角平分线分线段成比例定理证明
三角形角平分线定理
三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。
三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。
本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。
一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。
2. AB/BC = BD/DC。
角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。
根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。
性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。
这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。
二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。
首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。
三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。
以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。
根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
角平分线定理的多种证明方法
三角形内角平分线定理的多种证明方法已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB/AC=MB /MC证明：方法一：（面积法）三角形ABM 面积S=（1/2）*AB*AM*sin / BAM,三角形ACM 面积S=（1/2）*AC*AM*sin / CAM,所以三角形ABM面积S:三角形ACM面积S=AB:AC又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，即三角形ABM面积S:三角形ACM面积S=BM:CM所以AB/AC=MB / MC方法二（相似形）过C作CN平行于AB交AM的延长线于N三角形ABM相似三角形NCM,AB/NC=BM/CM,又可证明/ CAN= / ANC所以AC=CN，所以AB/ AC=MB / MC方法三（相似形）过M作MN平行于AB交AC于N三角形ABC相似三角形NMC,AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明/ CAM= / AMN所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC 所以AB/ AC=MB / MC方法四（正弦定理）A 作三角形的外接圆，AM交圆于D,由正弦定理，得，AB/sin / BMA=BM/sin / BAM,AC/sin / CMA=CM/sin / CAM又/ BAM= / CAM, / BMA+ / AMC=180 sin / BAM=sin / CAM,sin /BMA=sin / AMC, 所以AB/AC=MB / MC阅读下面材料，按要求完成后面作业。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
般只要证 BD DC 与 AB AC 或BD AB 与DC AC 所在的三角形相似，现在 B DC 在一条直线，△ ABD 与厶ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
BD AB在比例式 DC =AC 中，AC 恰好是BD DC AB 的第四比例项，所以考虑过 C 作CE// AD 交BA 的延长线于E ,从而得到BD DC AB 的(1) 完成证明过程:证明：(2) 上述证明过程中，用到了哪些定理(写对两个即可)答：用了：① ______________ ；② _______________ 。
第二节角平分线定理
第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质左理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质左理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质疋理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】例1、在ZkABC 中，ZC=90（\ CD 是ZC 的平分线，且CA=3, CB=4。
求CD的长。
八例2、若PA=PB・ ZAPB = 2ZACB> AC 与PB 相交于点D,且PB=4, PD=3。
求AD • DC的值。
（2001年全国竞赛题）c【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab=cd,求出cd 的值即可。
例3、I 是AABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D“ 例 4、RtAABC 中，ZACB=90°, CD 丄AB 于 D, AF 平分ZCAB 交CD 于E,交CB 于F,且EG 〃AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀 请赛题） 【说明】欲证线段a=b,由线段成比例定理得出含a.b 的比例式，—=^-,%） x 2 n 2然后证一=— > 从而得到一=—9再证X] = X"从而得到a=b<> Hi n 2 X] x 2本题证法较多，如过点E 作EH 〃BC 交AB 于H,则EH=GB,再证EH=EC> EC=CF ；或 过 F 作 FM 丄AB 于 证 RtACEG^RtAFMBo求证: Al AB+AC 75一 BCB【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题 思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。
第二节角平分线定理
第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求A D·DC的值。
（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。
例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BCAC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。
本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。
角平分线线长定理
角平分线线长定理
角平分线线长定理是数学中的一个重要定理，它是指在一个三角形中，角平分线所分的线段的长度与三角形的边长之间有一定的关系。
下面我将详细介绍这个定理。
让我们来看一个三角形ABC，其中角A的角平分线AD将边BC分成两段，分别为BD和CD。
根据角平分线的定义，角BAD和角CAD是等角，即它们的度数相等。
现在我们来研究角平分线线段AD的长度与三角形ABC的边长之间的关系。
根据角平分线线段长度定理可知，线段BD与线段CD的比值等于边AB与边AC的比值。
即有BD/CD = AB/AC。
这个定理的证明可以通过相似三角形的性质来完成。
我们可以得出结论，角平分线线段的长度与三角形的边长之间是成比例的。
这个定理的应用非常广泛，可以用来解决很多与角平分线线段长度有关的问题。
例如，我们可以根据已知的边长和角度来计算角平分线线段的长度，或者根据已知的角平分线线段长度和一个边长来计算另一个边长。
这对于解决几何问题和计算问题都非常有帮助。
除了计算问题，角平分线线段长度定理还有一些其他的应用。
例如，我们可以利用这个定理来证明其他几何定理。
另外，这个定理也被应用到一些实际问题中，比如建筑设计、地质勘探等领域。
总结一下，角平分线线段长度定理是数学中的一个重要定理，它指
出了角平分线线段的长度与三角形的边长之间的关系。
这个定理在解决几何问题和计算问题时非常有帮助，并且还有一些其他的应用。
通过学习和应用这个定理，我们可以更好地理解和运用几何知识，提高解决问题的能力。
三角形角平分线定理的应用
浅谈三角型形的角平分线在高考题中的应用贵州省毕节市第二中学谢跃进 551700三角形角平分线定理已经在初中教材中销声匿迹很长时间了。
但是近年高考题中均有体现，考题一般都是以选择或填空的形式出现，知道定理的同学可以很快得出答案，不知道的同学则一筹莫展。
因此不得不让广泛师生引起重视。
定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两条边对应成比比例。
现在，我们来证明定理成立。
定理的证明方法很多，现在笔者用自己想出来的方法证明如下：已知中，的角平分线交对边于点。
证明：。
证明：如图所示：作的外接圆，并延长交圆周于。
_D_E_C_B_A易得，所以，同理 ,所以,又因为,所以，所以,所以。
定理应用：例1（2010全国II卷理8）中，点在上，平分．若，，，，则（A）（B）（C）（D）解析：由定理得,即,所以,又因为,_D_A_B_C且,所以,即即。
故而选B.评注：本题以向量的基本运算为载体，主要考察对角平分线的理解与应用。
例2（2011全国II卷理15）已知分别为双曲线的左右焦点，点在曲线上，点的坐标为，为的角平分线，则= ；_A_M_O_F2_F1_x_y解析：由角平分线定理有，即.又因为，，所以，，所以，所以，又因为所以；答案：6.评注：本题以圆锥曲线为载体，考察对角平分线定理的理解与应用。
本题中的曲线也可以是椭圆。
三角形中角平分线对应边比例关系
三角形中角平分线对应边比例关系在三角形中，有一个非常重要的平分线，那就是中角平分线。
中角平分线指的是从一个角的顶点出发，平分这个角对应的两条边的线段。
这条平分线直接将这个角划分成了两个相等的小角，因此在三角形中具有非常重要的角度关系。
而且，在三角形中，中角平分线对应边的比例也是有一定规律的。
具体而言，三角形中角平分线对应边的比例关系可以总结为以下三种情况：
1.在等腰三角形中，三角形的两条等边将角度平均分配。
因此在等腰三角形中，中角平分线对应边的比例就是1:1，即两条边的长度完全相等。
2.在任意三角形中，如果中角平分线与对边垂直相交，那么中角平分线对应边的比例就是1:2，即对边的长度是平分线两侧的边长的两倍。
3.在任意三角形中，如果中角平分线不与对边垂直相交，那么中角平分线对应边的比例关系就是依据正弦定理求得的，即中角平分线上对应的角所对应的边，与这个三角形对应角所对应的边，在三角形中的比例相等。
总之，三角形中角平分线对应边比例关系中的这三种情况，都是建立在三角形基本属性的基础之上的，这也说明了为什么中角平分线
对于我们研究三角形来说是一个非常重要的概念。
我们可以根据中角平分线对应边比例关系，求出三角形中的各种角、边的长度，从而更加深入地理解和应用三角形相关知识。
因此，掌握三角形中的角平分线对应关系，对于我们学习数学和理解三角形的性质都是非常有帮助的。
三角形角平分线三个结论
三角形角平分线三个结论
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部至一个角的两边距离成正比的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边阿芒塔的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边阿芒塔的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线就是三角形的一条角平分线。
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角平分线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理，它是在平
面几何中关于角平分线和分线段的一个重要性质。
下面我们将从基本
概念出发，逐步推导证明这个定理，让大家对它有一个清晰的认识。
1. 角平分线的基本概念
我们要了解什么是角平分线。
在平面几何中，如果一条直线将一个角
分成两个相等的角，那么这条直线就被称为这个角的角平分线。
这是
一个基本概念，也是理解角平分线分线段成比例定理的基础。
2. 角平分线分线段成比例定理的表述
角平分线分线段成比例定理是指：在三角形中，如果一条角的平分线
与对边相交，那么它把对边分成的两条线段的比等于另外两个边的比。
设在△ABC中，AD是角A的角平分线，D点在BC边上，那么有
AB/AC=BD/DC。
3. 角平分线分线段成比例定理的证明
接下来，我们来证明角平分线分线段成比例定理。
画出△ABC和角A
的角平分线AD，再过点D作DE⊥AC，连接BE和CD。
4. 证明角AEB与角CED相似
根据平行线性质，我们可以得出角AEB与角CED相似。
因为角AED
为直角，所以三角形AED为直角三角形。
而根据直角三角形的性质，我们知道DE²=AD*DC。
5. 利用相似三角形的性质
根据相似三角形的性质，我们可以得出AD/AB=CD/BC。
结合步骤4
中的结论，我们可以得到AB/AC=BD/DC。
也就是说，我们证明了角
平分线分线段成比例定理。
6. 定理应用举例
在实际问题中，角平分线分线段成比例定理经常被用来解决各种与三
角形相关的问题。
利用这个定理可以很容易地证明角平分线定理、外
角平分线定理等相关定理，也可以用来计算各种角平分线上的长度比。
通过以上的证明过程，我们对角平分线分线段成比例定理有了一个清
晰的认识。
这个定理在初中数学中占据着重要的位置，它不仅是理论
学习的基础，也有着广泛的应用价值。
希望大家通过学习，能够深入
理解这个定理，并灵活运用到实际问题中去。
7. 角平分线分线段成比
例定理的重要性
角平分线分线段成比例定理是三角形的基本性质之一，它在解决三角
形相关问题中起着重要的作用。
通过这个定理，我们可以方便地计算
三角形内部各个线段的长度比，也可以推导出其他与角平分线相关的
定理。
对于初学者来说，深入理解角平分线分线段成比例定理是十分
必要的。
8. 角平分线定理
除了角平分线分线段成比例定理之外，角平分线还有一个重要性质，那就是“角平分线定理”。
这个定理是指：如果在△ABC中，AD是角A的角平分线，那么有AB/AC=BD/DC。
这和角平分线分线段成比例定理是类似的，只是它更加简洁明了。
通过这两个定理的结合，我们可以更好地理解角平分线的性质。
9. 外角平分线定理
在角平分线的相关定理中，还有一个重要的定理，那就是“外角平分线定理”。
外角平分线定理是指：如果在△ABC中，AD是角A的外角平分线，那么有AB/AC=BD/DC。
这个定理和角平分线分线段成比例定理有一定的通联，通过它们的结合可以更加深入地理解角平分线的性质。
10. 应用举例
为了更好地理解角平分线分线段成比例定理的应用，我们可以举一些具体的例子来加深印象。
假设在△ABC中，角A的角平分线AD与BC 的交点为点E，如果已知AB=8cm，AC=12cm，BD=3cm，我们可以利用角平分线分线段成比例定理来计算出DC的长度。
根据定理可知，AB/AC=BD/DC，代入已知条件可得8/12=3/DC，从而求出DC 的长度为4.5cm。
通过这个例子，我们可以看到角平分线分线段成比例定理在解决实际问题中的重要性。
11. 拓展
角平分线分线段成比例定理的应用不仅仅局限于初中数学的范围，它
还可以延伸到高中甚至大学数学的学习中。
在高中阶段，我们将会接
触到更多与角平分线相关的知识，如角平分线定理、外角平分线定理
的推广和应用，这些内容都离不开角平分线分线段成比例定理的基础。
在大学的数学学习中，这个定理会进一步被应用到更加复杂的几何证
明和计算中，如三角形的相似性、勾股定理的证明等。
12. 总结
通过以上的论述，我们可以看出角平分线分线段成比例定理在数学学
习中的重要性。
它不仅是初中数学中的基础定理，也是应用广泛的几
何定理。
通过深入理解这个定理，我们可以更好地掌握几何知识，同
时也能为将来更加复杂的数学学习打下坚实的基础。
希望大家能够认
真对待这个定理，通过大量的练习和应用，进一步巩固和加深对它的
理解，为数学学习的深入打下坚实的基础。