浅谈数学中的变形技巧
适合数学专业论文题目
1、数学中的研究性学习2、数字危机4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值2、一道排列组合题的解法探讨及延伸3、整除与竞赛4、足彩优化5、向量的几件法宝在几何中的应用6、递推关系的应用8、小议问题情境的创设9、数学概念探索启发式教学10、柯西不等式的推广与应用11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用12、一道高考题的反思13、数学中的研究性学习15、数字危机16、数学中的化归方法17、高斯分布的启示18、的变形推广及应用19、网络优化20、泰勒公式及其应用22、数学选择题的利和弊23、浅谈计算机辅助数学教学24、数学研究性学习25、谈发展数学思维的学习方法26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法27、数学教学中课堂提问的误区与对策29、浅谈数学教学中的“问题情境”30、市场经济中的蛛网模型32、数学课堂差异教学33、浅谈线性变换的对角化问题34、圆锥曲线的性质及推广应用35、经济问题中的概率统计模型及应用36、通过逻辑趣题学推理37、直觉思维的训练和培养38、用高等数学知识解初等数学题39、浅谈数学中的变形技巧40、浅谈平均值不等式的应用41、浅谈高中立体几何的入门学习42、数形结合思想43、关于连通性的两个习题44、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学45、情感在数学教学中的作用46、因材施教与因性施教47、关于抽象函数的若干问题48、创新教育背景下的数学教学49、实数基本理论的一些探讨50、论数学教学中的心理环境51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则52、不等式证明的若干方法53、试论数学中的美54、数学教育与美育55、数学问题情境的创设56、略谈创新思维57、随机变量列的收敛性及其相互关系58、数字新闻中的数学应用59、微积分学的发展史60、利用几何知识求函数最值61、数学评价应用举例62、数学思维批判性63、让阅读走进数学课堂64、开放式数学教学65、浅谈中学数列中的探索性问题66、论数学史的教育价值67、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学68、方程组中的若干问题69、由“唯分是举”浅谈考试改革70、随机变量与可测函数71、二阶变系数齐次微分方程的求解问题72、一种函数方程的解法73、微分中值定理的再讨论74、学生数学学习的障碍研究；76、数学中的美；77、数学的和谐和统一----谈论数学中的美；78、推测和猜想在数学中的应用；79、款买房问题的决策；80、线性回归在经济中的应用；81、数学规划在管理中的应用；82、初等数学解题策略；83、浅谈数学CAI中的不足与对策；84、数学创新教育的课堂设计；86、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究；87、运用多媒体培养学生88、高等数学课件的开发89、广告效益预测模型；90、最短路网络；91、计算机自动逻辑推理能力在数学教学中的应用；93、最优增长模型94、学生数学素养的培养初探96、城市道路交通发展规划数学模型；97、函数逼近98、数的进制问题99、无穷维矩阵与序列Bannch空间的关系100、多媒体课件教学设计----若干中小学数学教学案例101、一维，二维空间到欧氏空间102、初中数学新课程数与代数学习策略研究103、初中数学新课程统计与概率学习策略研105、数列运算的顺序交换及条件106、歇定理的推广和应用107、解析函数的各种等价条件及其应用108、特征函数在概率论中的应用109、数学史与中学教育110、让生活走进数学，数学方法的应用将数学应用于生活——谈xx111、数学竟赛中的数论问题112、新旧教材的对比与研究114、随机变量分布规律的求法115、简述概率论与数理统计的思想方法及其应用116、无穷大量存在的意义118、例谈培养数学思维的深刻性120、从坐标系到向量空间的基121 谈谈反证法122、一致连续性的判断定理及性质123、课堂提问和思维能力的培养125、函数及其在证明不等式中的应用126、极值的讨论及其应用127、正难则反,从反面来考虑问题128、实数的构造,完备性及它们的应用129、数学创新思维的训练130、简述期望的性质及其作用131、简述概率论与数理统计的思想和方法132、穷乘积133、递推式求数列的通项及和134、划归思想在数学中的应用135、凸函数的定义性质及应用136、行列式的计算方法137、可行解的表式定理的证明140、充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能141、数学思想方法的一支奇葩-----数学猜想初探142、关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明143、于黎曼积分的定义144、微分方程的历史发展145、概率论发展史及其简单应用147、数学教学中使用多媒体的几点思考148、矩阵特征值的计算方法初探149、数形结合思想及其应用150、关于上、下确界,上、下极限的定义,性质及应用151、复均方可积随机变量空间的讨论155、欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响160、函数性质的应用163、中数学新课程空间与图形学习策略与研究167、函数的凸性及其在不等式中的应用171、数学归纳法教学探究174、关于全概率公式及其应用的研究176、变量代换法与常微分方程的求解188、不等式解法大观189、谈谈“ 隐函数”190、有限维矩阵的范数计算与估计191、数学奥赛中数论问题的解题方法研究193、微分方程积分因子的研究195、关于泰勒公式196、解析函数的孤立奇点的分类及其判断方法197、最大模原理的推广及其应用198、π的奥秘——从圆周率到统计199、对现代信息技术辅助数学及其发展的几点思考200、无理数e的发现及其应用202、闭区间套定理的推广和应用203、函数的上下极限及其应用205、关于多值函数的解析理论探讨208、比较函数法在常微分方程中的应用209、数学分析的直观与严密303、求随机函数的分布函数和分布密度的方法304、条件期望的性质及其应用308、凸函数的等价命题及其应用310、有界变差函数的定义及其性质311、初等函数的极值。
浅谈初中数学教学的技巧
要 的， 是将知识转化为能力 的重要途径。而且初 中学生愿意动手 、 游戏是他们 的天． 陛， 如果能将游戏融于教学 之中， 更能够激发学生
的学 习兴 ： “ 知之者不如好知者 ， 好 之者不如乐知者” 。的确如此 ， 就像 我国艺术宝库 中的相声艺术一
样， 很多 ＾ 之所以爱听相声 ， 是因为相声能逗 大家乐 ， 使人们在乐的 氛围中得到娱乐和某种启示。在中学数学教学 中， 教师如果也 能巧 妙地融入相声 中“ 逗” 的艺术 ， 那么就可以激发和保持学生的学习兴 趣， 消除紧张的情绪 ， 抑制学习中的疲 劳， 保 持旺盛的精力 ， 让初 中 学生在愉 陕的气氛中学好数学， 寓教于乐 ， 使教学收到较好的效果。 总之培养学生动手动脑的能力就是这样一点一滴 ， 循序渐进 的 事 。只有在这个过程 中， 才能让他们感受到成功 的喜悦 ， 进而激发 他们学 习的兴趣 ， 使教学工作步入一个 良性循环的轨道。作为一名 中学数学教师 ， 应该用愉 陕的教学方法使学生保持对数学学 习的深 厚兴趣 ， 使学生在课 堂上 保持注意力 的集 中， 让 学生在 “ 乐 中学” ， “ 学 中乐” 。这样 ， 教师教学得轻松 ， 学生学得主动。从而使学生在 愉快的学习中发现 、 探索并进步。 １ 、 木工师傅在修房屋窗框时 ， 为什么总在窗框未安好之前要斜 钉一根木条 ？使它不变形， 具有稳定性。 ２ 、 用三根木条钉成—个三角形 ， 如果扭动它， 它的形状不会变。 因为三角形具有稳定性 。
兴趣， 让他们体 会学习数学的快乐， 是重要的准备工作 ， 是开启他们 智力之门的一把金钥匙 。在具体的教学实践 中， 我能做些什么呢？ 数学教学重在培养 学生 的兴趣 ， 除 了教他们识数外 ， 还要让他 们用方法去解答与数有关系的问题 ， 并使学生有 了兴趣 ， 才能乐意 走进课堂， 去品味学数学的情趣 ， 才会有展示 自我能力的欲望 ， 让学 生课 内外感怀愉 悦， 各抒 己见， 提高学习效率 ， 数学科除了注重培养 学生的思维能力 以外 ， 千万不要忽视学生 口头表达能力， 有些教师 认为 口头表达能力训练是语文课的专利 ， 其实 ， 多一点让 学生发表 自己的想法和高见 ， 除了会提高学生学习的兴趣外 ， 还培养 了学生 追求真知的热情 ， 同时消除学生学 习紧张的情况 ， 使学生在轻松愉 快的环境中牢牢掌握数学知识。 在中学数学教学中， 注重学生学习兴趣的培养 ， 主动培养学生 自主学 习， 主动探究 的能力， 以及培养学生 的创新精神和对学生的 终生发展的综合能力。人人学有价值 的数学 ， 用数学知识去解决生 活中的实际问题 ， 是我们课 改所提倡的， 然 而我们联系生活实际理 解并掌握数学知识 ， 这并不是我们学习数学 的最终 目标 ， 其 目标是 能运用所学数学知识去解决 问题 ， 使学生真正为我们服务 ， 从而体 验数学的真正价值。 有意识、 有 目的地创设有趣 的问题 ， 以趣味来启动他们的思考 之 门。初中学生的求知欲强 ， 主动学 习的积极性不高， 往往 受兴趣 爱好的支配， 对感兴趣的事物 ， 他们愿 意学 习， 反之则不然 ， 在教学 实践 中， 我们发现将一些抽象 的问题放在一个具体 的情况提出来 ，
算法合集之《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》
1 2
《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程 》 ，张一飞，国家集训队 2002 论文 《解析一类组合游戏》 ，.王晓珂，国家集训队 2007 论文 第 1 页 共 24 页
IOI2009 中国国家集训队论文
贾志豪 石家庄二中
每一个模型都有详细的证明。大多数人在学习信息学时存在的问题是 “知其然，不知其所以然” ，因为大多数的比赛模式是只要求结果而不 要求过程。但这会使我们对一个事物“只知表皮，不知深髓” ，如果将 一个我们知道的问题稍加变形的话，我们可能就不会了。这个问题在组 合游戏中体现得尤其突出。因此笔者对于文中的每一个定理都给出了证 明，希望读者对文中的思想“知其然，知其所以然” 。
1.4 定义 NIM-模型
为了不使读者对本篇论文失去兴趣，我特意将介绍取石子游戏的内 容换成小字，对这部分内容已经很熟悉的读者可以直接略过。
取石子游戏即著名的 nim 游戏，游戏规则如下： 桌子上有 N 堆石子，游戏者轮流取石子。 每次只能从一堆中取出任意数目的石子，但不能不取。 取走最后一个石子者胜。
IOI2009 中国国家集训队论文
贾志豪 石家庄二中
组合游戏略述 ——浅谈 SG 游戏的若干拓展及变形
石家庄二中 贾志豪
前言
组合游戏是近几年新兴起的博弈游戏， 随着张一飞学长关于组合游戏的论文 的面世， 组合游戏问题开始在国内信息学竞赛这片沃土上生根发芽，与大家一起 成长、成熟、成才。最为马上要离开高中信息学舞台的高三学生，我一直希望能 为学弟学妹们留下一些我自己的心得，于是这篇论文应运而生！ ！ ！ 这篇论文的一些思想是我早在一年前节开始构思的， 感谢计算机学会为我提 供这样一个舞台， 能让我的论文为更多的人所知道；同时感谢在我写论文时无私 帮助过我的所有人，谢谢你们！ ！ ！ 先介绍一下论文的主要内容：第一章作为论文的理论基础，主要从欣赏的角 度引入了 SG 函数、游戏图、NIM 游戏等概念，重点谈我对组合游戏尤其是 SG 函 数的体会、 理解； 第二章主要介绍了几种不同规则的组合游戏以及相应的应对策 略，旨在告诉读者，游戏规则变化之后，我们应该如何去分析新的规则、解决新 的模型；第三章主要介绍了几种竞赛中常见的组合模型，并将“她”们成功的转 化成了 NIM 模型。 鉴于这篇论文的内容较多， 在这里给读者提供一些阅读建议：第一章由于篇 幅原因，并没有给出 SG 函数、NIM 游戏解法的详细证明过程，对于刚刚接触组 合游戏的读者，建议先阅读一些关于 SG 函数的资料（张一飞关于博弈游戏的论 文1、王晓柯关于组合游戏的论文2就很不错） ，然后再从论文的第一章看起，相信 你一定会很有收获；第二、三章是论文的重头戏，如题目所言，分别谈 SG 游戏 的拓展和变形，对于钟情于组合游戏的读者，可以重点看一看第三章，相信一定 不会让你失望！ ！ ！ 这篇论文主要有两个特点： 基本没有例题但处处是例子。为了让读者更好的理解论文中的思想，笔 者在选题目的时候刻意将题目的背景剥掉，只剩下一个“光溜溜 ”的数 学模型，这样读者在阅读论文时，就不必花精力去考虑背景向模型的转 化，可以全身心去理解笔者想要传达的思想。但读者不必去担心没有地 方练习，笔者将这几年的自己做过的组合游戏题收录在了论文的附录 里。
浅谈中学数学中的化归思想(精)
浅谈中学数学中的化归思想作者：中原中学刘继华不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。
————波利亚化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。
”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。
” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。
在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。
—、化归方法的基本思想1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法．2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式．化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映．3、化归方法的作用我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一．例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．(2基本运算中也凝结着化归的思想：减法向加法化归，除法向乘法化归；幂的运算化归为指数的相加或相减；对数运算把乘法或除法运算化归为加法或减法运算．(3利用三角诱导公式可以化任意角的三角函数为锐角三角函数；化不同名(或角的三角函数为同名(或角的三角函数．(4处理立体几何问题可以采用把空间问题化归为平面问题，复杂的图形化归为简单的图形．(5解析几何在于把几何问题化归为代数问题来研究，而函数图象在于把代数问题化归为几何图形来讨论．在中学数学教学中，这样的例子很多，只要教师具有化归的思想意识深入钻研教材，挖掘和提炼中学数学内容的转化矛盾思想，有意识地加强化归方法的教学，对于改革目前重知识轻方法、重结论轻思想的教学现状，对于培养造就“发现”、“创造”型人材都具有十分深远的意义．二、化归方法的基本原则数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单，化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单—”；化“高维”为“低维”等。
-浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题-
浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题福州第三中学王知昆【摘要】本文针对一类近期经常出现的有关最大（或最优）子矩形及相关变形问题，介绍了极大化思想在这类问题中的应用。
分析了两个具有一定通用性的算法。
并通过一些例题讲述了这些算法选择和使用时的一些技巧。
【关键字】矩形，障碍点，极大子矩形【正文】一、问题最大子矩形问题：在一个给定的矩形网格中有一些障碍点，要找出网格内部不包含任何障碍点，且边界与坐标轴平行的最大子矩形。
这是近期经常出现的问题，例如冬令营2002的《奶牛浴场》，就属于最大子矩形问题。
Winter Camp2002,奶牛浴场题意简述：（原题见论文附件）John要在矩形牛场中建造一个大型浴场，但是这个大型浴场不能包含任何一个奶牛的产奶点，但产奶点可以出在浴场的边界上。
John的牛场和规划的浴场都是矩形，浴场要完全位于牛场之内，并且浴场的轮廓要与牛场的轮廓平行或者重合。
要求所求浴场的面积尽可能大。
参数约定：产奶点的个数S不超过5000,牛场的范围N×M不超过30000×30000。
二、定义和说明首先明确一些概念。
1、定义有效子矩形为内部不包含任何障碍点且边界与坐标轴平行的子矩形。
如图所示，第一个是有效子矩形（尽管边界上有障碍点），第二个不是有效子矩形（因为内部含有障碍点）。
2、极大有效子矩形：一个有效子矩形，如果不存在包含它且比它大的有效子矩形，就称这个有效子矩形为极大有效子矩形。
（为了叙述方便，以下称为极大子矩形）3、定义最大有效子矩形为所有有效子矩形中最大的一个（或多个）。
以下简称为最大子矩形。
三、极大化思想【定理1】在一个有障碍点的矩形中的最大子矩形一定是一个极大子矩形。
证明：如果最大子矩形A不是一个极大子矩形，那么根据极大子矩形的定义，存在一个包含A且比A更大的有效子矩形，这与“A是最大子矩形”矛盾，所以【定理1】成立。
四、从问题的特征入手，得到两种常用的算法定理1虽然很显然，但却是很重要的。
小学中年级数学计算错误应对策略浅谈
抄 错 ，要 么答 案抄 错 。还有 的学 生书 写不 规范 ，导致 数字 百位 上 的４ 除 以３ 得１ ，在 商 的百位 上 写１ ；被 除数 十位 上 的 Ｏ 表 示没 有 ，不好移 下来 ，只 能把 个位 上 的５ 移 下来 ，和 百 组成 ｌ ５ ，用 ｌ ５ 除 以３ 得５ ，所 以４ ０ ５ ÷３ ＝ １ ５ 。学 生 算 不 强，基 础较 弱 。如２ Ｏ 以内加 减 口算不 熟练 ，造 成在 完 位上 的 Ｉ 表 示 成 进位 加和 退位 减 时 出错 较 多 。有些 学生 的乘 法 口诀还 不 认 知上 出现 了 明显 的偏差 ，即认 为 被 除数 十位 上 的０ 没有 就不 可 以移 下来 和 百位上 的 ｌ 组成 １ Ｏ 。 能熟练 背 诵 ，导致 试 商 出错 。３ ． 算理 模糊 ，张冠 李戴 。在 教 学小 数加 减法 时 ，我们 常强 调 小数 点要对 齐 ，但 学生在 针对 学生 出现 的这种 错误 ，我 采用 新 旧算式 对 比分析 的策 略纠正 学 生的认 知偏 差 。首先 出示 下面 两道 准备题 让
一
、
强化思想教育，重视计算错误
的竖 式 计算 时 ，被 除 数十 位 上 的０ 需要 移 下来 吗 ？ ”学 生
心 理 学 认 为 ， 认知 是情 感 和 行 为 反 应 的 中 介 ， 引起 异 口同声 地说 ： “ 需 要 ”我 说 ： “ 是 啊 ， 即使是 ０ ，也 要 人们 情绪 和行 为 问题 的原 因不是 事件 本 身 ，而是 人们 的思 移下 来和 百位 上 的余数 １ 组成 １ Ｏ ，再继 续 除以３ 。你们 会算 想 ， 也就 是 说 思 想 指 挥 着行 为和 情 感 。学 生对 计算 不 重 吗 ？试试 看 ”学生 都能 正确 算 出结果 。通过 新 旧算 式对 比 视 ，容易产 生 应付 的思 想 ，总是 把错 因 归结 为 “ 粗心 ”。 教师 应在 思想 上加 强教 育 ，使学 生 明 白引起计 算错 误 的因 分析 ，我 很容 易纠 正 了学生 的认 知偏差 。 五、充 分利用错例 资源 ，进行有效分析
浅谈配方法在初中数学中的应用
浅谈配方法在初中数学中的应用作者：李劲松来源：《锦绣·上旬刊》2020年第04期摘要：将一个式子或式子的一部分通过恒等变形为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法是初中数学中一种重要的恒等变形方法，是解题的有力手段之一。
初中数学中经常在解方程，化简二次根式，求二次函数的最值以及证明等领域中有着广泛的应用，若学生在解题时能熟练掌握并灵活运用，那么学生运用知识解题的能力也就明显提高了。
同时，配方法的应用也能培养学生思维能力，解题技巧和灵活性。
本文从几个例题中来体现配方法在初中数学中的应用。
关键词：初中数学;配方法;应用初中数学是中学生学习的重点，配方法又是数学学习的重点和难点之一。
在教学中先要求学生掌握其基本公式：a2±2ab+b2=a±b2，只要对已知的式子进行灵活巧妙的配方，就可以找到解决问题的途径。
结合我在教学中的体会，下面谈几种配方法应用的例题。
用配方法解一元二次方程例1：解方程：2x2+3=7x解：1化：方程化为一般形式，二次项系数化为1，x2-72x+32=02移项：常数移到方程右边，x2-72x=-323配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，x2-72x+4916=-32+49164变形：方程左边化成完全平方，右边合并同类项，x-742=25165求解：用直接开平方法解出方程，x-74=±54所以：x1=3，x2=12用配方法化简二次根式例2：化简二次根式：（1）4+23;（2）13-242解：（1）4+23=3+23+1=32+23+12=3+12=3+1（2）13-242=7-242+6=72-242+62=7-62=7-6用配方法求最值（一）、应用在二次函数中求最值例3：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x米，面积为S平方米。
（1）求出S与x的函数关系式，并确定自变量的取值范围;（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出最高费用。
浅谈数学中的数形结合(1)
浅谈数学中的数形结合李素伟内容摘要：数形结合的思想方法是一种重要的数学思想方法，它在解题中的应用是深入和广泛的。
本文主要论述了数形结合思想方法在解题中的应用：一方面，以形助数即借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示；另一方面，以数助形即将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论；最后一方面是数形结合即“数”与“形”的信息相互转换，相互渗透。
关键词：数形结合的思想方法；以形助数；以数助形；数形结合。
数学教学有两条线：一条是明线，即教学知识；一条是暗线，即教学思想方法。
九义初中《数学教学大纲》把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。
数学思想方法既是基础知识又是将知识转化为能力的桥梁。
因此教师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。
数形结合的思想方法是数学中一种重要的思想方法。
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。
数和形是数学知识体系中两大基础概念，把描述数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。
数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉。
为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。
以下从“以形助数”、“以数助形”、 “数形结合”三个方面论述了数形结合的思想方法的重要性。
1 “以形助数”，较直观、快捷。
某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可找到新颖别致的解法，我们从以下两个例题可看到借助“形”不但有直观的分析，而且对知识能有更深刻的掌握。
例1 求函数y=xx cos 2sin 3 的最大值和最小值。
浅谈用数学归纳法证明数列不等式的技巧
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证 ： ＞１ 一 切 ｎ 都 成 立 。 ０ 对 ∈Ｎ
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数 学 导学 ｏｉｇ ｉ ３ｍ ｈｘ 编 ｇ ｕａｙ 周 责 ｏｘ ∞ ｎ
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（ ｎ＋１ 、 （ ２ ） ４ ｎ＋１ 。 ） 证明 ： 。 略
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点拨 ：１条件变形为 １ 旦 ： （ 一 （） 一 １
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求 １ 号 所 ＝ ． １ ＝ ， 例 ｎＮ，证寺 ＋ ＋ ＋ ＝， （ ） 主 ２设 ： １ … ２
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…
，
１
（ ｎ＋１ 、 ４ 。 ２ １
（ ） 明： ｉ当 ｎ＝１时， 等式②成立 ， ２证 （） 不
点评 ： 由例 １２知 ， ｃ 与 ｎ无 关 的 常 量 ， 用 、 若 是 如
数学归纳法证明／ ｎ （ ）＜ｃ 或 ｎ ｃ 一类 的不 等式 （ ）＞ ）
浅谈初中数学教学的技巧
浅 谈 初 中数 学 教 学 的技 巧
＠ 郑运 忠
摘要： 作 为 一 名 中学 数 学教 师 ， 应该用愉 快的教 学方法使 学 生 保 持 对 数 学学 习 的 深 厚 兴 趣 ， 使 学生在 课 堂上保 持注 意力 的 集 中， 让 学 生 在“ 乐 中 学” 。教师教 学得轻松 ， 学 生 学 得 主 动 。使 学 生在 愉 快 的 学 习 中 发 现 、 探 索， 在 愉 快 的 实 践 中体 验 、 感悟， 让 学 生主动学习， 老 师用 爱去鼓 励学 生学 习数 学的兴趣 。培养 学 生灵活多变的解题思维 ， 从 而 既 能提 高 数 学 质 量 ， 又 达 到 了培 养 学生能力、 发 展 智 力 的 目的 。 关 键 词 ：数 学教 学 ；快 乐 ； 教 学技巧 ； 兴 趣
Ｂ
动手操作 ， 以动 手 来 促 进 动 脑 ， 以动脑来指导动手 。 二、 动 手 是 一 个 体 验 的 过 程 在学 生的成长过程 中， 体验是相 当重要 的 ， 是 将 知 识 转 化 为 能 力 的重 要途 径 。 而 且 初 中 学 生 愿 意 动 手 、 游 戏是他们 的天性 ， 如果 能将 游 戏 融 于 教 学 之 中 ， 更 能够激发学生的学习兴趣 。 我国古代伟 大 的教育 家 孔 子早 就说 过 ： “ 知 之 者 不 如 好 知 者， 好之者不 如乐知 者” 。的确如 此 ， 就 像 我 国艺 术 宝 库 中 的 相
三 、数 学 教 学 重 在 培 养 学 生 的兴 趣
三、 用三根木条 钉成一 个三 角形 ， 如果 扭动 它 ， 它 的 形 状 不
会变 。
‘
因为三角形具有稳定性 。
除 了教 他 们 识 数 外 ， 还 要 让 他 们 用 方 法 去 解 答 与 数 有 关 系 的问题 ， 并 使学生 有 了兴 趣 ， 才能乐 意走进课 堂 ， 去 品味学数 学
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浅谈数学中的变形技巧
作者：陈程
来源：《读写算》2014年第43期
【摘要】数学解题变形技巧是我们在数学学习和解题中最常应用的方法，数学学习中学习技巧的应用，是我们在解题中求解、化简和完成论证的一种解题方法。
有时候，同一个解题公式会有多种变形方式，因题而异，在解题中其技巧是非常重要的。
下面主要是对数学学习中函数、不等式、一元二次方程的变形技巧进行介绍，合理掌握灵活运用其变形技巧，使我们在解题中如虎添翼，将问题由繁化简、节约解题时间提高解题效率。
【关键词】数学解题；变形技巧，函数；不等式
数学是一个整体，各个环节是相互衔接的，或多或少的存在相互联系，使得我们在数学解题中，逻辑思维、运算能力和空间想象能力，对于我们在学习中起着至关重要，而变形技巧的应用，则可以有助于弥补我们在这方面的不足，是数学解题中最常用的，是解题的关键，灵活的运用变形技巧，则可以使得我们的做题效率大幅度提高。
一、数学中变形概述和常用的基本方法
1.1 什么是数学变形
数学变形概念较模糊，总的来说就是为达到目的而采用的一种手段，包括转换、联想、和简化，是一种技巧形手段，具有一定的灵活性，同时，又运用公式和定理，其表现形式各不相同，具有一定的技巧性，需要我们反复的练习和总结才可以达到运用自如和灵活。
1.2 在数学中常用到的方法
数学中常用的方法：在我们的数学学习中较常用的方法是；有建模法、消元法、代入法等等，另外还有一些是向量法、比较法、同一法，在应用中都较为广泛。
数学中的特殊方法：常见的有；配方法、待定系数法、换元法等等，有时也可用到因式分解，这些方法在我们的数学问题解决中所起的作用是不可忽视的。
二、变形技巧在数学中的运用
2.1 在函数变形解题技巧运用
关于函数变形解题技巧，针对问题，下面主要是对于三角函数，证明、化简、求值及方程和一些常见的几何问题解决的方法与技巧的应用，而对于三角函数的在解题方法中的应用，三
角恒等变换是在解题中最常用的，其具有灵活多变的特点。
熟练的掌握其技巧不但加深了我们对公式的理解和记忆，而且有助于我们逻辑思维能力的加强和锻炼，下面我们通过例子对函数的解题技巧进一步了解，以期大大增强我们的数学解题思维和能力。
2.1.2 函数名的转换
在我最常用的解题方法中，对于三角函数的做解，切割化弦、正余互化、切割互化这三种方法，是我们解决函数时最常用的这对于我们简化解题方法与步骤是非常重要的。
例；在函数f（x）对于一切实数都有f（x+y）=f（x）+f（y），判断其奇偶性。
解析；在这个问题中，x，y都是变量，由题意可取一切实数，根据奇偶性的定义，即f（-x）与f（x）的关系，那么在f（x+y）=f（x）+f（y）将y取为-x即可，即可的f（-x）+ f （x）=f（0），那么在f（x+y）=f（x）+f（y）x，y=0则是f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，所以函数式奇函数，
在这里充分体现了变量的优越性，在学习中学会变量，掌握变量形成变量意识，是数学中观思维层次的重大飞跃。
2.2 在代数中变形技巧的运用
在代数中常见到的代数变形技巧的应用，分为整式变形、分式变形根式变形、指数、对数变形等等，多种方法，下面将针对其中的一些变形进行详细讲解。
2.2.1 整式变形的应用
即是合并同类并以降幂或升幂进行依次排列。
下面引用一个例子进行详细说明。
例：设函数f（x）=ax2+bx+c，a、b、c∈ R，若点（x，y）在函数f（x）的图像上，则点（x，y2+1）在函数g（x）=f（f（x））的图像上，试求g（x）的解析式。
题意分析：一般的是，以x为主元，从y=f（x）和y2+1= f（f（x））中得出x的四次恒等式，然后再比较系数即可得出a、b、c，但是此方法较复杂繁琐，可以改变思维，即是以y 为主元，解析如下；
解：由y=f（x）和y2+1= f（f（x））得出y2+1= ax2+bx+c，根据题意我们可以知道，它是关于y的恒等式，因此，我们可以知道a=1，b=0，c=1，故而g（x）=f（f（x））=
（x2+1）2+1=x4+2x2+2。
评注：通法通则是人有迹可循的，在数学中这是最常见的一般形式、最简形式等等，但是我们只有在运用时把握好问题之所在，才可以在运用中达到灵活自如。
2.2.2 对数变形的应用
在对数的恒等式应用中，其中值得我们注意的是真数和底数之间的相互关系，熟练运用运算法使其化简再计算，在对数变形技巧的应用中，值得我们注意的是底数和换底间的选择。
下面我们以一个例题来说明。
例：讨论函数f（x）=logax（bx）（b>a>0）在定义域内单调性，并加以证明。
解析：可以直接用定义进行分析，同时利用换底法进行换底，其中可以选择的底数有啊a、b、10，更具定义可知以10为低进行变形。
解：f（x）=（1gx+1gb）/（1gx+1ga）= （1gb-1ga）/（1gx+1ga）+1，根据1gb-1ga>0和复合函数同增异减原则知，原函数在区间（0，1/a）和区间（1/a，+）均为减函数。
则结果可知。
三、结论
由于数学教学和教育改革的需要，提高我们在学习数学中解决问题的能力，数学变形技巧作为在数学解题中常用的方法，对于我们在学习中所起的作用是不可估量的，它可以简化解题步骤、使我们的思维逻辑较清晰，使复杂的问题简单化，提高解题效率，增加学习的兴趣和信心，同时在我们数学问题的解题中更容易的发现、了解问题所在，什么是未知数，什么是条件，什么是已知问题，然后根据已知制定方案，明确已知和未知的关系，拟定计划，求解作答，因此在解题过程中，我们应积极发现问题所在、善于在解题中应用技巧，使问题由难变易、由繁为简，进一步提高解题效率和正确率。
参考文献：
[1]徐德义.一元二次方程变形的应用[J].初中数学教与学.2002，（10）.
[2]周春荔，王中峰主编.初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全[M].山西教育出版社， 2002.
[3]应建辉.谈利用分子式变形的解题技巧[J].成功（教育）.2009，（04）.。