高考数学常见的新题型选编(共70题)

高考数学常见的新题型选编（共70题）

1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;

（Ⅱ）证明:()(0,0,)22

n n n a b a b a b n N *++≥>>∈； （Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n n n n k k a a a a a a a a k k

++++++++≥ 成立 (其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：

当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n n n n k k a a a a a a a a k k +++++++++

+≥++．

4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;

记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____

6、一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数。试问：

（1） 从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？

（2） 从A 口输入100时，从B 口得到什么数？并说明理由。

7、在△ABC 中，),(),0,2(),0,2(y x A C B -，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号1C 、2C 、3C 填入）

9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：

当a b ≥时，a b a ⊕=；

当a b <时，2a b b ⊕=。

则函数[]()

()(1)(2)22f x x x x x =⊕-⊕∈-·，的最大值等于（ ） （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. -1 B. 1 C. 6 D. 12 10、已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]-=-1

21，[]12

0=，则

[=_____________；使[1]3x -=成立的x 的取值范围是_____________

12、设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程)(x f 0=-x 有实数根；② 函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'

（I ）判断函数4

sin 2)(x x x f +=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （II ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意

[m ，n]?D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”，

试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根；

（III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中任意的

2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x 时且当.

13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，

则这两个数应分别为 和 .

14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长

为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,

D,A,Q 及P ,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来，

使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要 个这样的

几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。

16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N*)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数。下列函数：

① f(x)=sinx ； ②f(x)=π(x －1)2+3； ③;)31()(x x f = ④x x f 6.0log )(=，

其中是一阶格点函数的有 .

18、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .

(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列；

(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.

19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按

本地区在“十一五”规划中明确 提出要缩小贫富差距，到2010年 要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数

量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基

础要降低的百分比分别为 ( )

A ．25% , 27.5%

B ．62.5% , 57.9%

C ．25% , 57.9%

D ．62.5%,42.1%

20、一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且b ＜c ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________．

21、定义运算c a bc ad d b -=，若复数i i x +-=32，i i y +=14i

x xi +-3，则=y 。 22、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,

共有1m n C +种取法。在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+?+?=?，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立。试根据上述思想化简下列式子：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+?+?++?= 。

。 答案：m n k C + 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从

n k +个球（n 个白球，k 个黑球）中取出m 个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k 个黑球等()1k +类，故有m

n k C +种取法。

23、定义运算x ※y=???>≤)

()(y x y y x x ，若|m －1|※m=|m －1|，则m 的取值范围是

24、在公差为)0(≠d d 的等差数列{}n a 中，若n S 是{}n a 的前n 项和，则数列304020301020,,S S S S S S ---也成等差数列，且公差为d 100，类比上述结论，相应地在公比为)1(≠q q 的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前n 项积，则有＝ 。

25、考察下列一组不等式： 2

2121225253

3442

233525252525252525252?+?>+?+?>+?+?>+ 将上述不等式在左右两端仍为两项和

的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为

26、对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知63*2,42*1==，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x m x =*，则=m 5 。

27、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。在实数轴R （箭

头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么

]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =___________________

28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：

媒体A ：“……, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。”

媒体B ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同

时增加了不少附加条件。”

媒体C ：“……, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。”

请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），

我们可以发现只有媒体 C （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。

30、在R 上定义运算△：x △y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x 恒成立，则实数a

的取值范围是 。

32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的()

*1N k k

∈。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的74，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 。

33、已知{}

N x x x P ∈≤≤=,91，记()cd ab d c b a f -=,,,，（其中P d c b a ∈,,,），例如：

()=4,3,2,1f

104321-=?-?=。设P y x v u ∈,,,，且满足()()66,,,39,,,==v x y u f y x v u f 和，则有序数组()y x v u ,,,

是 。

35、（理）已知()()a x x x a x f ,2,2,2

132-∈-

=为正常数。 （1）可以证明：定理“若a 、+∈R b ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（2）若()0>x f 在()2,0上恒成立，且函数()x f 的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测()x f y =的单调性（无需证明）；

（3）对满足（2）的条件的一个常数a ，设1x x =时，()x f 取得最大值。试构造一个定义在{}

N k k x x x D ∈-≠->=,24,2且上的函数()x g ，使当()2,2-∈x 时，()()x f x g =，

当D x ∈时，()x g 取得最大值的自变量的值构成以1x 为首项的等差数列。

（文）已知函数()x b b ax x f 22242-+-=，()()2

1a x x g ---=，()R b a ∈, （Ⅰ）当0=b 时，若()x f 在[)+∞,2上单调递增，求a 的取值范围；

（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对()b a ,：当a 是整数时，存在0x ，使得()0x f 是()x f 的最大值，()0x g 是()x g 的最小值；

（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对()b a ,，试构造一个定义在{2|->=x x D ，且}N k k x ∈-≠,22上的函数()x h ，使当()0,2-∈x 时，()()x f x h =，当D x ∈时，()x h 取得最大值的自变量的值构成以0x 为首项的等差数列。

36、有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义n S S S S n n

T ++++= 321为数列{a n }的“凯森和”， 如果有

99项的数列a 1、a 2、a 3、…、a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a 1、a 2、a 3、a 4、…a 99的“凯森和”100T = 。

37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证2

1

2221≥+a a ， 证明：构造函数2221)()()(a x a x x f -+-=

22212222121222)(22)(a a x x a a x a a x x f ++-=+++-=

因为对一切x ∈R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842

221a a +-=?≤0, 从而得21

2221≥+a a ， （1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，请写出上述结论的推广式；

（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。 38、已知两个向量)log ,log 1(22x x +=，),(log 2t x = )0(≠x . （1）若t=1且⊥，求实数x 的值；

（2）对t ∈R 写出函数b a x f ?=)(具备的性质.

39、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减

的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N 中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S 2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3、S 4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n = 。(不必给出证明)

40、若AB 是过二次曲线中心的任一条弦，M 是二次曲线上异于A 、B 的任一点，且AM 、BM 均与坐标轴不平行，则对于椭圆12222=+b y a x 有22

a

b K K BM AM -=?。类似地，对于双曲线122

22=-b

y a x 有BM AM K K ?= 。 41、已知()x x f lg =

（1）)()46()(2x f x x f x g -++=, 求)(x g 的最小值

（2）P 、Q 关于点（1，2）对称，若点P 在曲线C 上移动时，点Q 的轨迹是函数()x x f lg =的图象，求曲线C 的轨迹方程。

（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从()x x f lg =可抽象出)()()(2121x f x f x x f +=?的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质

由=)(x h 可抽象出)()()(2121x h x h x x h ?=+

由=)(x ? 可抽象出)()()(2121x x x x ???+=+

42、已知函数1

2()(,0)4f t at t R a a =-+∈<的最大值为正实数，集合

}0|{<-=x

a x x A ，集合}|{22

b x x B <=。 （1）求A 和B ；

（2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ?。

设a ，b ，x 均为整数，且A x ∈。)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自B A 的概率，写出a 与b 的二组值，使32)(=E P ，3

1)(=F P 。