n, 若 S2=4,a n+ 1= 2S n+ 1,n∈ N*, a1=,S5=.答案 1 121解析由意 ,可得 a1+a 2= 4,a2= 2a1+ 1,所以 a1= 1,a2= 3.再由 a n+ 1= 2S n+ 1,a n= 2S n-1 + 1(n≥ 2),得 a n+1-a n= 2a n,即 a n+ 1= 3a n(n≥ 2).又因 a2= 3a1,所以数列 { a n} 是以 1首 ,3 公比的等比数列 .所以 S5== 121.2.(2015全国Ⅱ·16) S n是数列{ a n}的前n和,且a1=- 1,a n+1=S n S n+ 1, S n=.答案-解析由 a n+ 1=S n+ 1-S n =S n S n+ 1,得 =1,即 =- 1,等差数列,首 =- 1,公差 d=- 1,∴=-n , ∴S n=-.新题演练提能·刷高分1.(2018湖南沙雅礼中学、河南省中学考)在数列 { a n} 中 ,a1= 2,+ ln 1+ , a n= ()A.2 +n ln nB.2n+ (n-1)ln nC.2n+n ln nD.1+n+n ln n答案C解析由意得 = ln( n+ 1)-ln n,n 分取 1,2,3,⋯ ,(n-1)代入 ,累加得 = ln n-ln 1= ln n,= 2+ ln n,∴a n= 2n+n ln n,故 C.2.(2018广一模)已知数列{ a n}的前n和S n,且S n=n2+n , a5=.答案14解析由意得 a5=S5-S4 =×52+- ×42+ 2 = 14.3.(2018湖南、江西第二次考)已知S n是数列{ a n}的前n和,且log3S n+ 1=n+ 1,数列 { a n}的通公式.答案a n=n+ 1解析由 log 3( S n+ 1)=n+ 1,得 S n+ 1= 3 ,当 n= 1 ,a1=S1= 8;当 n≥2 ,a n=S n-S n-1=2×3n,所以数列 { a n} 的通公式 a n=4.(2018湖南衡阳一模)已知数列{ a n}前n和S n,若S n=2a n-2n, S n=.答案 n·2n解析∵S n= 2a n-2n= 2(S n-S n- 1)-2n,整理得 S n-2S n- 1= 2n,2019 版高考数学（理科）总复习等式两边同时除以2n 有 = 1,又 S 1= 2a 1-2=a 1,可得 a 1=S 1=2,所以数列 b n = 可看作以 1 为首项 ,1 为公差的等差数列,所以 =n ,所以 S n =n ·2n .5.(2018 河南 4 月适应性考试 )已知数列 { a n } 的前 n 项和是 S n ,且 a n +S n = 3n-1,则数列 { a n } 的通项公式 a n = .答案3-n- 2解析由题得 a n +S n = 3n-1①, a n- 1+S n- 1= 3n-4② ,两式相减得 a n =a n-1+ ,∴ a n -3= (a n- 1-3),∴ { a n -3} 是一个等比数列 ,所以 a n -3= (a 1-3)n-1= (1-3)n-1,∴a n = 3-n- 2.故填 3-n-2.命题角度 2 等差数列基本量的运算高考真题体验 ·对方向1.(2018 全国 Ⅰn 为等差数列 { a n324 1 5= ()·4)记 S} 的前 n 项和 ,若 3S =S +S ,a = 2,则 aA .-12B.-10C.10D.12答案B解析因为3S 3=S 2+S 4 ,所以 3S 3= (S 3-a 3 )+ (S 3+a 4),即 S 3=a 4-a 3.设公差为 d,则 3a 1+ 3d=d ,又由a 1= 2,得 d=- 3,所以 a 5=a 1+ 4d=- 10.2.(2017 全国 Ⅰ·4)记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 .若 a 4+a 5= 24,S 6= 48,则 { a n } 的公差为 ( )A .1 B.2 C.4 D.8答案 C解析设首项为 a 1,公差为 d,则 a 4+a 5=a 1+ 3d+a 1+ 4d= 24,S 6= 6a 1+d= 48,联立可得 ①×3-②,得(21-15)d= 24,即 6d= 24,所以 d= 4.3.(2017 全国 Ⅲ ·9)等差数列 { a n } 的首项为 1,公差不为 0.若 a 2,a 3,a 6 成等比数列 ,则{ a n } 前 6 项的和为 ( )A. -24B. -3C.3D.8答案 A解析设等差数列的公差为 d, 则 d ≠0,=a 2·a 6, 即 (1+ 2d) 2= (1+d )(1 +5d), 解得 d=- 2, 所以S 6= 6×1+×(-2)=- 24,故选 A .4.(2016 全国Ⅰ ·3)已知等差数列 { a } 前 9 项的和为27,a= 8,则 a =()n10100A.100B.99C.98D.97答案 C解析(方法一 )设等差数列 { a n } 的公差为 d,由意得 ,解得 a1=- 1,d= 1,故a100=a 1+ 99d=- 1+ 99=98.(方法二 )因 S9== 27,a1+a 9= 2a5,所以 a5= 3.又因 a10=8,所以 d== 1.故a100=a 10+ (100-10)×1= 98.5.(2017全国Ⅱ·15)等差数列{ a n}的前n和S n,a3=3,S4= 10,=.答案解析等差数列的首a1,公差 d,由意可知解得所以 S n=na 1+d=.所以 = 2.所以 = 21- ++ ⋯ += 2.新题演练提能·刷高分1.(2018重二)等差数列{ a n}的前n和S n,若a3=7,S3= 12,a10= ()A.10B.28答案B解析由意 ,等差数列的首2.(2018新疆木第二次量C.30D.145a1,公差 d,解得所以a10=a 1+ 9d= 1+ 9×3= 28,故 B. )等差数列 { a n} 的前 n 和 S n,若 = 2, =()A.2B.C.4D.答案B解析等差数列 { a n} 的公差 d,= 2,即 a3+ 3d= 2a3, a3= 3d,,故 B .3.(2018青海西宁一模)我国古代数学名著《九章算·均》中了一个 :“今有五人分五 ,令上二人所得与下三人等,各得几何 ?”其意思“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 ,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列 , 五人各得多少 ?”(“ ”是古代一种重量位).个中 , 等差数列的通公式()*A. -n+ (n∈N ,n≤ 5)*B.n+ (n∈N ,n≤ 5)*C.n+ (n∈N ,n≤ 5)答案D解析依意甲、乙、丙、丁、戊所分得分a-2d,a-d ,a,a+d ,a+ 2d,由意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+ 2d,所以 a=- 6d,又 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d= 5a= 5,所以 a= 1,所以此等差数列首,公差 -,故通公式a n =-n+ (n∈N* ,n≤ 5),故 D.n135246n 表示{ a n} 的前 n4.(2018河南六市一模)在等差数列{ a }中,a +a +a= 105,a +a +a = 99,以 S 和,使 S n达到最大的 n 是()A.21B.20C.19D.18答案B解析因 a1+a 3+a 5= 105,a2 +a 4+a 6= 99,所以 a3= 35,a4= 33,从而 d=- 2,a1= 39,S n= 39n+n (n-1)(-2) =-n 2+ 40n,所以当 n= 20 ,S n取最大 ,故 B .5.(2018河南六市一模) 中国古代中,有一道“八子分”的数学名 :“九百九十六斤,分八子做 ,次第每人多十七 ,要将第八数来言”.意是 :把 996 斤分 8 个儿子作 ,按照年从大到小的序依次分 ,年小的比年大的多 17 斤 ,那么第 8 个儿子分到的是()A.174 斤B.184 斤C.191 斤D.201 斤答案B解析用 a1,a2,⋯ ,a8表示 8 个儿按照年从大到小得到的数,由意得数列a1,a2,⋯ ,a8是公差17 的等差数列 ,且 8的和 996,∴8a1+×17= 996,解得 a1= 65.∴a8= 65+ 7×17= 184.故 B.6.(2018西西安八校第一次考)等差数列 { a n} 的前 n 和S n, 若 S6>S 7>S5 ,足S n S n+ 1< 0 的正整数 n 的 ()A.10B.11C.12D.13答案C解析∵S6>S7>S5,∴6a1+d> 7a1+d> 5a1+d ,∴a7< 0,a6+a 7> 0,∴S13== 13a7< 0,S12== 6(a6+a 7)> 0,∴足 S n S n+ 1< 0 的正整数n 的 12,故 C.7.(2018湖南沙雅礼中学、河南中学考)等差数列 { a n} 足 a2 = 7,a4= 3,S n是数列 { a n}的前 n和 ,使得 S n> 0的最大的自然数 n 是 ()A.7B.8C.9D.10答案C解析解得所以 S n= 9n+×(-2)=-n 2+ 10n,所以 -n2+ 10n> 0,所以 0<n< 10,最大的自然数是9.故 C.8.(2018北京二模)已知{ a n}等差数列,S n其前 n和 , 若 a1=- 1,S10= 35,a20=.答案18解析∵{ a n} 等差数列 ,S n其前 n 和 ,若 a1=- 1,S10= 35,∴∴d= 1,∴a20=a 1+ (20-1)×1= 18.9.(2018北三省三校二模 ) 已知增的等差数列{ a n} 的前三和 -6,前三10,前 10和 S10=.答案85解析∵a1+a 2+a 3=- 6,a1a2a3= 10,∴a2=- 2,a1+a 3=- 4,a1a3=- 5.∴a1=- 5,a3=1,∴公差 3,S10= 10×( -5)+×10×9×3= 85.命题角度 3 等比数列基本量2019 版高考数学（理科）总复习的运算高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层 ,红光点点倍加增 ,共灯三百八十一 ,请问尖头几盏灯 ?”意思是 :一座 7 层塔共挂了381 盏灯 ,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 ,则塔的顶层共有灯 ()A .1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏答案B解析设塔的顶层共有 x 盏灯 ,则各层的灯数构成一个公比为 2 的等比数列 ,由 = 381,可得 x= 3,故选 B .2.(2017全国Ⅲ·14)设等比数列{ a n}满足a1+a2=- 1,a1-a3=- 3,则a4=.答案-8解析设 { a n} 的公比为 q,则由题意 ,得解得故 a4=a 1q3=- 8.3.(2017江苏·9) 等比数列 { a n} 的各项均为实数 , 其前 n项和为 S n. 已知 S3= ,S6= , 则a8=.答案32解析设该等比数列的公比为q,则 S63456①-S == 14,即 a +a +a = 14.∵S3= ,∴a1 +a 2+a 3=.由①得 (a1+a 2+a 3)q3= 14,∴q3== 8,即 q= 2.∴a1+ 2a1+ 4a1= ,a1= ,∴a8=a 1·q7=×27= 32.4.(2017北京·10)若等差数列{ a n}和等比数列{ b n}满足a1=b1=- 1,a4=b4= 8,则=.答案1解析设等差数列 { a n} 的公差为 d,等比数列 { b n} 的公比为 q,由题意知 -1+ 3d=-q 3= 8,即解得故 =1.新题演练提能·刷高分1.(2018广东珠海3月检测)S n是正项等比数列{ a n}的前n项和,a3= 18,S3= 26,则a1= ()A.2B.3C.1D.6答案A解析由题得∴故选 A .2.(2018甘肃兰州第二次实战考试)等比数列 { a n} 中各项均为正数,S n是其前 n 项和 ,满足2S3 = 8a1+ 3a2,a4= 16,则 S4= ()A.9B.15C.18D.30答案D解析设等比数列 { a n} 的公比为 q(q> 0).∵2S3= 8a1 +3a2,∴2(a1+a 2+a 3)= 8a1 + 3a2,即 2a3-a2-6a1= 0.∴2q2-q- 6= 0,∴q= 2 或 q=- (舍去 ).∵a4= 16,∴a1== 2,∴S4== 30.故选 D .3.(2018新疆乌鲁木齐二诊)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关 ,出行健步不为难 ,次日脚痛减一半 ,六朝才得到其关 ,要见次日行里数 ,请公仔细算相还 .”其大意为“有一个人走了 378 里路 ,第一天健步行走 ,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半 ,走了 6 天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为() A.24 里 B.48 里 C.96 里 D.192 里答案C解析由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列,且前 6 项的和为378,求该数列的第2 项 .设首项为 a1,则有 = 378,解得 a1= 192,则 a2= 192×=96(里).故选 C.4.(2018山东济南一模 )已知正项等比数列{ a n} 满足 a3 =1,a5与 a4的等差中项为 ,则 a1的值为()A.4B.2C.D.答案A解析设公比为 q(q> 0),∵a3= 1,a5与 a4的等差中项为 ,∴即a1的值为 4,故选 A .5.(2018山西太原二模)已知公比q≠1 的等比数列{ a n } 的前n 项和为 S n,a1= 1,S3= 3a3, 则S5= ()A.1B.5C.D.答案D解析由题意得 = 3a1q2,解得 q=- ,q= 1(舍 ),所以 S5= ,故选 D.6.(2018安徽江南十校 3 月联考 )古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今有蒲生一日 ,长三尺 ;莞生一日 ,长一尺 . 蒲生日自半 ,莞生日自倍 .问几何日而长等?”意思是 :“今有蒲草第一天 ,长为 3尺 ;莞生长第一天 ,长为 1 尺 .以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍 .问几天后蒲的长度与莞的长度相等 ?”以下给出了问题的 4 个解 ,其精确度最高的是 ( 结果保留一位小数,参考数据 :lg 2 ≈0.30,lg 3 ≈0.48)()A.1 .3 日B.1.5 日C.2 .6 日D.3 .0日答案C解析由题意可知蒲的长度是首项为3,公比为的等比数列 ,莞的长度是首项为 1,公比为 2 的等比数列 ,设 n 天后长度相等,由等比数列前n 项和公式有 :,解得 n= log26= ≈2.6.故选 C.7.(2018河北唐山期末)在数列 { a n} 中 ,a1= 1,a n+ 1= 2a n,S n为 { a n} 的前 n 项和 ,若 { S n+ λ}为等比数列 ,则λ= ()A. -1B.1C.-2D.2答案B∴ n n 解析由题意 { a n} 是等比数列,公比为 2,n n n为等比数列 ,则-1+λ= 0,S = 2 -1,S + λ= 2 -1+λ,{ S + λ}即λ= 1,故选 B .8.(2018湖南长沙长郡中学模拟)已知递减的等比数列{ a n}, 各项均为正数 ,且满足则数列 { a n}的公比 q 的值为 ()A. B. C. D.答案B解析因为数列是等比数列,故得到== ,化得到 a1a3= ,a2=.由a1+a 2+a 3=+a 2+a 2 q? q+ ? q=.9.(2018江西教学量)已知等比数列 { a n} 的首 a1= 2,前 n 和 S n ,若 S5+ 4S3= 5S4,数列的最大等于 ()A. -11B. -C.D.15答案D解析由已知得S5-S4= 4(S4 -S3)? a5= 4a4? q= 4,a n= 2×4n-1 =22n- 1,所以 ,由函数 y= 的象得到 ,当n= 4 ,数列的最大等于15.故 D.10.(2018北京石景山一模)如所示,正方形上接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再接正方形 ,⋯ ,如此下去得到一个形形,称“勾股”.若某勾股含有 1 023 个正方形,且其最大的正方形的 ,其最小正方形的.答案解析由意 ,正方形的构成以首 ,以公比的等比数列,已知共得到1 023 个正方形,有 1+ 2+ ⋯ + 2n-1= 1 023, n= 10,故最小正方形的×9=.命题角度 4 等差、等比数列性质的应用高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅰ·15)等比数列{ a n}足a1+a 3=10,a2+a 4= 5,a1a2⋯ a n的最大.答案64解析由已知 a1+a 3= 10,a2+a 4=a 1q+a 3q= 5,两式相除得 ,解得 q= ,a1= 8,所以 a1a2⋯ a n= 8n·,抛物 f(n)=-n 2+n 的称n=-= 3.5,又n∈N* ,所以当 n= 3 或 4 ,a1a2⋯ a n取最大 = 26= 64.2.(2015广·10)在等差数列{ a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7= 25, a2+a8=.答案10解析根据等差数列的性,得 a3+a 4 +a 5+a 6+a 7= 5a5= 25,解得 a5 = 5.又a2+a 8=2a5,所以 a2+a 8 =10.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北武研)在等差数列n n 足S7 25{ a} 中 ,前 n 和 S-S = 45, a = () A.7 B.9 C.14 D.18答案B解析S7-S2=a 3 +a 4+a 5+a 6+a 7= 5a5= 45,所以 a5= 9,故 B .2019 版高考数学（理科）总复习2.(2018山东烟台一模)已知等差数列{ a n}的前项和为S n,若a3+a7= 6,则S9等于()A.15B.18C.27D.39答案C解析由等差数列的性质可知a3+a 7=a 1+a 9= 6,又 S9 == 27,故选 C.3.(2018安徽淮北二模)已知等比数列{ a n} 中,a5 =2,a6a8= 8,则 = ()A.2B.4答案A解析∵数列 { a n} 是等比数列4.(2018湖南、江西第一次联考于()C.6D.8242,∴a6a8== 8,∴a7= 2(与 a5同号 ),∴q = ,从而 =q = () = 2.故选 A .)记 S n为等差数列 { a n} 的前 n 项和 ,若 S9= 45,a3+a 8= 12,则 a7等A.10B.9C.8D.7答案B解析由题意可得 S9= 9a5= 45,∴a5= 5,由等差数列的性质可得 a3 +a 8=a 5+a 6= 5+a 6= 12,∴a6= 7,该数列的公差 d=a 6 -a5= 2,故 a7=a 6+d= 7+ 2= 9.选 B.5.(2018山东烟台期末 ) 已知等比数列 { a n} 中 ,a2a10=6a6,等差数列 { b n} 中 ,b4+b 6=a 6,则数列 { b n}的前 9项和为 ()A.9B.27C.54D.72答案B解析根据等比数列的基本性质有a2 a10== 6a6,a6= 6,所以 b4+b 6=a 6= 6,所以 S9== 27.6.(2018山西太原一模)已知等比数列{ a n}中,a2a5a8=- 8,S3=a2+ 3a1,则a1= ()A. B. -C.-D.-答案B解析因为 a2a5a8=- 8,所以 =- 8,a5=- 2,因为 S3=a 2 +3a1,所以 a1+a 2+a 3=a 2+ 3a1,所以 a3 = 2a1,所以q2= 2,因此 a5=a 1q4=- 2,a1==-. 故选 B .7.(2018河北唐山二模)设{ a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n 项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2 X+Z= 3YB.4X+Z= 4YC.2X+ 3Z= 7YD.8X+Z= 6Y答案D解析设数列前3n 项的和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R 成等差数列 ,所以2(Y-X)=X+R-Y ,解之得 R= 3Y-3X,又因为 2(R-Y)=Y-X+Z-R ,把 R= 3Y-3X代入得 8X+Z= 6Y,故选D.8.(2018河北衡水中学模拟 )河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共 7 层 ,每上层的数量是下层的 2 倍 ,总共有 1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案 ,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{ a n}, 则 log 2(a3·a5)的值为 ()A.8B.10C.12D.16答案C解析∵最下层的“浮雕像”的数量为 a1,依题有 :公比 q= 2,n= 7,S7== 1 016,解得 a1= 8,则 a n= 8×2n- 1= 2n+ 2(1≤ n≤ 7,n∈N* ),∴a3= 25 ,a5= 27, 从而 a3·a5= 25×27= 212,∴l og2(a3·a5)= log 2(212)= 12,故选 C.9.(2018四川成都模拟)在等差数列 { a n} 中 ,已知 S8= 100,S16= 392,则 S24=.2019 版高考数学（理科）总复习答案876解析∵在等差数列中 ,S8= 100,S16= 392,∴S8,S16-S8 ,S24-S16成等差数列 ,即 2(S16-S8) =S8+ (S24-S16),∴2(392-100)= 100+ (S24-392), 则 S24= 876,故答案为 876.10.(2018湖南永州模拟)记 S n为正项等比数列{ a n} 的前 n 项和 ,若 S4-2S2= 2,则 S6-S4的最小值为.答案8解析在等比数列 { a n} 中 ,根据等比数列的性质,可得 S2,S4-S2 ,S6-S4构成等比数列 ,所以 (S4-S2)2=S2·(S6-S4),所以 S6-S4= ,因为 S4-2S2= 2,即 S4-S2=S2+ 2,所以 S6-S4==S 2++ 4≥2+ 4= 8,当且仅当 S2= 时 ,等号是成立的 ,所以 S6-S4的最小值为 8.。

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又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.②
联立①②，解得x＝，y＝，所以c＝.故选A.
3．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()
A．4 B．3
C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
6．[2019·广东五校协作体模拟]已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为()
A．－1B．2
C．1D．－2
答案：A
解析：根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝|a－b|2，变形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.
7．[2019·上饶模拟]已知向量，的夹角为60°，||＝||＝2，若＝2＋，则△ABC为()
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
答案：C
解析：根据题意，由＝2＋，可得－＝＝2，则||＝2||＝4，由＝－，可得||2＝|－|2＝2－2·＋OA2＝4，故||＝2，由＝－＝(2＋)－＝＋，得||2＝|＋|2＝2＋2·＋2＝12，可得||＝2.在△ABC中，由||＝4，||＝2，||＝2，可得||2＝||2＋||2，则△ABC为直角三角形．故选C.
二、非选择题
9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.
答案：4
解析：∵|2a＋b|＝2，|a|＝1，∴(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×|b|×cos120°＋b2＝4－2|b|＋b2＝12，整理得b2－2|b|－8＝0，解得|b|＝4或|b|＝－2(舍去)，∴|b|＝4.
C．2 D．－2
答案：B
解析：∵非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，
∴cos〈m，n〉＝.又∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故选B.
4．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC中，G为重心，记a＝，b＝，则＝()
10．[2019·长春质量监测]已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
11．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，记向量a，b的夹角为θ，则tanθ＝________.
答案：－
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝－.
A.a－bB.a＋b
C.a－bD.a＋b
答案：A
解析：∵G为△ABC的重心，∴＝(＋)＝a＋b，∴＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.故选A.
5．[2019·河南天一大联考测试]已知在等边三角形ABC中，BC＝3，＝2＝，则·＝()
A．4 B.
C．5 D.
答案：D
解析：根据题意，·＝＝·＋·＋·－2＝||·||cos＋·(－)－2＝＋2＝.故选D.
A．－2B．2
C．4D．6
答案：B
解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－)·(1，)＝－3＋x－3＝0，即x＝6，解得x＝2，故选B.
7．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为()
A．－B．－3
C.D．3
答案：C
解析：因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,
2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝()
A.B.
C.D.
答案：A
解析：设出c的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．
设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①
A．5 B．4
C．3 D．2
答案：A
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.
3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()
A．3 B．－3
10．[2019·安徽皖西高中教学联盟模拟]平面向量a满足(a＋b)·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．
答案：
解析：∵(a＋b)·b＝7，∴a·b＋b2＝7，∴a·b＝7－4＝3，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈(0，π)，
∴〈a，b〉＝.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋|m|＝，·＝1.
一、选择题
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()
A.B．±
C．±D．±
答案：B
解析：根据a＋λb与a－λb垂直，可得(a＋λb)·(a－λb)＝0，整理可得a2－λ2·b2＝0，即λ2＝＝＝，所以λ＝±，选B.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝()
答案：6
解析：解法一由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，∴·＝·(＋)＝·＋·＝|AB|·||cos45°＋||·||＝cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.
解法二建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.
因为·＝bccosA＝1，所以bc＝＋.
又sinA＝sin＝sin＝，
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝(＋)×＝.
8．[2019·泰安质检]已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为()
A.B.
C.D.
答案：D
解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝，又|a|＝1，|2a－b|＝＝＝，所以a与2a－b夹角的余弦值为＝＝.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的面积S.
解析：(1)因为2m·n＝2sincos－2cos2＝sinA－(cosA＋1)＝sin－1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝sin＝，即sin＝.因为0<A<π，所以－<A－<，所以A－＝，即A＝.
(2)cosA＝cos＝cos
＝coscos－sinsin＝，
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
故选B.
4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量a＝(2,1)，b＝(m，－2)，且a⊥b，则|a－b|＝()
A.B．5
C.D．10
答案：C
解析：∵a⊥b，∴a·b＝(2,1)·(m，－2)＝2m－2＝0，∴m＝1，∴b＝(1，－2)，∴a－b＝(1,3)，则|a－b|＝＝，故选C.
5．[2019·长郡中学选考]在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则·＝()
A．5B．－5
C．－D．－
答案：B
解析：设菱形ABCD的对角线交于点M，则＝＋，⊥，＝－，又＝(3，－1)，所以·＝(＋)·＝－2＝－5.
6．[2019·沈阳质量检测]已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为()
8．[2019·福州四校联考]已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()
A．1B.
C.D.
答案：D
解析：解法一∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2.∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
解法二∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝，则a＋b＝.∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(t∈R)，∴a＋c＝，∴|a＋c|＝＝≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
二、非选择题
9.
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________.
12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2.若平面向量m满足m·a＝m·b＝1，则|m|＝________.
答案：
解析：如图，设＝a，＝b，A(1,0)，B(－1，)．设m＝(x，y)，由m·a＝m·b＝1，
得解得
∴|m|＝＝.
刷题课时增分练⑲综合提能力课时练赢高分
19平面向量的数量积及应用
⑲小题基础练提分快
一、选择题