(完整版)圆性质定理
(完整版)初三《圆》知识点及定理
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
第24课 圆的基本性质
(2)由 CD＝83AB，可设 CD＝3x，AB＝8x， ∴FG＝CD＝3x. ∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x， ∴BG＝8x－3x－3x＝2x. ∵EG∥CF，∴BEEC＝BGGF＝23. ∵BE＝4，∴AC＝EC＝6，∴BC＝6＋4＝10， ∴AB＝ 102－62＝8＝8x，∴x＝1，∴AF＝3x＝3. 在 Rt△ ACF 中，∵AF＝3，AC＝6， ∴CF＝ 32＋62＝3 5， 即⊙O 的直径为 3 5.
⊙O 上的一个动点，且∠ABC＝45°.若 M，N 分别是
AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是
．
【答案】
52 2
图 24-6
题型一 点和圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在 圆内. 判断点与圆的位置关系主要是通过点到圆心的距 离与半径的比较．判断几个点是否在同一个圆上，主要是 看这几个点是否到某一点的距离都相等．
∴CCAE＝CCBA， ∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4， ∴CA＝2(负值舍去)． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ CA2＋CB2＝ 22＋42＝2 5， ∴⊙O 的半径为 5.
【类题演练 3】 (2019·株洲)如图 24-11，AB 为⊙O 的直 径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与 OB 相交于点 E，满足∠AEC＝65°，连结 AD，则∠BAD ＝______．
图 24-10
【解析】 (1)如解图，连结 OD． ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC． ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC． ∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，
︵︵ ∴AC＝CD. (2)如解图，连结 AC．
︵︵ ∵AC＝CD，∴∠CBA＝∠CAD． 又∵∠BCA＝∠ACE，∴△CBA∽△CAE，
圆的基本性质与定理
圆的基本性质与定理一有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段,以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆.圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧.逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧. ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.直径所对的圆周角是直角.90度的圆周角所对的弦是直径. 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍. ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆.外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等.③R=2S△÷L（R：内切圆半径,S：三角形面积,L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点. （4）如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦. （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半. （9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半.〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线. 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.（3）圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角. 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) [编辑本段]【圆的解析几何性质和定理】〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2. 圆的一般方程：把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）.其中和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2.该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2),半径r=0.5√D^2+E^2-4F. 圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r. 经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0,b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 〖圆与直线的位置关系判断〗平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0,可得y=（-C-Ax）／B,（其中B不等于0）,代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0.利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
圆的有关性质与定理
圆的有关性质与定理圆是几何学中非常重要的一个形状，它具有许多独特的性质和定理。
本文将探讨圆的有关性质和定理，以及它们在解决几何问题中的应用。
1. 圆的基本性质圆由一组等距离于中心点的点组成，这个等距离被称为半径(r)。
其中，将圆分成两个部分的线段，称为圆的直径(d)，直径是半径的两倍。
从圆的中心点到圆上任意一点的线段称为弦(chord)，而连接圆心和圆上一点的线段被称为半径。
此外，圆的周长(c)与直径之间有一个重要的关系，即周长等于直径乘以π(pi)。
2. 切线与切点与圆相切的直线称为切线(tangent)。
切线与半径的交点称为切点。
在圆上，切线与半径垂直，这是一个重要的性质。
对于给定的圆和一点P在圆外，只有一条通过点P且与圆相切的直线存在。
3. 弧长与扇形面积圆的弧是圆上两点之间的弧段。
圆心角是由圆心和弧上两点确定的角。
弧长是圆弧的长度，它与圆周上的圆心角成正比。
扇形是由圆心、圆周上的两点和弧组成的区域。
扇形的面积与圆心角的大小成正比。
4. 弧度与角度弧度是衡量角度大小的单位，它是表示圆心角的一种常用方式。
一个完整的圆是360度，对应的弧度是2π。
在解决几何问题时，很多情况下使用弧度会更方便。
5. 垂径定理垂径定理是一种关于圆的性质。
它指出，如果一条直径与圆上的弦垂直相交，那么它将弦二等分。
6. 弦切角定理弦切角定理也是一个与圆有关的重要定理。
它指出，如果一条弦和切线相交，那么切线与这条弦所对的弧所对应的圆心角相等。
7. 正切线定理在圆上，如果一条切线和一条半径相交，那么相交点处的切线段长的平方等于切点到圆心的距离乘以切点到切线的距离。
8. 切割线定理切割线定理是关于两个圆的性质。
当两个圆相交时，两个圆心之间的直线被称为切割线。
根据切割线定理，两个相交圆的切割线可以划分成相等的线段。
以上是一些关于圆的重要性质和定理，它们在解决几何问题和建立几何证明时经常被使用。
掌握这些性质和定理，能够帮助我们深入理解圆的特性，并且能够应用它们解决与圆相关的几何问题。
两圆相交的性质定理
两圆相交的性质定理两圆相交的性质定理是几何学中一种重要的定理，它有着扎实的理论根基，能够有效地描述和说明数学实际情况。
两圆相交的性质定理涵盖几何图形的尺寸、长度、面积以及位置等重要的数学概念，是几何学中最重要和最基础的定理之一。
两圆相交的性质定理指出，假设两个圆在空间中相交，则必定有以下三种情况：第一种情况是一个圆完全包裹另一个圆，即外圆包含内圆；第二种情况是两个圆相切，即两个圆的半径之和等于圆心的距离；第三种情况是两个圆有一个公共触点，但它们不相切，即两个圆的半径之和大于圆心的距离。
此外，当两个圆在空间中相交时，还可以计算出它们的交点、相交角度等属性。
如果圆心距离小于半径之和，则它们有两个公共触点；如果圆心距离等于半径之和，则它们有一个公共触点；如果圆心距离大于半径之和，则它们没有公共触点。
来看一个简单的例子。
给定两个圆，A圆的圆心在(2,2)的位置，半径是2，B圆的圆心在(3,3)的位置，半径是3。
若以此求解两圆相交的性质定理，则可得出，这两个圆的圆心距离为$sqrt5$，半径之和为5，即$sqrt5<5$，即表明两个圆有两个公共触点，并且在空间中结成一个角度，但不相切。
两圆相交的性质定理具有广泛的应用领域，从几何到天文学再到求解建筑结构等问题都能够利用它来解决。
例如，在求解建筑结构时，可以由两圆相交的性质定理来求解两个大梁的交点，进而确定它们之间的距离，从而为建筑结构的设计提供便利。
另外，两圆相交的性质定理也在数学分析中大量被运用，例如它常常作为信赖域判断两个事件相关性的依据。
运用它可以大致估算出一组数据在统计上的表现，用以解决抽样分析和归因研究等问题。
总之，两圆相交的性质定理是一种在几何学、数学分析和应用数学中具有重要价值的定理。
它使我们能够把几何学概念用于复杂的问题，从而使我们的解决方法更加有效、科学、合理。
圆的基本性质与定理
[圆的基本性质与定理]1定理: 不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
圆的基本性质与定理
[圆的基本性质与定理]1定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L 和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
1.圆的有关概念及性质资料
考点四 垂径定理的应用 例 4(2014· 南宁)在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内 装入一些油以后，截面如图所示，若油面 AB＝ 160 cm，则油的最大深度为( A．40 cm C．80 cm B．60 cm D．100 cm )
【点拨】如图，作OC⊥AB于点C，并延长与⊙O 交与点D，连接OA，
B. BC ＝ BD C．△BOC 是等边三角形 D．四边形 ODBC 是菱形
【点拨】垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对 的两条弧，由此可知 BC ＝ BD ，其他结论均错 误．故选B. 【答案】 B
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系 例 2(2014· 贵港)如图，AB 是⊙O 的直径， BC ＝ CD ＝ DE ，∠COD＝34° ，则 ∠AEO 的度数是( )
(2)如图，连接OC，∵OD＝OB，∴∠OBD＝ ∠ODB＝30° .由(1)，得∠OBC＝2∠OBD＝60° ，又 ∵OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形．∴BC＝OC＝OD.
考点训练
2． △ABC 为⊙O 的内接三角形，若 ∠AOC＝160° ，
则∠ABC 的度数是( D )
A．80° C．100° B．160° D．80° 或 100°
第六章 第1讲
圆
圆的有关概念及性质
考点一
圆的有关概念及性质
1．圆的概念
在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O
旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆．固定 的端点O叫做 圆心，线段OA叫做 半径． ．
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的 弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧． 3．连接圆上任意两点的线段叫做 弦；经过圆心
1 ∵AB＝160 cm，∴AC＝ AB＝80(cm)．在 Rt△OAC 2 中，OA＝100 cm，∴OC＝ OA2－AC2＝ 1002－802＝ 60(cm)．∴CD＝OD－OC＝100－60＝40(cm)．故选 A. 【答案】 A
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圆的性质定理
一．定理：
1.垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，
并均分弦所对的两条弧。
2.垂径定理的推论： (1) 均分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦； (2) 弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；(3) 均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所
对的另一条弧。
（5 个条件：①直径②垂直于弦③均分弦④均分弦所对的优弧⑤均分弦所对的劣弧，知足此中两个，其余三个也建立。
注：当具备① ③时，需对另一条弦增添它不是直径的3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半。
4．圆周角定理的推论：(1) 同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周
角所对的弧也相等； (2) 半圆或直径所对的圆
周角是直角， 90 °的圆周角所对的弦是直径 .
5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它
们的切线长相等圆心与这一点的连线均分两
条切线的夹角。
5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对
的圆周角。
6.弦切角定理的推论：假如两个弦切角所夹
的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
7.订交弦定理：圆内的两条订交弦，被交
点分红的两条线段长的积相等。
8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这
限制。
）一点到每条割线与园的交点的两条线段长的
积相等。
8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比率中项。
二．性质：
1.在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距
中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。
2.确立圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确立（有且只有）
一个圆。
（作法：连结随意两点并作此中垂线，以这两条中垂线的
交点为圆心，以这一点到已知三点中随意一点的距离为半径作圆）
3.切线性质概括：（ 1）垂直于切线（ 2 ）过切点（ 3）过圆心，假如一条直线知足这三个条件中随意 2 个，那么就知足第 3 个。
（碰到切点连半径）
增补 3：切线五大性质：（1 ）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（ 3）切线垂直于过切点的半径（4 ）经过圆心垂
直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经
过
圆心。
4.切线的判断方法：（1 ）与圆有独一公共点的直线是圆的切线（ 2）
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（ 3 ）经过半径的外端，并
且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判断定理）。
续4：证明切线的协助线作法：（1）连半径，证半径与该直线垂直（ 2）作垂直，证垂线长度等于半径。
5．在直角三角形中的内切圆，半径 r=a+b+c/2 或 1/2 周长 - 斜边；一般
三角形中， r=2s/c
6.圆和圆的地点关系：
地点关系名称图形公共点圆心距和半径的关系外离0d>R+r 相离
00 d<R-r
内含
≤
外切1d=R+r 相切
内切1d=R-r 订交订交2R-r<d<R+r。