高三数学10月月考试题 (2)

山东省枣庄市第八中学东校区2017届高三数学10月月考试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1.已知全集U {1,2,3,4,5,6}=，{2,4,5}A =，{1,3,5}B =，则()()B C A C U U ?=

A.{6}

B.{5}

C.{1,2,3,4}

D.{5,6} 2.“6

π

α≠

”是“1

sin 2

α≠

”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.化简11sin(2)cos()cos()cos()

229cos()sin(3)sin()sin()

2

ππ

παπαααπ

παπαπαα-++-----+的结果是

A.1

B.sin α

C.tan α-

D. tan α 4.曲线sin

2x

y π=与3

y x =围成的图形的面积是

A. 12

B.34

C. 214π-

D.412

π-

5.函数sin(2)y x ?=+，(0,2)?π∈的部分图象如图所示，则?的值为

A.3π

B. 43π

C.56π

D. 3

π或43π

6.若不存在实数x 使不等式1231x 2

--≤-+-a a x 成立，则实数a 的取值范围是 A.1a <-或3a > B.13a -<< C.31≤≤-a D.31≥-≤a a 或 7.已知数列{}n a 中，11

4

a =-

，111n n a a -=-(1)n >，则2016a 的值为

A.14-

B.5

C.4

5

D.2 8.在150米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30?，60?， 则塔高为

A.50米

B. 75米

C. 100米

D. 125米

9. 设点P 在曲线e x

y =上，点Q 在直线y x =上，则PQ 的最小值为

A.

1

2

B.1

C. 22

D.2

10.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有[()ln ]1f f x x -=成立，则方程2

()2()7f x x f x '+=的解所在的区间为

x

y

O

3

π

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知向量(1,0)=a ，(0,1)=b ，若向量()()λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为 ． 12.已知函数a x x y +-=

22的值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为 ．

13.函数163x y =-的值域是 ．

14. 若实数,x y 满足112+≤≤-x y x ，则4z x y =-的最小值为 ．

15．设函数)(x f 的定义域为R ,若存在常数0M >,使()f x M x ≤对一切实数x 均成立,则称

)(x f 为“倍约束函数”.现给出下列函数:

①x x f 2)(=； ②2

()1f x x =-； ③()sin f x x =；④()cos f x x =； ⑤2()22

x

f x x x =

-+.

其中是“倍约束函数”的有 ．（将符合条件的函数的序号都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）对于函数2

()21

x

f x a =-

-()a ∈R : （1）用单调函数的定义证明()f x 在(,0)-∞上为增函数；

（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.

17. （本小题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )1f x x x x ωωω=+-，(0)ω>，且()y f x =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

4

π.

（1）求ω的值；

（2）求()f x 在区间[0,]2

π上的最大值和最小值及取得最大、最小值时相应的x 的值.

18. （本小题满分12分）某厂生产的某种产品包括一等品和二等品，如果生产出一件一等品，可获利200元，如果生产出一件二等品则损失100元，已知该厂生产该种产品的过程中，二等品率p 与日产量x 的函数关系是：3432

x

p x =

+*()x ∈N ，问该厂的日产量为多少件时，可获得最大盈利，

并求出最大日盈利额.（二等品率p 为日产二等品数与日产量的比值）

19. （本小题满分12分）已知坐标平面上三点(6,0)A ，(0,B ，(cos ,sin )C αα，[0,2)απ∈. （1）求△ABC 面积的表达式，并化简成一个角的一个三角函数形式； （参考公式：△ABC 中，若11(,)CA x y =，22(,)CB x y =，则12211

2

ABC S x y x y ?=

-） （2）若2

()43OA OC +=（O 为坐标原点），求△ABC 的面积.

20. （本小题满分13分）已知公差为d 的等差数列{}n a 和公比0q <的等比数列{}n b ，111a b ==，

22a b +1=，33 4.a b +=

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）令2*

2()n a

n n c b n =?∈N ，抽去数列{}n c 的第1项、第4项、第7项、…、第(32)n - 项、…，

余下的项的顺序不变，构成一个新的数列{}n d ，求数列{}n d 的前n 项和.n S

21. （本小题满分14分）已知函数()f x 在R 上总有导数()f x '，定义()e ()x

F x f x =，

()

()e

x f x G x =

，x ∈R （e 2.71828=???是自然对数的底数）. （1）若()0f x >，且()()0f x f x '+<，x ∈R ，试分别判断函数()F x 和()G x 的单调性； （2）若2

()33f x x x =-+，x ∈R .

①当[2,]x t ∈-，(1)t >时，求函数()F x 的最小值；

②当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为保值区间.设()g x ()(2)e x F x x =+-，问函数()g x 在(1,)+∞上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.

10月月考答案

1-5ABCD A 6-10BCCCC 11、1， 12、(]1-，

∞，13、[)40，，14 -3，15、⑤

16.（1）证明：任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.

则1

21222()()()()2121x x f x f x a a -=-----21

22

2121x x =---12122(22)(21)(21)x x x x -=-- 1211222(12)

(21)(21)

x x x x x -?-=--.……………………………………………………………………………4分 因为12,x x ∈(,0)-∞，故1210x -<，2210x -<，又因为12x x <，所以2121x x

->.

所以1211

222(12)

0(21)(21)

x x x x

x -?-<--，即12()()0f x f x -<，所以12()()f x f x <. 所以()f x 在(,0)-∞上为增函数……………………………………………………………6分

（2）对任意x ∈(,0)

-∞(0,)+∞，x -∈(,0)-∞(0,)+∞.

22

()()2121

x x f x f x a a -+-=-+---22222112x x x

a ?=----222221x x a ?-=+-220a =+=…10分

解得1a =-，此时()()f x f x -=-.

所以存在1a =-，使函数()f x 为奇函数…………………………………………12分 17. 解：（1）2

()2sin 2sin cos 1f x x x x ωωω=+-2

2sin cos (12sin )x x x ωωω=--

sin 2cos2x x ωω=-2)4x π

ω=-.………………………………4分

因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4

π

，又0ω>，

所以2424

ππ

ω=?.因此1ω=.…………………………………………………………6分 （2）由（1）知，()2)4

f x x π

=-.

当02x π≤≤时，32444

x πππ

--≤≤.

所以12)24

x π

--……………………………………………………………10分

当24

2

x π

π

-

=

，即38x π=

时，()f x 在区间[0,]2

π

上的最大值为2； 当即0x =时，()f x 在区间[0,]2

π上的最小值为1-.……………………………………12分

18. 解：设日盈利额为y 元，每天生产x 件产品时，二等品数为2

3432

x xp x =+，

一等品数为

3(1)(1)432

x

x p x x -=-=

+232432x x x ++.……………………………………………………2分 所以

22200(32)1003432432x x x y x x +?=-++225(64)

8

x x x -=+. ………………………………………………6分

下面考虑其在(0,)+∞上的单调性. 求导，得2

25(32)(16)

(8)

x x y x +-'=-

+. 当(0,16)x ∈时，0y '>；当(16,)x ∈+∞时，0y '<.

所以225(64)

8

x x y x -=+在(0,16)内为增函数，在(16,)+∞内为减函

数. ……………………………10分

所以当16x =时，y 最大，且max 800y =元.

即该厂的日产量为16件时，可获得最大盈利，最大盈利为800元． ………………………………12分

19. 解：（1）因为(6cos ,sin )CA αα=--，(cos ,3sin )CB αα=-. ………………2分 所以1

(6cos )(23sin )sin cos 2

ABC S αααα?=

--

63(3sin 3)αα=………………………………………………………………4分

31

6323(

sin cos )22

αα=+ 6323)6

π

α=+，[0,2)απ∈. ………………………………………6分

（2）因为(6,0)OA =，(cos ,sin )OC αα=，所以6OA =，1OC =，6cos OA OC α?=.………8分

由2

()43OA OC +=，得2

2

243OA OA OC OC +?+=，所以3612cos 143α++=，

解得1cos 2α=.因为[0,2)απ∈，所以3πα=或53

π.………………………………10分 当3π

α=

时，6323sin(

)4336ABC S ππ

?=-+=；

当53

πα=时，56323sin()7336

ABC

S ππ

?=-+=.

所以△ABC 的面积为43或73.…………………………………………………12分 20.解：由题意，得2

(1)1 1 (12)1 4 d q d q ++?=???

++?=??①

②

………………………………………………2分 由①，得.d q =- 代入②中，可得2

230.q q --=

解得3q =，或 1.q =-因为公比0q <，所以舍去3q =，从而 1.q =-

所以 1.d q =-=……………………………………………………………………4分

所以1(1)1n a n n =+-?=，11

1(1)(1).n n n b --=?-=-…………………………6分 （2）222.n a

n

n n c b =?=

解法一：由题意，3121312n n n d c ---==； 3232.n

n n d c ==……………………………7分

当*

2()n k k =∈N 时，1232n k S d d d d =++++

1321242()()k k d d d d d d -=+++++++

2

5

31363(222)(222)k k -=++

++++

+………8分

31333

33

4228221212

k k --?-?=+-- 3

32

12(21)12(21)

.77

n k

--==…………………………10分 当*

21()n k k =-∈N 时，

2122n k k k S S S d -==-3312(21)27k k -=

-352127

k

?-=

3(1)2

52

12.7n +?-= ………12分 综上，3(1)

2

3

25212,7

12(21), .

7n n n n S n +??-??=??-??

为奇数,

为偶数……………………………………………13分

解法二：当*

2()n k k =∈N 时，1232n k S d d d d =++++

1231432()()k k c c c c c c -=+++-+++………7分 1

2

31432(222)(222)k k -=++

+-++

+

3323

3

2222221212

k k --?-?=---…………………………9分 3

31

2

62

12

12(2

1)

.7

7

n k +?--==

………………………10分

当*

21()n k k =-∈N 时，

2123n k k k S S S c -==-31

362

12

27

k k +?-=

-3(1)2

52

12

.7

n +?-=

……………………12分

综上，3(1)

2

325212,7

12(21), .

7n n n

n S n +??-??=??-??为奇数,

为偶数……………………………………………13分

21.解：（1）对()e ()x F x f x =求导，得()e ()e ()x x F x f x f x ''=+e [()()]x

f x f x '=+，

因为()()0f x f x '+<，所以()0F x '<，所以()F x 在R 上为减函数. …………………………………2分

对()()e x f x G x =求导，得2()e ()e ()e x x x f x f x G x '-'=()()

e x

f x f x '-=.

因为()0f x >，且()()0f x f x '+<，所以()()0f x f x '<-<，()()f x f x '-2()0f x <-<.

所以()0G x '<，所以()G x 在R 上为减函数. ……………………………………………………………4分

（2）①()e ()x

F x f x =2

(33)e x

x x =-+，求导得2

()(23)e (33)e x

x

F x x x x '=-+-+

2()e x x x =-(1)e x x x =-.……………………………………………………………………6分

当x 变化时，()F x '，()F x 的变化情况如下表：

x

2-

(2,0)-

(0,1)

1 (1,)t

t

()F x '

＋

－

＋

()F x 213e - 递增↗ 极大值3 递减↘ 极小值e 递增↗ 2(33)e t t t -+

…………………………………………………………………………………………8分 因为2

2213131313e

2.2e e 2.56

-=

<<<<，所以函数()F x 的最小值为213e -.…………………………9分

②函数()g x 在(1,)+∞上不存在保值区间，证明如下：

由题意，()g x 2

(33)e (2)e x

x

x x x =-++-2(1)e x

x =-.

求导得，

2()(22)e (21)e x x g x x x x '=-+-+2(1)e x x =-. …………………………………………10分

假设函数()g x 在(1,)+∞上存在保值区间[,]a b ，因为当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，

所以()()g a a g b b =??=?，即22(1)e (1)e a

b

a a

b b

?-=??-=??，这说明方程2(1)e x

x x -=有两个大于1的相异实根. ……11分

设2

()(1)e x

x x x ?=--，(1)x >，求导得，2

()(1)e 1x

x x ?'=--， 设2

()()(1)e 1x

h x x x ?'==--.则2

()(21)e x

h x x x '=+-.

当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上为增函数.又(1)10h =-<，2

(2)3e 10h =->.