非线性有限元及弹塑性力学讲解讲解
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
非线性有限元5
L L0 x1 L0 L0
真实应力(对于不可压缩材料)
x x s0 ( x ) s(x )
s(x ) x s0 (x 1)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材 料取决于采用何种应力和变形的度量。 应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性 行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。
15
Volume averaged compression stress-strain curve of Cu singlecrystal micro-pillar; ‘A’, ‘B’, ‘C’ is a typical microstructure corresponding to three different stages.
12
Compression for micro-pillars
By performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40μm, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although there is no strain gradient.
Sij Cijkl Ekl S C:E
式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显 著地减少常数。
4 非线性弹性
利用势能表示的应力－应变关系和Green公式，
W Sij Eij
故有
2W 2W Eij Ekl Ekl Eij
第四章 土木工程中的几何非线性问题
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， 用 表示。
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非线性有限元
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Euler应力张量:τij
在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相 等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量， 称为Euler应力张量； 此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现 时位形和变形相关的真实应力。
Case-1
同乘以时间增量
增量形式 …
Case-2
可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
旋转率
现时Green应变的线性部分
可以证明，这两个率都与转动无关
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非线性有限元
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三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
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应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。
与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力（增量）和Green应变（增量）。 优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
非线性有限元讲义1
非线性有限元讲义1老师上课用的课件,觉得很实用,理论总结到位,是很好的学习资料第二章变分法的基本知识简例§2-1变分法问题的简例第一节第二节第三节第四节第五节第六节变分法问题的简例函数与泛函的比较变分的若干运算变分学中的若干基本定理几类泛函的驻值问题Euler方程简例1、过两点连线长度最短问题。
简例2、弹性基础梁问题。
简例3、重力场下最速降落问题。
研究泛函极值(驻值)的问题，称为变分问题；研究泛函极值(驻值)的近似方法，称为变分方法；变分的命题实质上就是求泛函的极值或驻值问题。
条件驻值与无条件驻值问题Lagrange Multiplier Method第二章变分法的基本知识泛函的定义第二节函数与泛函的比较自变函数的变分§2-2函数与泛函的比较1、泛函的定义2、泛函自变函数的变分定义y (x )在y1 ( x)附近的增量为变分：I= I[ y(x)]δy(x)= y(x) y1(x); y ( x )∈ R1(函数集合)定义域I∈ R2根据y (x )与y1 ( x)的接近情况有不同的接近度：0阶接近度：δy (x)很小，而δy ' ( x),δy“ ( x), ,δy ( n ) ( x)并不很小。
(实数集合)值域泛函是函数空间到实数空间的映射。
简称泛函就是函数的函数。
1阶接近度：δy ( x)=εη ( x),δy '( x)=εη ' ( x) n阶接近度：δy ( x)=εη ( x), ,δy ( n ) ( x)=εη ( n ) ( x)ε→ 0第二节函数与泛函的比较泛函的连续性第二节函数与泛函的比较线性泛函3、泛函的连续性泛函I= I[ y (x )]在y ( x)= y1 ( x)处的k阶接近度地连续，即：当y(x) y (x)δ 14、线性泛函1) I[α y ( x )]=α I[ y ( x )] 2) I y1(x)+ y2 (x)= I y1(x)+ I y2 (x)y' (x) y1' (x)δ y(k) (x) y(1k) (x)δ时，I[ y( x)] I[y ( x)]ε .1[][][]老师上课用的课件,觉得很实用,理论总结到位,是很好的学习资料第二节函数与泛函的比较泛函的变分第二节函数与泛函的比较泛函的驻值与极值5、泛函的变分ΔI= I[ y ( x )+δ y ( x )] I[ y ( x )]6、泛函的驻值与极值1)若泛函I= I[ y (x)]可变分，在y= y0 ( x)处达到极值时，则：= L[ y ( x ),δy ( x )]+β[ y ( x ),δy ( x )] maxδy ( x)当δy ( x)→ 0时，有：maxδy ( x)→ 0,β[ y ( x),δy ( x)]→ 0δI= L[ y ( x),δy ( x )]= 0称y= y0 ( x)为极值函数(或曲线)。
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
非线性有限元-国科大
第一篇 物理非线性有限元的一般解法第一节 概述从数学角度考虑，对于偏微分方程边值问题或初值问题，如果域内的控制方程是线性方程，边界条件也是给定的线性条件，就是线性问题。
线性问题的适定性提法可保证问题的解存在、唯一而且稳定。
线性问题具有一系列重要特性，例如其解具有比例特性，求解中可用叠加原理等等。
线性有限元法就是这样一类问题，它最后归结为一个线性代数方程组的求解。
只要力学建模过程处理合理，其解不仅唯一，而且具有很高的可靠性，因此已在工程界得到了广泛的应用，并已成为必不可少的一种辅助设计手段，在不少行业中，已正式成为设计规范的一个组成部分而强制性执行。
工程中所有的问题都是非线性的，为适应工程问题的需要，在解决某些具体问题时，往往忽略一些次要因素，将它们近似地作为线性问题处理，这也是完全合理的。
但是我们不能因此认为一切问题均可以简化为线性问题。
必须注意到有许多工程问题，应用非线性理论才能得到符合实际的结果。
为适应工程应用的需要，非线性有限元是目前进行非线性问题数值计算中最有效的方法之一。
因此，有必要对非线性有限元的基础知识作较为全面的阐述，以使读者有足够的基础知识，能够理解非线性有限元的各种基本方法，选择和比较不同近似计算方法，正确处理建模和计算分析中所遇到的困难。
本篇主要介绍材料非线性有限元的一般数值解法。
所谓材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
材料非线性问题可以分为二类。
第一类是非线性弹性问题，例如橡皮、塑料、岩石、土壤等材料是属于这一类，它的非线性性质是十分明显的。
第二类是非线性弹塑性问题，材料超过屈服极限以后就呈现出非线性性质，各种结构的弹塑性分析就是这类问题。
若在加载过程，这两类材料非线性问题在本质上相同的，只要写出非线性物理定律而在计算方法上是完全一样。
但是卸载过程中就会出现不同的现象，非线性弹性问题是可逆过程，卸载后结构会恢复到加载前的位置；非线性弹性问题是不可逆的，它将会出现残余变形。
第9章-非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
有限元与数值方法-讲稿19弹塑性增量有限元分析课件
有限元与数值方法-讲稿19弹塑性增量有限元分析课件第一篇：有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件材料非线性问题有限元方法教学要求和内容1.掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则；2.掌握弹塑性增量分析的有限元格式；3.学习常用非线性方程组的求解方法：（1）直接迭代法；（2）Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；（3）增量法等。
请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。
弹塑性增量有限元分析一．材料弹塑性行为的描述弹塑性材料进入塑性的特点：存在不可恢复的塑性变形；卸载时：非线性弹性材料按原路径卸载；弹塑性材料按不同的路径卸载，并且有残余应变，称为塑性应变。
1．单向加载1）弹性阶段: 卸载时不留下残余变形;2）初始屈服：σ=σs3）强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范'为相继屈服应力。
围扩大：σ'>σss，σs 4）鲍氏现象（Bauschinger）：二．塑性力学的基本法则1．初始屈服准则：F0(σij,k0)=0已经建立了多种屈服准则：（1）V.Mises 准则：F0(σij,k0)=f(σij)-k0=01(第二应力不变量),k0=(σs0)231偏应力张量：sij=σij-δijσm,平均应力：σm=(σ11+σ22+σ22)31f(σij)=sijsij=J22（2）Tresca准则（最大剪应力准则）：F0(Sij)=τmax-τs=02．流动法则V.Mises 流动法则：dε=dλpij∂F(σij,k0)∂σijpij=dλ∂f(σij)∂σij，dλ>0 待定有限量塑性应变增量 dε沿屈服面当前应力点的法线方向增加。
因此，称为法向流动法则。
3．硬化法则：（1）各向同性硬化：F(σij,k)=f(σij)-k=012p2pppk=σs(ε),ε=⎰dεijdεij等效塑性应变，可由单拉试验确定。
33（2）运动硬化法则：* Prager运动硬化准则；（3）混合硬化法则： Zeigler修正的运动硬化准则。
非线性有限元 第4章材科非线性有限元法
内为零时终止。假定最后一次迭代 i=I，则该级荷载增贵的最终位移为
I
δm δm1 δmi i0
按（2-46）求出位移增量 δmi 后，应力增量为
σ
i m
DT
(ε
i m
)
Bc
e
δmi
(4-14)
(4-15)
第 m 级荷载增量的最终应力为
I
σ m σm1
σ
i m
真实的本构关系求出最后的应力结果。在迭代过程中，σ
i m
和
(σ
e
)
i m
分别是由
δmi
按真实本构
关系和"线弹性"计算出来的应力。
(
R
0
)
i m
在迭代过程中并不趋于零，而是趋于一常数矢量
（图
4-3（b）中的
M），它是与收敛解的真实应力
M m
m
和弹性应力
(
e
)
M m
之差相应的
等效结点力。(
(4-9)
KT
( δ)
ψ δ
e
(c e )T
BT
v
dσ dε
dε dδ
dV
4.1.2 求解的选代过程
(c e )T
(
BT
v
DT
BdV )c e
e
(4-10)
不同的非线性方程组求解方法，迭代过程中的一些具体处理方法也不相同，但对荷载的
处理一般都分级按增量方法计算。
1. 荷载分级
初应力。从图 4-3 可以看出， e D 为弹性应力，σ0 是由于应 力应变非线性而降低的应力（ σ0 为负值）。初应力法就是将初应 力 σ0 看作是变化的，以此来反映应力和应变之间的非线性关系。