【范文】圆的参数方程学案
高中数学第二讲2圆的参数方程学案含解析新人教A版选修4.doc
2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．圆(数方程．根据圆的特点，结合参数方程概念求解． 如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M ， ∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数)(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(φ为参数)(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)．这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.若 (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)．∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．解：原点到曲线C 的距离为：x －2＋y －2＝＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2＝17＋3sin θ－2cos θ＝17＋413⎝⎛⎭⎪⎫313sin θ－213cos θ＝ 17＋413θ＋φ≥17－413＝13－2＝13－2.∴原点到曲线C 的最短距离为13－2.4．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是． 法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是．课时跟踪检测(八)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0) 解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ， 故直线与圆相交，有两个公共点．3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心， 又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入，得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为36.二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l 的直角坐标方程为x ＝1. 由圆C 的参数方程可得x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋y －2＝1得直线l 与圆C 的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)7．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 对应的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．P 是以原点为圆心，半径r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， ∵Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．9．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θθ＋sin θ＝cos 2θ＋cos θsin θ，y 1＝sin θθ＋sin θ＝sin θcos θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝1＋sin 2θ，x 1y 1＝12sin 2θ＋12sin 22θ.将sin 2θ＝x 1＋y 1－1代入另一个方程， 整理，得⎝⎛⎭⎪⎫x 1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－122＝12.∴所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，以22为半径的圆．10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
圆的参数方程教案 人教课标版(优秀教案)
《圆的参数方程》教案单位：阳泉市荫营中学姓名：任慧琴邮编：一．教学内容分析教科书是在学习了曲线的参数方程之后，以匀速圆周运动为引子，之后根据三角函数的定义，推导出了圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
在介绍了圆的参数方程以后，通过例题，介绍了利用参数求轨迹方程问题.在教科书的基础上，需要在学习了圆心在原点的圆的参数方程之后，由学生探究得到圆心不再原点的圆的参数方程，使圆的参数方程更加完整。
本节学习中知道圆的参数方程的形式并加以应用，是一个重点，但利用参数求轨迹的参数方程是本讲的重要课题。
教科书先安排“圆的参数方程”，是因为圆的参数方程的探求过程比较简单。
本节是我们探求的第一类参数方程，故在教学中要引领学生学习求曲线的参数方程的方法及步骤。
另外，参数方程中参数多数都具有几何意义或物理意义，教学中要让学生体会如何根据具体问题的几何特点或物理意义选择适当的参数比较有利。
在曲线方程的某些问题中，借助于参数方程，能使它们的解决变得容易.因为参数方程把曲线上点的坐标通过参数直接表示出来，比较清楚地指出了曲线上点的坐标的特点.教科书中的例，就是把曲线的普通方程转化为参数方程后加以解决的.许多问题可以作这样的转化，当然有时也把给定参数方程的问题转化为普通方程来解决.教科书中的例也可以直接用普通方程来解决.二．教学目标（一）知识技能目标.理解圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心原点,半径为r的圆的参数方程..明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点坐标变量,x y之间的联系. .理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程..能将圆的参数方程与普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的轨迹问题问题.（二）过程方法目标.引导学生求圆心不在原点的圆的参数方程，使学生体会求参数方程的方法和步骤..通过学生讨论探求圆心不再原点的圆的参数方程，使学生自主学习，发散思维.．例题的教学中增加变式，强化对问题的理解，得到一般性的结论. （三）情感态度价值观.通过本节的教学互动,进一步培养学生观察、猜想、验证、证明的能力，激发其学习数学的兴趣.三．教学重点难点重点是：圆心在原点与圆心不在原点的圆的参数方程.难点是：圆的参数方程的应用和“观察、猜想、验证、证明”能力的培养.四．教学辅助工具几何画板.五.教学方法讨论、探究、讲练结合六.教学过程教学环节情境设计和学习任务师生活动设计意图创设情境回忆曲线的参数方程的定义及如何求曲线的参数方程。
圆的参数方程 教案
圆的参数方程教案
教案标题：圆的参数方程
教学目标：
1. 理解圆的参数方程的概念和基本原理；
2. 掌握圆的参数方程的推导方法；
3. 能够利用参数方程描述圆的性质和特点；
4. 能够应用参数方程解决与圆相关的问题。
教学步骤：
引入活动：
1. 引导学生回顾直角坐标系中圆的方程及性质，如半径、圆心等。
知识讲解：
2. 介绍参数方程的概念和作用，与直角坐标系中的关系。
3. 讲解圆的参数方程的推导方法，包括参数的选择和代入。
示例演练：
4. 给出一个具体的圆的例子，如圆心为(1, 2)，半径为3，引导学生利用参数方程的方法求解。
练习与巩固：
5. 提供一些练习题，让学生运用参数方程解决与圆相关的问题。
6. 分组讨论和解答，鼓励学生互相交流和分享解题思路。
拓展应用：
7. 引导学生思考参数方程在其他几何图形中的应用，如椭圆、双曲线等。
总结与评价：
8. 总结圆的参数方程的要点和关键步骤。
9. 针对本节课的教学效果，进行评价和反馈。
教学资源：
- PPT或白板
- 圆的参数方程示例题
- 圆的参数方程练习题
- 学生讨论与合作的机会
评估方式：
1. 在课堂上观察学生的参与程度和理解情况；
2. 布置课后作业，检验学生对参数方程的掌握情况；
3. 通过小组讨论和解答，了解学生的合作能力和解题思路。
教学提示：
1. 引导学生理解参数方程与直角坐标系中的关系，帮助他们建立联系；
2. 鼓励学生提出问题和思考，激发他们的学习兴趣；
3. 注重学生的实际操作和应用能力，培养他们解决实际问题的能力。
高中数学 同步学案 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程
2.2 圆的参数方程2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学习目标：1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程．(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1 圆的参数方程 1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点,半径为r,设点P(x,y)是圆周上任意一点,连结OP,令OP 与x 轴正方向的夹角为α,则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置．作PM⊥Ox ,垂足为M,显然,∠POM＝α(如图)．则在Rt△POM 中有OM ＝OPcos α,MP ＝OPsin α,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos α，y ＝rsin α(α为参数)．这就是圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a,b)为圆心,r 为半径的圆,普通方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α(α为参数,a,b 是常数)．填空：(1)圆心为(2,1),半径为2的圆的参数方程是________．(2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中,圆的圆心是________,半径是________．(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O(0,0)的距离的最大值是________,最小值是________．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0),半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1),半径为1. ∵圆心到原点的距离为2,∴最大值为2＋1, 最小值为2－1.[答案] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1,其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数)．参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角． (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式,如(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2b2＝1(a ＞b ＞0),参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos φ，y ＝y 0＋bsin φ(φ为参数)．2．双曲线的参数方程当以F 1,F 2所在的直线为x 轴,以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,双曲线的普通方程为x2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)． 此时参数方程为(φ为参数)．其中φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆参数方程中,参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角．( ) (2)在椭圆上任一点处,离心角和旋转角数值都相等．( ) (3)在双曲线参数方程中,参数φ的范围为[0,2π)．( ) [解析] (1)√ 椭圆中,参数φ的几何意义就是离心角．(2)× 在四个顶点处是相同的,在其他任一点处,离心角和旋转角在数值上都不相等． (3)× 双曲线中,参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.[答案] (1)√ (2)× (3)×求圆的参数方程【例1】 圆(x －r)2＋y 2＝r 2(r>0),点M 在圆上,O 为原点,以∠MOx＝φ为参数,求圆的参数方程． [精彩点拨] 根据圆的特点,结合参数方程概念求解． [尝试解答] 如图所示,设圆心为O′,连结O′M ,∵O′为圆心, ∴∠MO′x＝2φ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.1．确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.2．由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程．1．已知点P(2,0),点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点,求PQ 中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．[解] 设中点M(x,y)．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数),这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心,以12为半径的圆.椭圆的参数方程及其应用【例2】 如图所示,已知点M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O 为原点,求四边形MAOB 的面积的最大值．[精彩点拨] 本题可利用椭圆的参数方程,把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解． [尝试解答] M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,由椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数),故可设M(acos φ,bsin φ),其中0＜φ＜π2,因此,S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA·y M ＋12OB·x M ＝12ab(sin φ＋cos φ)＝22absin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以,当φ＝π4时,四边形MAOB 面积的最大值为22ab ．本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和,这是解题的突破口和关键,用椭圆的参数方程,将面积表示为参数的三角函数求最大值,思路顺畅,解法简捷,充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．[解] (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1,且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1,所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝2sin α(α为参数,－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时,4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为7.双曲线的参数方程及其应用【例3】 如图所示,设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是两个焦点,证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.[精彩点拨] 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明．[尝试解答] 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1, 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2,0),F 2(2,0), ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1, |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cosφ－22＋tan 2φ＝2cos 2φ－22cos φ＋1, ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP|2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1,∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.1．与双曲线上点有关的问题,常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题． 2．对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题,常将其化为普通方程后,再求解．3．求证：双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[证明] 由双曲线x 2a 2－y2b2＝1,得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0,bx －ay ＝0, 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ,btan φ), 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2,则d 1·d 2＝|absec φ＋abtan φ|b 2＋a 2·|absec φ－abtan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值).圆的参数方程的应用[探究问题]1．给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α，其中a,b 是常数．(1)如果r 是常数,α是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？ (2)如果α是常数,r 是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？[提示] (1)参数方程表示的曲线是以(a,b)为圆心,r 为半径的圆(r≠0)． (2)参数方程表示的曲线是过(a,b)点,且倾斜角为α的直线． 2．圆的参数方程中,参数有什么实际意义？[提示] 在圆的参数方程中,设点M 绕点O 转动的角速度为ω(ω为常数),转动的某一时刻为t,因此取时刻t 为参数可得圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos ωt，y ＝rsin ωt (t 为参数),此时参数t 表示时间．若以OM 转过的角度θ(∠M 0OM ＝θ)为参数,可得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数),此时θ具有明显的几何意义．3．利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？[提示] 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示,可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解．【例4】 设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C.(1)判断C 与直线x ＋3y －2＝0的位置关系； (2)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(3)点P 为曲线C 上的动点,当|OP|最小时(O 为坐标原点),求点P 的坐标； (4)点M 是曲线C 上的动点,求其与点Q(－1,－3)连线中点的轨迹． [精彩点拨] 本题考查圆的参数方程的应用,以及运算和转化与化归能力． (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． (2)设P 的坐标表示出|OP|,利用三角函数知识求最值． (3)利用(2)取最小值的条件即可．(4)设出点M 的坐标,进而表示出MQ 中点坐标,即得轨迹的参数方程．[尝试解答] (1)曲线C 是以(1,3)为圆心,半径为1的圆,则圆心(1,3)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋(3)2＝1,故直线和圆相切． (2)设圆上的点P(1＋cos θ,3＋sin θ)(0≤θ<2π)． |OP|＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3, 当θ＝4π3时,|OP|min ＝1.(3)由(2)知,θ＝4π3,∴x＝1＋cos 4π3＝12,y ＝3＋sin 4π3＝32,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(4)设MQ 的中点为(x,y)．∵M(1＋cos θ,3＋sin θ),Q(－1,－3),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ－12＝12cos θ，y ＝－3＋3＋sin θ2＝12sin θ(θ为参数)．所以中点轨迹是以原点为圆心,12为半径的圆．1．与圆的参数方程有关的问题求解时,可直接利用参数方程求解,也可转化为普通方程问题求解． 2．与圆上点有关的距离最值问题,需建立目标函数求解时,常利用圆的参数方程,将圆上的点用角表示,从而将待求最值,转化为三角函数的最值问题求解,但要注意参数θ的取值范围．4．如图,设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4),点A 在圆x 2＋y 2＝9(x≥0,y≥0)上移动,且AB,AD 两边分别平行于x 轴,y 轴．求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．[解] 设A(3cos θ,3sin θ)(0＜θ＜90°),则|AB|＝4－3cos θ,|AD|＝4－3sin θ, ∴S＝|AB|·|AD|＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ.令t ＝cos θ＋sin θ(1＜t≤2),则2cos θsin θ＝t 2－1.∴S＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋72,∴t＝43时,矩形ABCD 的面积S 取得最小值72.此时⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26，sin θ＝4∓26.∴对应点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22或 ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0,－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 由圆的参数方程知,圆心为(2,0)． [答案] D2．圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)[解析] 圆心在点C(a,b),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D3．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________．[解析] 由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3,b ＝5,得a 2＝9,b 2＝5,⇒c 2＝4,所以e ＝c a ＝23.[答案] 234．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________．[解析] 曲线C 的普通方程为x 29－y216＝1,得焦点坐标为F 1(－5,0),F 2(5,0)．[答案] (－5,0),(5,0)5．能否在椭圆x 216＋y212＝1上找一点,使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．[解] 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝23sin φ(φ是参数,0≤φ＜2π)．则d ＝|4cos φ－43sin φ－12|5＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3－3,当cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1时, 即φ＝53π时,d min ＝455,此时对应的点为(2,－3)．。
《2. 圆的参数方程》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2. 圆的参数方程》导学案3课标解读1.了解曲线的参数方程的概念与特点．2．理解圆的参数方程的形式和特点． 3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题.知识梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t y ＝gt①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程．图2－1－12．圆的参数方程(1)如图2－1－1所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·cos θy ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程．(2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程思考探究曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？【提示】 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度.课堂互动探究例题1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3,4)在曲线C 上．(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？【思路探究】 (1)将点M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x ，y ，消去参数t ，求a 即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．【自主解答】 (1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上．点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft y ＝g t(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝ft y 1＝g t对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．(2013·周口质检)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B (－3，32)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 【解】 把点A (2,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B (－3，32)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B (－3，32)在曲线C 上，对应θ＝56π.圆的参数方程及应用例题2 设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ，(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【思路探究】 化参数方程为普通方程，根据圆心到直线l 的距离与半径大小作出判定．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010<3， 所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意， 又3－d <71010，故满足题意的点有2个．【答案】 B1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系． 2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r ＝2， 则圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋－12＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－222＝14.例题3 如图2－1－2，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹．图2－1－2【思路探究】 引入参数→化为参数方程→ 设动点M (x ，y )――→代入法求动点的参数方程→确定轨迹 【自主解答】 设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得x ＝4cos θ＋122，且y ＝4sin θ2， ∴点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ.因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin 2 θ＋cos 2θ＝1.2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θy ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)表示圆心为(x 0，y 0)，半径为r 的圆．已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上， ∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ， 因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞).求曲线的参数方程例题4 已知边长为a 的等边三角形ABC 的顶点A 在y 轴的非负半轴上移动，顶点B 在x 轴的非负半轴上移动，求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程．【思路探究】 先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可． 【自主解答】 如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝23π－θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos 23π－θ，y ＝a sin 23π－θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋π6，y ＝a sinθ＋π3.(θ为参数，0≤θ≤π2)为所求．求曲线的参数方程的方法步骤(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标； (2)写出适合条件的点M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．若本例中的等边三角形变化为等腰直角三角形，AC 为斜边，腰为a ，其余条件不变，如何求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程？【解】 法一 如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝π2－θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos π2－θy ＝a sin π2－θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a sin θ，y ＝a cos θ，(θ为参数，0≤θ≤π2)为所求．法二 如图，设C 点坐标为(x ，y )，|OB |＝t,0≤t ≤a . 过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M ，则Rt △ABO ≌Rt △BCM . ∴|OA |＝a 2－t 2，|BM |＝a 2－t 2，|MC |＝t ，∴⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t ，(t 为参数，0≤t ≤a )为所求．当堂练习1．下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m .(m 为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数)(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(4)x＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y ＝m 是参数方程，故选A.【答案】 A2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)【解析】 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2，∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)． 【答案】 C 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线【解析】 当t >0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t <0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C.【答案】 C4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________.【解析】 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1， 当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0. ∴x 的值为2或0.【答案】 2或0课后练习(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t(t 为参数)的曲线必过点( )A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2,3)D ．(0,1)【解析】 代入检验知曲线经过点(2,3)． 【答案】 C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 【答案】 A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)【解析】 ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A.【答案】 A4．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)【解析】 圆心在点C (a ，b )，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.【解析】 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z .【答案】4π3＋2k π，k ∈Z 6．(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图2－1－3【解析】 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)三、解答题(每小题10分，共30分) 7．已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B (0，52)是否在曲线C 上．【解】 将A (1,3)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，由0≤θ<2π得θ＝π.将B (0，52)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．8．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 【解】 (1)由ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π4)，又－1≤sin(α＋π4)≤1.故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.9．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值． 【解】 (1)由已知圆的标准方程为： (x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)． 设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值．∴弦长l ＝2a 2－a22＝3a (定值)．。
圆的参数方程教学设计
《圆的参数方程》教学设计课题圆的参数方程课时第1课时教学目标知识与技能1．掌握圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；2．掌握圆的普通方程与参数方程的互化。
3．能初步利用圆的参数方程解决解析几何中的一些简单的问题。
过程与方法启发学生通过自主探究、合作交流来达到对知识的发现和接受，完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识，发挥学生自我发现的能力。
情感态度与价值观1．通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
2.引导学生主动解决问题，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点圆的参数方程的推导和结论教学难点利用圆的参数方程解决几何问题教学方法启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习回顾1．圆的标准方程：以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r22．圆的一般方程：若D2+E2-4F＞0，则方程x2+y2+Dx+Ey+F=0【设计意图：】通过回忆圆的普通方程，在集中学生注意力的同时，让学生体会确定圆的方程，其圆心与半径的重要性，为下面求圆的参数方程作了铺垫。
二、提出问题，探究新知问题一：圆心在（a,b）、半径为r的圆的参数方程为？【探究1】 圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程为cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）【探究2】圆心在（a ,b ）、半径为r 的圆的参数方程为cos (sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）提示：可将圆心在原点、半径为r 的圆cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）按向量(,)v a b =平行移动后得到。
【设计意图：】利用多媒体展示问题后，同学学生自己分组讨论，由学生自己推导出圆的参数方程，在帮助学生理解记忆方程的同时培养学生合作探究能力，解决问题的能力。
练习：1、写出下列圆的参数方程（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在（-2，-3），半径为1. 2、写出下列圆的圆心和半径（1）⎩⎨⎧+-=+=;sin 42,cos 41θθy x (2)⎩⎨⎧+=+=θθsin 2,cos 2y x【设计意图：】得到圆的参数方程的结论后马上进行两个相应的练习，学生即学即用，有助于记忆方程。
圆的参数方程教案
圆的参数方程教案圆的参数方程教学目标:1.分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程，并能进行简单应用。
2.能选取适当的参数，求圆的参数方程，体会由一般到特殊的思想。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点:能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点:选择圆的参数方程求最值问题.教学方式:启发、引导、探究、交流.教学过程:一、创设情境圆周运动史生产生活中常见的。
当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动。
那么。
怎样刻画运动中点的位置呢,二、探究圆的参数方程r 1. 圆心在原点O，半径为的圆的参数方程r如图，设?的半径为，点M从初始位置(的位置)出发，按MOt,00逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为。
以圆,心O 为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。
显然，点M的位置OMx0由时刻唯一确定，因此可以取为参数。
tt如果在时刻，点M转过的角度为，坐标是，那么。
设Mxy(,)t,,,,t，那么由三角函数的定义，有 ||OMr,yx，。
cos,t,sin,t,rr,x,rcost,即为参数 ? tt,[0,，,),,y,rsint,1这就是圆心在原点O，半径为的圆的参数方程。
其中参数有明确的物理意义rr(质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到，也可以取为参数，于是有 ,,,t,xr,,cos, 为参数 ? ,,,[0,，,),yr,sin,,这也是圆心在原点O，半径为的圆的参数方程。
其中参数的几何意义是r, 绕点O逆时针旋转到OM的位置时，转过的角度。
OMOM00说明:(1)参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。
(2)随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
(3)在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
2.圆心不在原点的圆的参数方程O(a,b)1 问:怎样得到圆心在,半径为r的圆的参数方程呢?v,(a,b)可将圆心在原点、半径为r的圆按向量平行移动后得到,所以圆心在O(a,b)1,半径为r的圆的参数方程为,,，xarcos,,,，ybrsin,, (θ 为参数)三、例题讲解x,,2cos5,,例1、指出参数方程为参数所表示圆的圆心坐标、半径，(),, y,，32sin,,并化为普通方程。
高中数学 第二章 圆的参数方程学案 北师大选修4-4
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1．能依据圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数，写出它们的参数方程． 2．能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题．1．圆的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程是______________，参数α的几何意义是________________(O 为坐标原点，P 为圆上任意一点)．(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程是__________________．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角(P 为圆上任意一点，O 为圆心)．(3)圆的圆心在原点，半径为r ，它与x 轴负半轴的交点为A (－r,0)，点P (x ，y )是圆周上任意不同于A 的一点，此时，圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 2r1＋k2，y ＝2kr1＋k2(k 为参数)．参数k 的几何意义是直线AP 的斜率．选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．【做一做1－1】已知圆的方程为x 2＋y 2＝4x ，则它的参数方程是__________．【做一做1－2】直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 2．椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是________________．参数φ的几何意义是以原点为圆心，a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角．(2)中心在点C (x 0，y 0)，长轴平行于x 轴的椭圆的参数方程是__________________．参数φ的几何意义是以C 为圆心，以a 为半径所作圆上一点P 和椭圆中心C 的连线CP 与x轴正半轴的夹角．【做一做2－1】椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为__________．【做一做2－2】椭圆⎩⎨⎧x ＝32cos φ，y ＝23sin φ(φ为参数)的焦距是__________．3．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是________________．【做一做3】已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (a 为参数)，则该曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1.利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图．2．圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin φ，y ＝b cos φ的形式，二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也就不同．答案：1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数) OP 与x 轴正方向的夹角(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π) x 2＋y 2＝4x 可化为(x－2)2＋y 2＝4，∴圆心为(2,0)，半径r ＝2.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．【做一做1－2】D 将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝4，所以圆心到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交． 点(0,0)不在直线3x －4y －9＝0上，故直线与圆相交但不过圆心． 2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数) 根据题意，a ＝2，b ＝3，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．【做一做2－2】26 根据参数方程，可知a ＝32，b ＝23.∴c ＝22－32＝18－12＝6，∴焦距为2c ＝2 6.3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)【做一做3】C题型一 圆的参数方程的应用【例1】已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值． 分析：利用参数方程，转化成三角函数的问题来解决．反思：利用参数方程求最值问题是其常见的应用，求解时注意三角公式的应用． 题型二 椭圆的参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上一个动点，求x ＋y的最大值．分析：将普通方程化为参数方程，利用三角函数的相关知识求最值．反思：利用圆锥曲线的参数方程求最值问题，实质是利用三角函数求最值问题． 题型三 双曲线的参数方程的应用【例3】如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是两个焦点，证明|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.分析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，证明等式两边等于同一个式子即可．反思：利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．答案：【例1】解：圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．∴x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2α＋2cos αsin α＋3sin 2α ＝1＋cos 2α2＋sin 2α＋3×1－cos 2α2＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－π4)．则当α＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋2，当α＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－ 2.【例2】解：椭圆方程x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设椭圆上任一点P (3cos θ，sin θ)，则x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]， ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，x ＋y 取最大值2. 【例3】证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ＝2cos 2φ－22cos φ＋1. ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.1如图，已知椭圆24x ＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，则|OP |·|OQ |的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42点M 0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M 0的距离的最小值)是( )．A ．1B ．2C ．3 3参数方程=4sin ,=5cos x y θθ⎧⎨⎩(θ为参数)表示的曲线为__________．4已知抛物线y 2＝2Px ，过顶点的两条弦OA ⊥OB ，求以OA ，OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．答案：1．D 设M (2cos φ，sin φ)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程为y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.2．C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ.设双曲线上一动点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，tan θ，则|M 0M |2＝1cos 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，|M 0M |2取最小值3， 此时有|M 0M |＝ 3.3．椭圆 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ，y ＝5cos θ(θ为参数)可化为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝x4，cos θ＝y5(θ为参数)①②①2＋②2，得x 216＋y 225＝1，所以曲线为椭圆．4．分析：用参数方程形式设出A ，B 的坐标，求出以OA ，OB 为直径的圆的方程，再求交点．解：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，设Q (x ，y )，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1，t 2为关于t 的方程2pxt 2＋2pyt －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0(x ≠0)．∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点(0,0))．。
《圆的参数方程》教学案1
1.10《曲线的参数方程(1)(2)》教学案教学目的：知识目标：弄清曲线参数方程的概念；能力目标：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程.教学重点：曲线参数方程的定义及方法.教学难点：求简单曲线的参数方程.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m /s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机？二、讲解新课：1、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.2、关于参数几点说明：(1) 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义.(2) 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样.(3) 在实际问题中要确定参数的取值范围.3、参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标.4、参数方程求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.5、关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间t 做参数与旋转的有关问题选取角θ做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等.二．典型例题：例1．设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，(1)求子弹弹道典线的参数方程(不计空气阻力)；(2)若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时.①求炮弹高度 ；②求出炮弹的射程.例2．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数) (1) 判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系；(2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值.例3．把圆0622=-+x y x 化为参数方程(1)用圆上任一点过原点的弦和x 轴正半轴夹角θ为参数(2)用圆中过原点的弦长t 为参数三、巩固与练习1.已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin cos 23y x (θ为参数) 求 (1)6πθ=时对应的点P 的坐标(2)直线OP 的倾斜角2.A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围.四、小 结：本节课学习了以下内容：1．参数方程的定义；2．参数方程求法.五、课后作业：。
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圆的参数方程学案
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第02课时
2.1.2圆的参数方程
学习目标
．通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一
般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么？
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P12～P16，找出疑惑之处）
如图：设圆的半径是，
点从初始位置（时的位置）出发，按逆时针方向在圆上
作匀速圆周运动，点绕点转动的角速度为，以圆心为原点，
所在的直线为轴，建立直角坐标系。显然，点的位置由时刻
惟一确定，因此可以取为参数。如果在时刻，点转过的角度
是，坐标是，那么。设，那么由三角函数定义，有
即
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中参数
有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。考虑到，
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也可以取为参数，于是有
◆应用示例
例1．圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，
是的中点，当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方
程.
（教材P24例2）
解：
◆反馈练习
．下列参数方程中，表示圆心在，半径为1的圆的参数
方程为（
）
A、
B、
c、
D、
2、如图，设ABm为一钢体直杆，，A点沿轴滑动，B点
沿轴滑动，则端点m的运动轨迹的参数方程为（
）（提示：取为参数）
A、
B、
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c、
D、
三、总结提升
◆本节小结
．本节学习了哪些内容？
答：熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）
A．很好
B．较好
c．一般
D．较差
课后作业
．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A．
B．
c．1
D．
2、动点m作匀速直线运动，它在轴和轴方向的分速度
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分别为和，直角坐标系的单位长度是，点m的起始位置在点
处，求点m的轨迹的参数方程。
3、已知m是正三角形ABc的外接圆上的任意一点，求
证
为定值。
4.（选做题）已知是圆心在，半径为2的圆上任意一点，
求的最大值和最小值。