数列知识点、公式总结

一、数列的概念 1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成

123,,,,,n a a a a L L

，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n

a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.

2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.

3、通项公式：

如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

4、数列的函数特征：

一般地，一个数列{}n a ，

如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;

如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;

如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式：

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

二、等差数列 1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

2、等差数列的通项公式：

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：

()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.

3、等差中项：

（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且

a b

A +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2

n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足

n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.

4、等差数列的性质：（1）等差数列{}n a 中，若

(),

m n p q m n p q N ++=+∈、、、则

m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；

（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；

（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则

{}0n d a >?为递增数列，{}0n d a

常数列.

5、等差数列的前n 项和n S ：

（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈L

；

（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2

n n n S n a S S n -=?

-≥?

（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和

()()

111=

.22

n n n a a n n S na d +-=+

6、等差数列前n 和的性质：

（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即

12122,,m m m m a a a a a a ++++++++L L

21223m m m a a a +++++L ,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --L

成等差

数列）；

（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,2

2n n n d d S na d n a n -??

++- ??

当

0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；

（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则

()11

==,n S n S S a S n

++-奇奇偶偶中间项且

若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，

则1==.n n

S a S S nd S a +-偶奇偶奇且

7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则

（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；

（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.

三、等比数列 1、等比数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n n

a q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比

数列的依据.

2、等比数列的通项公式：

设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：

()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.

3、等比中项：

（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且

2=A ab ;

（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++?；反之若数列{}n a 满足

212=n n n a a a ++?，则数列{}n a 是等比数列.

4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若

(),

m n p q m n p q N ++=+∈、、、则

m n p q a a a a ?=?，若2m n p +=，则2m n p a a a ?=；

（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ?也为等比数列；

（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则

{}1100101n

a a a q q ><

011

n a a a q q >??或为递减数列，

{}1n q a =?为常数列.

5、等比数列的前n 项和：

（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈L

；

（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2

n n n S n a S S n -=?

-≥?

（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则

()11,1

.1,11n n na q S a q q q

=??

=-?≠?

由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.

6、等比数列的前n 项和性质：

设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则

（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即

12122,,m m m m a a a a a a ++++++++L L 21223m m m

a a a +++++L ,仍为等比数列

（即232,,,m m m m m S S S S S --L 成等差数列）；（

）当

q ≠时，

()

()11111111111111

n n n n n a q a a a a a

S q q q q

q q q q q -=

?-=-?=?-------，设

a t q =-，则n n S tq t =-.

四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：

一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：

（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-L （2）()23411

,0,n

n n n a a a a a a a n N a a a a +-=?????

≠∈L

3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作

差法：{11

,(1)

,(2)n n

n S n a S S n -==

-≥

类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项

a ,且

()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.

给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：

()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-L

利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-L 可得：

()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-L

类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n

a f n n N a ++=∈，

求n a 通项.

给递推公式()()1,n n

a f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,

可得到下面n-1个式子：

()()()()2341231

1,2,3,,1.n n a a a a

f f f f n a a a a -====-L 利用公式()23411231

,0,n n n n a a a a

a a a n N a a a a +-=?

????≠∈L 可得：

()()()()11231.n a a f f f f n =?????-L

类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①q pa a n n +=+1解法：把原递推公式转化为：

)(1t a p t a n n -=-+，其中p

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。 ②n n n q pa a +=+1解法：该类型较要复杂一些。一般地，要

先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q

q a q p q

a n n n n 11

+?=

引入辅助数列{}n b （其中n

n n q a b =），得：q

b q p b n n 1

1+=+再应用q pa a n n +=+1的方法解决。

类型五（倒数法）：已知：数列{}n a 的首项

a ,且

()1,0,n

n n pa a r n N qa r

++=

≠∈+，求n a 通项. 11111111n n n n n n n n n n pa qa r r q r q

a qa r a pa a pa p a p a p

+++++=

?=?=+?=?+

设1111

,.n n n n b b a a ++=

=则1n n r q b b p p

+∴=?+，若,r p =则11=n n n n q q b b b b p

++=+?-，即数列{}n b 是以q p

为公差的等

差数列. 若,r p ≠则1n n r q

b b p p

+（转换成类型四①）.

五、数列常用求和方法 1.公式法

直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.

2.分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.

3.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和就变成了首尾少数项之和.

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子121n n n S a a a a -=++++L 的两

边同乘以公比(01)q q q ≠≠且，得到121n n n qS a q a q a q a q -=++++L ，两

式错位相减整理即可求出n S .

5、常用公式：

1、平方和公式：()()()

22221211216

n n n n n ++++-+=L

2、立方和

公

式：

()()()2

33311211212n n n n n n +??++-+=+++-+=????

????

L L

3、裂项公式：

()(

)1111111; 11.1n n n n n n k k n n k k ?

??=-=?- ??++++???

??=-=???

分式裂项：

六、数列的应用 1、零存整取模型：

银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.

注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×存期.以符号p 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,s 代表本金和利息和(即本利和),则有s=p(1+nr).

零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.

2、定期自动转存模型：

银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.

注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是:s=p(1+r)n .

定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.

3、分期付款模型：

分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.

采用分期付款的方法，购买售价为a 元的商品（或贷款

a 元），，每期付款数相同，购买后1个月（或1年）付款

一次，如此下去，到第n 次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为b ，按复利计算，那么每期付款x 元满足下列关系：

设第n 次还款后，本利欠款数为n a ，则

()11,a a b x =+-()()()213211,1,,1,n n a a b x a a b x a a b x -=+-=+-=+-L

由()()1111n n n n x x a a b x a b a b

b --??

=+-?-=+- ??

知，

数列n x a b ??-???

是以()()111x x x a a b x b a b b

b ?

?-=+--=+- ??

为首项，

()1q b =+为公比的等比数列. ()()11111n n n x x x a a q b a b b b b --?????

?∴-

=-?=+-?+ ? ????????

?()1,

n x a b b ??=-+ ???()1n n x x a a b b b ?

?∴=-++ ??

令0n a =得：()1=0n

x x a b b b ??-++ ???，()()111

ab b x b +∴=+-

数列求和公式总结

一、利用常用求和公式求和

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2

)(11-+=+= 2、等比

数列求和公式：???

??≠--=--==)1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.

解：由2

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得：n

n x

x x x S +???+++=3

x x n --1)

1(＝

11)211(21--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=n n

S n S n f 的最

大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

++=n n S n ∴

)32()(++=

n n

S n S n f ＝

342++n n n

＝

n 64

341+

+＝50

)8(1

n 50

1≤ ∴ 当

n ，即n ＝8时，50

1)(max =

n f 二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………

①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{

-n x }的通项之积：设

n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=…②（设制错位）

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--

（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

n n x n x

x x S x )12(1121)1(1----?+=--。∴

1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列??????,2

2,,26,24,

2232n

n 前n 项的和.解：由题可知，{n

n 2

2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

}的通项之积

设n

n n

S 2

226242

232+???+++

=…………………………………① 14322

226242221++???+++=n n n

S …………② ①－②得

432222222222222)211(+-+???++++=-n n n n S

22212+---

=n n n

∴

4-+-

=n n n S 三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ① 将

①

式

右

边

反

序得：

οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …

…

②

又因为

cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο，①+②得：

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类

数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,

41,1112-+???+++-n a a a

n ，… 解：设)231(

)71()41()11(1

-++???++++++=-n a a

S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n

n n S n

=＝2

)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(111

1n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 解：设

k k k k k a k ++=++=2

32)12)(1(∴

∑=++=n

k n k k k S 1

)

12)(1(＝

)32(23

k k k

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得： S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

32 ＝

)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++

2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2

)

2()1(2++n n n 五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能

消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）ο

οο

οοn n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）

1)1(1+-

=+=

n n n n a n （4）

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则

[例9] 求数列???++???++,1

21,

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n

-+=++=

111，则

212

11+++

???++++=

n n S n )1()23()12(n n -++???+-+-＝11-+n

[例10] 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，

求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵

11211n

n n n n a n =++???++++=

∴

)11

1(82

122+-=+?

n n n n b n ∴数列{b n }的前n 项和：

)]111()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝

8+n n

[例

11] 求证：ο

οοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++

解：设ο

οοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=S ∵

οο

οοn n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ ο

οοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=

＝

]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1

οοοοοοοοο

-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝ο

ο1cot 1

sin 1?＝ο

ο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成

立

例2. 计算：

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°∵

)180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质项）

∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+·+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和）

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝

2002

321a a a a +???+++，由

n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ,

2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……

,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a

∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++=

)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+=

2002

200120001999a a a a +++＝

46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若

103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值。

解：设1032313log log log a a a S n

+???++=

由等比数列的性质

q p n m a a a a q p n m =?+=+和对数的运算性质

N M N M a a a ?=+log log log 得：

)

log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++=

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+?＝9log 9log 9log 333+???++＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求

211

1111111111个n ???+???+++之和.解：由于

)110(9199999111111

1-=????=???k

k k 43421321个个

∴ 3

211

1111111111个n ???+???+++＝)110(9

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n ＝

)1111(91

)10101010(911

3214434421个n n +???+++-+???+++＝

110)110(1091n

n ---?＝

)91010(81

1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值. 解：

∵

])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n

＝

]

)

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n ＝

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n ∑∑∑∞

=∞

=++-+++-+=-+1

111

)41

31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n ＝4

18)4

1(4?++?

＝3

数列、数列的通项公式

第三章数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。K2td4LKQoD 过程：一、从实例引入

1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式六、作业：练习 P112 习题 3．1

数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===

数列知识点归纳及

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项）例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法（2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）等差数列等比数列定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…）通项公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）

求数列通项公式的常用方法(有答案)

求数列通项公式的常用方法一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函

数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

数列解题技巧归纳总结---好(5份)

知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-? ?-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ??????????????????? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）

高中数学数列知识点总结

数列基础知识点《考纲》要求： 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项； 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题； 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。数列的概念 1 ．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为： =n a ?????≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例1.根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴－3 12?，534?，－758?，9716?…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，解：⑴ a n ＝(－1) n )12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)673(21 2+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的方法总结

专题一：求解通项公式（1）观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。（2）定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n － 1 （3）公式法：已知n S （即12 () n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{1 1 ,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥。例:3：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{n a } 的前n 项和为n S 满足1 S ＞1且6n S = (1)(2) n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

高中数学数列知识点总结精华版

一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）

求数列通项公式常用的七种方法

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈

数列解题技巧归纳总结_打印

数列解题技巧归纳总结基础知识： 1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项． 2．数列的项的性质：① 有序性；② 确定性；③ 可重复性． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性；②周期性． 5．数列的分类： ①按项的数量分：有穷数列、无穷数列； ②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N + 或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1， a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…）（或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n = 1 n i i a =∑=a 1 +a 2 +…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式． 9．通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2) n n n S n a S S -=?=? -≥? 等差数列与等比数列：等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义 1n n a a d +-= 1 (0)n n a q q a +=≠ 分类递增数列：0d > 递减数列：0d < 递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

数列知识点总结及题型归纳总结

高三总复习----数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N + ∈），数列②的通项公式是n a = 1n （n N + ∈）。说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，

1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N + （或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系： 1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和3 22+=n s n ，求数列}{n a 的通

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

数列全章知识点总结

数列知识点题型方法总复习一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）；（2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

数列通项公式的十种方法(已打)

递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。一、型例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。解：已知递推式化为，即，所以。将以上个式子相加，得，

所以。二、型例2. 求数列的通项公式。解：当，即当，所以。

三、型例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。所以有。解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，所以。

四、型例4. 设数列，求通项公式。解：设，则，，所以，即。设这时，所以。由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：。说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。

六、型例6. 已知数列，求。解：在两边减去。所以为首项，以。所以令上式，再把这个等式累加，得。所以。说明：可以变形为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<