高三百校联考数学卷

2020届浙江百校联考

一、选择题：本大题共10小题， 共40分

1. 已知集合{}

2|1A x y x ==-， {}|12B x x =-≤≤， 则A B =I （ ） A ．{}|12x x -<≤ B ．{}|01x x ≤≤ C ．{}{}|121x x ≤≤-U D ．{}|02x x ≤≤

2. 已知i 是虚数单位， 若复数z 满足()12i 34i

z +=+， 则||z =（ ）

A 5

B ．2

C ．25

D ．3

3. 若,x y 满足约束条件10

20220x y x y +≥??

-≤??--≤?

， 则z x y =+的最大值是（ ）

A ．5-

B ．1

C ．2

D ．4

4. 已知平面α， β和直线1l ， 2l ， 且2αβ=I l ， 则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5. 若二项式

2n

x x ??

?的展开式中各项的系数和为243， 则该展开式中含x 项的系数为（ ）

A ．1

B ．5

C ．10

D ．20

6. 函数()cos e

x

f x x =的大致图象为（ ）

O

x

y

O

x

y

O x

y

y

x

O

7. 已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b -=>>， 过其右焦点F 作渐近线的垂线， 垂足为B ， 交y 轴于点C ，

交另一条渐近线于点A ， 并且满足点C 位于,A B 之间．已知O 为原点， 且53a OA =， 则FB FC =（ ）

A ．4

5 B ．23 C ．34 D ．13

8. 已知ABC △内接于半径为2的O e ， 内角,,A B C 的角平分线分别与O e 相交于,,D E F 三点， 若

()

cos cos cos sin sin sin 222A B C

AD BE CF A B C λ?+?+?=++， 则λ=（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9. 如图， 在ABC △中， 1AB =， 22BC =

4B π

=

， 将ABC △绕边AB 翻转至ABP △， 使面ABP ⊥

面ABC ， D 是BC 中点， 设Q 是线段PA 上的动点， 则当PC 与DQ 所成角取得最小值时， 线段AQ 的长度为AB （ ）

A ．5

B ．25

C ．35

D ．25

Q D

P

C

B

A

10. 设无穷数列{

}

n a 满足()

10=>a p p ， ()

20=>a q q ，

()*

21122n n n a a n a ++??=

+∈ ???

N ， 若{

}

n a 为周期数

列，

则pq 的值为（ ）

A ．12

B. 1

C. 2

D. 4

二、填空题：本大题共7小题， 共36分

11. 若函数

()()()2x

f x x x a =

+-为奇函数， 则实数

a 的值为 ；且当4x ≥时，

()

f x 的最大

值为 ．

12. 已知随机变量ξ的分布列如下表，若

()2

E ξ=

， 则 , ()D ξ= ．

ξ

0 1 2 P

a

b

16

13. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该几何体的体积为 3

cm ， 表面积为

2cm ．

3

2

43

2

4俯视图

侧视图

正视图

14. 已知1F 、2F 分别为椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点， 点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭

圆上， 则椭圆的离心率为 ；若过1F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆相交于,A B 两点， 且

11

3AF FB =u u u r u u u r ， 则k = ．

15. 某学校要安排2名高二的同学， 2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目《变形记》， 有

五个乡村小镇A ,B ,C ,D ,E （每名同学选择一个小镇）， 由于某种原因， 高二的同学不去小镇A ， 高一的同学不去小镇B ， 初三的同学不去小镇D 和E ， 则共有 种不同的安排方法（用数字作答）．

16. 已知向量a ， b 满足232-=+=a b a b ， 则-a b 的取值范围是 ．

17. 在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆()()()22

:34R M x a y a a -++-=∈．过原点的动直线l 与圆M 交

于A ， B 两点．若以线段AB 为直径的圆， 与以M 为圆心， MO 为半径的圆始终无公共点， 则实数a 的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题， 共74分18. （14分）已知函数()2sin 23cos 3

2x

f x x =-．

（1）求()f π的值；（2）求函数()y f x =单调递增区间．

19. （15分）如图， 在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中， 平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD △为等腰直角三角形， 2APD π∠=，

23BAD π

∠=

， 点E ， F 分别是BC ， PD 的中点， 直线PC 与平面AEF 交于点Q ．（1）若平面PAB I 平面PCD l =， 求证：AB l ∥；

（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．

Q

F

E

P

D

C

B

A

20. （15分）已知各项为正数的数列{}n a

， 其前n 项和为n S ，

8121

n n S a ++， 且11a =．

（1）求数列{}n a

的通项公式；

（2）若2

3n n n b a =， 求数列{}n b

的前n 项和n T ．

21. （15分）已知函数

()()2221e x a

f x x a -=-+， R a ∈．

（1）若2a =时， 求证：当1x ≥时， ()()2

41f x x x '≥-；

（2）若不等式()210

f x x -+≥恒成立， 求实数a 的取值范围．

22. （15分）如图， 过抛物线2

:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线， 分别交x 轴于点D ， 交y 轴

于点B ， 点Q 在抛物线上， 点E ， F 分别在线段AQ ， BQ 上， 且满足AE EQ λ=u u u r u u u r ， BF FQ

μ=u u u r u u u r ，

线段QD 与EF 交于点P ．

（1）当点P 在抛物线C 上， 且

1

2λμ==

时， 求直线EF 的方程；

（2）当1λμ+=时， 求:PAB QAB S S

△△的值．

x

y

P E

F

O B

D A

Q