学好完全平方公式的三点提示

学好完全平方公式的三点提示

完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．

一、意义特征要牢记

1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 2

2、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．

这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．

3、完全平方公式的几何意义

图1ab ab b 2

a 2

b a b a

图2

(a-b)b

(a-b)b

(a-b)2b 2b a b a 在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．

在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．

二、两个公式的区别要清楚

在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：

（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．

（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．

（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．

（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．

三、应用方法要掌握

完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．

例1、计算2

22213??

? ??--y x xy 分析：把23xy -看成a ，y x 22

1看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式． 解：222213??

? ??--y x xy =()()

??

? ??---y x xy xy 222221323+（y x 221）2 =2433424139y x y x y x ++ 例2、计算：（a-2b-c ）2

分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式． 解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=--

＝2a bc ac ab c b a c bc ac b ab 424442442

2222+--++=++-+-．

说明：本题还可以进行如下变形： 222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--

完全平方公式应用错例分析

完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．

一、漏掉“中间项”

例1 计算：(a+3)2

错解：(a+3)2=a 2+9

分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．

正解：(a+3)2=a 2+6a+9

二、“中间项”漏乘2

例2 计算（2y+

21）2 错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+4

1 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．

正解：（2y+21）2 = 4y 2+2?2y ?21+41＝4y 2+2y+4

1 三、“－”处理错误

例3 计算(-t-1) 2

错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1

分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体．

正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1.

四、系数未平方

例4 计算(3x-2y) 2

错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2

分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方．

正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2

五、问题考虑不全面

例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m=

错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．

分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1.

六、运算顺序错误

例6 计算2(a-) 2

错解：2(a-2

b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-

2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b )，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．

正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+2

1b 2.

总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．

完全平方公式学习导航

湖北 吴育弟

1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2

222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.

记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.

2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.

3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.

4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.

5. 完全平方公式的几何意义

如图1，大正方形的面积可以表示为2

)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从

而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.

6.完全平方公式重难点

重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。

（2）2

)(b a +的计算，可以看做是))((b a b a ++，由多项式与多项式的乘法展开、合并同类项，可以得到公式。

（3）而2)(b a +可以看做是[]2)(b a -+，可以由两数和的平方公式得到。 重点2 完全平方公式的灵活应用

（1）2

2)()(b a b a +=--

（2）ab b a b a 4)()(22+-=+

（3）ab b a b a 4)()(22=--+

（4）)(2)()(2222b a b a b a +=-++

难点 三个或三个以上数的完全平方公式，可以先把一个看做一个整体，剩余部分看做一个整体，逐步利用完全平方公式。如2)(c b a ++可以把b a +看做一个整体，c 看做一个整体，利用完全平方公式.

7. 在使用完全平方公式时应注意以下几点：

（1）千万不要发生类似222)(b a b a ±=±的错误；

（2）不要与公式222)(b a ab =混淆；

（3）切勿把“乘积项”ab 2中的2漏掉；

（4）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算.

8.在使用完全平方公式时易错点

易错点1 公式b a 、中含有常系数. 若b a 、中含有常系数，要将其看做一个整体，例如2

22229124)3()3)(2(2)2()32(y xy x y y x x y x ++=++=+

易错点2 公式中b a 、含有符号.尤其公式中b a 、有一项为负数时，可将负号看做是系数为1-，按照易错点1思维突破解决。

完全平方公式“学”与“用”

完全平方公式222222)(,2)(b ab b a b ab a b a +--++=+是一组重要的乘法公式，是今后常用的数学工具，它的应用也非常广泛．本文从以下几个方面剖析完全平方公式，以帮助同学们理解、掌握和灵活应用这个公式．

一、 注意公式的几何意义

如图（１），大正方形面积为2)(b a +是两个小正方形的面积 2a 、2b 之和，再加上两个长方形的面积2ab ，即得 2222)(b ab a b a ++=+．

如图（２），把2)(b a -看作大正方形的面积2a 减去两个有斜线的

长方形面积之和2ab ，这样就多减去斜线重合部分的小正方形的

面积2b ，在把它补上，即2222)(b ab a b a ++=-． 二、注意公式的结构特征 掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提．完全平方公式的特征：

左边是两数和（或差）的平方和，加上（或减去）它们积的２倍，公式等号左右两边符号是一致．可以简记为“右边展开后的项数为三项，即前平方（2a ），后平方（2

b ），二倍之积在中央（2ab ）”希同学们熟记这一结构特征．

三、注意公式的正确性

要理解掌握公式之间的异同点，既要正确理解课本对每个公式的推导依据，每一个公式的作用，同时也要明白每个公式的语言表达方式、结构形式，以及掌握课本对公式的几何推导法，避免出现以下错误，如222)(b a b a +=+， 222)(b a b a -=-，2222)(b ab a b a --=-等等．

四、注意公式的代表性和广泛性

完全平方公式是具有共同特征的某一类运算的概括总结，因而具有代表性，同时由于公式中字母代表的广泛含义，因而使完全平方公式具有广泛性．如字母不但可表示具体的数，还可表示单项式或多项式等代数式．

例１．计算：2

222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=--＝2a bc ac ab c b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-．

ab 2a ab

2

b

b b a a 2)(b a -

a 图１ 图２

说明：本题还可以进行如下变形：2

22]2)[()2(b c a c b a --=--或 22)]2([)2(c b a c b a +-=--．

五、注意公式之间的联系

公式１：2222)(b ab a b a ++=+，公式２：2

222)(b ab a b a +-=-．

两式相加，得：)(2)()(2222b a b a b a +=-++． 即2)()(2

22

2b a b a b a -++=+，两式相减，得：ab b a b a 4)()(22=--+， 即22)2

()2(b a b a ab --+=． 六、注意公式的变形

根据题意要善于对公式变形应用，在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和开阔性．完全平方公式常用的变化形式有：

①ab b a b a 2)(222-+=+；②ab b a b a 2)(2

22+-=+； ③2)()(222

2b a b a b a -++=+；④22)2()2(b a b a ab --+=． 同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活应用．

例２．已知a+b=6，ab=9．求2

2

2b a +． 解：由ab b a b a 2)(2

22-+=+，∴ 222b a +＝21［ab b a 2)(2-+］ ＝9182

1)926(212=?=?-． 例３．已知a ，b 为自然数且a+b=40，①求22b a +的最小值；②求ab 的最大值．

解：①∵2)()(222

2b a b a b a -++=+=])(40[2122b a -+，∵2)(b a -≥0，∴当a=b 时，2

2b a +的有最小值，最小值为80040212=?；∵22)(4

1)(41b a b a ab --+== 22)2(41)2(b a b a ab --+==222)(41400)(414041b a b a --=--?，∵2)(b a -≥0，∴当a=b 时，ab 有最大值，最大值为400．

七、注意公式的逆用

不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，完全平方公式的

逆用，就是配方，配方法是一种很重要的数学方法．

例４．设a ，b ，c ，d 为四边形的四边长且abcd d c b a 44444=+++，试判别此四边形的形状．

解：∵0422222

22242244224=-+++-++-abcd d c b a d d c c b b a a ，

即0)(2)()(2222222=-+-+-cd ab d c b a ，∴022=-b a ，022=-d c ，0=-cd ab ，∴d c b a ===，∴以a ，b ，c ，d 为四边的四边形为菱形．