复频域分析法
5-2 放大电路的复频域分析法
§1-2 放大电路的复频域分析方法一、复频域中放大电路的传输函数二、放大电路传输函数的特点三、放大电路波特图的近似画法1、线性时不变系统的传输函数)s (X )s (X )s (H i O =011n 1n n n 011m 1m mm a s a s a s a b s b s b s b ++⋯++++⋯++=----)p s ()p s )(p s ()z s ()z s )(z s (K)s (H n 21m 21-⋯---⋯--=∏∏==--=n j j mi i p s z s K 11)()(K ：常数；S = σ+j ω：复频率各系数由系统的各线性元器件的参数来确定。
因线性集总参数网络的元件参数都是实数，分子分母皆可进行因式分解。
σ≠0，暂态响应+稳态响应σ=0，稳态响应：（S = j ω）分子有理多项式的根Z i 使H(s)=0，称为零点。
分母有理多项式的根p j 使H(s)=∞，称为极点。
1、线性时不变系统的传输函数)p s ()p s )(p s ()z s ()z s )(z s (K)s (H n 21m 21-⋯---⋯--=∏∏==--=n j j mi i p s z s K 11)()(K ：常数；S = j ω：复频率z i 、P j ：零点、极点；放大器A （s ）u i (s)u O (s))s (u )s (u )s (A i O =∏∏==--=nj j mi i p s z s K 11)()(对放大器来说，增益即为放大器的传输函数：2、放大电路的传输函数二、放大电路传输函数的特点)s (A ∏∏==--=nj j mi i p s z s K11)()(①零点数小于或等于极点数。
nm ≤②所有极点都位于s 平面的左半平面上。
③极点数目等于电路中“独立”电抗元件的数目。
（放大电路是可实现的线性时不变系统）（放大电路应该是稳定的系统）低频增益函数高频增益函数全频段增益函数1、低频增益函数A L （s ）)s (A L ∏∏==--=n j j mi i p s z s K 11)()(放大器的A L (s)由低频小信号模型导出，忽略结电容和分布电容。
电路动态分析的方法
电路动态分析的方法电路动态分析是指对电路中各个元件和节点的电压和电流随时间的变化进行分析。
在电路动态分析中，可以使用多种方法来求解电路的动态响应。
下面将介绍几种常用的电路动态分析方法。
1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种在时间域和频率域之间进行转换的方法。
通过将电路中的微分方程转换为复频域中的代数方程，可以求解电路的动态响应。
在电路动态分析中，可以利用拉普拉斯变换法求解电路的响应和传输函数，并通过逆拉普拉斯变换将结果转换回时间域。
这种方法适用于线性时间不变系统和输入信号为简单波形的情况。
2. 时域响应法时域响应法是直接求解电路微分方程的方法。
通过对电路中的每个元件应用基尔霍夫定律和欧姆定律，可以得到电路中各个节点和元件的微分方程。
然后，可以采用常微分方程的求解方法，如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，来求解电路的动态响应。
时域响应法适用于任何输入信号和非线性电路。
3. 复频域法复频域法是通过复频域分析电路的动态响应。
它利用频率响应函数来描述系统的响应特性，并通过计算复频域中的传输函数和频率响应来求解电路的动态响应。
复频域法常用的分析工具包括频域响应函数、波特图、极点分析等。
复频域法适用于频率变化较大的信号和线性时不变系统。
4. 有限差分法有限差分法是将微分方程转化为差分方程求解的方法。
通过将时间连续的差分方程转换为时间离散的差分方程，可以用数值方法求解电路的动态响应。
有限差分法可以采用欧拉法、梯形法、显式或隐式的Runge-Kutta等方法来求解。
这种方法适用于任何非线性系统和任意输入信号。
5. 传递函数法传递函数法是通过传递函数来描述电路的响应特性。
传递函数是表示输入和输出关系的函数，可以通过对电路进行小信号线性化得到。
利用传递函数可以方便地计算和分析电路的动态响应。
传递函数法适用于线性时不变系统和复频域分析。
在实际应用中，根据具体问题和所需求解的电路，可以选择适合的动态分析方法。
不同方法有各自的优缺点，需要根据具体情况进行选择。
复频域分析法在电路中的应用
复频域分析法在电路中的应用摘要在分析电路过程中经常都是在时域中利用网络电流分析法、节点电压分析法来剖析电路，然而对于含有电感、电容的电路求解起来比较复杂，所以本文来着重讲解频域分析法，并将其与时域分析法相比较以凸显其在电路分析中简单、方便、快捷。
关键词频域分析法；时域分析法；电路设计1 复频域分析电路的思想首先将电路在时域中的模型转换为复频域模型，再应用电路理论的相关定律、定理和计算方法分析复频域模型，列出在S域中的方程组并经过简单的运算得到S域中的输出响应，然后通过来普拉斯反变换求得系统在时域中的响应函数。
2 RLC在复频域中的模型2.1 电阻R的S域模型设电阻R两端电压为UR（t）且流过电阻的电流为I（t），于是根据欧姆定律可以得：再将上式两边进行拉普拉斯反变换得到，所以其在时域中的模型如图1。
2.2 电容C的S域模型设电容C两端电压为UC（t）且流过电容的电流为I（t），于是我们可以得其时域里的微分方程为：再将其两边进行拉普拉斯反变换得到，所以电容C在时域中的模型如图2。
2.3 电感L的S域模型设电感L两端电压为UL（t）且流过电感的电流为I（t），则我们可以得电感在时域里的微分方程为：再将其两边进行拉普拉斯反变换得到，所以电感L 在时域中的模型如图3。
在以上的基础上我们来看一个实例，如图4所示的电路，电阻电容电感,电源电压为，且电路中所有的元件的初始状态为零，求电阻R2两端的电压Ul （t）？解：1）采用复频域分析法进行求解，将U（t）进行S拉普拉斯变换得设经过S域变换后A点的点位为UA（s）, B点的点位为UB（s），根据流入该节点的电流等于流出该节点的电流我们得式（1）和式（2）。
再将R1、R2、R3、L、C的值分别代入上式化简并求解得再将上式进行拉普拉斯反变换得：2）如果采用时域分析法进行求解设A点的点位为UA，B点的点位为UB，根据节点电流分析法，我们可以得到如下的微分表达式同理可以采用求解微分方程的方法求得：从上面我们可以看出：由于在时域中进行分析要列出微分或者积分方程，这样会使得在求解过程中非常复杂，然而在复频域分析法中我们可以避免列微积分方程以及其复杂的求解步骤。
第4讲 复频域分析
f
( 1)
(t )
f ( 1) (0 ) F ( s ) f ( )d s s
若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从 0- 到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根
据时域积分性质式(4.2 - 12)，则f(t)的单边拉氏变换为
( 1) t
(4.2-12)
F ( 1) (0 ) F ( s ) ( 1) f (t ) f ( )d s s (4.2-13) n 1 F ( s) (n) ( m) f (t ) n m 1 f (0 ) n s s m 1
同理： F2(s)=
+ -
-e (t )e dt e
at st -
0
( s a )t
1 ( s a )t dt e sa
0
1 [1 lim e ( a ) t e j t ] t sa 显然，只有当 a时，LT 才存在。 1 F(s)=[ f1 (t )] 1 sa ROC : Re( s ) a
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
例题：求单边正弦和单边余弦信号的LT。
e j0t (t )] [ 1 , Re( s ) 0 s j 0 1 , Re( s ) 0 s j 0
e j0t (t )] [
因此得
2 F2 ( s ) L[ f 2 (t )] s2
7. 时域积分 若f(t)←→ F(s)，Re［s］＞ζ0, 则有：
若f(-n)(t)表示从-∞到t对f(t)的n重积分，则有
动态电路的复频域分析
IL (s)
1 sL
uL (s)
1 s
iL
(0
)
Ic (s) scu c (s) cu c (.0 )
R SL Lil (0)
iR(s)
VR(s)RRI(s)
iL(s)
uL(s)
sLIL(s)LiL(0)
SL R
1 SC
1 s
V
Байду номын сангаас
c
(
0
)
ic(s)
uc (s)
1 sc
Ic
(s)
1 s
3 3 s.
IL(s)I1(s)I2(s)s(s5 7)0 5 s(0 10 5 ) 0
所以 i L ( t) 1 1 .5 e 5 t 0 0 .5 e 1tA 50 t 0
方法3：用戴维南定理求解 断开电感支路如图5.8 a所示，开路电压和输入运算阻抗分别为
50
U oc (s)
s
10 4
.
5.1.2 拉普拉斯变换的基本性质
一 、线性性质 拉普拉斯变换的一个重要性质是它的线性性
质(直线性)。亦即拉普拉斯变换是时域与复频域 间的线性变换。它表现为以下两个定理：
1 若 [f(t)]F(s)
则 [k(ft)]k(F s)
2 若 f(t)f1(t)f2(t)
则 F (s)F 1 (s)F 2 (s)
f(t) 1 cjF(S)estds
2j cj
（5.3）
应该认识到：u(t)和i(t)是时间的函数，即时域变量 ,时 域是实际存在的变量。而它们的拉普拉斯变换U(s)和I(s) 则是一种抽象的变量。我们之所以把直观的时域变量变 为抽象的复频率变量，是为了便于分析和计算电路问题， 待得出结果后再反变换为相应的时域变量。
43复频域分析法.ppt
1. laplace函数: 对函数进行拉氏变换 调用格式： L = laplace(F) F为函数，默认为变量t的函数，返回L为s的函数。在调用该 函数时，要用syms命令定义符号变量t。
2. ilaplace函数: 进行反拉氏变换 调用格式： F = ilaplace(L)
Vo=ilaplace(Vos); Vo=vpa(Vo,4) %Vo表达式保留四位有效数字; ezplot(Vo,[1,1+5e-3]);hold on; %仅显示时稳态曲线 ezplot('12.5*cos(8000*t)',[1,1+5e-3]); axis([1,1+5e-3,-50,50]);
【例】一个线性非时变电路的转移函数为
4 u 10 ( s 6000 ) o H ( s ) 2 6 u s 875 s 88 10 g
12 . 5 cos( 8000 t ) V 若u ，求 u o 的稳态响应。 g
利用拉普拉斯变换laplace函数和拉氏反变换 syms s t; ilaplace函数求解 Hs=sym('(10^4*(s+6000))/(s^2+875*s+88*10^6)'); Vs=laplace(12.5*cos(8000*t)); Vos=Hs*Vs;
plot是绘制二维图形，并且是x，y的表达 式是已知的或者是形如 y=f(x)这样确切 的表达式，而ezplot是画出隐函数图形， 是形如f(x,y)=0这种不能写出像y=f(x)这 种函数的图形
第11章 复频域分析
第11章 复频域分析主要内容：拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。
主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法，还将介绍KCL 和KVL 的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路。
并介绍了网络函数及其在电路分析中的应用，网络函数极点和零点的概念，讨论极点和零点分布对时域响应和频率特性的影响。
学时安排：本章分4讲，共8学时。
第三十二讲 拉普拉斯变换和基本性质一、主要内容1、为什么要引入拉普拉斯变换经典法求解动态电路，物理概念清楚，可以用来求解简单电路的过度过程。
但对具有多个动态元件的复杂电路，由于方程组的个数比较多、方程阶数较高，直接求解微分方程就显得困难。
而拉普拉斯变换法就是求解高阶复杂动态短路的行之有效方法之一。
拉普拉斯变换法又称运算法。
2、拉普拉斯正变换一个定义在[]∞,0区间的函数)(t f ，它的拉普拉斯变换式定义为式中ωσj s +=为复数，称为复频率，)(s F 称为)(t f 的原函数。
通过拉普拉斯正变换将一个时域函数)(t f 变换到频域函数)(s F 。
通常用符号记作[])()(t f L s F = 3、拉普拉斯反变换如果复频域函数)(s F 已知，要求与之对应的时间函数)(t f ，则由)(s F 到)(t f 的变化称为拉普拉斯反变换，定义为式中c 为正的有限常数，通常记作 )()]([1t f s F L =- 4、拉普拉斯变换的性质 1) 线性性质设)()(21t f t f 和是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为2121),)(A A s F s F 和（和是两个任意实常数，则([)]([)]()([22112211tf L A t f L A t f A t f A L +=+=)()(2211s F A s F A +2）微分性质函数)(t f 的象函数与其导数dtt df t f )()('=的象函数之间有如下关系)()]([s F t f L = 3）积分性质 函数⎰∞-0)()(ξξd f t f 的象函数与其积分的象函数之间满足如下关系若 )()]([s F t f L =则s s F d f L t)(])([0=⎰-ξξ根据拉氏变换的定义和上述基本性质，能方便地求得一些常用的时间函数的象函数。
复频域分析法ppt课件
1 2j
L{e2j1jt
L{eejjt t}
e
j1t 2j
}(
s121jj( s1sj1js)
1
js2
)s22
2
4
11.2 拉普拉斯变换的基本性质
2、微分性质
若
L { f (t)} F (s)
，则
L dfd(tt
)
sF
(s)
f (0 )
例题11.2: 应用微分性质求 f (t) cost 的象函数：
f (t) f1(t) f2(t) fn(t) 拉氏反变换求f(t)
8
11.3 拉普拉斯反变换
F(s)
F1(s) F2 (s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
讨论n >m 情况
非振荡过程
(1) F2(s)=0只有单根 f (t) A1e p1t A2e p2t Ane pnt
00
0s a
0 ssaa
3、单位冲激函数
L[
(t
)]
0
(t
)e st dt
0
0
(t
)e s 0dt
1
3
11.2 拉普拉斯变换的基本性质
1、线性性质
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
F (s) L{cos t} L{ 1 d sin t} 1
dt
sL{sin t} sin t t 0
s
s2 2
3、积分性质
若 L { f (t)} F (s) ，则 L{ t f ( )d} 1 F (s)
第十章 电路的复频域分析
1 i (0 ) I ( s) U L ( s) sL s
U L ( s) sLI ( s) Li(0 )
复频域 阻抗
1 i (0 ) I ( s) U L ( s) sL s
复频域 导纳
注意参 考方向
复频域的戴维宁模型
复频域的诺顿模型
复频域阻抗(complex frequency-domain impedance) ：
例3 C1 2F, C2 3F, R=5,
uC1 (0) = 10 V, uC2(0) = 0。
求开关闭合后的两电容电流iC1(t)、iC2(t)及电压u(t)。 解：
诺顿模型
I10 ( s ) 20
2s
12 3s 60s 12s I C 2 ( s ) 20 12 15 1 1 1 1 2s 3s 5s s s 5 5 25 25
i2 ( t )
1
1 4 6 t 3 5 t 5 t I ( s ) ( t ) e ( t ) e ( t ) te (t ) A 2 3 3 2
1 4 6 t 3 5 t 5 t e e te ( t ) A 2 3 3
1 1 12 s 4 IC 2 ( s) 1 1 3s 3s s s 25 25
8 t 8 ic1 (t ) 1I c1 ( s ) 1 12 25 [12 (t ) e 25 (t )] A 1 25 s 25 8 t 12 ic2 (t ) 1I c 2 ( s ) 1 12 25 [12 (t ) e 25 (t )] A 1 25 s 25 t 4 25 u(t ) 1U ( s) 1 4 e (t ) V 1 s 25
复频域分析
(Hale Waihona Puke 2、尺度变换性： 若f(t) ↔ F(s)，则 、尺度变换性： ， 3、时移性： 、时移性：
s 1 ↔ F( ) f(at) a a 若f(t)U(t)↔ F(s)，则 f(t±t0 )U(t±t0 ) ↔ F(s)e±st0 ↔ ，
s −a s 1 f(at- b)↔ F( )e a a
b
例1: f (t) = e−tU(t − 2) = e−2e−(t −2)U(t − 2)
⇔
1 1 − t0 s2 s
求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。 例3: 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。
∴
F(s) = F (s) 1
1 1− e−sT
E 1 − e − sτ F (s) = ⋅ S 1 − e − sT
∞ 0
【解】设
E f1(t) = 0
(0 < t <τ ) (τ < t <T)
n m=0
6、时域积分性： f(t) ↔ F(s)，则 、时域积分性： 若 ， 7、频域微分性：若f(t) ↔ F(s)，则 、频域微分性： ， 8、频域积分性： 、频域积分性： 若f(t) ↔ F(s)，则 ，
∫
t
0
f (τ)dτ) ↔
F(s) s
(−t) f (t) ↔
dF(s) ds n d F(s) (−t)n f (t) ↔ dsn
f2 (t)←→F2 (s)
则
C 1 f 1 ( t ) + C 2 f 2 (t ) ← → C1 F1 ( s ) + C 2 F2 ( s ) 其中：C1,C2为任意常数 其中：
例：
f (t ) = cos(ω0t ) = 1 e jω 0 t + e − jω 0 t 2 e-at
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k 1
n
Ak s pk
Ak lim F ( s)( s pk )
或
s pk
(k 1,2,, n)
Ak
F1 ( pk ) F2( pk )
1
(k 1,2, , n)
n pk t
f (t ) L {F ( s )} Ak e
k 1
对于单复根情况，仍可按上式求反变换，只是要作复数运算。
at
n 1
(1 t )e
(t )
A
A(1 e
t
1
A s A
s( s )
sin( t ) cos( t )
e e
at
s sin cos s s cos sin
2
)
sin( t ) cos( t )
pk t
m Bm k 1 m k pnt t e k 1 (m k )!
2
(t 0)
二重根
B2 lim
F1 ( s ) F2 ( s )
s pn
( s pn )
d F1 ( s) 2 B1 lim ( s pn ) s pn ds F2 ( s)
p5
h1
O t
*
p4
*
p6
*
h3 t O
O
t
位于实轴上时， 极点位于右半平面， 极点位于左半平面， 响应非振荡 暂态过程收敛、稳定 H(s)的极点与单位冲激特性的关系 暂态过程发散、不稳定 图11.14
网络函数
H ( s )
def
Y ( s) X (s)
Y(s)：零状态响应的象函数
X(s)：激励的象函数
u C (0 ) s
sL
Li L ( 0 )
sC
U C (s )
U R (s )
U L (s )
（1）求出全部电容uC(0-)的和全部电感的iL(0-)
（2）求出所有 U S (s) LuS (t )
I S ( s) LiS (t )
（3）画出运算电路，将电压、电流均用象函数表示
S
U1 1 ( s )
11 F s
_
u
2
A s 0 .6
B2 s
2
B1 s
图 题 1 1 .1 7
u 1 L {U 1 ( s )} (
1
4 9
e
0 .6 t
5 3
t
5 9
) ( t )V
网络函数
H ( s )
def
Y ( s) X (s)
Y(s)：零状态响应的象函数
L {af1 (t ) bf 2 (t )} aF1 ( s ) bF2 ( s ) L {aF1 ( s ) bF2 ( s )} af1 (t ) bf 2 (t )
1
2．微分性质
df (t ) 若 L { f (t )} F ( s) ，则 L sF ( s ) f (0 ) dt
3．位移性质
若 L { f (t )} F ( s)，则
L {e f (t )} F ( s a)
at
[Re( s a) 0]
拉氏逆变换
F ( s)
F1 ( s ) F2 ( s )
bm s bm 1s
m n
m 1
b1s b0
an s an 1s
F ( s)
F1 ( s ) F2 ( s )
bm s bm 1s
m n
m 1
b1s b0
an s an 1s
n 1
a1s a0
2．nm 情况
F ( s) s 9s 24s 22s 1
4 3 2
s 7 s 10s
3 2
X(s)：激励的象函数
网络函数H(s)和单位冲激特性h(t)都反映网络的固有性质。
H ( s ) L {h(t )} h(t ) L {H ( s )}
1
网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系
h4
位于虚轴上时，临界稳定
t
h6 t p6
p3
p1
h5
振荡
t
O
j
O
p2
p5
p4
O
O
振荡
h2
2、用直流电路的方法分析运算电路，求出待求量的象函数 3、用拉式逆变换求待求量
常用函数的拉普拉斯变换对 原函数 f(t)(t0)
(t )
e
at
象函数 F(s)
1 s 1 sa
原函数 f(t)(t0)
t e
n t
象函数 F(s)
n! ( s a)
s (s )
2
2
(n为正整数)
s ( s a) si整 数)
s
n!
n 1
at
( s a) ( s a) cos sin
2 2
( s a)
2
2
拉氏变换的主要常用性质
1．线性性质
若 L { f1 (t )} F1 (s), L { f 2 (t )} F2 (s) ，a、b为任意常数，则
i1 1 1 uS 1 u1 3i1
5 ( t ) V
。求电压 u 1 。
2
1F 图 题 1 1 .1 7
1H s
i I 1 ( s1) 1
_
①
(s)
1
②
1
3 I3i1 s ) ( 1
U
n2
(s)
( s 1)
2
2
s ( s 0 .6 )
U 1 (s)
U
uS
暂态过程的复频域分析法（运算法）
将直流电路分析方法推广用于复频域中的运算电路
R Z s 、G Y s 、 U s 、 I s U I
将附加电源与独立电源同样对待
步骤： 1、建立运算电路
将电路中所有元件用其复频域模型代替
I R (s )
R
I L(s )
1
I C (s )
2 s 14 s 20 s
2
f (t ) (t ) 2 (t ) 0.1 0.5e
0.6e
5t
2s 1
1、电路如图，已知 i S ( t ) A 。
试用运算法求出 t 0 时的电压 u C (t )
1H
iL
+ u _C
I S (s)
S
I L (s)
3F
I (s)
1 U 1u(1s ) _
3U 1 ( s ) 3u
1
4
U (s)
Yi
1F 1 s
(b )
0 s 0 .5 H
图 题 1 1 .5
n 1
a1s a0
设p1、 p2 、… pn为方程F2(s)=0的的根，称为F(s)的极点。 它们可以是实数也可以是复数。 1．n>m 情况 ( 设 a n 1)
(1) F2(s)=0只有单根
F ( s)
A1 s p1
A2 s p2
Ak s pk
An s pn
(2) F2(s)=0含有重根
设F2(s)=0含有一个m次重根，其余为单根
F2 ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn m )( s pn )
F ( s) F1 ( s) F2 ( s)
Bm k 1 d
nm
m
s p
k 1
Ak
k
Bm (s pn )
*
F (s)
A s p
A s p
*
令 p a j ， | A | / ，则 p a j ， | A | / A A
f (t ) L {F ( s)} 2 | A | e cos( t )
at 1
(t 0)
1．n>m 情况 ( 设 a n 1)
用分母多项式去除分子多项式
3 2
s2
4 3 2
s 7 s 10 s s 9 s 24 s 22 s 1
s 7 s 10 s
4 3
2
F ( s) s 2
2s 1 s 7 s 10 s
3 2
2t
2 s 14 s 22 s 1
3 3 2
网络函数H(s)和单位冲激特性h(t)都反映网络的固有性质。
H ( s ) L {h(t )} h(t ) L {H ( s )}
1
复频域网络函数与复数网络函数的关系
s=j
H(s)
j =s
H(j)
4、二端网络如图。试：（1）求此二端网络的等效运算阻抗 ； （2）绘出零、极图并判断该网络的暂态过程是否振荡、是否稳定。
1
-1 -2
4、二端网络如图。试：（1）求此二端网络的等效运算阻抗 ； （2）绘出零、极图并判断该网络的暂态过程是否振荡、是否稳定。
1 Yi u1
_
3F
用外加激励法求
3u 1
Z (s)
1F
0 .5 H
Z (s)
(b )
U (s) I (s)
2s 1 2s s 1