不等式概念及性质知识点详解与练习,推荐文档
不等式的概念及性质知识点详解及练习
一、不等式的概念及列不等式
概念不等号“”、“”、“ ”、“”、“ ”
设未知数
不等式
列不等式步骤列出代数式
表示出不等关系
1不等式的概念及其分类
(1 )定义：用“〉”、“<”、“工”、及“w”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。
a-b>0 」a>b, a-b=O l a=b, a-b<0 C a
(2)分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条
件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2>3, x2< 0
②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式；
③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
(3 )不等号的类型：
①“工”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；
②“〉”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；
③“<”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；
④读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；
⑤“w”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；
注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
(4 )常见不等式基本语言的含义：
①若x> 0,则x是正数；②若x< 0,则x是负数；③若x> 0,则x是非负数；④若x w 0,
则x是非正数；⑤若x-y > 0,则x大于y;⑥若x-y < 0，则x小于y;⑦若x-y > 0,则x不
X
小于y;⑧若x-y w 0,则x不大于y;⑨若xy >0 (或一〉0),贝U x, y同号；⑩若xy < 0 y
(或-< 0),则x, y异号；
y
(5 )等式与不等式的关系：
等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但
不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
2、列不等式：
(1 )根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系。
键词。如“不超过”、“不大于”、“不小于”等。
例:列不等式：①的倍与的差是非正数；②与的差不小于
x 2y 4m 1
例2：已知关于x、y的方程组『，试列出使x w y成立的关于m的不等式
x 2y 9
二、不等式的解和解集
1、相关概念：
①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；
②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；
③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；
2、不等式的解和解集的区别与联系：
区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。
联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内。
3、用数轴表示不等式的解集：
1Z---- ZL*
①x > -2表示为：0②x w -2表示为：j0 ------ A
Li_I_I_I_| I I I J_
③x< 2表示为：-2 -1 Q L 2 ④x>2表示为：-2 -L 0 1 2
特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和
界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集
为空心点；②定方向："小于向左，大于向右”。
例1、表示不等式组“ ■的解集如图所示，则不等式组
I 工
I j~~E —?
例2、x的解集在数轴上表示为如图所示的不等式组，求x的解集
-3 0 2
三、不等式的性质
1、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
（1）不等式基本性质有：
①一个数大于另一个数，则另一个数一定小于这个数；若a>b ' b ②一个数大于另一个数，另一个数大于其它数，则这个数一定大于其它数；若a>b, b>c 匸：”a>c （传递性） ③不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；a>b C a+c>b+c （c € R） ④不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；c>0时，a>b ac>bc ⑤不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；c<0时，a>b 瞌的解集是 ac 特别提示：①、在不等式两边同乘以（或除以）同一个数（或式）时，必须先确 定这个数的性质符号，然后再确定是否改变不等号的方向； ② 、如果不等式乘以 0,那么不等号改为等号，所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要 看题中是否出现一元一次不等式，如果出 现了，那么不等式乘以的数就不能为 0，否则不等 式不成立； （2 ）、运算性质有： ① a>b,c>d —： a+c>b+d 。 ② a>b>0, c>d>0 —：： ac>bd 。 ③ a>b>0 T a n >b n （n € N, n>1）。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ?”和“d ”即推出关系和等 价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。 解不等式就是施行 系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 2、不等式与等式性质的关系 相同 不管是等式还是不等式，都可以在它们的两边同加 结果仍成立。 （减）一个数（整式） ，所得 不同 在等式两边冋乘（除以）一个正（负）数（整式） 在 不等式两边冋乘（除以）一个正数（整式） 冋乘（除以）一个负数（整式），不等号方向一 ，等式仍然成立； ，不等号万冋不变，在不等式两边 定改变。 3、不等式性质的应用：主要有以下三类问题： （1）根据给定的不等式条件，禾U 用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵禾U 用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 例1、试判断4m ?+4m+5和2（2m+1）的大小 2 例2、若关于x 的不等式（1-a ） x > 2可化为x v ,试确定a 的取值范围 1 - a 不等式的概念及性质练习题 一、判断题（正确的打“V” ，错误的打“x” ） 1、不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。 （） 2、 如果 a >b ，那么 3-2a > 3-2b 。 () 3、 如果 a 是有理数，那么—8a >- 5a 。() 4、 如果 a v b ，那么 a 2v b 2。() 5、 如果 a 为有理数，则a >- a 。（ ) 6、 如果 a > b ，那么 ac 2> bc 2。() 7、 如果 —x >8，那么 x >— 8。( ) 8 若a v b ，贝U a + c v b + c 。() 9 、 x 0,y 0,则-0 () y 10 、右: (1) x y 0,则(y x) 0 2 () 11 、若i 2 2 a b,c 0,则 ac bc 0 () (n € N, n>1) ④a>b>0 12、若: x z yz ,贝9 x y() 13、若 a b a,则 b 0 () c 14、若 ab c,则 a ( ) b 1 15、若 2,则 1 2a () a 二、填空题 1、若 a b ，贝U -a —b , 2a 1 2b 1 2 2 2、当 a 0时，b 0时， ab 0 3、若 x 0,则 x y y 2 2 4、若 ac 2 bc 2，则 3a 3b 5、实数 a , b 在数轴上的位置如图所示，用“〉”或 “v”填空： 屯 t 0 2 2 1 1 I a — b __ 0, a + b _______ 0, ab ____ 0, a _____ b ，— ____ — , I a a b 1 6、 若 a v b v 0,则一（b — a ） _____ 0 2 7、 用不等式表示 a 的5倍与b 的和不大于8”为 ______________ 8、 ja 是个非负数可表示为 ___________ . “1 i 9、 若 b a 0,则-- a b 10、 _____________________ 若 3a 2a,则 a 0 三、选择题 1、在数学表达式 ①-3<0;②4x+5>0;③x=3;④x 2+x;⑤x -4;⑥x+2>x+1是不等式的有 2 2 ac bc 中成立的个数是( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 I b| （） A.2个 B.3个 C.4个 2、 若m vn ，则下列各式中正确的是（ A . m — 3>n — 3 B 。3m >3n C ° 3、 若a v 0,则下列不等关系错误的是（ A . a + 5v a + 7 B 。5a > 7a C 。 4、 下列各题中，结论正确的是（ ） A .若 a >0, b v 0,贝U b /a >0 C .若 a v 0, b v 0,贝U ab v 0 5、 下列变形不正确的是（ ） A .若 a > b ，贝U b v a C .由一2x > a,得 x > — a / 2 6、 有理数b 满足I b I v 3，并且有理数 A .小于或等于3的有理数 C .小于或等于—3的有理数 7、 若a — b v 0,则下列各式中 A . a > b 8、 若 a b D.5个 ) —3m > — 3n D 。m /3 — 1 >n /3 — 1 ) 5 — a v 7 — a D 。a / 5 > a / 7 定成立的是（ B . ab > 0 C . a / b v 0 且c 0 ,那么在下面不等式①a B .若 a > b ,贝U a — b >0 D .若 a > b , a v 0,贝U b /a v 0 B . — a > — b ,得 b > a D .由 x /2>— y ,得 x >— 2y a 使得a v b 恒成立，则a 得取值范围是( ) B .小于3的有理数 D .小于一3的有理数 ) D . — a >— b c b c ②ac bc ③旦 b ④ c c 《一元一次不等式组》说课稿 说课内容:《一元一次不等式组》 教材分析: 上节课学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，本节主要学习一元一次不等式组及其解集，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念，尝试对学生类比推理能力进行培养。在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学重点：1、理解有关不等式组的概念。 2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组。 教学难点：在数轴上确定解集。 教学难点突破办法： 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型构成，它们的解集、数轴表示，学生很难确定，用顺口溜的方式解决问题，即：大大取大；小小取小；比小大，比大小，中间找；比小小，比大大，解不了（无解）。 学生分析： 学生已经学习了一元一次不等式，并会解简单的一元一次不等式，知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行：画数轴、定界点、走方向。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，同时能更好的培养学生的类比推理能力。本节所选例题也真正的实现了低起点小台阶，循序渐进，能使学生更好的掌握知识。 教学方法： 1、采用复习法查缺补漏，引导发现法培养学生类比推理能力，尝试指导法逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力。充分发挥学生的主体作用，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。 2、让学生充分发表自己的见解，给学生一定的时间和空间自主探究每一个问题，而不是急于告诉学生结论。 3、尊重学生的个体差异，注意分层教学，满足学生多样化的学习需要。 学习方法： 1、学生要深刻思考，把实际问题转化为数学模型，养成认真思考的好习惯。 2、学生做题要紧扣不等式基本性质，特别是不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，要认真检查不等号的方向是否正确。 3、合作类推法：学习过程中学生共同讨论，并用类比推理的方法学习。 教学步骤设计如下： （一）创设问题情境，引入新课： 让学生从字面上来推断一下一元一次不等式和一元一次不等式组之间是否存在一定的关系。并由验证猜想是否正确引人课题。 学生活动：猜想和推断一元一次不等式和一元一次不等式组的关系。 （二）讲授新课 1、想一想： 出示一个实际问题，请大家先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用那个知识点来解决问题，即把实际问转换为数学模型，从而求解。通过学生的分析和解答，让学生根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念。 学生活动：找出已知条件，列出所有的不等关系。互相讨论，类推概念。 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 一元一次不等式教学设计（第1课时） 安徽省淮南市平圩中学李芬 教学目标： （1）了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集 （2）在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对类比和化归思想的体会． 教学重点： 一元一次不等式的解法． 解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，从而确定未知数的取值范围，这一化繁为简的过程，充分体现了化归的思想。 教学难点： 解一元一次不等式步骤的确定 通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程的化归思想有所体会但还不够深刻．因此，运用化归思想把形式复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定的难度．所以，教师需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式． 教学过程设计 （一）引课 课件展示鲁班发明锯子的过程，提出类比思想 温故知新 给“一元一次方程”一个完美的定义 1.什么叫一元一次方程？ 答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子？答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义： 【一元一次方程】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程. 知识讲解 观察下列不等式： （1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75； （3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点？ 共同特点：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 . 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比． 师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一 不等式与不等式组知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章数据的收集、整理与描述 一．知识框架 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 、不等式的概念及列不等式 概念 不等号 表示出不等关系 1不等式的概念及其分类 (1 )定义：用“〉”、“<”、“工”、及“w”等不等号把代数式连接起来，表示不等 关系的式子。 a-b>Oa>b, a-b=Oa=b, a-b 不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等 式。这5个用来连接的符号统称不等号。只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)a 不等式的概念及其基本性质 一、知识点复习： 1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c >； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果)0(<>c b a ，那么bc ac <， c b c a <； （4）如果a b >，那么b a <； （5）如果a b >，b c >，那么a c >。 二、经典题型分类讲解： 题型1：考察不等式的概念 1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。其中不等式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型2：考察不等式的性质 2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ） A 、22b a < B 、b a 22< C 、22+<+b a D 、b a -<- 3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ , 1a b > , a b ab +< , 11a b <,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b > 课题：8.2 不等式的解集 课型：概念定义课主编：王琳审核：编号： 课前反馈： 学习目标：1．理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2．培养学生的数感，渗透数形结合的思想. 学习过程： 一．情景构建、认知概念： 下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？ -3, -2, -1, 0, 1.5, 2.5, 3, 3.5, 5, 7 我们发现－３，－２，－１，０，1.5，2.5，３都是不等式x+2>5的解，由此看出，不等式x+2>5有许多个解 进而看出，大于３的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于３的每一个数都不是不等式x+2>5的解，不等式x+2>5的解有无数个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。 在数轴上表示为 二．提供素材、观察实验： 探究一：若方程(m+2)x=2的解为x＝2，想一想，不等式(m-2)x＞-3的解集是多少?试探究-2，-1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解 探究二：在数轴上表示下列不等式的解集: (1) x≥-3；(2) x＜0；(3) x＞2. 探究三：求出适合下列不等式的x的整数解，并在数轴上表示出来. (1)2＜x＜7； (2)-4＜x≤-2； (3)1≤|x|≤3. 三．归纳抽象、得出概念： 1．一个组成这个不等式的解集. 2．含有,未知数的是的不等式,叫做一元一次不等式. ３ 在数轴上，解集x ≤a ，表示成 解集x -5的负数解集有有限个 C.不等式-2X<8的解集是X<-4 D.-40是不等式2X<-8的一个解 6、直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来 (1)x -3＞6的解集是______ ； (2)2x ＜12的解集是________； (3)x-5＞0的解集是_________； (4)2 1x ＞5的解集是_________. 5．知识梳理、巩固概念： 不等式的解集： 不等式的基本性质 一、教材分析 【教材的地位和作用】 不等式的基本性质是中职数学的主要内容之一，在中职数学中占着重要地位。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容，起到重要的奠基作用。 【教学结构】 课本建议教学时间为约一课时。针对所带学生的特点，为使学生更好地理解性质、深化知识探究过程，将课时调整为2节。第一节：集中探索不等式的三个基本性质并作简单应用；第二节：不等式的基本性质的运用，处理例题和习题。本稿为第一节。 根据课程标准，我将教学重难点确定如下： 【教学重难点】 教学重点：不等式的三条基本性质及其应用。 教学难点：不等式的基本性质3的探索与运用。 二、【学情分析】 基础能力：数学基础知识相对薄弱，学习目标也不明确，但是具备一定的观察动手能力。 认知现状：通过初中的学习，学生对不等式的性质多多少少有所理解，并且通过上节课的学习，已初步掌握应用作差比较法比较两个实数及两个代数式 的大小。 情感特点：学习兴趣淡薄, 缺乏自信及成功的体验， 有好奇心，愿意尝试新事物及联系生活 三、教学目标 根据上述对教材内容的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我确定以下教学目标。 【教学目标】 知识与技能：1.掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题；2.进一步掌握应用作差比较法比较实 数的大小。 过程与方法：通过观察、操作、猜想、探究等合情推理活动，归纳出不等式的基本性质，体验数学发现和创造的历程。 情感、态度价值观：通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质。 第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321 （二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,> 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 不等式与不等式组知识点归纳 一、不等式的概念 1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5．用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： ①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 例: 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。 2．已知关于x 的不等式组???-≥->-1250 x a x 无解，则a 的取值范围是 。 3．不等式组??? ??>+≤+022 10 42x x 的整数解为 。 4．如果关于x 的不等式（a-1）x 《不等式及其基本性质》教案 学习目标： 1.通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是其中的一种. 2.了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系. 3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形. 学习重点： 不等式的概念和不等式的性质. 学习难点： 不等式的性质3以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示. 教学过程： （一）探究性质 1．明确定义 2.不等式的意义：表示生活中量与量之间不等关系的式子. 例题：1.“神七”速度v超过11200米/秒，才能脱离地球引力，飞入太空，怎样表示v和11200之间的关系? 3.想一想： （1）如果a＜b，用不等号连接下列各式的两边. ①a + 2 b + 2 ②a– 5 b– 5 （2）如果2x-8≥3 ，那么2x11. 4.小结： 不等式性质1： 即 （二）探究性质 1.用不等号填空： ①已知5＜8，则5×3 8×3；5×（-3）8×（-3） ②已知-5＞-8，则-5×3 -8×3；-5×（-3）-8×（-3） 归纳：不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向；不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向. 2.用不等号填空： ①已知6＜8，那么6÷2 8÷2；6÷（-2）8÷（-2） ②已知-6＞-8，那么-6÷2 -8÷2；6÷（-2）-8÷（-2） 归纳：不等式两边同时除以一个正数，不等号方向 ；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向 . （三）例题分析 例1.（1）若x +1＞3，则x _____________.根据___________ __. （2）2x ＞－6，则x _____________.根据_______ _____. （3）-3y ≤5，则y .根据 . 例2.如果m > n .判断下列不等式是否正确. （1）m +7 < n +7 （ ） （2）m －2 < n －2 （ ） （3）3m < 3n （ ） （4）9 9n m >（ ） 例3.利用不等式的基本性质，将下列各不等式化为“x a >”或“x a <”的形式. （1）546x x <- （2）5621x x -+<+ （四）课堂练习 1.用代数式表示：比x 的5倍大1的数不小于x 的 21与4的差_____________. 2.若a >b .下列各不等式中正确的是（ ） A .a -1b ，则a +1>b +1 ②若a >b ，则a -1>b -1 ③若a >b ，则-2a <-2b ④若a >b ，则2a <2b 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b （３）若a 姓名学科韦日辉 数学 学生姓名 年级年级 填写时间 教材版本 2014-- 北师大版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时 课题名称 课时计划 共（）课时 （全程或具体时间） 上课时间:00-:00同步教学知识内容 教学目标 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 不等式的概念、性质及解法中考要求 内容 不等式(组) 不等式的性质 基本要求 能根据具体问题中的大小 关系了解不等式的意义． 理解不等式的基本性质． 了解一元一次不等式(组) 略高要求 能根据具体问题中的数量关系列 出不等式(组)． 会利用不等式的性质比较两个实 数的大小． 会解一元一次不等式和由两个一 较高要求 能根据具体问题中的数量关系列 解一元一次不 等式(组) 的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问 示(确定)其解集． 例题精讲 会根据条件求整数解．题． ⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ； ⑵ y 的 与 4 的和小于 x ； > ) < ) 板块一、不等式的概念和性质 ?不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其 相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。 【例1】用不等式表示数量的不等关系． （1） a 是正数 （2） a 是非负数 （3） a 的相反数不大于 1 （4） x 与 y 的差是负数 （5） m 的 4 倍不小于 8 （6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数 （7） x 的 3 倍不大于 x 的 1 3 （8） a 不比 0 大 【巩固】用不等式表示： 1 2 5 3 ⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2 的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ． 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1 ?不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c 如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1) 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或 如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或 a b c c a b c c 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F（x）＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0 )x (G 0 )x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n ) a ...a a (G = 3、算术平均数： n ) a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n ) a ...a a (Q 2 n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2a b b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 《不等式的概念与性质》独立作业 班级 姓名_____ _______ 分数 一．选择题 1．若 a < b < 0，则下列不等式中不能成立的是（ ） A 、 b a 11> B 、a b a 11>- C 、| a | > | b | D 、a 2 > b 2 2．若a > b + 1，下列各式中正确的是（ ） A 、a 2 > b 2 B 、 1>b a C 、0)lg(>-b a D 、b a lg lg > 3．对任意x ∈( 1，a )都成立的是（ ） A 、log a (log a x) < log a x 2 < (log a x)2 B 、log a (log a x) < (log a x)2 < log a x 2 C 、(log a x)2 < log a x 2 < log a (log a x) D 、log a x 2 < log a (log a x) < (log a x)2 4．以下四个命题中，为假命题的是（ ） （A ）a >b , c 1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集； 2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式. 重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质； 难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用. 第12讲不等式定义及其性质 不等式的定义 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式. 例如：2 ≤≥等都是不等式．-<-+>-+++>≠ 52,314,10,10,0,35 a x a x a a 2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 注意：不等式32 ≥成立． =成立，所以不等式33≥成立；而不等式33 ≥也成立，因为33 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”. 例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解析】＜y+5；1＞2；3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2都是不等式. 练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】①②④都是表示不等关系，③表示相等关系. 练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】﹣3＜0，x≥2，x≠3，x+1＞y都是表示不等关系的式子. 利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式. 列不等式 1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系. 2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号 课题：9.3 一元一次不等式组（1） 一、教学目标 1. 知识与技能 （1）了解一元一次不等式组的概念及其解集的含义. （2）会用数轴确定一元一次不等式组的解集. 2. 过程与方法 在探索解不等式组的过程中，体会数形结合的思想方法，发展学生的类比推理能力. 3. 情感、态度与价值观 培养学生的探索精神，激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：解一元一次不等式组并在数轴上确定其解集. 难点：通过数轴确定一元一次不等式组解集的数形结合方法. 三、教学方法 创设情境法、讲授法等 四、教学过程 （一）创设情境，引入新课 问题1：用每分钟可抽30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200t 而不足1500t ，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？ 师：题目中包含几个不等关系？（学生交流并展示结果，教师点评） 归纳：几个一元一次不等式合起来，组成一元一次不等式组. 牛刀小试1：下列各式哪些是一元一次不等式组，为什么？ 271(1)330a a ->??+??-??≤+??≥-? （二）合作交流，探究新知 问题2：怎样确定不等式组301200301500x x >??-????≤-?，（）． 问题3：解下列一元一次不等式组. 2111841x x x x ->+??+<-?，（）；①②2311225123 x x x x +≥+???+-<-??，（）．①② 学生尝试解答，小组内相互交流并展示结果，教师点评. 归纳：解一元一次不等式组的步骤： (1)分别解两个一元一次不等式； (2)将两个一元一次不等式的解集表示在同一个数轴上； (3)通过数轴确定两个一元一次不等式解集的公共部分； (4)写出一元一次不等式组的解集． 牛刀小试3：解下列不等式组 25151231231324148x x x x x x x x ?+>-?->+????+≤??-≤-?? ，，（） （）．①②；①② （三）应用提高 x 取哪些整数值时，不等式5231x x +>-（）与131722 x x -≤-都成立? （四）课堂小结 1.什么是一元一次不等式组？它的解集是什么含义？ 2.如何解一元一次不等式组？具体步骤有哪些？ 3.如何用数轴确定不等式组的解集？一元一次不等式组的概念及解法
不等式的基本性质知识点
(完整版)一元一次不等式的概念和解法
不等式与不等式组知识概念
不等式概念及性质知识点详解与练习
不等式的有关概念
(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解
不等式的解集(概念定义课)
《不等式的基本性质》
(完整word版)第九章不等式与不等式组知识点归纳
不等式的基本性质知识点
七年级下册数学不等式与不等式组知识点
《不等式及其基本性质》教案1
不等式的概念和基本性质
不等式的概念、性质及解法
高中数学不等式归纳讲解
不等式的概念与性质独立作业
人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(教师版)
一元一次不等式组定义及解法