固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版

第四章总结第四章要求1、掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程以及格波解的物理意义；2、掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及它们的物理本质；3、了解三维晶格的振动；4、掌握离子晶体长光学波近似的宏观运动方程的建立过程及系数的确定，清楚LST关系及离子晶体的光学性质；5、了解局域振动的概念；6、掌握晶格热容的量子理论；熟悉晶格振动模式密度；7、掌握非谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作用。

一维晶格的振动和三维晶格的振动晶格振动的简谐近似和简正坐标状态及能量确定晶格振动谱的实验方法离子晶体的长波近似热容晶格振动的爱因斯坦模型热容量德拜模型晶格状态方程非简谐效应热膨胀热传导一 、晶格振动的状态及能量1、一维单晶格的振动 一维单原子链格波：晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，由于晶体内原子间有相互作用，存在相互联系，各个原子的振动间都存在着固定的位相关系，从而形成各种模式的波，即各晶格原子在平衡位臵附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。

相邻原子之间的相互作用βδδ-≈-=d dv Fa d vd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ表明存在于相邻原子之间的弹性恢复力是正比于相对位移的第n 个原子的运动方程)2(11n n n n m μμμβμ-+=-+∙∙)(naq t i nq Ae-=ωμ色散关系：把 ω 与q 之间的关系称为色散关系，也称为振动频谱或振动谱。

)21(sin 4]cos 1[222aq maq mββω=-=其中波数为 λπ/2=q ，ω是圆频率，λ是波长（1） “格波”解的物理意义一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。

相邻原子之间的位相差为aq 。

（2）q 的取值范围【－(π/a)<q ≤(π／a)】这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。

q 的取值及范围常称为布里渊区。

前面所考虑的运动方程实际上只适用于无穷长的链，而两端原子的运动方程与中间的不同，因此有了玻恩-卡曼提出的环状链模型。

玻恩-卡曼提出的环状链模型 玻恩-卡曼边界条件（周期性条件）1)(=-Naq i ehNaq ⨯=π2对色散关系的两点讨论A ）由于ω 是q 的偶函数故有aqm 21sin2βω=右图即为二者之间的函数曲线B ）一维单原子链的色散关系与弹性波的色散关系的区别。

当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系一致：cqq m a=≈βω对于一维单原子链，如果相邻原子的相对位移为δ，相对伸长为 a /δ，相互作用力可以写为)(aa δβδ=这表明a β为连链的伸长模量。

若把一维原子链看成是连续的弹性链时，线密度为m/a ，弹性波的波速为2/1)(密度伸长模量===am amac ββωq2、一维双原子链两种原子的运动方程及其格波解运动方程格波解}]s i n )(41[1{2/1222aq M m mM mM M m +-++=+βω}]s i n )(41[1{2/1222aq M m mM mMM m +--+=-βωω＋对应的格波称为光学波或光学支 ，ω－对应的格波称为声学波或声学支。

两种格波的振幅比：aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++， aqm A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛--ω＋ 与 ω－ 都是q 的周期函数)()(q aq --=+ωπω)()(q aq ++=+ωπω 其中a q a22ππ≤〈-对色散关系的讨论（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：)2(121222-+∙∙---=n n n nm μμμβμ)2(2221212nn n n M μμμβμ---=+++∙∙])2([2q na t i nAe -=ωμ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ0)0()(m i n ==--ωωM aβπωω2)2()(max ==--maβπωω2)2()(m i n ==++mMM m )(2)0()(max +==++βωω在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。

（2）声学波的物理本质声学格波反映的是原胞的整体振动，或者说是原胞 质心的振动。

（3）光学波的物理本质是复式格子特有的，光学格波是两种原子保持质心不动的情况下作刚性的相对振动 （4）q 的取值12=Naiq e即π22Nah q =晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数 3、三维晶格的振动格波：在三维晶格中，对于一定的波矢q ，有3个声学波，（3n －3）个光学波。

“q 空间”及q 在其中的分布密度 （1）q 空间:“q 空间”亦称为波矢空间。

（2）q 在波矢空间的密度 分布密度为：33332211)2/()2(1ππV N N N N =Ω=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯∙b b b（3）波矢数和格波数晶格振动的波矢数＝晶体原胞数 晶格振动频率的数目＝晶格的自由度数 4）晶格振动谱（1）对于原胞只含有一个原子的晶格，与一维单原子链类似，只有声学支。

不同之处在于一维单原子链的一个原子只有一个自由度，相应于一个声学支,现在除了纵波外，还可有两个原子振动方向与波传播方向垂直的横声学波存在。

（2）对于原胞包含两个以上原子的复式晶格，类似于双原子链，除声学支外还有光学支，在q ＝0 处有非零的振动频率ω。

4、简谐近似和简正坐标 （1）简谐近似和非谐作用：体系的势能函数只保留至μi 的二次方程，称为简谐近似。

要考虑到高阶作用的则称为非谐作用。

（2）简正坐标与振动模：由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模。

（3）晶格振动能和声子晶格振动的能量量子称为为声子。

5、确定晶格振动谱的实验方法 光子散射：（1）光子散射测定晶格的振动谱（2）长声学波声子导致的光子散射为光子的布里渊散射 （3）喇曼散射是光子与长光学波声子的相互碰撞。

中子散射：(1)中子只与原子核作用 (2)中子散射的非弹性散射 (3) 正常过程与倒逆过程 (4) 三轴中子谱仪 6、离子晶体的长光光学波近似 长光学波的宏观运动方程E W W 1211b b +=∙∙211ω-=bEW P 2221b b +=2/102/12112)]()0([ωεεε∞-==b b22]1)([εε-∞=b长光学波的横波频率ωTO 与纵波频率ωLO横波方程TTb dtd W W 1122=,纵波方程:LLdtd W W 2022])()0([εεε∞-=LST 关系2/1)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=εεωωTO LO离子晶体的光学性质长光学波和与它频率相同的电磁波相互作用时，可以发生共振吸收。

7、局域振动局域振动：局限在杂质（或缺陷）附近的晶格振动称为局域振动.高频模和共振模:对于一维单原子链,当杂质原子质量与原子链中的原子质量之间的关系为M’<M时，在原有的频率之上出现的新的频率的模，称为高频模;当杂质原子比所替代的原子质量重时，即M’>M，将会出现共振模.隙模:晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式频率落在频隙之间，称为隙模。

二、晶格振动的热容量1、晶格热容的量子理论热容问题概述:（1）晶格热容和电子热容固体的平均内能包括晶格振动能量和电子运动能量，这两种运动能量对固体的热容都有贡献，分别称为晶格热容和电子热容。

（2）杜隆－珀替定律热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有N个原子的固体，其热容为CV＝3NkB。

其中N为原子数，kB为玻尔兹曼常数。

高温时，此定律与实验结果符合得很好；低温时，与实验结果不怎么符合。

（3）热容CV的一般表达式晶格振动频率为分立值的情形2//2)1()()(-=-Tk Tk B j Bj B j B j eeT k k dTT E d ωωωdTT E d C C j Nj jV Nj V )(3131-==∑∑==振动频率为连续值的情形ωωωωωωd g ee Tk k TE C Tk Tk B B V v B B m)()1()()(2//2-=∂∂=⎰-爱因斯坦模型: （1）模型的特点认为晶格中各原子在振动时相互独立的，所有原子都以相同的频率振动。

（2）晶格的热容2//20)1()/(300-=Tk T k B Bv B B eeT k NkC ωωω)(3Tk f Nk C B E B V ω =2//2)1()(3-=TTEB V E E ee TNk C θθθ（3）爱因斯坦模型与实验符合的程度 1）温度较高时：1/<TE e θ则2222/2/2//)()22(1)(1)1(EEETTTT TTTeeee E E E E θθθθθθθ=+≈-=-- 所以BEE B V Nk TTNk C 3)()(322=≈θθ 与杜隆－珀替定律一致。

2）低温时：1/>>TE eθTk B BV B eTk NkC /2)(3ωω -=爱因斯坦模型只适合于近似描述声子谱中的光学支对热容的贡献 德拜模型:（1）模型特点把晶格看作是各向同性的连续介质，格波为弹性波，并且假定横波和纵波的波速相等。

（2）能量和热容的表达式123/332-=⎰-Tk B med CV E ωωωωπωωωπωωωd ee Tk k CV C Tk Tk B B V B B m22//232)1()(23-=⎰（3）德拜温度CVN m 3/12)6(πω=TC VN Tk Tk D B B m m Θ===3/12)6(πωξ v1)(93/03-Θ=⎰Θ-ξξξe d T T Nk E TDB D)(3)1()(924/03Tf Nke d e T Nk C D D BTDB V D Θ=-Θ=⎰Θξξξξ24/03)1()(3)(-Θ=Θ⎰Θξξξξe d e T Tf TDD D D(4)讨论当温度T>>ΘD 时，热容趋于经典极限。

在极低温度下，热容和T3成正比，称为德拜T3 定律。

温度越低,德拜近似越好.2、晶格振动模式密度 (1)模式密度的定义ωωω∆∆=→∆n g 0lim)( 一般表达式为：⎰∇=|)(|)2()(3q dSV g qωπω(2)求模式密度的几个例子 A 、一维单原子链的模式密度函数dq d L g ωπω1)(=2122)(2)(--=ωωπωm NgB 、德拜近似下的模式密度23232)(41)2()(ωπωππωCV CCVg ==C 、频率与波矢的平方成正比的情况在频率与波矢的平方成正比时，三维、二维、一维情况下，模式密度函数分别与频率ω 的1／2，0，－1／2 次方成比例。