现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
本科实验报告课程名称：现代控制理论实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房专业班级：自动化学号：学生姓名：指导教师：年月日现代控制理论基础一、实验目的（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容（一）、状态反馈状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为（1）其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为Kx r u -=（2）式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为（3）可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=n n n a s a s +++-Λ11这是状态反馈阵K 可根据下式求得K=[])(100*1A f U c -Λ（4）式中[]bA Ab b U n c 1-=Λ，)(*A f是将系统期望的闭环特征方程式中的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..其实，在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为K=acker(A,b,p)式中，p为给定的极点，K为状态反馈阵。
现代控制理论实训报告
一、前言随着科技的飞速发展，自动化、智能化已成为现代工业生产的重要特征。
为了更好地掌握现代控制理论，提高自己的实践能力，我参加了现代控制理论实训课程。
本次实训以状态空间法为基础，研究多输入-多输出、时变、非线性一类控制系统的分析与设计问题。
通过本次实训，我对现代控制理论有了更深入的了解，以下是对本次实训的总结。
二、实训目的1. 巩固现代控制理论基础知识，提高对控制系统的分析、设计和调试能力。
2. 熟悉现代控制理论在工程中的应用，培养解决实际问题的能力。
3. 提高团队合作意识，锻炼动手能力和沟通能力。
三、实训内容1. 状态空间法的基本概念：状态空间法是现代控制理论的核心内容，通过建立状态方程和输出方程，描述系统的动态特性。
2. 状态空间法的基本方法：包括状态空间方程的建立、状态转移矩阵的求解、可控性和可观测性分析、状态反馈和观测器设计等。
3. 控制系统的仿真与实现：利用MATLAB等仿真软件，对所设计的控制系统进行仿真，验证其性能。
4. 实际控制系统的分析：分析实际控制系统中的控制对象、控制器和被控量，设计合适的控制策略。
四、实训过程1. 理论学习：首先，我对现代控制理论的相关知识进行了复习，包括状态空间法、线性系统、非线性系统等。
2. 实验准备：根据实训要求，我选择了合适的实验设备和软件，包括MATLAB、控制系统实验箱等。
3. 实验操作：在实验过程中，我按照以下步骤进行操作：（1）根据实验要求，建立控制系统的状态空间方程。
（2）求解状态转移矩阵，并进行可控性和可观测性分析。
（3）设计状态反馈和观测器，优化控制系统性能。
（4）利用MATLAB进行仿真，观察控制系统动态特性。
（5）根据仿真结果，调整控制器参数，提高控制系统性能。
4. 结果分析：通过对仿真结果的分析，我对所设计的控制系统进行了评估，并总结经验教训。
五、实训成果1. 掌握了现代控制理论的基本概念和方法。
2. 提高了控制系统分析与设计能力，能够独立完成实际控制系统的设计。
北京化工大学测控现代控制理论实验报告
图 2.1 起重机受力分析过程
图 2.2 起重机系统的简化模型
选取小车的位移x 及其速度x ，摆的角位移θ及角速度θ作为状态变量，x 为输出变量。 假设系统参数为m0=50kg， m=5kg，l=1m, g=9.8m/s2,则可以列出起重机系统的状态空间 表达形式。 由此模型可知，拉力F为输入变量，所以对于此系统，G(s)= X(s) S^2+9.8 = F(s) 50S^4+539S^2
n=length(A); JA=poly(A); Q=[B];
JJA=poly(lambda); for i=1:n-1 end
Q=[A^(i)*B Q]; T=zeros(n,n); for i=1:n end T=T+sparse(i:n,1:n-i+1,JA(i)*ones(1,n-i+1),n,n); P=Q*T;
Scope2:
图3.18 带反馈的第二个状态变量波形 Scope1:
图 3.18 带反馈的第三个状态变量波形
Scope:
图3.19 带反馈的第四个状态变量波形 四、思考题
（1）说明反馈控制闭环期望极点和观测器极点的选取原则。 答：对于反馈控制闭环期望极点：首先闭环极点一定选在左半平面上，由于本系统为 高阶系统，在高阶系统中，通常可以根据上升时间，超调量，回复时间等性能指标，按照主 导极点的原则来选取。 具体如下：选择一对期望的主导极点，其余极点选在距主导极点左边较远的地方，不过此时 系统的零点应该位于左半开平面上距离虚轴较远的地方， 使得其余极点及可能出现的零点对 系统动态性能的影响较小。 对于观测器极点： 需使观测器的期望极点在闭环反馈系统A-BK极点的左边不远处， 一般地，期望极点的选择应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统响应速度快2 —5倍 （2）说明增益矩阵对（K，L）的变化对系统性能的影响关系。 反馈系统期望极点在 S 平面上向左移动，响应速度变快，但控制信号明显加大，超调量增 加，反之，则控制信号较小，但响应时间变长。 观测器极点在 S 平面上向左移动， 观测器状态逼近实际状态的速度加快， 但增益矩阵 L 也随 之增大，实验起来较为困难，易产生饱和。 （3） 说明观测器的引入对系统性能的影响。 答：提高系统的阶次，会使系统响应变慢，计算复杂。
现代控制理论实验报告
现代控制理论实验报告现代控制理论实验报告组员：院系：信息工程学院专业：指导老师：年月日实验1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换[实验要求]应用MATLAB 对系统仿照[例]编程，求系统的A 、B 、C 、阵；然后再仿照[例]进行验证。
并写出实验报告。
[实验目的]1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。
[实验内容]1 设系统的模型如式示。
p m n R y R u R x DCx y Bu Ax x ∈∈∈??+=+=&其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×m 维输入矩阵 C 为p ×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0，只有n 和m 维数相同时，D=1。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式示。
D B A SI C s den s num s G +-==-1)()()(()(式中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的按s 降幂排列的分母。
2 实验步骤① 根据所给系统的传递函数或（A 、B 、C 阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式，采用MATLA 的编程。
注意：ss2tf 和tf2ss 是互为逆转换的指令；② 在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。
③ [] 已知SISO 系统的状态空间表达式为，求系统的传递函数。
,2010050010000100001043214321u x x x x xx x x ?-+-=????????????&&&&[]???=43210001x x x x y程序:A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0]; B=[0;1;0;-2]; C=[1 0 0 0]; D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)程序运行结果:num =0 den =0 0 0从程序运行结果得到:系统的传递函数为:24253)(ss s S G --= ④ [] 从系统的传递函数式求状态空间表达式。
状态反馈实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景在现代控制理论中，状态反馈是控制系统设计中的重要方法之一。
它通过将系统的状态信息反馈到控制输入，实现对系统动态特性的调节和优化。
本实验旨在通过MATLAB软件，验证状态反馈在控制系统设计中的应用，并分析其效果。
二、实验目的1. 理解状态反馈的原理和设计方法；2. 掌握状态反馈在控制系统中的应用；3. 分析状态反馈对系统性能的影响；4. 比较不同状态反馈策略的优劣。
三、实验内容1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，实现状态反馈。
3. 仿真分析：通过MATLAB软件进行仿真实验，分析不同状态反馈策略对系统性能的影响。
4. 结果比较：比较不同状态反馈策略的优劣，总结实验结论。
四、实验步骤1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：根据极点配置法，确定闭环系统的极点位置，设计状态反馈控制器。
3. 仿真分析：在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
4. 结果比较：分析仿真结果，比较不同状态反馈策略的优劣。
五、实验结果与分析1. 系统模型建立根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型如下：G(s) = 1 / (s^2 + 2s + 2)2. 状态反馈设计采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，设计状态反馈控制器如下：K = [k1, k2]其中，k1和k2为待定系数。
通过求解以下方程组，确定k1和k2的值：(sI - A - BK)^-1B = C其中，A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，I为单位矩阵。
3. 仿真分析在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
（1）无状态反馈将K置为零，观察系统响应。
（2）状态反馈根据上述设计的控制器，设置不同的k1和k2值，观察系统响应。
4. 结果比较通过仿真实验，比较不同状态反馈策略的优劣。
现代控制实验报告
现代控制理论实验报告系统的状态空间分析与全维状态观测器的设计一、实验目的1 •掌握状态反馈系统的极点配置；2 •研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验仪器1 •计算机2. MATLAB 软件三、实验原理一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。
极点配置有两种方法：①采用变换矩阵T,将状态方程转换成可控标准型，然后将期相等，从而决定状态反馈增益矩阵K;②基于Carlay-Hamilton理论，它指出矩阵㈡满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式：的值，可以推出增益矩阵K。
这种方法推出增益矩阵K的方程式叫Ackermann公式。
四、实验内容1 •试判别下列系统的可控性和可观性：(1) A=[1,2,3;1,4,6;2,1,7]B=[1,9;0,0;2,0];C=[1,0,0;2,1,0]实验程序：a=[1,2,3;1,4,6;2,1,7]b=[1,9;0,0;2,0]c=[1,0,0;2,1,0]n=size(a)uc=ctrb(a,b)uo=obsv(a,c)if ran k(uc)==ndisp('系统可控')elsedisp('系统不可控')end if ran k(uo )==ndisp（'系统可观'）elsedisp（'系统不可观'）End实验结果：a =1 2 31 4 62 1 7b =1 90 02 02 1 0n =3uc =1 9 7 9 81 810 0 13 9 155 1532 0 16 18 139 153 uo =1 0 02 1 01 2 39 13 3635 50 141系统可控系统可观(2) A=[-2,2,-1;0,-2,0;1,-4,0]B=[[0；0；1]C=[1,-1,1]程序：A=[-2,2,-1;0,-2,0;1,-4,0];B=[0；0；1]；C=[1,-1,1];Qc=ctrb(A,B);n=ran k(Qc);if(n==3),disp('系统可控'); else,disp('系统不可控');end系统不可控Qo=obsv(A,C);m=ra nk(Qo);if(m==3),disp('系统可观');else,disp('系统不可观');end系统不可观2.全状态反馈极点配置设计：设系统的状态方程为：x=Ax+Bu其中，A=[0,1,0;0,0,1;-1,-5,-6]B=[0;0;1]p1=-2+j4、要求：利用状态反馈控制u=-Kx,将此系统的闭环极点配置成p2=-2-j4、p3=-10。
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。
状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。
状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。
本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。
一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。
其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。
2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。
3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。
状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。
二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。
其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。
3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。
状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。
现代理论控制实验3
ans =3，所以系统是能控的
由Vo=obsv(a,c);rank(Vo)得
ans =3，所以系统是能观的
(2)
a.
选取K=[0 3 0] 为状态反馈矩阵，解得闭环ห้องสมุดไป่ตู้统的零点、极点和传递函数如下
由a=[-3 0 0;0 2 0;0 0 -1];b=[1 1 1]';k=[0 3 0];a1=a+b*k得
三、实验过程及结果
1. 已知系统
（1）求解系统的零点、极点和传递函数，并判断系统的能控性和能观测性。
（2）分别选取K=[0 3 0]，K=[1 3 2]，K=[0 16 /3–1/3]为状态反馈矩阵，求解闭环系统的零点、极点和传递函数，判断闭环系统的能控性和能观测性。它们是否发生改变?为什么？
（3）任选三个输出反馈矩阵，求解闭环系统的零点、极点和传递函数，并判断系统的能控性和能观测性。它们是否发生改变? 为什么？
[xo,x,t]=simobsv(g1,l);plot(t,x,'-k',t,xo,':r')
观测器观测到的状态如下
其中l=
(4)
三、实验结果
1(1)
系统的零点、极点和传递函数如下
由a=[-3 0 0;0 2 0;0 0 -1];b=[1 1 1]';c=[0.4 0.2667 0.3333];g1=ss(a,b,c,0)；g1=tf(g1)得
g1=
由g1=zpk(g1)得
系统的零点为1,-2;系统的极点为-3，-1，2
系统的能控性和能观性判断如下
ans =3，所以系统是能控的
由Vo=obsv(a,c);rank(Vo)得
《现代控制理论》实验报告
.现代控制理论实验报告组员：院系：信息工程学院专业：指导老师：年月日实验1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换[实验要求]应用MATLAB 对系统仿照[例1.2]编程，求系统的A 、B 、C 、阵；然后再仿照[例1.3]进行验证。
并写出实验报告。
[实验目的]1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。
[实验内容]1 设系统的模型如式(1.1)示。
p m n R y R u R x DCx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+= (1.1)其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×m 维输入矩阵 C 为p ×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0，只有n 和m 维数相同时，D=1。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)示。
D B A SI C s den s num s G +-==-1)()()(()( (1.2)式(1.2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的按s 降幂排列的分母。
2 实验步骤① 根据所给系统的传递函数或（A 、B 、C 阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)，采用MATLA 的file.m 编程。
注意：ss2tf 和tf2ss 是互为逆转换的指令；② 在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。
③ [1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1.3)，求系统的传递函数。
,2010050010000100001043214321u x x x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43210001x x x x y (1.3)程序:A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0]; B=[0;1;0;-2]; C=[1 0 0 0]; D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)程序运行结果:num =0 -0.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 den =1.0000 0 -5.0000 0 0从程序运行结果得到:系统的传递函数为:24253)(ss s S G --= ④ [1.2] 从系统的传递函数式求状态空间表达式。
现代控制实验--状态反馈器和状态观测器的设计
现代控制实验--状态反馈器和状态观测器的设计-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN状态反馈器和状态观测器的设计一、实验设备PC 计算机，MATLAB 软件，控制理论实验台，示波器二、实验目的（1）学习闭环系统极点配置定理及算法，学习全维状态观测器设计法；（2）掌握用极点配置的方法（3）掌握状态观测器设计方法（4）学会使用MATLAB工具进行初步的控制系统设计三、实验原理及相关知识（1）设系统的模型如式所示若系统可控，则必可用状态反馈的方法进行极点配置来改变系统性能。
引入状态反馈后系统模型如下式所示：（2）所给系统可观，则系统存在状态观测器四、实验内容（1）某系统状态方程如下10100134326x x u •⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦[]100y x =理想闭环系统的极点为[]123---.（1）采用 Ackermann 公式计算法进行闭环系统极点配置；代码：A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1; 3; -6];P=[-1 -2 -3];K=acker(A,B,P)Ac=A-B*Keig(Ac)（2）采用调用 place 函数法进行闭环系统极点配置；代码：A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];eig(A)'P=[-1 -2 -3];K=place(A,B,P)eig(A-B*K)'（3）设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[]---123代码：a=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];b=[1;3;-6];c=[1 0 0];p=[-1 -2 -3];a1=a';b1=c';c1=b';K=acker(a1,b1,p);h=(K)'ahc=a-h*c（2）已知系统状态方程为：10100134326x x u •⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦[]100y x =（1）求状态反馈增益阵K ，使反馈后闭环特征值为[-1 -2 -3]；代码：A=[0 1 0;0 0 1;4 -3 -2];b=[1;3;-6];p=[-1 -2 -3];k=acker(A,b,p)A-b*keig(A-b*k)（2）检验引入状态反馈后的特征值与希望极点是否一致。
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本科实验报告
课程名称：现代控制理论
实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房
专业班级：自动化学号：
学生姓名：
指导教师：
年月日
现代控制理论基础
一、实验目的
（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求
（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容
（一）、状态反馈
状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置
给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为
{ẋ=Ax+B
y=Cx（1）
其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为
Kx r u -=
（2）
式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
{ẋ=(A −BK )x +br
y =Cx （3）
可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为
=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn )=n n n a s a s +++- 11
这是状态反馈阵K 可根据下式求得
K=[])(100*1A f U c -
（4）
式中[]b A Ab b U n c 1-= ，)(*A f 是将系统期望的闭环特征方程式中的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为
u x x ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•
111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..
其实，在MATLAB 的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点
配置函数acker(),该函数的调用格式为 K=acker(A,b,p)
式中，p 为给定的极点，K 为状态反馈阵。
对于多变量系统的极点配置，MATABLE 控制系统工具箱也给出了函数place(),其调用格式为 K=place(A,B,P) 例2 已知系统的状态方程为
u x x ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-------=•31303
142
95141020338213101400 求使状态反馈系统的闭环极点为-2，-3，（-13j ±）/2的状态反馈阵K 。
（二）．状态观测器的设计 1.全维状态观测器的设计
极点配置是基于状态反馈，因此状态x 必须可测量，当不可测量时，则应涉及状态观测器来估计状态。
对于系统 {ẋ=Ax +Bu
y =Cx （5）
若系统完全能观测则可构造如图所示的状态观测器。
由上图可得状态观测器的状态方程为 x=Ax+Bu-LCx+Ly 即 x=(A-LC)x+Bu+Ly 其特征多项式为
f(s)=|sI-(A-LC)|
由于工程上要求x 能比较快速的逼近x ，只能调整反馈阵L ，观测器的极点就可以任意配置达到要求的性能，所以，观测器的设计与状态反馈极点配置的设计类似。
假定单变量系统所要求的n 个观测器的极点为λ1，λ2……λn ,则可求出期望的状态观测器的特征方程为
f*(s)=( λ-λ1)( λ-λ2)……( λ-λn)=s n +a 1s 1-n +……+a n 这时可求得反馈阵L 为
L=f*(A)V 01
-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)
式中 V0=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅
-A n C CA C 1 ，f*(A)是将系统期望的观测器特征方程中s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
利用对偶原理，可使设计问题大为简化，求解过程如下： 首先构造系统式（5）的对偶系统
⎪⎩⎪⎨⎧=+=•
Z
w n
z B C A T
T T （6） 然后，根据下试可求得状态观测器的反馈针L 。
),,ker(P ac C A L
T
T T
=
或
),,(P place C A L
T
T T
=
其中 P 为给定的极点，L 为状态观测器的反馈阵。
例3 已知开环系统
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=•Cx
y bu
Ax x 其中 A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---6116100010,b=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100,C=[]001 设计全维状态观测器，使观测器的闭环极点为-232j ±，-5. 解 为求出状态观测器的反馈矩阵L ，先为原系统构造一对
偶系统， ⎪⎩⎪⎨⎧=+=z
B w n
C A z T
T
T 然后采用极点配置方法对对偶系统进行闭环极点位置的配置，得到反馈阵K ，从而可由对偶原理得到原系统的状态观测器的反馈阵L 。
由于rankr0=3，所以系统哪能观测，因此可设计全维状态观测器。
（三）、带状态观测器的状态反馈系统
状态观测器解决了受控系统的状态重构问题，为那些状态变量不能直接观测得到的系统实现状态反馈创造了条件。
带状态观测器的状态反馈系统由三部分组成，即原系统、观测器、控制器，图示是一个带有全维观测器的状态反馈系统。
设能控能观测的受控系统为
⎪⎩⎪⎨⎧=+=•
Cx
y Bu Ax x （12）
状态反馈控制规律为
x
K r u ˆ-= （13） 状态观测器方程为
ẋ=(Ax −LC )x ̂+Bu +Ly （14）
由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式
{ẋ=Ax −BKx ̂+Br
ẋ=LCx +(A −LC −BK )x
̂+Br y =Cx
（15） 可以证明，由观测器构成的状态反馈闭环系统，其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式|Si-(A-BK)|和观测器部分的特征多项式|s I-(A-LC)|的乘积，而且两者相互独立。
因此，只要系统∑0),,(C B A 能控能观测，则系统的状态反馈阵K 和观测器反馈阵L 可分别根据各自的要求，独立进行配置，这种性质被称为分离特性。
例4已知开环系统
{
ẋ=[
0120.60]x +[01]y =[1
0]x
（1） 分析原系统的单位阶跃响应。
（2） 设计状态反馈使闭环极点为4.28.1j ±-，而且状态不可测量，
因此设计状态观测器使其闭环极点为-8.，-8。
（3） 分析原系统直接采用状态反馈的单位阶跃响应。
（4） 分析原系统带观测器的状态反馈的单位阶跃响应。
解 （1）
（2）状态反馈和状态观测器的设计分开进行，状态观测器的设计借助于对偶原理。
在设计之前，应先判别系统的能控性和能观测性。
0246
8101214
12345678910x 10
25
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
（3）
（4）、
00.51 1.5
2 2.5300.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Step Response
Time (sec)A m p l i t u d
e
00.51 1.5
2 2.5300.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
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Time (sec)A m p l i t u d e。