高考数学等比数列专题复习(专题训练)

一、等比数列选择题

1．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比

如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕

=

大吕

=

太簇．据此，可得正项等比数列{}

n a 中，k a =（ ）

A

．n -

B

．n -C

． D

． 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且

63

9S S =，则42a

a 的值为（ ） A

B ．2

C

．D ．4

3．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝

（ ） A ．4

B ．5

C ．8

D ．15

4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．

50

3

B ．

507

C ．

100

7

D ．

200

7

5．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??=

，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32

B ．16

C ．16-

D ．32-

6．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2

n

n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．

11021

B ．

11022 C ．1

1023

D ．1

1024

7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里

C ．90里

D ．96里

8

的等比中项是（ ）

A ．－1

B ．1

C

．

2

D

．±

9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4

2

S S =（ ） A ．76

B ．32

C ．

2132

D ．

1

4

11．题目文件丢失！

12．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22

6598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是

（ ） A ．25

B ．

254 C ．5 D ．

25

14．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．

19

B ．17

C ．

13

D ．7

15．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8

B ．﹣8

C ．±8

D ．9

8

16．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22

212n a a a ++

+=（ ）

A ．()2

21n -

B ．

()1213

n

- C ．41n -

D ．

()1413

n

- 17．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a ++

+=，

则k =（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123

111

2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8

B ．7

C ．6

D ．4

19．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，

416a =，则6S ＝（ ）

A ．32

B ．63

C ．123

D ．126

20．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *

∈，m n m n a a a +=?，若

1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

二、多选题21．题目文件丢失！

22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ）

A B C D 23．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有

()()()f x y f x f y +=，若112

a =

，()()*

n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为

12

C ．数列{}n S 递增，最小值为

12

D ．数列{}n S 递减，最大值为1

24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158

S =

C ．当1

2

p =

时，m n m n a a a +?= D ．3856a a a a +=+

25．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2

{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1

26．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，781a a ?>，

871

01

a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ?> C ．n S 的最大值为9S

D ．n T 的最大值为7T

27．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}

n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列 C ．数列{

}

2

lg n a 是等比数列

D ．数列1n a ??

?

???

是等比数列

28．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516

S =

C ．当12

p =

时，()*

,m n m n a a a m n N +?=∈ D ．3856a a a a +=+ 29．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路

B ．此人第三天走的路程站全程的

18

C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

D ．此人后三天共走了42里路

30．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有

n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）

A ．等差数列不可能是收敛数列

B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-

C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ????

=

? ?????

，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ??

????

一定是收敛数列

31．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n ?b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ）

A ．0＜a 1＜1

B ．1＜b 1

C ．S 2n ＜T 2n

D ．S 2n ≥T 2n

32．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{

}

22

1n n a a ++为等比数列

D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）

33．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，781a a >，

871

01

a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．791a a <

C ．n T 的最大值为7T

D ．n S 的最大值为7S

34．定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列

(){}n

f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在

()(),00,-∞?+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）

A ．()2f x x =

B ．()2x

f x =

C ．(

)f x =

D ．()ln f x x =

35．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列

C ．S 8＝510

D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．C 【分析】

根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】

因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为

11n n a a q -=

，所以q =

所以11

1

111k k n n k a a a a a ---?? ?

?== ?

?

?

1111

n k k n n n

a a

----==? 故选：C. 2．D 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q

，故

24

2

4a q a ==. 【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为

6

3

9S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++，

由于()3

456123a a a q a a a ++=++，

所以3

8q =，故2q

，

所以24

2

4a q a ==. 故选：D. 3．C 【分析】

由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴2

7a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8． 故选：C 4．D 【分析】

设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】

5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，

由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则(

)3

11212

a --＝50，

解得a 1＝507

，所以牛主人应偿还粟的量为2

3120027a a ==

故选：D 5．A 【分析】

由等比数列的通项公式可计算得出()6

456135a a a q a a a ??=??，代入数据可计算得出结果.

【详解】

由6

326456135135432a a a a q a q a q a a a q ??=?????=???=?=.

故选：A. 6．C 【分析】

根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得

1121n n

a a +=+ ，构造11n a ??+????

为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=

+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则11

1121n n a a +??+=+ ???

， 所以数列11n a ??+????为等比数列，则11111122n n

n a a -??+=+?= ???

，

所以121n n a =-，故10

1011

211023

a ==-. 故选：C 【点睛】

方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中

1

q

x p =

-）来进行求解. 7．D 【分析】

由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为1

2

，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】

由题意可知此人每天走的步数构成

1

2

为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]

2378

1

12a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1

192962

?

=里， ∴第二天走了96里，

故选：D ． 8．D 【分析】

利用等比中项定义得解. 【详解】

23111(

)()(2222-==

±，

12∴

的等比中项是2

± 故选:D

9．D 【分析】

利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】

依题意22211113

19

12730

a a q a q a a q q q ??===??=???=??>?

，所以14a q +=.

故选：D 10．B 【分析】

由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q

q

---===+---求解. 【详解】

在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得2

12

q =

所以4142

42212(1)1311(1)12

1a q S q q q a q S q q

---===+=---， 故选：B 【点睛】

本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题,

11．无

12．C 【分析】

根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项

公式可得1

21n n a -=+，即求.

【详解】

因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即

11

21

n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.

则112n n a --=，即1

21n n a -=+.

因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 13．B 【分析】

由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】

由等比数列的性质，可得()2

2222

65986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，

又因为0n a >，所以685a a +=，所以2

68113682524a a a a a a +??=≤=

???

， 当且仅当685

2

a a ==时取等号． 故选：B . 14．B 【分析】

根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2

174a a a =可求得7a 的值. 【详解】

在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，

由等比中项的性质可得2

4354a a a a ==，解得41a =， 17a =，2

1741a a a ==，因此，717

a =

. 故选：B. 15．A 【分析】

由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】

设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4

19q ?=，

解之可得83

d =

，2

3q =， ()22218

183

b a a q ∴-=??=.

故选：A. 16．D 【分析】

由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}

2

n a 也为等比数列，确定该数列的

首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式. 【详解】

已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；

当2n ≥时，(

)(

)1

1122

2n

n n n n n a S S a a ---=-=---=.

由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n

a ，所以，022a -=，解得1a =，

()1

2

n n a n N -*

∴=∈，则()

2

21

1

24

n n n

a --==，21

21444

n n n n a a +-∴==，且211a =，

所以，数列{}

2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2221

2

1441

143

n n n

a a a --+++==

-. 故选：D. 【点睛】

方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：

（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1

1n n a a q -=进行

求解；

（2）前n 项和法：根据11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?进行求解；

（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；

（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；

（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1

n

n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；

（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且

1k ≠，0k ≠）.

一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1

b

m k =

-，可得出数列1n b a k ??+??-??

是以k 的等比数列，可求出n a ；

②取倒数法：这种方法适用于()1

12,n n n ka a n n N ma p

*--=

≥∈+（k 、m 、p 为常数，

0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b

-=+的式子；

⑦1n

n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式

的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 17．B 【分析】

本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再

然后根据24242k a a a +++=求出2q

，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结

果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，

即()2285184k q a a +

+=-=，

因为24242k a a a +++=，所以2q

，

则()21123

221112854212712

k k k a a a a a ++?-+++++=+==

-，

即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 18．A 【分析】

利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】

已知{}n a 为等比数列，132

2a a a ∴=，且22a =，

满足131233

2

1231322111124

a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】 思路点睛：

（1）先利用等比数列的性质，得132

2a a a ∴=，

（2）通分化简3

12311124

S a a a ++==. 19．D

【分析】

根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2

260q q --=，∴2q 或3

2

q =-（舍去），

∵416a =，∴4

13

2a a q =

=， ∴6616(1)2(12)

126112

a q S q --=

==--， 故选：D. 20．C 【分析】

令1m =，可得112+=?=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】

因为对任意的,m n N *

∈，都有m n m n a a a +=?，

所以令1m =，则112+=?=n n n a a a a ，

因为10a ≠，所以0n a ≠，即1

2n n

a a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以2(12)6212n -=-，解得n =5，

故选：C

二、多选题 21．无

22．AB 【分析】

因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】

解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，

①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2

111q

q q q -=-+，

因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >

，所以解得q =

， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即3

21q q =+，

整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >

，所以解得12

q -+=，

综上12q +=

或12

q -+=， 故选：AB 23．AC 【分析】

计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =

，所以1

(1)2

f =， 所以2

21

(2)(1)4

a f f ===

， 31

(3)(1)(2)8

a f f f ===，

……

所以1

()2

n n a n N +=∈，

所以11(1)

122111212

n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112

S a ==， 故选：AC 【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列

{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档

题 24．ABC

【分析】

由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】

由122(2)n n S S p n --=≥，得22

p a =

. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，

又

2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1

2

的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441

11521812

S -

==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +?=等价为212

1122

m n m n p p ++?=?，可得12p =，故C 正确；

38271133||||22128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??

+=+=? ???

，

则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,2

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 25．AC 【分析】

根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】

设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠

则2

221

12(

)n n n n

a a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；

若123,a a a <<则12

11101a a a q a q q >?<<∴?>?或1001

a q

若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-=

所以32211

323(1),3

a a q r r a a =

==∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】

等比数列的判定方法

(1)定义法：若1

(n n

a q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且2

12n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,n

n a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比

数列；

(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n

n S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则

{}n a 是等比数列.

26．AD 【分析】

根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】

因为11a >，781a a ?>，

871

01

a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.

27981a a a =

因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】

本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 27．ABD 【分析】

分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】

根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则

1

n n

a q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1

||n n

a q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有

21

1n n n n

a a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}

2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}

2

lg n a 不是等比数

列，C 错误；

对于D ，对于数列1n a ??????

，有11

1

11n n n n a a a q a --==，1n a ??

????为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】

本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 28．AC 【分析】

由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】

由122(2)n n S S p n --=≥，得22

p a =

. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，

又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1

2

的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441

11521812

S -

=

=-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +?=等价为212

1122

m n m n p p ++?=?，可得12p =，故C 正确；

3827

11

33||||22

128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??+=+=? ???

， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC. 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 29．ACD 【分析】

若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q =

的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.

【详解】

解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q =

的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)

2=

378112

a S -

=-，解得1

192a =，

对于A ，由于21

192962a =?=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 31481

19248,

43788

a =?=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程

多六里，所以C 正确； 对于D ，由于45611

11924281632a a a ??++=?++= ???

，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】

此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 30．BCD 【分析】

根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】

当0n S >时，取2111222

222n d d d

d d d S n a n n n a n a ????=

+-=+-≥+- ? ?????， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r

+->1112222

d

a ra dr r

n N d dr -+

-+?>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，1

1n n x x q

-=，若1q >，则对任意正数r ，

当11log 1q r n x ??

+>+ ? ???

时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，

若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()1

11n n x x -=-，

只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去； 若()1,1q ∈-，取0a =，1

log 11q

r

N x ??=++????

，

当n N >时，1

11

1

0n n r

x x q x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1

sin cos sin 0222

n x n n n πππ????===

? ?????，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ??

=

+- ??

?， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比

1

r

更大的正数，

当n N >=时，110n n

r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】

关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列

的通项公式求解，属于中档题. 31．ABC 【分析】

利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】

∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ， ∴1223

2

4a a a a +=??

+=?；

∴12123

212244a a a a a a a +??+=-?＞＞

∴0＜a 1＜1；故A 正确．

∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n ?b n +1＝2n

∴122324b b b b =??=?；

∴2132

b b b b ???＞＞；

∴1＜b

1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n

＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）

(

)()()()

12

1

2

12122

12

2

n

n

n

b b b b ?--=

+=+-

))

2121n n ≥-=-；

∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC 【点睛】

本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 32．BCD 【分析】

举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】

解：设{}n a 的公比为q ，

A. 设()1n

n a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.

B.

221

1

n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()(

)242222212222

11n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}

221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()2

2

2

112n n n S S n S -+=≥，

即()

(

)()2

11

111

111111n n n a q a q a q q q q

-+??????---

?

???= ? ???---?

??

??

?

，所以1q =，与1q ≠矛盾，

综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】

考查等比数列的辨析，基础题. 33．ABC 【分析】

由11a >，781a a >，

871

01

a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D. 【详解】

11a >，781a a >，

871

01

a a -<-， 71a ∴>，801a <<，

∴A.01q <<，故正确；

B.2

798

1a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．

D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确. 故选：ABC ． 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 34．AC 【分析】

直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q .

对于A ，则

2

2

211

12()()n n n n n n f a a a q f a a a +++??=== ???

，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则

1

11()22()2

n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C

，则

1()

()

n n f a f a +==

=，故C 是“保等比数列函数”；

对于D ，则

11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n n

a a q a q

q f a f a a a a a ++?+====+≠ 常数，故D 不是

“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】

本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 35．BC 【分析】

先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】

由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0．