北京市海淀区2015届高三下学期期末练习数学(文)试题 Word版含答案
2015年高三二模数学（理）北京市海淀区试题Word版带解析.doc
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =，那么()U C A B =（ ）（A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥（C ）{3,4}（D ）{1,2}【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】C 【解析】因为{}1,2A =，{1,2,3,4}AB =，所以集合B 中一定含有元素3,4，可能含有1,2()U C A B 表示集合B 中不属于集合A 的元素，所以，{}()3,4U C A B =，选C（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<【考点】对数与对数函数 【难度】1 【答案】D 【解析】3000.20.21a <=<=，所以01a <<； 22b log 0.3log 0.51=<=-，所以1b <-；0.30221c =>=，所以1c >综上，b a c <<，选D（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）cos ρθ=（B ）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=-【考点】简单曲线的极坐标方程 【难度】1 【答案】D 【解析】以极点为原点，以极轴为x 轴建立平面直角坐标系，点π(2,)6-的直角坐标为：(2,1)-，所求直线方程为：1y =-， 转化为极坐标方程为：sin 1ρθ=-，选D（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件 【难度】1 【答案】A 【解析】“p q ∧为真命题”等价于“p 真，q 真” “p q ∨为真命题”等价于“p 、q 至少一为真”所以，“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，选A（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A ）2-（B ）0（C ）2（D ）1【考点】函数的奇偶性【难度】2 【答案】B 【解析】由奇函数的性质得：()0cos 0f φ==，选B（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为（ ）（A ）99100 （B ）310 （C ）910（D ）1011【考点】几何概型 【难度】2 【答案】A 【解析】记图中阴影部分的面积为S ，几何概型的概率公式得：333100S ≈， 即：99100S ≈，所以()1099100f x dx S =≈⎰，选A（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）（A）5 （B）4 （C）3 （D）2【考点】利用导数求最值和极值【难度】2【答案】C【解析】()21'=++，f x x x e+(4)(1)xf x为偶函数，所以又因为()f x的极值点的个数为3个，选C所以，函数()n n≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平（8）若空间中有(5)面垂直，则这样的n值（）（A）不存在（B）有无数个（C）等于5 （D）最大值为8【考点】合情推理与演绎推理【难度】3【答案】C【解析】n=时，存在符合题意的情况：当5一个正四面体的4个顶点再加上正四面体的中心点 当5n >时，任取不共线的三点确定一个平面α， 假设存在三点之外的其他不共面的3个点不妨设为A 、B 、C ，由题意AC α⊥、AB α⊥，过平面外一点不可能存在作出两套直线与同一平面垂直，所以假设不成立 综上，5n =，选C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京海淀区20142015高三期末考试试卷及答案数学文科每小题配详解
ＷＮ某 堆 雪 在 融 化 过 程 中 ， 其 体 积 V （ 单 位： ? 3 ） 与 融 化 时 间 t （ 单 位 ： ? ） 近 似 满 足 函 数 关 系 ：
? V Ｈt Ｉ］ H ＱＰ-
Ｑt ? 3 （ H
为 常 数）， 其 图 象 如 图 所 示 ， 记 此 堆 雪 从 融 化 开 始 到 结 束 的 平 均 融 化
ＳＮ已 知直 线 l 1 Ｚax Ｋ Ｈa Ｋ ＲＩy Ｋ Ｑ］ Ｐ ， l2 Ｚax - y Ｋ Ｒ］ Ｐ ． 若 l1 l 2 ， 则 实 数 a 的 值是 （ ）
ａＮＰ 或 - Ｓ 答 案：ａ
ｂＮＲ 或 - Ｑ
ｃＮＰ
ｄＮ- Ｓ
解 析： 由 l 1 l 2 可得 ， - a ］ a Ｈa Ｋ ＲＩ且 - Ｑ］ ＲＨa ＫＲＩ， 解 得 a ］ Ｐ 或 a ］ - Ｓ．
二、 填 空题
ＹＮ抛 物线 y 2 ］ - Ｒx 的 焦 点 坐 标是
．
? 答 案： -
Ｑ? ,Ｐ
Ｒ
ＱＰＮ若 双曲 线 x 2 - y2 ］ Ｑ 的一 条 渐 近线 的 倾 斜角 为 ＶＰ? ， 则 m ］
Ｎ
m
答 案： Ｓ
√ 解 析： 题 中 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y ］ ± mx
，
其 中一
条
渐近线
倾斜角为
ＶＰ?
，则
√ m
］
√ ??? ＶＰ? ］ Ｓ ， 所 以 m ］ Ｓ ．
ＱＱＮ某 三棱 锥 的 三视 图 如 图所 示 ， 该三 棱 锥 的体 积 为
Hale Waihona Puke ．答 案： ＸＳ
ＴＲ.Ｓ． 由 图可 知 此 时为 t 3 时 刻．
ＸＮ在 正方 体 ABCD - A 1B 1 C1D 1 中， 点 E 为 底 面 ABCD 上 的 动 点． 若三 棱 锥 B - D 1EC 的 表 面 积 最 大，则 E 点位于（ ）
2015年北京市海淀区高三二模数学(文)试卷
，则 b （ 3
（C） 2 3 ） （C） c b a
（D） 6
（7）设 a 0.23 , b log 2 0.3, c log 0.3 2 ，则（ （A） b a c （B） b c a
（D） a b c
x y 4, （8）已知不等式组 x y 2, 表示的平面区域为 D ，点 O(0,0), A(1,0) . 若点 M 是 D 上的动点， x 2 uur uuur OA OM 则 uuur 的最小值是（ ） OM
3 x
. （写出一组值即可）
，曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线
方程是
.
（14）某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器 A, B 的信息： ①316 人使用 A ； ②478 人使用 B ；
w w w yi . t ku .c n
③104 人同时使用 A 和 B ；
x （ 11 ） 已 知 f ( x) c o s
是 .
lx n f ( x0 ) f ( x1 ) 0( x0 x1 ) ， 则 x0 x1 的 最 小 值 ，
（12）满足 cos( ) cos cos 的 , 的一组值是 （13）函数 f ( x) x e 的极值点 x0
第二届“易题库杯”命题大赛进行 ing
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（17） （本小题满分 13 分） 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD ，又 AD / / BC ， AD DC ， 且 PD BC 3AD 3 . （Ⅰ）画出四棱准 P ABCD 的正视图； （Ⅱ）求证：平面 PAD 平面 PCD ； （Ⅲ）求证：棱 PB 上存在一点 E ，使得 AE / / 平面 PCD ，并求
北京市海淀区2015届高三下学期期末练习理科综合试卷 Word版含答案.pdf
g。
28．（15分）
某校兴趣小组对SO2与新制Cu(OH)2悬浊液的反应进行探究，实验如下：
法不正确的是
A．X的化学式为CO2
B．前1s内v ()=1.00 mol·L-1·s-1
C．该回收原理运用了SO 2的还原性
D．该温度下，反应的平衡常数3.33×1036
25．（17分）
有机物Y是制取醇酸树脂和高级航空润滑油的重要原料，PVAc树脂可用来生产
涂料与PVA，有机物N是玉兰、紫丁香等日用香精的主香剂，它们的合成路线如下：
已知：R为烃基，R＇、R＂为烃基或氢原子。
回答下列问题：
（1）C的名称是
（2）写出由B生成PVAc的化学方程式
（3）D的结构简式是
。
（4）写出E→F的化学方程式：
。
（5）写出F→G的化学方程式：
。
（6）M的结构简式
（7）下列有关说法中正确的是
（填字母序号）。
ห้องสมุดไป่ตู้
a．属于酯类物质．PVAc可以与NaOH溶液反应
b．C、K互为同系物．、都可以是与H2的加成反应
（8）符合下列条件的B的同分异构体
a．与B有相同的官能团．反式结构
26．（12分）
氯元素是生产生活中常见的非金属元素。
（1）将Cl2通入NaOH溶液中得到以NaClO为有效成分的漂白液，写出该反应的离子方程式：
；不直接用
Cl2作漂白剂的原因是
物（如NaCl）和Cl2等物质，对金属炉壁造成腐蚀。
① NaCl和Cl2中化学键的类型分别是
和
。
② 燃煤过程中生成的SO2会与NaCl等物质发生反应，生成硫酸盐和Cl2。若生成Cl2 22.4 L（标况）时转移电子数
2015海淀区高三二模数学(文科)
2015海淀区高三二模数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数i2（1﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知命题p：∀x＞0，x+≥2，则￢p为（）A．∀＜2 B．∀＜2C．∃＜2 D．∃＜23．（5分）圆C：x2+y2+4x﹣2y+3=0的圆心坐标及半径分别是（）A．（﹣2，1），B．（2，1），C．（﹣2，1），2 D．（2，﹣1），24．（5分）如图表示的是求首项为﹣41，公差为2的等差数列{a n}前n项和的最小值的程序框图．则①处可填写（）A．S＞0 B．S＜0 C．a＞0 D．a=05．（5分）已知点A（a，a）（a≠0），B（1，0），O为坐标原点．若点C在直线OA上，且BC与OA 垂直，则点C的坐标是（）A． B． C．D．6．（5分）在△ABC中，若a=3，c=，则b=（）A．4 B．6 C．D．7．（5分）设a=0.23，b=log20.3，c=log0.32，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A． B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）以坐标原点为顶点，（﹣1，0）为焦点的抛物线的方程为．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=．11．（5分）已知f（x）=cosx•lnx，f（x0）=f（x1）=0（x0≠x1），则|x0﹣x1|的最小值是．12．（5分）满足cos（α+β）=cosα+cosβ的α，β的一组值是．（写出一组值即可）13．（5分）函数f（x）=x3e x的极值点x0=，曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程是．14．（5分）某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器A、B的信息：①316人使用A；②478人使用B；③104人同时使用A和B；④567人只使用A、B中的一种网络浏览器．则这条信息为（填“真”或“假”），理由是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=4sinx﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．16．（13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位数和众数；（Ⅱ）从上述20名男生中，有6人的投掷距离低于7.0米，现从这6名男生中随机抽取2名男生，求抽取的2名男生得分都是4分的概率；（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况．（写出两个结论即可）17．（13分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．（Ⅰ）画出四棱准P﹣ABCD的正视图；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值．18．（14分）已知数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，又数列{b n}满足b n=2log2a n，S n是数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有成立，求正整数k的值．19．（13分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．20．（14分）已知椭圆C：，点D为椭圆C的左顶点，对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣2＜x0＜2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，使得S△AOB=λS△AOD，则称点M为椭圆C的“λ分点“．（1）判断点M（1，0）是否为椭圆C的“1分点“，并说明理由；（2）证明：点M（1，0）不是椭圆C的“2分点”；（3）如果点M为椭圆C的“2分点“，写出x0的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】复数i2（1﹣i）=﹣1（1﹣i）=﹣1+i；对应的点为（﹣1，1），所以复数i2（1﹣i）对应的点在第二象限；故选：B．2．【解答】命题p为全称命题，则命题的否定为：∃＜2，故选：D3．【解答】圆C：x2+y2+4x﹣2y+3=0，即圆C：（x+2）2+（y﹣1）2 =2，故圆心为（﹣2，1）、半径为，故选：A．4．【解答】由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：C．5．【解答】设C（x，y），因为点C在直线OA上，且BC与OA垂直，所以，解得；故选：D．6．【解答】∵a=3，c=，∴利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：32=b2+3﹣2b×，整理可得：b2﹣﹣6=0，从而解得：b=2．故选：C．7．【解答】∵0＜0.23＜1，b=log20.3＜log20.5=﹣1，log0.32＞log0.3=﹣1，∴b＜c＜a，故选：B．8．【解答】设z=，则z==||•=||•cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】由焦点（﹣1，0），可设抛物线的方程为y2=﹣2px∵=1∴p=2∴y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．10．【解答】∵a n a n+1=S n，∴a n+1=；∴a2==1；a3===1+a1；∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1，故答案为：1．11．【解答】∵f（x）=cosx•lnx，f（x0）=f（x1）=0（x0≠x1），∴令f（x）=0，得cosx=0或lnx=0；解得x=+kπ，k∈Z或x=1；∴|x0﹣x1|的最小值是﹣1．故答案为：﹣1．12．【解答】一般情况下不满足cos（α+β）=cosα+cosβ，但在特殊情况下是成立的，如α=，β=﹣时，左边=cos=，右边=cos（﹣）=故答案为：13．【解答】f′（x）=3x2•e x+x3e x=x2e x（x+3），令f′（x）=0，解得：x=﹣3，∴x0=﹣3，f（x0）=﹣27e﹣3，∴切线方程是：y=﹣27e﹣3，故答案为：﹣3，y=﹣27e﹣314．【解答】根据题意，可得只使用A浏览器的人数有：316﹣104=212，只使用B浏览器的人数有：478﹣104=374，所以只使用A、B中的一种网络浏览器人数有：212+374=586．故答案为：假，理由是由①②③知只使用一种浏览器的人数为：316﹣104+478﹣104=586．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）．…（4分）（Ⅱ）∵f（x）=4sinx﹣cos2x=4sinx﹣（1﹣2sin2x）…（6分）=2sin2x+4sinx﹣1=2（sinx+1）2﹣3．…（8分）∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣1，即时，f（x）取得最小值﹣3．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．（Ⅱ）由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6．这6名男生分别记为A1，A2，A3，B1，B2，B3．从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．用C表示“抽取的2名男生得分均为（4分）”这一事件，则C中的结果有3个，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）．所以，所求得概率．（Ⅲ）．例如：①估计该学校女生的得分的中位数和众数中位数为8，众数为9，②成绩还需要提高，等等（合理即可）．17．【解答】（Ⅰ）解：四棱准P﹣ABCD的正视图如图所示．；（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD．因为AD⊥DC，PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD．（Ⅲ）分别延长CD，BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得，下证AE∥平面PCD，因为AD∥BC，BC=3AD，所以，即，所以．所以AE∥OP，因为OP⊂平面PCD，AE⊄平面PCD，所以AE∥平面PCD．18．【解答】（Ⅰ）因为数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以．…（2分）所以．…（3分）所以；…（6分）（Ⅱ）令，则．…（9分）所以当n=1时，c1＜c2，当n=2时，c3=c2，﹣c n＜0，即c3＞c4＞c5＞…，当n≥3时，c n+1所以数列{c n}中最大项为c2和c3．所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有．…（13分）19．【解答】（Ⅰ），当a＜0时，对∀x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，因为x∈（0，a）时，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f（x1）=g（x2），所以即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．20．【解答】（1）点M（1，0）为椭圆C的“1分点“，理由是：当直线l的斜率不存在，即为x=1．将x=1代入椭圆方程得y2=1﹣，解得y=，S△AOB=×=，S△AOD==，=S△AOD，即有S△AOB则点M（1，0）为椭圆C的“1分点“；（2）证明：假设点M（1，0）是椭圆C的“2分点”，=2S△AOD，即有S△AOB设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得，（4+m2）y2+2my﹣3=0，判别式4m2+12（4+m2）＞0，显然成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由S=2S△AOD，△AOB即为•|OM|•|y1﹣y2|=2•|OD|•|y1|，由|OM|=1，|OD|=2，化简可得y2=﹣3y1（y2=5y1舍去），代入韦达定理可得，（）2=，解得m∈∅，则有点M（1，0）不是椭圆C的“2分点”；（3）如果点M为椭圆C的“2分点“，=2S△AOD，即有S△AOB设直线l的方程为x=my+x0，代入椭圆方程可得，（4+m2）y2+2mx0y+x02﹣4=0，判别式（2mx0）2﹣4（4+m2）（x02﹣4）＞0，即为m2＞x02﹣4，由﹣2＜x0＜2，△＞0显然成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），可设y1＞0，y2＜0，y1+y2=﹣，y1y2=，=2S△AOD，由S△AOB即为•|OM|•|y1﹣y2|=2•|OD|•|y1|，由|OM|=|x0|，|OD|=2，即有y2=（1﹣）y1，代入韦达定理可得，=，由m2＞0即为（1﹣）（x02﹣4）＞0，由﹣2＜x0＜2，可得|x0|＜2，x02＜4，则有x0的取值范围为（﹣2，0）∪（0，2）．。
北京市2015届海淀区高三查漏补缺数学(文理)试题及解析版答案word(2015.05)
数学查漏补缺题说明：查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充，题目以中档题为主，部分题目是弥补知识的漏洞，部分是弥补方法的漏洞，还有一些是新的变式题，请老师们根据学生的情况有选择地使用或改编使用.最后阶段的复习，在做好保温工作的前提下，夯实基础，重视细节，指导学生加强反思，梳理典型问题的方法，站在学科高度建立知识之间的联系，融会贯通，以进一步提升学生的分析、解决问题的能力为重点.特别关注：基本题的落实，将分拿到手。
文科要关注应用题的理解，会从背景材料中提取有用信息，建立恰当的数学模型（用恰当的数学知识刻画），或根据逻辑分析、解决问题。
鼓励学生，建立必胜的信心. 预祝老师们硕果累累！1、已知原命题：“若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是 （ ）A ．原命题为真，否命题为假B ．原命题为假，否命题为真C ．原命题与否命题均为真命题D ．原命题与否命题均为假命题 2、如右图所示，在四边形ABCD 中，45CD AD ，==，0AB AD CB CD ⋅=⋅=，令,BCx BA y ==，则曲线()y f x =可能是（ ）3、若直线3,14,x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)与圆3cos ,3sin ,x y b θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则b =（ ）A 46-或B 64-或C 19-或D 9-或14、若3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为 （ ） A.1925 B. 1625 C. 1425 D ．7255、设12sin 42,cos 46,2,a b c -===则（ ）AA ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<6、设集合{(,)}xA x y y a ==，{(,)1B x y y x =?或1}y x ?+. 若A B Í，则正实数a 的取值范围是A.1[0,]eB.1[,e]eC.2(1,e ]D.[e,)+∞7、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α,n ⊥平面β,直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A ．//αβ，且//l βB ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8、若521)(xx -的展开式中含αx ()αÎR 的项，则α的值不可能为（ ） A. 5- B. 1 C. 7 D. 29、将函数sin(2)(0)y x φφπ=-<<的图象沿x 轴向左平移6π个单位后得到的图象关于原点对称，则φ的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 10、函数23sin 2sin sin()sin 32y x x x ππ=-++的图象的对称轴是 ，对称中心是 .11、设曲线的极坐标方程为sin 21θ=，则其直角坐标方程为 .12、以原点为顶点，以x 轴正半轴为始边的角α的终边与直线21y x =-垂直，则3tan()4απ-= ，cos α=_____________.13、设抛物线C :y x 42=的焦点为F ，已知点A 在抛物线C 上，以F 为圆心，FA 为半径的圆交此抛物线的准线于D B ,两点，且A 、B 、F 三点在同一条直线上，则直线AB 的方程为____________.14、在区间[]1,1-上随机的取两个数a ，b ，使得方程0122=++ax bx 有两个实根的概率为_______.15、已知2e(,)m n m n +=∈R ，那么ln ln m n ⋅的最大值是 .16、已知10210012101(i )2x aa x a x a x -=++++（i 为虚数单位），则1012010242a a a a ++++= .17、已知向量a ，b 满足：||1,||6,()2==⋅-=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 ；|2|-=a b ．18、某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:5:3，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为18的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是281，则该单位员工总人数为 .19、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且点E 为棱AB 上任意一个动点． 当点1B 到平面1A EC的距离为6时，点E 所有可能的位置有几个___________． 20、如图，弹簧挂着的小球上下振动，时间()t s 与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度()h cm之间的函数关系式是,[0,).h t t t ∈+∞，则小球开始振动时h 的值为_________，小球振动时最大的高度差为__________.21、已知点P 为曲线2y x =与ln (0)y a x a =?的公共点，且两条曲线在点P 处的切线重合，则a = .22、双曲线)0(222≠=+k k ky x 的一条渐近线是x y =，则实数k 的值为 ．23、已知函数2sin()(,)y x Z ωϕωπϕπ+=+∈-<<的部分图象如图所示，则_____,______.ωϕ==24、李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______ .方案一： 方案二： 方案三：25、李师傅早上8点出发，在快餐店买了一份早点，快速吃完后，驾车进入限速为80km/h 的收费道路，当他到达收费亭时却拿到一张因超速的罚款单，这时，正好是上午10点钟，他看看自己车上的里程表，表上显示在这段时间内共走了165km. 根据以上信息，收费人员出示这张罚款单的主要理由是 .26、如图，AC 是⊙O 的一段劣弧，弦CD 平分ACB ∠交AC 于点D ，BC 切AC 于点C ，延长弦AD 交 BC 于点B ，（1）若075B ∠=，则_____ADC ∠=， （2）若⊙O 的半径长为52，3CD =，则BD = . 27、已知函数()e sin x f x x -=（其中e 2.718=）.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在[,π]π-上的最大值与最小值.28、已知函数()22xe f x x x b=++的定义域是R ，且有极值点．（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求证：方程()12f x =恰有一个实根．29、如图所示，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为它的中心，将它沿对角线FC 折叠，使平面ABCF ⊥平面FCDE ，点G 是边AB 的中点. （Ⅰ）证明：平面BFD ⊥平面EGO ； （Ⅱ）求二面角O －EG －F 的余弦值；（Ⅲ）设平面EOG 平面BDC=l ，试判断直线l 与直线DC 的位置关系.（文科）如图所示，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为它的中心，将它沿对角线FC 折叠，使平面ABCF ⊥平面FCDE ，点G 是边AB 的中点. （Ⅰ）证明：DC//平面EGO ；（Ⅱ）证明：平面BFD ⊥平面EGO ； （Ⅲ）求多面体EFGBCD 的体积.30、申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次. 设X 表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知的概率分布如下：（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；（Ⅱ）已知每名申请者参加X 次考试需缴纳费用10030Y X =+ （单位：元）,求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；（Ⅲ）4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为ξ，求ξ的分布列.31、在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . 满足b A c C a =+cos cos 2. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin cos sin A B B +的最大值.32、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S SS (1,2,3)n =.（Ⅰ）求证：数列{}1+n S 为等比数列；（Ⅱ）求通项公式n a ；（Ⅲ）若数列nn b a 禳镲镲睚镲镲铪是首项为1，公差为2的等差数列,求数列{}n b 的通项公式.33、已知抛物线2x y =，O 为坐标原点.（Ⅰ）过点O 作两相互垂直的弦,OM ON ,设M 的横坐标为m ，用m 表示△OMN 的面积，并求△OMN 面积的最小值；（Ⅱ）过抛物线上一点()3,9A 引圆()2221x y +-=的两条切线AB AC 、,分别交抛物线于点B C 、, 连接BC ，求直线BC 的斜率. 34、已知焦点在x 轴上，中心在原点，离心率为23的椭圆经过点)21,1(M ,动点B A ,(不与定点M 重合)均在椭圆上,且直线MA 与MB 的斜率之和为1，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求证直线AB 经过定点;(Ⅲ) 求△ABO 的面积S 的最大值35、设A 是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合,B C 满足： ①B C =∅； ②BC A =；③B 的元素之和等于C 的元素之和. 则称集合A “可均分”，否则称A “不可均分”. （Ⅰ）判断集合{1,3,9,27,,3}(*)n M n =∈N 是否“可均分”，并说明理由； （Ⅱ）求证：集合{20151,20152,,201593}A =+++“可均分”；（Ⅲ）求出所有的正整整k ，使得{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”.参考答案：1.A2.C3.A4.D5.C6.B7.D8.D9.B 10. ()24k x k ππ=+∈Z ，(,1)()2k k π-∈Z 11. y x = 12. 13或13. 0333=-+y x 或0333=+-y x 14. 2315. 1 16. i32-17.3π，18. 解：按分层抽样应该从老年职工组中抽取29118=⨯人，所以不妨设老年职工组共有n 人，则甲乙二人均被抽到的概率为：281222=n C C ，解得：8=n ，所以该单位共有员工7298=⨯人.19. 220.21. 2e 22. 2- 23.2，3π24.方案三 25. 李师傅在这段道路上驾车行驶的平均速度大于82.5km/h ，所以必存在某一时刻速度大于80km/h ，因此他超速行驶. 26.110°,251327.（Ⅰ）解：)4'()e sin e cos ex x xx f x x x π--+=-+=. 令'()0f x =，解得：,4x k k ππ=+∈Z .因为当3(2,2),44x k k k ππππ?+?Z 时，'()0f x >； 当5(2,2),44x k k k ππππ?+?Z 时，'()0f x <， 所以()f x 的单调递增区间是3(2,2),44k k k ππππ-+?Z ，单调递减区间是5(2,2),44k k k ππππ++?Z .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在3[,)4ππ--上单调递减，在3(,)44ππ-上单调递增，在(,]4ππ上单调递减.4()0,()042f f πππ--==>, 343()0,()042f f πππ=-=-<所以()f x 在[,]ππ-上的最大值为42π-，最小值为342π-.28.解：(1) 由()22xe f x x x b=++的定义域是R ，知440b -<得1b >．()()()()()222222222222x x e x x b x e x b f x xx b xx b ++--+-'==++++，由()0f x '=得220x b =-≥，故2b ≤．当b=2时，()()222022xx ef x xx '=≥++，函数()f x 在R 上单调递增，无极值点．∴所求范围为1<b <2．(2) 由(1)知函数()f x的两个极值点为()1,0m =-，()0,1n =，极小值()()222222n n n e e e f n n n b b n b n ===++-+++．（下面证明1222n e n >+）记()()1x g x e x =-+()01x ≤<，()10x g x e '=-≥ ∴()g x 在[)0,1上是单调递增函数∴当()0,1x ∈时，()()00g x g >=，即1xe x >+由()0,1n =知，1122222n e n n n +>=++．这说明()12f x =在(),m +∞上无解． 又()221122e f b e --=<<，()()12f m f n >>，且()f x 在(),m -∞上单调递增， ∴()12f x =在(),m -∞上恰有一解 综上所述，()12f x =在R 上恰有一解．29. （Ⅰ）证明：因为 O 是正六边形ABCDEF 的中心，G 是边AB 的中点， 所以 OE FD ⊥，OG AB ⊥. 因为 平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF 平面FCDE FC =，GO ⊂平面ABCF ，所以GO ⊥平面FCDE . 因为 DF ⊂平面FCDE ，所以 GO DF ⊥. 因为 EO ⊂平面EOG ，GO ⊂平面EOG ，EO GO O =， 所以 DF ⊥平面EGO . 因为 DF ⊂平面DFB ， 所以 平面BFD ⊥平面EGO .（Ⅱ）解：取DE 的中点H ，则OH FC ⊥.分别以边,,OG OC OH 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由2AB =得G ，D ，(0,1E -，(0,2,0)F -，则(0,0)FD =u u u r，(0,1FE =u u r，FG =u u u r.由（Ⅰ）知：DF ⊥平面EGO .所以 平面EGO 的一个法向量为FD =u u u r. 设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur ur uu u r 即0,20.y y ⎧=⎪+= 令y =1z =-，2x =-.所以 (1)m =--u r.所以 二面角O EG F --的余弦值为4=. （Ⅲ）证明：在正六边形ABCDEF 中，//OC ED ，OC ED =，所以 四边形OCDE 是平行四边形. 所以 //DC EO .因为 OE ⊂平面OEG ，CD ⊄平面OEG ， 所以 //CD 平面OEG .因为 平面EOG 平面BDC=l ，CD ⊂平面BDC ，所以 //DC l . （文科）（Ⅰ）证明：在正六边形ABCDEF 中，//OC ED ，OC ED =， 所以 四边形OCDE 是平行四边形.所以 //DC EO .因为 OE ⊂平面OEG ，CD ⊄平面OEG ， 所以 //CD 平面OEG .（Ⅱ）证明：因为 O 是正六边形ABCDEF 的中心，G 是边AB 的中点， 所以 OE FD ⊥，OG AB ⊥. 因为 平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF 平面FCDE FC =，GO ⊂平面ABCF ，所以GO ⊥平面FCDE .因为 DF ⊂平面FCDE ，所以 GO DF ⊥.C因为 EO ⊂平面EOG ，GO ⊂平面EOG ，EO GO O =，所以 DF ⊥平面EGO . 因为 DF ⊂平面DFB ， 所以 平面BFD ⊥平面EGO .（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知GO ⊥平面FCDE . 所以11172362EFGBCD B CDEF B FEG B CDEF G FEO CDEF FEO V V V V V S GO S GO ----∆∆=+=+=⋅+⋅=.30.解：（Ⅰ）由X 的概率分布可得0.10.10.31x +++=.0.5x ∴=.()0.110.520.330.14E X =⨯+⨯+⨯+⨯2.4=.所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次.（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A ，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B ，两位申请者经历两次考试为事件C ，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D .因为考试需交费用10030Y X =+,两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A B C D .()0.10.120.50.10.50.520.10.3=0.42P A B C D =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.42. （Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为35，ξ的可能取值为0,1,2,3,4.4216(0)5625P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3143296(1)55625P ξC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 222432216(2)55625P ξC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,33432216(3)55625P ξC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4381(4)5625P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ξ的分布列为31. 解：（Ⅰ）由正弦定理及b A c C a =+cos cos 2得， B A C C A sin cos sin cos sin 2=+. 在ABC ∆中，π=++C B A ，∴B C A -=+π，即B C A sin )sin(=+.∴B C A B C A C A A C C A sin cos sin sin cos sin )sin(cos sin cos sin 2=+=++=+.∴0c o s s i n=C A . 又 π<<A 0，π<<C 0，∴0sin >A . ∴0cos =C .∴2π=C .（Ⅱ）由（Ⅰ）得2π=C ，∴2π=+B A ，即A B -=2π.22215sin cos sin cos sin sin sin 1(sin )24A B B B B B B B +=+=-++=--+，02B π<<，∴当1sin 2B =，即6B π=时，sin cos sin A B B +取得最大值54.32. 证明：（Ⅰ）因为 132n n S S +=+,所以11321311n n n n S S S S ++++==++.又113S +=,所以 {}1n S +是首项为3，公比为3的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得*31,N n n S n =-∈.当1=n 时，2==11S a .当1>n 时，)13()13(11---=-=--n n n n n S S a )13(31-=-n 132-⨯=n .故1*23,N n n a n -=⨯∈.（Ⅲ）因为 数列nn ba 禳镲镲睚镲镲铪是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21nnb n n a =+-=-. 所以 12(21)3n n b n -=-?.33. 解：（Ⅰ）设221122(,),(,)M x x N x x .由OM ON ^得121x x =-.因为 1,x m =所以21x m=-. 所以OM ON ==所以112OMN S OM ON ∆===.所以 当1m =?时，△OMN 面积取得最小值1.（Ⅱ）设223344(,),(,)B x x C x x ，直线AB 的方程为19(3)y k x -=-，AC 的方程为29(3)y k x -=-.因为 直线AB AC 、与圆()2221x y +-=相切，所以1==.所以 221122421240,421240k k k k -+=-+=.所以 12,k k 是方程2421240k k -+=的两根. 所以 12214k k +=. 由方程组21,9(3)y x y k x ìï=ïíï-=-ïî得211930x k x k --+=. 所以 313x k +=，同理可得：423x k +=.所以 直线BC 的斜率为2243431243364x x x x k k x x -=+=+-=--.34.解: （Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为23,可知23=a c ,又因为222cb a +=,所以224b a =.由定点)21,1(M 在椭圆上可得141122=+b a ,故212=b ,22=a .所以椭圆G 的方程为2422=+y x .（Ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时，设(,)(1)A s t s ≠，则(,)B s t -.由题意得：1122111t t s s ---+=--，即0s =.所以 直线AB 的方程为0x =. 当直线AB 不与x 轴垂直时，可设直线AB 为y kx m =+，),(),,(2211y x B y x A ，将y kx m =+代入2422=+y x 得222(14)8420k x kmx m +++-=.所以 122814km x x k +=-+，21224214m x x k -⋅=-+.由直线MA 与MB 的斜率之和为1可得11211212211=--+--x y x y ①， 将11y kx m =+和22y kx m =+代入①，并整理得12121(21)()()202k x x m k x x m -+-++-=②，将122814km x x k +=-+，21224214m x x k-⋅=-+代入② 并整理得222210km m k m +++-=， 分解因式可得(221)(1)0k m m +++=，因为直线AB ：y kx m =+不经过点)21,1(M ，所以2210k m ++≠，故1m =-. 所以直线AB 的方程为1-=kx y ，经过定点)1,0(-. 综上所述，直线AB 经过定点)1,0(-.(Ⅲ) 由（Ⅱ）可得：08322>-=∆k ，412>k . 14142214)(11222212212212+-⋅⋅+=-+⋅+=-+=k k k x x x x k x x k AB .因为 坐标原点O 到直线AB 的距离为211k+，所以 △ABO 的面积1414222+-⋅=k k S （412>k ）. 令t k =-142，则0>t ，且2122222222=≤+=+=tt t t S ， 当且仅当2=t ，即23±=k 时，△ABO 的面积S 取得最大值21.35.解：（Ⅰ）因为 11(13)11393(31)3132n n nn -⨯-++++==-<-，所以 集合{1,3,9,27,,3}(*)n N n =∈N “不可均分”.（Ⅱ）设1{20151,20152,,201547}B =+++，1{201548,201549,,201593}C =+++，考虑到[(201548)(201549)(201593)][(20151)(20152)(201547)]++++++-++++++4646(20151)100=⨯-+=.所以 将1B 中的20151+与1C 中的201551+交换，得到集合,B C ，则得到的,B C 满足条件(1) (２) (３)，故集合{20151,20152,,201593}A =+++“可均分”.（Ⅲ）一方面，假设{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”，则存在,B C 满足条件(1) (２) (３).所以 (1)(20151)(20152)(2015)20162k k k k -++++++=+为偶数， 所以 4k a =或41k a =+(*)a ∈N .设41k a =+，不妨设B 中的元素个数大于等于21a +，C 中的元素个数小于等于2a ， 于是B 的元素之和(20151)(20152)[2015(21)]B S a ≥+++++++，C 的元素之和[2015(22)][2015(23)][2015(41C S a a a ≤+++++++++.所以 (20151)(20152)[2a +++++++[2015(22)][2015(23)]a a a ≤+++++++++.得2504a ≥，即23a ≥.所以4k a =(*)a ∈N 或41k a =+(23,*)a a ≥∈N .另一方面，当4k a =(*)a ∈N 时，{20151,20152,,2015}A k =+++中的连续四个必可分成两两一组，其和相等；所以{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”；当41k a =+(23,*)a a ≥∈N 时，由（Ⅱ）问可知{20151,20152,,2015}A k =+++的前93个数组成的集合“可均分”，由前面的讨论知可将剩下的4p 个元素分成和相等的两个不相交的子集，即此时{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”.综上，4k a =(*)a ∈N 或41k a =+(23,*)a a ≥∈N .。
2015北京市海淀区数学理二模
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =U ，那么()U C A B I =（ ） （A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥（C ）{3,4}（D ）{1,2}（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A）cos ρθ=（B）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=-（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A）2-（B ）0（C）2（D ）1（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为（ ）（A ）99100 （B ）310 （C ）910（D ）1011（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ） （A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（8）若空间中有(5)n n ≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（ ） （A ）不存在（B ）有无数个（C ）等于5（D ）最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015海淀区高三二模数学(文科)
2015海淀区高三二模数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数i2（1﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知命题p：?x＞0，x+≥2，则￢p为（）A．?＜2 B．?＜2C．?＜2 D．?＜23．（5分）圆C：x2+y2+4x﹣2y+3=0的圆心坐标及半径分别是（）A．（﹣2，1），B．（2，1），C．（﹣2，1），2 D．（2，﹣1），24．（5分）如图表示的是求首项为﹣41，公差为2的等差数列{a n}前n项和的最小值的程序框图．则①处可填写（）A．S＞0 B．S＜0 C．a＞0 D．a=05．（5分）已知点A（a，a）（a≠0），B（1，0），O为坐标原点．若点C在直线OA上，且BC与OA 垂直，则点C的坐标是（）A． B． C．D．6．（5分）在△ABC中，若a=3，c=，则b=（）A．4 B．6 C．D．7．（5分）设a=0.23，b=log20.3，c=log0.32，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A． B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）以坐标原点为顶点，（﹣1，0）为焦点的抛物线的方程为．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=．11．（5分）已知f（x）=cosx?lnx，f（x0）=f（x1）=0（x0≠x1），则|x0﹣x1|的最小值是．12．（5分）满足cos（α+β）=cosα+cosβ的α，β的一组值是．（写出一组值即可）13．（5分）函数f（x）=x3e x的极值点x0=，曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程是．14．（5分）某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器A、B的信息：①316人使用A；②478人使用B；③104人同时使用A和B；④567人只使用A、B中的一种网络浏览器．则这条信息为（填“真”或“假”），理由是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=4sinx﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．16．（13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：男生投掷距离（米）…[5.4，6.0）[6.0，6.6）[6.6，7.4）[7.4，7.8）[7.8，8.6）[8.6，10.0）[10.0，+∞）女生投掷距离（米）…[5.1，5.4）[5.4，5.6）[5.6，6.4）[6.4，6.8）[6.8，7.2）[7.2，7.6）[7.6，+∞）个人得分（分）…45678910（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位数和众数；（Ⅱ）从上述20名男生中，有6人的投掷距离低于7.0米，现从这6名男生中随机抽取2名男生，求抽取的2名男生得分都是4分的概率；（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况．（写出两个结论即可）17．（13分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．（Ⅰ）画出四棱准P﹣ABCD的正视图；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值．18．（14分）已知数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，又数列{b n}满足b n=2log2a n，S n是数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有成立，求正整数k的值．19．（13分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．20．（14分）已知椭圆C：，点D为椭圆C的左顶点，对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣2＜x0＜2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，使得S△AOB=λＳ△AOD，则称点M为椭圆C的“λ分点“．（1）判断点M（1，0）是否为椭圆C的“１分点“，并说明理由；（2）证明：点M（1，0）不是椭圆C的“２分点”；（3）如果点M为椭圆C的“２分点“，写出x0的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】复数i2（1﹣i）=﹣1（1﹣i）=﹣1+i；对应的点为（﹣1，1），所以复数i2（1﹣i）对应的点在第二象限；故选：B．2．【解答】命题p为全称命题，则命题的否定为：?＜2，故选：D3．【解答】圆C：x2+y2+4x﹣2y+3=0，即圆C：（x+2）2+（y﹣1）2 =2，故圆心为（﹣2，1）、半径为，故选：A．4．【解答】由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：C．5．【解答】设C（x，y），因为点C在直线OA上，且BC与OA垂直，所以，解得；故选：D．6．【解答】∵a=3，c=，∴利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：32=b2+3﹣2b×，整理可得：b2﹣﹣6=0，从而解得：b=2．故选：C．7．【解答】∵0＜0.23＜1，b=log20.3＜log20.5=﹣1，log0.32＞log0.3=﹣1，∴b＜c＜a，故选：B．8．【解答】设z=，则z==||?=||?cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||?cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】由焦点（﹣1，0），可设抛物线的方程为y2=﹣2px∵=1∴p=2∴y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．10．【解答】∵a n a n+1=S n，∴a n+1=；∴a2==1；a3===1+a1；∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1，故答案为：1．11．【解答】∵f（x）=cosx?lnx，f（x0）=f（x1）=0（x0≠x1），∴令f（x）=0，得cosx=0或lnx=0；解得x=+kπ，k∈Z或x=1；∴|x0﹣x1|的最小值是﹣1．故答案为：﹣1．12．【解答】一般情况下不满足cos（α+β）=cosα+cosβ，但在特殊情况下是成立的，如α＝，β＝﹣时，左边=cos=，右边=cos（﹣）=故答案为：13．【解答】f′（x）=3x2?e x+x3e x=x2e x（x+3），令f′（x）=0，解得：x=﹣3，∴x0=﹣3，f（x0）=﹣27e﹣3，∴切线方程是：y=﹣27e﹣3，故答案为：﹣3，y=﹣27e﹣314．【解答】根据题意，可得只使用A浏览器的人数有：316﹣104=212，只使用B浏览器的人数有：478﹣104=374，所以只使用A、B中的一种网络浏览器人数有：212+374=586．故答案为：假，理由是由①②③知只使用一种浏览器的人数为：316﹣104+478﹣104=586．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）．…（4分）（Ⅱ）∵f（x）=4sinx﹣cos2x=4sinx﹣（1﹣2sin2x）…（6分）=2sin2x+4sinx﹣1=2（sinx+1）2﹣3．…（8分）∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣1，即时，f（x）取得最小值﹣3．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．（Ⅱ）由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6．这6名男生分别记为A1，A2，A3，B1，B2，B3．从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．用C表示“抽取的2名男生得分均为（4分）”这一事件，则C中的结果有3个，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）．所以，所求得概率．（Ⅲ）．例如：①估计该学校女生的得分的中位数和众数中位数为8，众数为9，②成绩还需要提高，等等（合理即可）．17．【解答】（Ⅰ）解：四棱准P﹣ABCD的正视图如图所示．；（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD．因为AD⊥DC，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AD⊥平面PCD，因为AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD．（Ⅲ）分别延长CD，BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得，下证AE∥平面PCD，因为AD∥BC，BC=3AD，所以，即，所以．所以AE∥OP，因为OP?平面PCD，AE?平面PCD，所以AE∥平面PCD．18．【解答】（Ⅰ）因为数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以．…（2分）所以．…（3分）所以；…（6分）（Ⅱ）令，则．…（9分）所以当n=1时，c1＜c2，当n=2时，c3=c2，当n≥3时，c n+1﹣c n＜0，即c3＞c4＞c5＞…，所以数列{c n}中最大项为c2和c3．所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有．…（13分）19．【解答】（Ⅰ），当a＜0时，对?x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，因为x∈（0，a）时，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，?x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f（x1）=g（x2），所以即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．20．【解答】（1）点M（1，0）为椭圆C的“１分点“，理由是：当直线l的斜率不存在，即为x=1．将x=1代入椭圆方程得y2=1﹣，解得y=，S△AOB=×=，S△AOD==，即有S△AOB=S△AOD，则点M（1，0）为椭圆C的“１分点“；（2）证明：假设点M（1，0）是椭圆C的“２分点”，即有S△AOB=2S△AOD，设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得，（4+m2）y2+2my﹣3=0，判别式4m2+12（4+m2）＞0，显然成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由S△AOB=2S△AOD，即为?|OM|?|y1﹣y2|=2?|OD|?|y1|，由|OM|=1，|OD|=2，化简可得y2=﹣3y1（y2=5y1舍去），代入韦达定理可得，（）2=，解得m∈?，则有点M（1，0）不是椭圆C的“２分点”；（3）如果点M为椭圆C的“２分点“，即有S△AOB=2S△AOD，设直线l的方程为x=my+x0，代入椭圆方程可得，（4+m2）y2+2mx0y+x02﹣4=0，判别式（2mx0）2﹣4（4+m2）（x02﹣4）＞0，即为m2＞x02﹣4，由﹣2＜x0＜2，△＞0显然成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），可设y1＞0，y2＜0，y1+y2=﹣，y1y2=，由S△AOB=2S△AOD，即为?|OM|?|y1﹣y2|=2?|OD|?|y1|，由|OM|=|x0|，|OD|=2，即有y2=（1﹣）y1，代入韦达定理可得，=，由m2＞0即为（1﹣）（x02﹣4）＞0，由﹣2＜x0＜2，可得|x0|＜2，x02＜4，则有x0的取值范围为（﹣2，0）∪（0，2）．。
数学_2015年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A ={x|x 2=2}，B ={1, √2, 2}，则A ∩B =( ) A {√2} B {2} C {−√2, 1, √2, 2} D {−2, 1, √2, 2}2. 抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ） A 12 B 1 C 2 D 43. 已知函数f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=e x ，则f(−1)=( ) A 1e B −1e C e D −e4. 某单位计划在3月1日至7日举办经验交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ） A 12B 13C 14D 165. 执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）A 2B 3C 4D 56. “sinα>0”是“角α是第一象限的角”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7. 若x ，y 满足{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0则下列不等式恒成立的是（ ）A y ≥1B x ≥2C x +2y +2≥0D 2x −y +1≥08. 某三棱锥的正视图如图所示，则下列图①②③④，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）A ①②③B ①②④C ②③④D ①②③④二、填空题共6小题，毎小题5分，共30分．9. 已知单位向量a →与向量b →=(1, −1)的夹角为π4，则|a →−b →|=________．10. 若复数z =a+i i，且z ∈R ，则实数a =________．11. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 3=−6，S 1=S 3，则公差d =________； S n 的最大值为________．12. 对于⊙A:x 2+y 2−2x =0，以点(12, 12)为中点的弦所在的直线方程是________． 13. 设f(x)={x,x <ax 2,x ≥a 对任意实数b ，关于x 的方程f(x)−b ＝0总有实数根，则a 的取值范围是________．14. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{2, 4}； 表示的是笫2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．①若M ={2, 3.6}，则∁U M 表示的6位字符串为________；②若A ={1, 3}，集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n+1=2a n (n ∈N ∗)且a 2是S 2与1的等差中项． （1）求{a n }的通项公式：（2）若数列{1a n }的前n 项和为T n ，且对∀n ∈N ∗，T n <λ恒成立．求实数λ的最小值．16. 某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个．整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： (40, 50] 0.15(Ⅰ)写出频率分布直方图1中的a 的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；(Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s 12，s 22，试比较s 12与s 22的大小；（只需写出结论）(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售量总量．17. 已知在△ABC中，sin2A=sinBsinC．(1)若∠A=π3，求∠B的大小；(2)若bc=1，求△ABC的面积的最大值．18. 如图1，在梯形狀ABCD中AD // BC．AD⊥DC．BC=2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形从ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1丄平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（1）求证：BE1⊥DC；（2）求证：DM // 平面BCE1；（3）判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．19. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0, −l)，且离心率e=√32．（1）求椭圆M的方程；（2）若椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx−1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线上．20. 已知函数f(x)=alnx+1x(a≠0)（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2(b1≠b2)都是曲线y=f(x)的切线．求实数a的取值范围；（3）若|x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，求实数a的取值范围．2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. C3. D4. B5. C6. B7. D8. D9. √510. 011. −12,2412. x−y=013. [0, 1]14. 100110,415. 解：（1）∵ a n+1=2a n(n∈N∗)，∴ S2=a1+a2=a1+2a1=3a1，则4a1=3a1+1，a1=1．∴ {a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴ a n=1×2n−1=2n−1；（2）由（1）可得：1a n =(12)n−1，∴ 1a1=1，1a n+1=12⋅1a n，∴ 数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列．∴ 数列{1a n }的前n项和为T n=1−12n1−12=2(1−12n)．∵ 12n >0，∴ T n=2(1−12n)<2．∴ 对任意n∈N∗，T n<λ恒成立，则λ≥2．∴ 实数λ的最小值为2．16. (I)a＝0.015（2）S12<S22，(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为：x¯=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25＝26.5（箱）乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30＝795（箱）17. 解：(1)∵ sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得a2=bc，由余弦定理可得：cosA=b 2+c2−a22bc，∴ 12=b2+c2−bc2bc，整理为(b−c)2=0，∴ b=c，∴ △ABC是等边三角形，∴ ∠B=π3．(2)∵ bc =1，a 2=bc ， 由余弦定理可得： cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−12≥2bc−12=12，当且仅当b =c 时，等号成立， ∵ 0<A < π， ∴ 0<A ≤π3，∴ S △ABC =12bcsinA =12sinA ≤12sin π3=√34． ∴ △ABC 的面积的最大值为√34．18. 证明：（1）∵ 四边形ABE 1F 1为矩形，∴ BE 1⊥AB ，∵ 平面ABCD ⊥平面ABE 1F 1，且平面ABCD ∩平面ABE 1F 1=AB ，BE 1⊂平面ABE 1F 1， ∴ BE 1⊥平面ABCD ． ∵ DC ⊂平面ABCD ， ∴ BE 1⊥DC ．（2）∵ 四边形ABE 1F 1为矩形， ∴ AM // BE 1，∵ AD // BC ，AD ∩AM =A ，BC ∩BE 1=B ， ∴ 平面ADM // 平面BCE 1．（3）直线CD 与ME 1相交，理由如下：取BC 的中点P ，CE 1的中点Q ，连结AP ，PQ ，QM ， ∴ PQ // BE 1，且PQ =12BE 1，在矩形ABE 1F 1中，M 为AF 1的中点， ∴ AM // BE 1，且AM =12BE 1，∴ PQ // AM ，且PQ =AM ． ∴ 四边形APQM 为平行四边形． ∴ MQ // AP ，MQ =AP ．∵ 四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC =2AD ， ∴ AD // PC ，AD =PC ．∴ 四边形ADCP 为平行四边形， ∴ CD // AP ，且CD =AP ． ∴ CD // MQ ，且CD =MQ ． ∴ CDMQ 为平行四边形． ∴ DM // CQ ，即DM // CE 1．∵ DM ≠CE 1，∴ 四边形DME 1C 是以DM ，CE 1为底边的梯形． ∴ 直线CD 与ME 1相交． 19. 解：（1）由已知e =√32，即c 2=34a 2，b 2=a 2−c 2=14a 2，x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点 A(0, −l)，∴ a =2，b =1，∴ a 2=4，∴ b 2=1，∴ 椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．（2）椭圆M 上存在点B ，C 关于直线y =kx −1对称，设B(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，y 1≠y 2 BC 的中点(x 0, y 0)，直线y =kx −1且k ≠0，恒过(0, −1)，|AB|=|AC|，则x 12+(y 1+1)2=x 22+(y 2+1)2， 点B ，C 在椭圆上，∴ x 12=4−4y 12，x 22=4−4y 22，∴ 4−4y 12+(y 1+1)2=4−4y 22+(y 2+1)2，化简可得：3y 12−3y 22=2(y 1−y 2)．∴ y 0=y 1+y 22=13．又因为BC 的中点在y =kx −1上，所以y 0=kx 0−1，x 0=43k 由{x 24+y 2=1y =13，可得x =±4√23， ∴ 0<43k<4√23，或−4√23<43k<0，即k <−√22或k >√22， ∴ k 的所有取值构成的集合S ={k|k <−√22或k >√22}． 所以对于∀k ∈S ，BC 的中点恒定在一条定直线y =13上． 20. 解：（1）f′(x)=ax −1x 2=ax−1x 2(x >0)，当a <0时，f′(x)<0，则函数f(x)的单调递减区间是(0, +∞)， 当a >0时，令f′(x)=0，得x =1a ，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：∴ f(x)在(0, 1a )单调递减，在(1a , +∞)单调递增；（2）若存在两条直线y =ax +b 1，y =ax +b 2(b 1≠b 2)都是曲线y =f(x)的切线， ∴ f′(x)=a 至少有两个不等的正实根， 令ax−1x 2=a 得ax 2−ax +1=0，记其两个实根分别为x 1，x 2，则{△=a 2−4a >0x 1⋅x 2=1a >0，解得：a >4，当a >4时，曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)），（x 2, f(x 2)）处的切线分别为： y =ax +f(x 1)−ax 1，y =ax +f(x 2)−ax 2， 令F(x)=f(x)−ax(x >0)，由F′(x)=f′(x)−a =0得x =x 1，x =x 2（不防设x 1<x 2）， 且当x 1<x <x 2时，F′(x)>0，即F(x)在[x 1, x 2]上是单调函数， ∴ F(x 1)≠F(x 2)；∴ y=ax+f(x1)−ax1，y=ax+f(x2)−ax2是曲线y=f(x)的两条不同的切线，∴ 实数a的范围是(4, +∞)；（3）当a<0时，函数f(x)是(0, +∞)内的减函数，∵ f(e−1a)=aln(e−1a)+1e−1a=−1+1e−1a=e1a−1<0，而e−1a∉(0, 1)，不符合题意，当a>0时，由（1）知：f(x)的最小值是f(1a)=−alna+a=a(1−lna)，①若f(1a)>0，即0<a<e时，{x|f(x)≤0}=⌀⊆(0, 1)，∴ 0<a<e符合题意，②若f(1a )=0，即a=e时，{x|f(x)≤0}={1e}⊆(0, 1)，∴ a=e符合题意，③若f(1a )<0，即a>e时，有0<1a<1，∵ f(1)=1>0，函数f(x)在(1a, +∞)内是增函数，∴ 当x≥1时，f(x)>0，又∵ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)，∴ {x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，∴ a>e符合题意，综上，实数a的范围是{a|a>0}．。
2015海淀一模数学文(带答案)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B（5）C （6）B （7）D （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）1 （10）0 （11）12；-54（12）y x = （13）[0,1] （14）100110；4三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分 因为 2a 是2S 与1的等差中项,所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ………………3分所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=. 所以 111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N . 所以 1{}na 是以1为首项, 12为公比的等比数列. ………………9分 所以 数列1{}n a 的前n 项和11122(1)1212n n n T -==--. ………………11分 因为 102n >， 所以 12(1)22n n T =-<. 若2b <，当22log ()2n b >-时，n T b >. 所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以 实数λ的最小值为2. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分………………6分（Ⅱ）2212s s <. ………………9分（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）. ………………11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795⨯=（箱）. ………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）方法一：因为 2sin sin sin ,A B C =且C c B b A a sin sin sin ==， 所以 2a bc =. ………………2分又因为 ,cos 2222A bc c b a -+= π3A ∠=， ………………4分 所以 22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-. 所以 2()0b c -=. 所以 b c =. ………………6分因为 π3A ∠=， 所以 ABC ∆为等边三角形.所以 π3B ∠=. ………………7分 方法二： 因为 πA B C ++=， 所以 sin sin()C A B =+. ………………1分因为 2sin sin sin B C A =，π3A ∠=， 所以 2ππsin sin()sin 33B B +=.所以 13sin sin )24B B B +=. ………………3分所以 11cos 2324224B B -+⨯=.所以 12cos 212B B -=. 所以 πsin(2)16B -=. ………………5分 因为 (0,π)B ∈， 所以 ππ112(,π)666B -∈-. 所以 ππ262B -=，即π3B ∠=. ………………7分 （Ⅱ）因为 2sin sin sin ,A BC =1bc =，且C c B b A a sin sin sin ==， 所以 21a bc ==. 所以 222221cos 22b c a b c A bc +-+-== ………………9分 21122bc -≥=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分 因为 (0,π)A ∈，所以 π(0,]3A ∈.所以 sin (0,2A ∈.所以 11sin sin 22ABC S bc A A ∆==≤. 所以 当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值43. ………………13分（18）（共14分）证明：（Ⅰ）因为 四边形11ABE F 为矩形，所以1BE AB ⊥.因为 平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD 平面11ABE F AB =，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分 因为 DC ⊂平面ABCD ，所以 1BE DC ⊥. ………………5分 （Ⅱ）证明：因为 四边形11ABE F 为矩形，所以 1//AM BE .因为 //AD BC ，AD AM A =，1BC BE B =，所以 平面//ADM 平面1BCE . ………………7分 因为 DM ⊂平面ADM ，所以 //DM 平面1BCE . ………………9分 （Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分 取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM .所以 1//PQ BE ，且112PQ BE =. 在矩形11ABE F 中，M 为1AF 的中点，所以 1//AM BE ，且112AM BE =.所以 //PQ AM ，且PQ AM =.所以 四边形APQM 为平行四边形.所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分 因为 四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =，所以 //AD PC ，AD PC =.所以 四边形ADCP 为平行四边形.所以 //CD AP ，且CD AP =.所以//CD MQ 且CD MQ =.所以 CDMQ 是平行四边形.所以 //DM CQ ，即//DM 1CE .因为 DM ≠1CE ，所以 四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.所以 直线CD 与1ME 相交. ………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =. ………………1分 因为222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分 （Ⅱ）方法一：依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上.设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*）因为 12284kt x x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k t k k ++. 又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t kt k k k =-++. 所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >.所以 {|}22S k k k =<->或. ………………11分 因为 22143k t k =+， 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分 方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分 又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++.化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 001y kx =-.所以 043x k=.由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以4033k <<，或4033k -<<，即2k <-，或2k >. 所以{|S k k k =<>或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………1分 当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………2分当0a >时，令'()0f x =，得1x a =. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：所以 ()f x 的单调递减区间是1(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………4分 （Ⅱ）因为 存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………………5分 令21ax a x-=得210ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,10.a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩解得4a >. ………………7分 当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-. 令()()(0)F x f x ax x =->.由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数. 所以 12()()F x F x ≠.所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线.所以 实数a 的取值范围为(4,)+∞. ………………9分 （Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.因为 1111111(e)ln(e )1e 10e e a a a a a f a ----=+=-+=-<， 而1e (0,1)a -∉，不符合题意. ………………11分当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a =-+=⋅-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=∅⊆，所以，0e a <<符合题意. （ⅱ）若1()0f a =，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)e x f x ≤=⊆.所以，e a =符合题意. （ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有101a<<. 因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内是增函数，所以 当1x ≥时，()0f x >.又因为 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 {}()0(0,1)x f x ≤⊆.所以 e a >符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. ……………… 14分。
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海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ）（A ）(-（B ）（C ）(2,1),2-（D ）(2,1),2-（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S > （B ）0S < （C ）0a >（D ）0a =（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ）（A ）11(,)22-（B ）(,)22a a -（C ）(,)22a a（D ）11(,)22（6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ） （A ）b a c <<（B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）a b c <<（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OMOM⋅uu r uuu r uuu r 的最小值是（ ）（A（B（C（D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）以坐标原点为顶点，(1,0)-为焦点的抛物线的方程为 .（10）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0()*N n a n ≠∈，1n n n a a S +=，则31a a -= .（11）已知()cos ln f x x x =⋅，0101()()0()f x f x x x ==≠，则01x x -的最小值是 . （12）满足cos()cos cos αβαβ+=+的,αβ的一组值是 .（写出一组值即可） （13）函数3()e xf x x =的极值点0x = ，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程是 .（14）某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器,A B 的信息： ①316人使用A ； ②478人使用B ；③104人同时使用A 和B ；④567人只使用,A B 中的一种网络浏览器.则这条信息为 （填“真”或“假”），理由是 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分） 已知函数()4sin cos 2f x x x =-. （Ⅰ）求π()6f ；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值. （16）（本小题满分13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：（Ⅰ）求上述20名女生得分．．的中位数和众数； （Ⅱ）从上述20名男生中，有6人的投掷距离低于7.0米，现从这6名男生中随机抽取2名男生，求抽取的2名男生得分都是4分的概率； （Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可）（17）（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又//AD BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（Ⅰ）画出四棱准P ABCD -的正视图； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：棱PB 上存在一点E ，使得//AE 平面PCD ，并求PEEB的值.（18）（本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，又数列}{n b 满足n n a b 2log 2=，n S 是数列}{n b 的前n 项和.（Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，都有n kn kS S a a ≤成立，求正整数k 的值.（19）（本小题满分13分）已知函数()ln 2f x a x x =-+，其中0a ≠.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=，求实数a 值. （20）（本小题满分14分）已知椭圆22:14x C y +=，点D 为椭圆C 的左顶点. 对于正常数λ，如果存在过点00(,0)(22)M x x -<<的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得AOB AOD S S λ∆∆=，则称点M 为椭圆C 的“λ分点”.（Ⅰ）判断点1,0M （）是否为椭圆C 的“1分点”，并说明理由；（Ⅱ）证明：点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”；（Ⅲ）如果点M 为椭圆C 的“2分点”，写出0x 的取值范围. （直接写出结果）海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文）答案及评分参考 2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）24y x =- （10）1 （11）12π- （12）,2.4αβπ⎧=⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩ （13）3-，327e y -=-（14）假，由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586，这与④矛盾三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）πππ113()4sincos 4663222f =-=⨯-=. ………………4分（Ⅱ）因为 ()4sin cos 2f x x x =-24sin (12sin )x x =-- ………………6分22sin 4sin 1x x =+-22(sin 1)3x =+-. ………………8分因为 1sin 1x -≤≤，所以 当sin 1x =-，即2,2x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值3-.………………13分（16）（共13分）解.(Ⅰ) 20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． ………………4分 (Ⅱ) 由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6.这6名男生分别记为123123,,,,,A A A B B B .从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：121311121323(,),(,),(,),(,),(,),(,A A A A AB A B A B A A A B A ，313233121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B B B B B B B . ………………6分用C 表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件，则C 中的结果有3个，它们是：121323(,),(,),(,)A A A A A A . ………………8分所以，所求得概率31()155P C ==. ………………9分 (Ⅲ)略. ………………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议. （17）（共14分）（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.………………3分（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以 PD AD ⊥. ………………5分 因为 AD DC ⊥，PD CD D =，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD .………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =，所以13OAAD OB BC ==，即12OA AB =. 所以 OAPEABEB=.所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ， 所以 //AE 平面PCD . ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 1222n n n a -=⨯=. ………………2分 所以 222log 2log 22nn n b a n ===. ………………3分 所以 2(22)24+22n n n S n n n +=++==+. ………………6分 （Ⅱ）令2(1)22n n n nn S n n n n c a ++===. 则11111(1)(2)(1)(1)(2)222n n n n n n n n n S S n n n n n n c c a a +++++++++--=-=-=. ………………9分 所以 当1n =时，12c c <； 当2n =时， 32c c =；当3n ≥时，10n n c c +-<，即345c c c >>>.所以 数列{}n c 中最大项为2c 和3c .所以 存在2k =或3，使得对任意的正整数n ，都有k nk nS S a a ≥. ………………13分 （19）（共13分）解：（Ⅰ）'()1,0.a a x f x x x x-=-=> ………………2分当0a <时，对(0,)x ∀∈+∞，'()0f x <，所以 ()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；………………4分当0a >时，令'()0f x =，得x a =.因为 (0,)x a ∈时，'()0f x >；(,)x a ∈+∞时，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞. ………………6分 （Ⅱ）用max min (),()f x f x 分别表示函数()f x 在[1,e]上的最大值，最小值. 当1a ≤且0a ≠时，由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是减函数. 所以 max ()(1)1f x f ==.因为 对任意的1[1,e]x ∈，2[1,e]x ∈， 12()()2(1)24f x f x f +≤=<，所以对任意的1[1,e]x ∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. ………………8分 当1e a <<时，由（Ⅰ）知：在[1,]a 上，()f x 是增函数，在[,e]a 上，()f x 是减函数. 所以 max ()()ln 2f x f a a a a ==-+. 因为 对11x =，2[1,e]x ∀∈，2(1)()(1)()1ln 2(ln 1)33f f x f f a a a a a a +≤+=+-+=-+<，所以 对11[1,e]x =∈，不存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=. ………………10分 当e a ≥时，令()4()([1,e])g x f x x =-∈.由（Ⅰ）知：在[1,e]上，()f x 是增函数，进而知()g x 是减函数. 所以 min ()(1)1f x f ==,max ()(e)e 2f x f a ==-+，max ()(1)4(1)g x g f ==-，min ()(e)4(e)g x g f ==-.因为 对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=，即12()()f x g x =， 所以 (1)(e),(e)(1),f g f g ≥⎧⎨≤⎩即(1)(e)4,(e)(1) 4.f f f f +≥⎧⎨+≤⎩所以 (1)(e)e 34f f a +=-+=，解得e 1a =+. ………………13分 综上所述，实数a 的值为e 1+.（20）（共14分）（Ⅰ）解：点10M （,）是椭圆C 的“1分点”，理由如下： ………………1分当直线l 的方程为1x =时，由2114y +=可得(1,(1,22A B -.（不妨假设点A 在x 轴的上方） 所以1=12AOB S ∆⨯，1=22AOD S ∆⨯所以AOB AOD S S ∆∆=，即点10M （,）是椭圆C 的“1分点”. ………………4分（Ⅱ）证明：假设点M 为椭圆C 的“2分点”，则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得2AOB AOD S S ∆∆=.显然直线l 不与y 轴垂直，设:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,41x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得 22(4)230m y my ++-=. 所以 12224m y y m -+=+， ① 12234y y m -=+. ② ………………6分 因为 2AOB AOD S S ∆∆=， 所以12111(||||)22||22y y y +=⋅⋅，即21||3||y y =. ………………8分 由②可知120y y <，所以213y y =-. ③将③代入①中得 124my m =+, ④将③代入②中得21214y m =+, ⑤将④代入⑤中得 2214m m =+，无解. 所以 点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”. ………………10分（Ⅲ）0x 的取值范围为(2,1)(1,2)--. ………………14分。