云南省师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考卷(三)数学(理)试题+扫描版含答案
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．2{|{|30}[B x y x x ==-=≥，所以={101}A B - ，，，故选B ． 2．由题意知53i 22i 2i z =+=++，z 的共轭复数等于22i -，故选C ．3．q ⌝：A B ，在同高处的截面积恒相等，p A B ：，的体积相等，故q 是p ⌝的必要不充分条件，故选B ．4．5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为51521C (1)0r r r rT r x -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，，1，2，3，4，5．当因式2(3)x +中提供2x 时，则取4r =；当因式2(3)x +中提供3时，则取5r =，所以5221(3)1xx ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式的常数项是2，故选C ．5．双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的渐近线方程为b y x a =±，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =-准线方程x =上，所以c =2a b =，以双曲线方程为22143x y -=，故选A ．6．因为11π()sin 2sin 22cos22226f x x x x x x x ⎫⎛⎫=+=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以π()26f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故A 错误，当π2x =时，π5π2=66x -，故B 错误，对于D ，应向右平移π12个单位，故选C ．7．4n =时，31Q =，此时P Q >，则输入的a 的值可以为3，故选C ．8．设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意有：3242(2)a a a +=+，23428a a a ++=得38a =，故31123120=8a q a q a a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，，解之得122a q =⎧⎨=⎩，或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，，又{}n a 单调递减，所以663S =，故选A ．9．由题意知，球O 的半径5R =，直三棱柱111ABC A B C -的底面外接圆半径为4，则直三棱柱111ABC A B C -的高为6，则该三棱柱的体积为D ．10．由题意，2225233b c b A c b a B a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，代入到椭圆方程整理得222225199c b a a +=，联立22b a =，解得3a =，故选D ．11．17115()()()48228AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC λλλλ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ≥，当且仅当122λλ=，即1λ=时取等号，故选D ．12．22()3()30f x x f x x -+--=∵，设2()()3g x f x x =-，则()()0g x g x +-=，∴()g x 为奇函数，又1()()62g x f x x ''=-<-，∴()g x 在(0)x ∈-∞，上是减函数，从而在R 上是减函数，又2(2)(2)12129f m f m m m +-++-≤等价于22(2)3(2)(2)3(2)f m m f m m +-+---≤，即(2)(2)g m g m +-≤，22m m +-∴≥，解得23m -≥，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．作出约束条件对应的平面区域，当目标函数2y x z =-+经过点(1，1)时，z 取得最小值3，故取值范围是[3)+∞，． 14．因为{bn}是等差数列，且16b =-，1012b =，故公差2d =．于是*=28() n b n n -∈N ，即128n n a a n +-=-，所以87651646246(6)(4)(2)a a a a a =+=++=+++==+-+-+-… 02463++++=．98811a a =+=，1091021a a =+=．15．因为球与各面相切，所以直径为4，且11AC AB CB ，，的中点在所求的截面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为由正弦定理知R =，所以面积8π3S =，以O 为顶点，以平面1A C B 截此球所得的截面为底面的圆锥体积为18π1336V =⨯⨯⨯．16．2()2f x ax bx c '=++，由题意，()0f x '≥在R 上恒成立，∴00.a >∆，≤即0a >，2.b ac ≤222221232323231b b b a b a b c a ab b a a a b b a b a ab a a ⎛⎫++++ ⎪++++⎝⎭==----∴≥，令1b t a =>，则221233(1)8(1)663(1)8111t t t t t t t t ++-+-+==-++---≥，当且仅当1t =成立．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由c =，且)(sin sin )()sin a C A b a B -=-，又根据正弦定理，得()()()c a c a b a b +-=-，化简得，222a b c ab +-=，故2221cos 22b a c C ba +-==， 所以60C =︒．……………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由c 4sin 5A =，sin sin a c A C =得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=， 所以ABC △的面积为1sin 2S ac B ==．……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为23x x x ，，，则23(0.0370.013)51x x x ++++⨯=，解得0.125x =，∵第2小组的频数为15，频率为20.25x =，∴该校报考飞行员的总人数为：150.25=60÷（人）．…………………………………（6分） （Ⅱ）体重超过65公斤的学生的频率为(0.0370.013)50.25+⨯=，∴X 的可能取值为0，1，2，3，且1~34X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 303327(0)C 464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，21133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X由于1~34X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，13()344E X =⨯=．………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知得113AM AD ==，如图，取BP 上靠近P 的四等分点T ，连接AT TN ，，由3NC PN =知//TN BC ，114TN BC ==．……………………………………………（3分）又//AD BC ，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT ． 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．…………………（6分） （Ⅱ）解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，且AE ． 以A 为坐标原点，AE的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由题意知，(004)P ，，，20)B -，，(010)M ，，，20)C ，，132N ⎫⎪⎪⎝⎭，，，24)PB =-- ，，(010)AM = ，，，132AN ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，，．设()n x y z =，，为平面AMN 的一个法向量，则00n AM n AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即01302y y z =⎧++=，，……………………………………………（10分）可取40n ⎛= ⎝⎭ ，，．于是|||cos |||||n PB n PB n PB 〈〉== ，，所以直线PB 与平面AMN所成角的正弦值为．……………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设M N ，为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以|||OF MN =，213b b == ，解得2214a b =+=， 因此，椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………（4分）（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，()P x y ，，AB 的方程为(3)y k x =-， 由22(3)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得2222(34)2436120k x k x k +-+-=， 由24222448(34)(31)0k k k ∆=-+->，得235k <， 221212222436123434k k x x x x k k -+==++，， 1212()()OA OB x x y y t x y +=++= ，，， 则2121222124118()()(34)(34)k k x x x y y y t t k t t k -=+==+=++，， 由点P 在椭圆上，得222222222(24)(18)+14(34)3(34)k k t k t k -=++，化简得22236(34)k t k =+，………………………………………………………………（8分）因为||PA PB -<12|x x -，即221212(1)[()4]3k x x x x ++-<， 即2222222(24)4(3612)(1)3(34)34k k k k k ⎛⎫-+-< ⎪++⎝⎭， 即429656390k k +->，所以2k ，………………………………………（10分）即235k <<，因为22236(34)k t k =+， 所以2222362793434k t k k ==-++，所以2204t <，即2t的取值范围为(204)．………………………（12分） 21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：2211()(0)a ax f x x x x x -'=-=>，当0a ≤时，()0(0)f x x '<>，()f x 在(0)+∞，上单调递减．当0a >时，由()0f x '=，得1x a =，10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：要证4222(1)ln 1ln 2ln (2)4n n nn n n n n -+++>∈* ≥，N ， 即证42223(1)ln 1ln 2ln (2)4n n n n n -+++>∈* ≥，N ． 由（Ⅰ）知，当1a =时，()f x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增．1()ln 1(1)0f x x f x =+-=≥，∴1ln 1x x -≥，∴221ln 1x x -≥， ∴222222111ln1ln 2ln 11112n n +++-+-++- ≥，∴2221112ln12ln 22ln 12n n n ⎛⎫+++-+++ ⎪⎝⎭ ≥． 又2221111111+++121223(1)n n n +++<+⨯⨯- ， ∴2221111111+++121223(1)n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+++>-+ ⎪ ⎪⨯⨯-⎝⎭⎝⎭211111(1)11+++2231n n n n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， ∴2(1)ln1ln 2ln 2n n n -+++> ．………………………………………………………（9分） 由柯西不等式，2222222(ln 1ln 2ln )(111)(ln1ln 2ln )n n +++++++++ ≥． ∴4222231(1)ln 1ln 2ln (ln1ln 2ln )4n n n n n -+++++> ≥+． ∴42223(1)ln 1ln 2ln 4n n n -+++> ， ∴4222(1)ln 1ln 2+ln (2*)4n n nn n n n n -++>∈N ≥，．…………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程1(l y k x =：，①21)3l y x k =：，②①×②消k 可得：2213x y +=．即P 的轨迹方程为221(0)3x y y +=≠．1C 的普通方程为221(0)3x y y +=≠．1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（α为参数πk k α≠∈Z ，）．………………………（5分）（Ⅱ）由曲线2C：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：(sin cos )θθ+=即曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=，由（Ⅰ）知曲线1C 与直线2C 无公共点，曲线1C上的点sin )Q αα，到直线80x y +-=的距离为d == 所以当πsin 13α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d的最小值为．………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由题意可得10()130111x x g x x x x x +⎧⎪=-<<⎨⎪--⎩，≤，，，，≥，因为()4g x >-，由图象可得不等式的解为53x -<<，所以不等式的解集为{|53}x x -<<．……………………………………………………（5分） （Ⅱ）因为存在1x ∈R ，也存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x x y y g x x =∈=∈≠∅R R ，，，又()|2||25||(2)(25)||5|f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(25)0x a x -+≤时等号成立.由（Ⅰ）知，max ()1g x =，所以|5|1a +≤，解得64a --≤≤，所以实数a 的取值范围为[64]--，．…………………………………………………（10分）。
2018届云南师大附中高考适应性月考卷(九)--理科数学(扫描版)
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（九）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．3i 443i1z -==--，故选A ． 2．{|22}{|1}[2)A x x B y y AB =-=>=-+∞≤≤，，，，故选D ．3．设和双曲线2221169x y C -=：有共同的渐近线的双曲线C1的方程为221169x y C λ-=：，代入点 A 解得：2λ=-，故选D.4．由算法框图知水仙花数的定义是：它的各位数字的立方和等于该数，例如153是一个水仙花数，因为333371371=++，故选B ．5．设2+1+21()()n n n n b n b b b *=∈=N ，则，易知数列{}n b 是等比数列，把1219==44a a ，代入即可求出{}n b 的通项公式2nn b =，进而求出{}n a 的通项公式2(21)4n n a -=，故选B ．6．由正态分布对称性知，随机抽取一名学生数学成绩及格的概率为(10.6826)10.84132--=，随机抽取3名学生，则恰有2名学生的数学成绩及格的概率为223C (0.8413)(10.8413)0.337-≈，故选C ．7．由已知()f x 是定义在()-∞+∞，上的偶函数，且对于任意的实数x ，都有(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以当[20172018]x ∈，时，()(2018)(2018)f x f x f x =-=- 201821x -=-，故选A ．8．设()y f x =上任意一点00()P x y ，，P 关于点π28A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称的点()Q x y ''，，由中点坐标公式有，00π44x x y y ''=-=-，，代入sin 2y x =得：004cos2y x =-，代入余弦函数的单调递减区间解得：πππ()2x k k k ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，故选C ．9．易知该三棱锥三条侧棱均为1且互相垂直，设该三棱锥内切球半径为r ，由等体积得：111313232V S r r =⨯⨯=⨯⨯⨯表，解得：r =，故选D ．10．3sin ()(11)t x f x t t t ==--令，则≤≤，2()130f x t t '=-=⇒=，易知当t =时，max ()f x =，故选B.（注：该题还可以用均值不等式求最大值）11．由题意知：第n 层圆弹的个数为2(1)1222n n n n n a n ++=+++==，所以圆弹的总数为22211(1)(2)(12)(12)226n n n n S n n ++=+++++++=，故选A ．222x x x x B p ⎛+⎫ ⎪⎝⎭点，注：该题还可以用组合数公式求和，32331111223(1)C C 222n S n n =⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅++=++223223414412(1)(2)C C C C C C 6n n n n n n +++++⎫+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅==⎪⎭12．曲线()y f x =在点(())A tf t ，处的切线方程为23(31)2y t x t =--，又切线经过点)m ，则有：23(32m t t =-，于是若过点)m 可作曲线()y f x =的三条切线⇔关于t 的3次方程3220t m -=有三个相异的实数根⇔3次曲线32()2g t t m =-与横轴(即t 轴)有三个不同的交点⇔()0()0g t m g t m ⎧=+>⎪⎨=⎪⎩极大值极小值，，故m ，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．画出可行域如图1阴影所示，易知在(02)，处取得最小值−2． 14．由椭圆的定义知，()P x y ，的轨迹是以(34)(34)A B --，，，为焦点，105a c ==，的椭圆，所以离心率12e =．15．由题意只需考虑20192018被7除后的余数即可，又20192018=2019(28872)⨯+，201967367328(71)==+，所以余数是1，所以20192018天后是星期二．16．11221212122111()()22b c x m y n x m y n x x y y x y x y =++=+++，故（1）错；若b c ⊥，则有11221212122111()()22b c x m y n x m y n x x y y x y x y =++=+++=0，故（2）对；2||b b == =3）错（4）对；根据共线向量定理易知（5）对；根据向量线性运算图1性质，易知（6）对；1212122121()cos ||||x x y y x y x y b cb c x θ+++==+7）对．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得：sin sin sin cos sin B C C B A +=， 在ABC △中，sin sin(π)sin()A B C B C =--=+． 又sin()sin cos cos sin B C B C B C +=+，故sin sin sin cos sin cos cos sin B C C B B C B C +=+， sin sin sin cos B C B C =所以．在ABC△中，sin 0B ≠，得sin cos C C =， 故tan 1C =，又(0π)C ∈，，所以π4C =．………………………………………………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：222π424cos34a a +-⨯=，化简得：270a-+=，解得：1a =或1a =．当1a =时，141)42ABC S =⨯⨯=-△当1a =时，141)42ABC S =⨯⨯=△12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由散点图甲可知变量y 和x 不呈线性相关关系，由散点图乙可知z 和x 呈线性相关关系．………………………………………………（4分） （Ⅱ）因为变量z 和x 呈线性相关关系，由题设中所给的相关统计量和计算公式求得z 关 于x 的线性回归方程为：ˆ0.272 3.849zx =-， 又ln z y=，所以植物生长数量y 关于气温x 的回归方程为：0.272 3.849ˆe x y -=，故当38x =时，由参考数据：ln 656.55 6.487=，得 6.487ˆe656.55y ==， 由此可估计当气温在38℃时该水域的这种水生植物的生长数量为656.55万株．………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，取BC 的中点M ，连接AM ，DM ， 因为AB =AC ，DB =DC ，所以BC DM BC AM ⊥⊥，， 所以BC ADM ⊥平面，又因为AD ADM ⊂平面，所以AD BC ⊥．…………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）解：由二面角的平面角的定义知：AMD ∠为二面角D BC A --的平面角，即AMD ∠=30︒， 如图，过D 作DH AM ⊥于点H ，则有1sin302DH DM =︒=， 所以133D ABC ABC V S DH -==△，又1sin 2ADC S AD AC DAC =∠=△，设点B 到平面ADC 的距离为d ，由D ABC B ADCV V --==13ADC S d△，得d =，所以直线BD 与平面ADC 所成角的正弦值sin d BD θ==．……………………（12分）（注：第二问也可用向量法解答）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：抛物线212(0)C x py p =>：的方程化为2112C y x p=：，则由导数的几何意义知：切线1l 的斜率1111x x k y x p='==，所以切线1l 的方程为：1111()y y x x x p-=-，①………………………………………（2分）同理切线23l l ，的方程分别为：2221()y y x x x p-=-，②3331()y y x x x p-=-．③…………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：联立方程①、②及22112222x py x py ==,，可得1212122x x x x B p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭点，， 同理得2323222x x x x B p ⎛+⎫ ⎪⎝⎭点，，3131322x x x x B p ⎛+⎫⎪⎝⎭点，，由题设12B B 点，在抛物线2C 上，故有：21212222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，④ 22323222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⑤ 等式④、⑤相除得：21122323x x x x x x +=+，故31231x x x x x =-+，⑥将⑥式代入④式整理得：23131222x x x x p p ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3B 点的坐标满足抛物线2C 的方程，故3B 点在抛物线2C 上．…………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：当1a =且1x ≥时，()e ln xf x x x =-，()e ln 1x f x x '=--所以，令()()F x f x '=，则1()e x F x x '=-，1()0x F x '>由≥，得， 所以函数()f x '在[1+)∞，上是增函数，因而()(1)e 10f x f ''=->≥，故函数()f x 在[1+)∞，上是增函数．……………………………………………………（4分） （Ⅱ）证明：函数()f x 在[1+)∞，上有零点ln [1)e x x xx a ⇔=+∞关于的方程 在，上有根ln ()[1)e x x xy a g x ⇔==+∞直线与曲线 在，上有公共点． (1)ln 1()()(1)ln 1e x x x g x I x x x -+'==-+，令， 11()ln ln 1x I x x x x x -'=-=--，易知()I x '[1)+∞在，上是减函数， ()(1)0I x I ''=所以≤，()[1)I x +∞从而在，上是减函数， (2)1ln 20(e)2e 0I I =->=-<又，，所以由零点存在定理知：存在唯一0000(2e)()ln (1)10x I x x x ∈=-+=，，使， 所以当00[1)()0()[1)x x g x g x x '∈>，时，，在，上是增函数； 00()()0()()x x g x g x x '∈+∞<+∞，时，，在，上是减函数，所以000max 0ln ()()e x x x g x g x ==， 则ln ()[1)e x x xy a g x ==+∞直线与曲线 在，上有公共点时，max ()a g x 应有≤，故a 的最大值0()m g x =，又022ln 2()(2)e g x g >=，所以22ln 2e m >，由000()ln (1)10I x x x =-+=，知：001ln 1x x =-，所以000max 0011()11(1)e e x x x g x x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭．令11()11e xh x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()h x 在(2e)，上是减函数，又0(2e)x ∈，， 所以0(2)()h h x >，即000max 0202()()()e (1)e x x h x g x g x m x >====-，故222ln 22ee m <<．………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）椭圆C 的极坐标方程化为：22224sin cos 16ρθρθ+=，①因为cos sin x y ρθρθ==，，将之代入①，整理得椭圆C 的直角坐标方程为：221164x y +=．②…………………（5分）（Ⅱ）将直线l 的参数方程：2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入②整理得：222(4sin cos )(8sin 4cos )80t t αααα+++-=，设点A B ，对应的参数为12t t ，，则由点(21)P ，为弦AB 的中点得：122218sin 4cos =0224sin cos t t αααα++-=+，可得：8sin 4cos 0αα+=，再由222214sin cos1sin cos 55αααα+===，得，， 2||44sin AB α+故10分）11页 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：如图3，由函数()|2||+3|f x x x =-+与函数()g x ax =的图象知：当523a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，在R 上函数()|2||f x x x =-+的图象恒在函数()g x ax =的图象的上方，故实数a 的取值范围是523⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．…………（5分） （Ⅱ）证明：2222222()()a b ab a b a b +++∵≥，∴≥，)a b +（当且仅当a b =时取=“”号），))b c b c c a +==+（当且仅当时取“”（当且 仅当c a =时取“=”号），)a b c ++（当且仅当a b c ==时取“=”号）．……………………………………………………………………………………（10分）图3。
云南省高三数学上学期第一次月考试题 理(扫描版)
云南省2018届高三数学上学期第一次月考试题理（扫描版）云南师大附中2018届高考适应性月考卷（一） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案 BDDCDABDCBDA【解析】1．[1)A =+∞，，(1]B =-∞，，故选B ． 2．1ii ||11i z z +===-，故，故选D ．3．222()25+=++=a b a ab b ，所以||5+=a b ，故选D ． 4．π6πππ2πsin 2sin 2sin 23633y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−→=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭向左平移个单位，故选C ．5．285213a a a +==，所以5132a =，又17747()7352a a S a +===，所以45a =，32d =， 8a =11，故选D ．6．当22x y ==，时，z 取得最大值4，故选A ．7．由表中数据可得16555.4x y ==，，因为回归直线必过()x y ，，代入回归方程得ˆ43.6a =-,故选B ．8．直线平分圆周，则直线过圆心(11)，，所以有2a b +=，11111()222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥2123221224⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当2b a =时取“=”），故选D ．9．作出sin y x =，|lg |y x =的图象如图1，由图象知有4个零点，故选C ．图110．由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，又::cos :cos :cos a b c A B C =，所以有tan tan tan A B C ==，即A B C ==，所以ABC △是等边三角形，故选B ．11．由三视图知：三棱锥S ABC -是底面边长为23，高为3的正三棱锥，设其外接球的半径为R ，则有：22(3)4R R =-+，解得：736R =，故选D ．12．由题意知：32()e ln(1)x f x x x =+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x +>在(1)x ∈-+∞，上恒成立，必有2t ≥，则(21)f x t +=的根有2个，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号131415 16 答案 4952945233203⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】13．36122112121C ()C rr r rr r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，3602r -=，解得：4r =，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S ⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭L L ．15．由已知：22||||b bc b FM MN a a a ==-，，由||||FM MN =知：22bc b a a =，232c b e ==∴，∴． 16．2211()3322b c AH AO AB AC AO ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r g ，又22240b b c -+=，代入得：AH AO =uuu r uuu r g2221421(4)3226b b b b b ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，又22240c b b =-+>，所以02b <<，代入得AH AO uuu r uuu r g 的取值范围为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+，而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．………………………（5分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯L ，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯L ，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯L ，所以2(23)212n n S n +=-+g ．……………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲，5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．…………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ:，，， ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ123P435 1835 1235 135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N ACA D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN∥CD，又因为CD⊥平面11A ADD ，所以MN⊥平面11A ADD ．…………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，即145ACA∠=︒， 所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =22，22AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -， ∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(2222)C ，，，1(0022)A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD⊥AC，∴BD uu u r是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，uu u r .设平面1ACD 的法向量为()n x y z =，，r， 由(200)DC =u u u r，，，1(0222)DA =-u u u u r，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1ACD 的一个法向量为(021)n =r，，.图2设二面角1A AC D --的大小为α， 则223|cos |223α==g .∴36sin =α．…………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，2c e a ==解得：．………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=， 设1122()()M x y N x y ，，，，1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，2221212121118821||||()422OMNm m S OD y y y y y y ++=-=+-=△所以，21(1)m t t +=≥，则有221m t =-，代入上式有221222OMNm t S t t +===+△≤，当且仅当1t =，即0m =时等号成立，所以OMN △的面积的最大值为22．…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得1184bx -±-=，易知，()f x 在11804b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1184b ⎛⎫-+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 由题意有，118142b -+-≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立， 所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. ………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=，直线l 330x y --=．………………………………………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程化为标准方程：112()3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，11 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图3所示．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒成立，有232a a +≥， 解之得[31]a ∈-，．………………………………………………………………………（10分）图3。
【全国百强校首发】云南省师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考卷(三)数学(理)试题(图片版)
5
供 x2 时，则取 r
4 ；当因式 (x2
3) 中提供 3 时，则取 r
5 ，所以 (x 2
1 3) x2
1
的展开式的
常数项是 2，故选 C．
x2 y2 5．双曲线 a2 b2 1(a 0，b 0) 的渐近线方程为 y
b
b
x ，所以
a
a
3 ，双曲线的一个焦点在抛
2
物线 y 2 4 7 x 准线方程 x 7 上，所以 c 7 ，由此可解得 a 2， b 3 ，所以双曲线方程
云南师大附中 2018 届高考适应性月考卷（三） 理科数学参考答案
一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号
7
8
9
10 11 12
答案 B
C
B
C
A
C
C
A
D
D
D
A
【解析】
1． B { x | y
2
2
3 x } { x |3 x ≥ 0} [
3， 3] ，所以 A B={ 1，0，1} ，故选 B．
2
为x 4
2
y 1，故选 A ．
3
3 6 ． 因 为 f ( x) s i nx 2
2
1 cxo s 2
2
3 x sin 2
2
1 x3
s i xn 2
π c
o，xs 所2
以
3 si n 2
2
6
f ( x) 2 3 c oxπs ，2 故 A 错误，当 x 6
移 π 个单位，故选 12
C ． [来源 学 科 网]
2．由题意知 z 5 3i 2 2i ， z 的共轭复数等于 2 2i ，故选 C． 2i
云南师大附中2018届高考适应性月考卷(二)理数-答案
21 10 10 40 PA 2 R2 ，∴ S 4πR 2 4 π π ，故选 A． r 1 3 3 9 3 2 1 0 ． 设 | PF1 | r1， | PF2 | r2 ， 由 椭 圆 的 定 义 得 ： r1 r2 2a ， ∵ △F1 PF2 的 三 条 边 |PF2|， | PF1 | ， | F1 F2 | 成 等 差 数 列 ， ∴ 2r1 2c r2 ， 联 立 r1 r2 2a ， 2r1 2c r2 ， 解 得 r1 r1 2a 2c 4a 2c ，r2 ， 由 余 弦 定 理 得 ： (2c)2 r12 r22 2r1r2 cos 60 ， 将 3 3 2a 2c 4a 2c 2a 2c ，r2 代 入 (2c)2 r12 r22 2r1r2 cos 60 可 得 ， 4c 2 3 3 3
1 22 2 ， 2
图1
， S△PCD
1 2 22 3 2 6 2
，
1 (2 4) 2 6 ，∴ S表 12 2 2 2 6 ，故选 A． 2
理科数学参考答案·第 1 页（共 8 页）
9 ．设 △ABC 外接圆半径为 r ，三棱锥外接球半径为 R ， ∵ AB 2，AC 3，BAC 60 ， BC 1 ∴ BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos60 22 32 2 2 3 7 ，∴ BC 7 ，∴ 2r 2 sin60 7 3 2 2 21 21 ，∴ r ，由题意知， PA 平面 ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得， 3 3
2 4 ∴ C6 a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15 1 1 ，即 a 4 ，解得 a ，故选 D． 16 16 2
云南省师范大学附属中学2018届高考适应性月考卷(二)数学(理)试题含答案
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二） 理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{()1}3x A x =≤，2{230}B x x x =--≥，则A B = （ ）A ．{0}x x ≥ B ．{1}x x ≤- C ．{3}x x ≥ D ．{31}x x x ≥≤-或2.设复数z 满足(1)12i z i +=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.命题:p x R ∀∈，20x ax a ++≥，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(,0)(4,)-∞+∞D ．(,0][4,)-∞+∞ 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．4B ．-4 C.5 D ．-55.已知直线l 的倾斜角为23π，直线1l经过(P -，(,0)Q m 两点，且直线l 与1l 垂直，则实数m 的值为（ ）A ．-2B ．-3 C. -4 D ．-56.若621()ax x +的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．12 C.-2 D ．12±7.将函数()2cos()4f x x πω=+（0ω>）的图象向右平移4πω个单位，得取函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]3π上为减函数，则ω的最大值为（ ） A ．2 B ． 3 C. 4 D ．58.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．12+ B．12C. 12+ D．129.已知三棱锥P A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，P A A B ⊥，PA AC ⊥，060BAC ∠=，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ） A ．403π B ．303π C. 203π D ．103π10.点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，12,F F 是椭圆的两个焦点，01260F PF ∠=，且12F PF ∆的三条边2||PF ，1||PF ，12||F F 成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）A ．45B ．34 C. 23 D ．1211.已知函数()2ln f x ax x x =+，32()21g x x x =--，如果对于任意的1,[,2]2m n ∈，都有()()f m g n ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞ C. 1[,)2-+∞ D ．1(,)2-+∞12.已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+ （R λ∈），则CA CB ∙ 的最小值为（ ） A ．-1 B ．-2 C.-3 D ．-4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数,x y 满足不等式组2010220x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则23z x y =+的最小值为 ．14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，131n n a S +=+，则4S = ．15.已知平面区域11{(,)}1x D x y y ⎧≤⎪=⎨≤⎪⎩，1221(1)D x dx -=-⎰，在区域1D 内随机选取一点M ，则点M 恰好取自区域2D 的概率是 ．16.已知函数23,30()ln(1),03x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨+<≤⎩，若()()33g x f x ax a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(2)cos cos 0b c A a C --=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值.18. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占47，女生中喜欢数学课程的占710，得到如下列联表.喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计男生女生合计（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关； （2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 20()P K k ≥0.150.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，2AD =，4AB =，060ABC ∠=.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）E 是侧棱PB 上一点，记PEPB λ=（01λ<<），是否存在实数λ，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为060？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数1()ln1f x a x x =++.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在[1,]e 上的最小值为1？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.21. 已知点A 为圆228x y +=上一动点，AN x ⊥轴于点N ，若动点Q 满足(1)O Q m O A m O N =+-（其中m 为非零常数） （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）若Γ是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当2m =时，得到动点Q 的轨迹为曲线C ，过点(4,0)P -的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在正方形Γ内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点1(1,)2P ，倾斜角3πα=，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的参数方程，并把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PA PB∙的值.23.选修4-5：不等式选讲 设函数()221f x x x =--+.（1）解不等式()0f x ≤；（2）若对于x R ∀∈，使2()24f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．{|0}{|31}A x x B x x x ==-≥，≥或≤，∴{|3}A B x x = ≥，故选C ． 2．12i 13i 1i 22z -==--+，13i22z =-+，故选B ． 3．对于20x x ax a ∀∈++R ，≥成立是真命题，∴240a a ∆=-≤，即04a ≤≤，故选B ．4．由题意可知输出结果为123484S =-+-+-⋅⋅⋅+=，故选A ．5．∵11l l k k ==- ，∴5m =-，故选D ．6．621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为666316621C ()C rr r r r rr T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令630r -=，则有2r =，∴24615C 16a =，即4116a =，解得12a =±，故选D ．7．由题意可得函数()g x 的解+析式为ππ()2cos 2cos 44g x x xωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的一个单调递减区间是π0ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，若函数()y g x =在区间π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，则ππ003ω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，只要ππ3ω≥，∴3ω≤，则ω的最大值为3，故选B ．8．由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图1，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，2AB =，4AD =，2BC =，经计算，PD =PC =，DC =，∴PC CD ⊥，∴12222PAB S =⨯⨯=△，12442PAD S =⨯⨯=△，122PBC S =⨯⨯=△，12PCD S =⨯△1(24)262ABCD S =⨯+⨯=，∴12S =+表，故选A ．9．设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ，∵2360AB AC BAC ==∠=︒，，，∴2222212cos602322372BC AB AC AB AC =+-︒=+-⨯⨯⨯=，∴BC 2sin60BCr ==︒=，∴r =，由题意知，PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得，22221101293PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，∴210404π4ππ33S R ==⨯=，故选A ．10．设1122||||PF r PF r ==，，由椭圆的定义得：122r r a +=，∵12F PF △的三条边2PF ||， 112||||PF F F ，成等差数列，∴1222r c r =+，联立122r r a +=，1222r c r =+，解得12224233a c a cr r +-==，，由余弦定理得：2221212(2)2cos60c r r r r =+-︒ ，将 12224233a c a c r r +-==，代入2221212(2)2cos60c r r r r =+-︒ 可得，222243a c c +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2422242123332a c a c a c -+-⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，整理得：2220c ac a +-=，由c e a =，得2210e e +-=，解得：12e =或1e =-（舍去），故选D ．11．对于任意的122m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()f m g n ≥成立，等价于在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，函数min max ()()f x g x ≥，24()3433g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，()g x 在1423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在423⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，且111(2)182g g ⎛⎫-=<=- ⎪⎝⎭，∴max ()(2)1g x g ==-．在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，()2l n f x a xx x =+-≥恒成立，等价于ln 112ln x x a x x x --=--≥恒成立．设1()ln h x x x =--，22111()x h x x x x -'=-+=，()h x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在(12]，上单调递减，所以max ()(1)1h x h ==-，所以12a -≥，故选C ． 12．因为2()()()CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB =++=+++，由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，所以0O A O B+=，22(1)4OA OB =⨯⨯-=- ，又60POQ ∠=︒，所以22224[(1)]4(1)2(1)CA CB CO OP OQ OP OP OQ λλλλλ=-=-+-=-+-224OQ λ+- 224(331)44(33)λλλλ=-+-=-2134324λ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，当12λ=时，2m i n1333244λ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故CA CB 的最小值为3434⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．画出不等式组表示的可行域知，23z x y =+的最小值为14-．14．131n n a S +=+①，131(2)n n a S n -=+≥②，①-②得：14(2)n n a a n +=≥，又1211314a a a ==+=，，∴数列{}n a首项为1，公比为4的等比数列，∴414166485S =+++=．15．依题意知，平面区域1D 是一个边长为2的正方形区域（包括边界），其面积为4，112321114(1)d 33D x x x x --⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰，如图2，点M 恰好取自区域2D 的概率41343P ==．16．由()|()|330g x f x ax a =--=，得|()|333(1)f x ax a a x =+=+，设3(1)y a x =+，则直线过定点(10)-，作出函数|()|f x 的图象（图象省略）．两函数图象有三个交点.当30a ≤时，不满足条件；当30a >时，当直线3(1)y a x =+经过点(3ln 4)，时，此时两函数图象有3个交点，此时ln 434a =，ln 26a =；当直线3(1)y a x =+与ln(1)y x =+相切时，有两个交点，此时函数的导数1()1f x x '=+，设切点坐标为()m n ，，则ln(1)n m =+，切线的斜率为1()1f m m '=+，则切线方程为1l n (1)()1y m x m m -+=-+，即1ln(1)11my x m m m =-++++ ，∵131a m =+且3ln(1)1m a m m =-+++，∴1ln(1)11mm m m =-++++，即1l n (1)111m m m m +=+=++，则1e m +=，即e 1m =-，则1131e a m ==+，∴13e a =，∴要使两个函数图象有3个交点，则ln 2163e a <≤．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为(2)cos cos 0b c A a C --=， 所以2cos cos cos 0b A c A a C --=，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=， 即2sin cos sin()0B A A C -+=，又πA C B +=-，所以sin()sin A C B +=， 所以sin (2cos 1)0B A -=，在ABC △中，sin 0B ≠，所以2cos 10A -=，所以π3A =．（Ⅱ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴42bc bc bc -=≥，∴1sin 42S bc A ===，当且仅当b c =时“=”成立，此时ABC △为等边三角形，∴ABC △的面积S 18．（本小题满分12分）22⨯由题意得22120(40153035) 2.05770507545K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵2.057 2.706<，∴没有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．） （Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是624515=，则抽取男生230415⨯=人，抽取女生215215⨯=人，所以X 的分布列服从参数622N M n ===，，的超几何分布，X 的所有可能取值为012，，，其中22426C C ()(012)C i iP X i i -===，，．由公式可得022426C C 6(0)C 15P X ===，112426C C 8(1)C 15P X ===，202426C C 1(2)C 15P X ===，X所以X 的数学期望为()0121515153E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知，得AC∵2BC AD ==，4AB =，又222BC AC AB +=，∴BC AC ⊥．又PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 则PA BC ⊥，∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ， ∴BC ⊥平面PAC ．∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，过点A 作垂直于AB 的直线为x 轴，AB AP ，所在直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图3所示．则(000)(040)(003)A B P ，，，，，，，，， 因为在平行四边形ABCD 中，2460AD AB ABC ==∠=︒，，， 则30DAx ∠=︒，∴10)D -，． 又(01)PE PB λλ=<<，知(043(1))E λλ-，，．设平面ADE 的法向量为111()m x y z = ，，，则00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即1111043(1)0y y z λλ-=+-=⎪⎩，， 取11x =，则1m ⎛= ⎝⎭ ． 设平面PAD 的法向量为222()n x y z = ，，，则00n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即222300z y =⎧⎪-=，， 取21y =，则10n ⎫=⎪⎪⎝⎭ ． 若平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒， 则1cos cos602m n 〈〉=︒= ，11012++=，2=，即2914λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 解得3λ=（舍去）或35λ=． 于是，存在35λ=，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒．20．（本小题满分12分）解：由题意知函数的定义域为{|0}x x >，()1a x a f x x x -'=-+=． （Ⅰ）①当0a ≤时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间是(0)+∞，，无极值；②当0a >时，由()0f x '>，解得x a >，所以函数()f x 的单调递增区间是()a +∞，，由()0f x '<，解得x a <，所以函数()f x 的单调递减区间是(0)a ，．所以当x a =时，函数()f x 有极小值()ln 1f a a a a =-++．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当1a ≤时，函数()f x 在[1e]，为增函数，∴函数()f x 在[1e]，上的最小值为(1)ln1112f a =++=，显然21≠，故不满足条件； ②当1e a <≤时，函数()f x 在[1)a ，上为减函数，在[e]a ，上为增函数，故函数()f x 在[1e]，上的最小值为()f x 的极小值()ln 1=1f a a a a =-++，即e a =，满足条件；③当e a >时，函数()f x 在[1e]，为减函数，故函数()f x 在[1e]，上的最小值为1(e)ln e 11e f a =++=，即e a =，不满足条件．综上所述，存在实数e a =，使得函数()f x 在[1e]，上的最小值为1．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动点00()()Q x y A x y ，，，，则0(0)N x ，，且22008x y +=，① 又(1)OQ mOA m ON =+- ，得001x x y y m ==，， 代入①得动点Q 的轨迹方程为222188x y m +=．（Ⅱ）当m =时，动点Q 的轨迹曲线C 为22184x y +=．直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为(4)y k x =+，代入22184x y +=，得2222(12)163280k x k x k +++-=， 由2222(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->，解得k <<，②设1122()()E x y F x y ，，，，线段EF 的中点()G x y ''，， 则2122284(4)21212x x k k x y k x k k +'''==-=+=++，． 由题设知，正方形Γ在y 轴左边的两边所在的直线方程分别为22y x y x =+=--，，注意到点G 不可能在y 轴右侧，则点G 在正方形Γ内（包括边界）的条件是22y x y x ''+⎧⎨''--⎩≤，≥，即22222248212124821212k k k k k k k k ⎧-+⎪⎪++⎨⎪-⎪++⎩≤，≥，解得k ，此时②也成立． 于是直线l的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为：112()12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，，曲线C 的直角坐标方程为：2213x y +=．（Ⅱ）把直线l的参数方程11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，代入曲线C 的方程2213x y +=中，得221113322t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2104)50t t +-=， 设点A B ，所对应的参数分别为12t t ，，则1212t t =- ， ∴121211||||||||||22PA PB t t t t ===-= ．23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）不等式()0f x ≤，即|2||21|x x -+≤，即2244441x x x x -+++≤，23830x x +-≥，解得133x x -≥或≤， 所以不等式()0f x ≤的解集为133x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≥或≤. （Ⅱ）1321()|2||21|312232x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=-+-⎨⎪-->⎪⎪⎩，，，≤≤，，，故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为对于x ∀∈R ，使2()24f x m m -≤恒成立， 所以25242m m +≥，即24850m m +-≥， 解得1522m m -≥或≤，∴5122m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，，．。
2018届云南省云南师范大学附属中学高考适应性月考卷(二)数学(理)试题(解析版)
2018届云南省大理市云南师范大学附属中学高考适应性月考卷（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∴，故选C．2．设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】，，对应点为,故选B．3．命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于成立是真命题，∴，即，故选B．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 4B. -4C. 5D. -5【答案】A【解析】由题意可知输出结果为，故选A．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A. -2B. -3C. -4D. -5【答案】D【解析】∵，∴，故选D．6．若的展开式中常数项为，则实数的值为（）A. B. C. -2 D.【答案】D【解析】的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得，故选D．7．将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由题意可得函数的解析式为，函数的一个单调递减区间是，若函数在区间上为减函数，则，只要，∴，则的最大值为，故选B．点睛：已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间是单调区间的子集；8．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，∴，故选A．9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．10．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，由椭圆的定义得：，∵的三条边成等差数列，∴，联立，，解得，由余弦定理得：，将代入可得，，整理得：，由，得，解得：或（舍去），故选D．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于任意的，都有成立，等价于在，函数，，在上单调递减，在上单调递增，且，∴．在上，恒成立，等价于恒成立．设，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选C ．点睛：函数的双变元问题，任意的，都有成立，等价于在，函数，转化为两侧的函数最值问题，先求出最值好求的一边，，转化为恒成立，再变量分离；12．已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4【答案】C【解析】因为，由于圆的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以，所以，当时，，故的最小值为，故选C．二、填空题13．若实数满足不等式组，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．和相交于一点A，，目标函数最小时即截距最小时由图像知在A点取得；故结果为14;14．设数列的前项和为，且，，则__________．【答案】【解析】①，②，①②得：，又∴数列首项为1，公比为的等比数列，∴．故结果为85；15．已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是__________．【答案】【解析】依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，，如图2，点恰好取自区域的概率．故结果为；点睛：考查集合概型，和积分，利用面积之比求出概率即可；16．已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由，得，设，则直线过定点，作出函数的图象．两函数图象有三个交点.当时，不满足条件；当时，当直线经过点时，此时两函数图象有个交点，此时，；当直线与相切时，有两个交点，此时函数的导数，设切点坐标为，则，切线的斜率为，则切线方程为，即，∵且，∴，即，则，即，则，∴，∴要使两个函数图象有个交点，则．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题17．在中，分别是角的对边，.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得，最后根据三角形内角范围求角的大小；（2）由余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据面积公式得最大值试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理得，即，又，所以，所以，在中，，所以，所以．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，∴，当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，∴的面积的最大值为．18．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.【答案】(1),(2).【解析】试题分析：（1）计算K2的值，根据K2的值，，可得没有以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（2）用样本容量乘以男生所占的比例，可得应抽取的男生数，用样本容量乘以女生所占的比例，可得应抽取的女生数．（Ⅰ）列联表补充如下：由题意得，∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，则抽取男生人，抽取女生人，所以的分布列服从参数的超几何分布，的所有可能取值为，其中．由公式可得，，，所以的分布列为：所以的数学期望为．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形， PA ⊥底面ABCD ，3PA =， 2AD =， 4AB =， 060ABC ∠=.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）E 是侧棱PB 上一点，记PEPBλ=（01λ<<），是否存在实数λ，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为060？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析,(2) 存在35λ=，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒． 【解析】试题分析：以A 为原点，分别以AD ，AC ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求得A （0，0，0），D （2，0，0），P （0，0，3），B （﹣2，，0）．设E （x ，y ，z ），由=λ，得E （﹣2λ，，3﹣3λ）．求出平面ADE 与平面ADP的一个法向量，结合题意可得λ=．说明存在实数，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60°．（Ⅰ）证明：由已知，得AC =∵2BC AD ==， 4AB =， 又222BC AC AB +=，∴BC AC ⊥．又PA ⊥底面ABCD ， BC ⊂平面ABCD ， 则PA BC ⊥，∵PA ⊂平面PAC ， AC ⊂平面PAC ，且PA AC A ⋂=， ∴BC ⊥平面PAC ．∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，过点A 作垂直于AB 的直线为x 轴， AB AP ，所在直线分别为y 轴， z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图3所示．则()()()000040003A B P ，，，，，，，，，因为在平行四边形ABCD 中， 2460AD AB ABC ==∠=︒，，，则30DAx ∠=︒，∴)10D -，．又(01)PEPBλλ=<<，知()()0431E λλ-，，． 设平面ADE 的法向量为()111m x y z =，，，则·0{ ·0m AD m AE ==，，即()11110{4310y y z λλ-=+-=，， 取11x =，则1m ⎛= ⎝⎭ ． 设平面PAD 的法向量为()222n x y z =，，，则·0{ ·0n AP n AD == ，，即22230 0z y =-=，， 取21y =，则10n ⎫=⎪⎪⎝⎭，．若平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒，则1cos cos602m n 〈〉=︒= ，11012+=， 2=，即2914λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，解得3λ=（舍去）或35λ=． 于是，存在35λ=，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒． 点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角；20．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是．极小值，无极大值．（2）存在实数，使得函数在上的最小值为．【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值（2）先根据导函数是否变化分类讨论：当时，导函数恒为正，所以最小值为；当时，导函数先负后正，所以最小值为；当时，导函数为负，最小值为，最后根据最小值为1，解对应的值。
云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(三)数学(理)试题(扫描版)
云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔三〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，共60分〕【解析】1．分别取1212x y ==，，，，计算可得{101}Q =-，，，应选B. 2．123i 32(6)i 12i 55z b b b z -+-==+-，当605b-=时，12z z 是实数，6b ∴=，应选A. 3．A 中否命题应为“假设21x ≠，那么1x ≠〞；B 中否认应为“210x x x ∀∈+-，≥R 〞；C 中原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；易知D 正确，应选D ．4．(10)(12)(12)(34)b a c +=+=+=，，，，，λλλλ，又()b a c +⊥λ，()0b a c ∴+⋅=λ，即(12)+⋅，λλ(34)3380=++=，λλ，解得311=-λ，应选C. 5．由题意可知输出结果为1234105S =-+-+-⋅⋅⋅+=，应选C. 6．3πsin cos cos 226y x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故其对称轴为π2π6x k k -=∈，Z ，ππ212k x ∴=+， k ∈Z ，当0k =时，π12x =，应选A. 7．对于①，其正确；由正态分布的概念的对称性可得(10)(01)P P -<<=<<=ξξ11(1)22P m ->=-ξ，故②正确；随机变量2K 的观测值k 越大，判断“X 与Y 有关系〞的把握越大，故③错误，所以正确的有①②两个，应选C.8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一局部，体积为442π3V =⨯⨯+⨯1π2324π2+⨯⨯=+，应选D. 9． 123221213112132a a a ==-=-=-=--+，，，452121*********a a =-==-=+-，， 推理得{}n a 是周期为4的数列，所以3201512a a ==-，应选B ．10．1122()2cos ()()2()2f x x g x x x f x g x -''''==+，，≤，≥，故函数()2sin f x x =([0π])x ∈，上点P 的坐标必为(00)，，函数()13x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上点Q 的坐标必为813⎛⎫⎪⎝⎭，，故直线PQ的斜率为83，应选C ．11．由题意可知22222m c m n a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，那么22n b =，椭圆的方程可化为22221x y c b +=．由0AP PQ ⋅=知AP 与渐近线垂直．不妨设P 在第一象限，那么直线AP 的方程为()ay x c b=--，与渐近线by x a =联立可解得P 的坐标为2a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．又点P 在椭圆上，代入椭圆方程可得42421a a c c +=，即42111e e +=，整理得4210e e --=，所以2e ，应选D ． 12．1121212212()(()()),()()()()()()(()())22f x f x f x f x f x f x f xg x f x f x f x -⎧+=+=⎨<⎩≥1113e ((,0][3,)),e ((0,3)),x x x x -+⎧∈-∞+∞⎪=⎨⎪∈⎩又当[]x a b ∈，时，1212()()0g x g x x x ->-恒成立，故()g x 在[]x a b ∈，时是增函数，结合图象可知()g x 在[0)x ∈+∞，时是增函数，又[15]a b ∈-，，，故b a -的最大值在05a b ==，时取得，应选D ．第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕【解析】13．由4652a a a ⋅=，得2552a a =，即52a=，所以54b=，19959()9362b b S b +===. 14．ππsin d (cos )cos πcos02a x x x ==-=-+=⎰，二项式6⎛⎝展开式的通项公式为663166C (1)2C rr rr r r r r T x ---+⎛=⋅=- ⎝．令30r -=，得3r =，此时展开式中常数项为363346(1)2C 160T -=-⨯=-． 15．函数(1)y f x =+的图象关于点(10)-，成中心对称，∴函数()y f x =的图象关于点(00)，成中心对称，即()y f x =为奇函数．不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，可化为222(2)(2)(2)f x x f y y f y y ---=-≤，又定义在R 上的函数()y f x =是减函数，2222x x y y ∴--≥，由14x ≤≤得22(22)014x y x y x ⎧---⎨⎩≥，≤≤，故()(2)014x y x y x -+-⎧⎨⎩≥，≤≤，即02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≥，≤≤或02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≤≤，作出可行域，又(12)()M N x y ，，，，故2OM ON x y ⋅=+，利用线性规划知识可求得OM ON ⋅的取值范围为[012]，. 16．如图1，设P ABCD -的外接球的球心为G ，A B C D ，，，在球面上，∴球心在正方体1111ABCD A B C D -上下底面中心连线1O O 上，点P 也在球上，GP GA R ∴==，棱长为1，22OA ∴=，设11O P x O G y ==，，那么1OG y =-，在1Rt GO P △中，有222R x y =+①，在Rt GOA △中，三、解答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17.〔本小题总分值12分〕【注：此题题干第一行中“且sin 2m n C ⋅=-〞改为“且sin 2m n C ⋅=〞，改后答案如下：】解：〔Ⅰ〕sin()2cos sin sin cos cos sin sin()m n A B A B A B A B A B ⋅=-+=+=+， …………………………………………………………………………………〔2分〕在ABC △中，π0πA B C C +=-<<，，所以sin()sin A B C +=，……………………〔4分〕又sin 2m n C ⋅=，所以sin sin 22sin cos C C C C ==，所以1cos 2C =，即π3C =． ……………………………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2c a b =+，………………………………〔7分〕1sin 2ABC S ab C =△，得4ab =，……………………………………………〔9分〕由余弦定理得22222222cos ()3412c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-=+-=-，得2c =．………………………………………………………………………………〔12分〕 18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕芯片甲为合格品的概率为4032841005++=，芯片乙为合格品的概率为4029631004++=，…………………………………………〔3分〕随机变量X 的所有可能取值为90453015-,，，. 433(90)545P X ==⨯=；133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=， 所以随机变量X 的分布列为………………………………………………………………………………………〔7分〕那么X 的数学期望3311()904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．…………………〔8分〕〔Ⅱ〕设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，那么次品有5n -件. 依题意，得5010(5)140n n --≥， 解得196n ≥，所以4n =或5n =．……………………………………………………〔10分〕设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元〞为事件A ，那么454531381()C 444128P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………〔12分〕19.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：如图2，取AB 的中点H ，连接PH HC ，． PAB △是正三角形，且H 为AB 的中点，2AB =，PH AB ∴⊥，且3PH =…………………………………………………〔2分〕 底面ABCD 是矩形，22AB BC ==，123HC ∴=+. 又6PC =222PC PH CH ∴=+，PH HC ∴⊥．………………………………………………………〔4分〕AB HC H =，PH ∴⊥平面ABCD .PH ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：如图2所示，以H 为原点建立空间直角坐标系H xyz -，那么(100)(100)A B -，，，，，，(003)P ，，，(120)D ，，．……………………………〔7分〕设(01)AE AP =<<λλ，那么(203)BE BA AE =+=-，，λλ，(220)BD =，，， 设()n x y z =，，为平面EBD 的法向量， 由0,()(220)=0,0,()(203)=0,n BD x y z n BE x y z ⎧⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-⎪⎪⎩⎩，，，，，，，，λλ 220,(2)30,x x z ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩λλ令2z =-λ，得(362)n =--，，λλλ.易知(003)HP =，，为平面ABD 的一个法向量.………………………………………〔9分〕二面角E BD A --的大小为45︒，22332cos45cos 210443n HP n HP n HP-⋅∴︒=〈〉===⋅-+⨯，λλλ. ………………………〔10分〕又由01<<λ，得12=λ，1AE EP ∴=∶．……………………………………………〔12分〕由221(4),44,y x x y m ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得2381640x x m ---=， 那么816433A B A B mx x x x ++==-，.(*) ……………………………………………………〔3分〕因为2PA PB PC ⋅=，P A B C ，，，共线且P 在线段AB 上， 所以2()()()P A B P P C x x x x x x --=-， 整理得：4()320A B A B x x x x +++=， 将(*)代入上式可解得：28m =.所以双曲线G 的方程为221287x y -=．……………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由题意可设椭圆S 的方程为：2221(7)28x y a a +=>，弦的两个端点分别为11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()Q x y ，，由22112222221,281,28x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得121212122()()()()028x x x x y y y y a -+-++=，……………………………〔8分〕 因为1212012012422y y x x x y y y x x -=-+=+=-，，，所以0024028x ya-=，…………………〔9分〕所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的局部. 又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的局部，所以211122a =，所以256a =， 椭圆S 的方程为2212856x y +=．…………………………………………………………〔12分〕21.〔本小题总分值12分〕 〔Ⅰ〕解：()[(1)]()f x g x a g x '''=+--λλλλ，………………………………………〔1分〕令()0f x '>，得[(1)]()g x a g x ''+->λλ，(1)x a x ∴+->λλ，即(1)()0x a --<λ，解得x a <， ………………………………………………………〔3分〕故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，……………………………………〔4分〕∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值.()f x 的极大值为()[(1)]()()()(1)e a f a g a a g a g a g a =+--=-=-⋅λλλλλ．………〔6分〕〔Ⅱ〕证明：e 1e 11x x x x x----=，又当0x >时，令()e 1x t x x =--，那么()e 10x t x '=->，故()(0)0t x t >=，因此原不等式化为e 1x x a x --<，即e (1)10x a x -+-<，…………〔8分〕令()e (1)1x h x a x =-+-，那么()e (1)x h x a '=-+， 由()0h x '=，得e 1x a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0h x '<；当ln(1)x a >+时，()0h x '>，故当ln(1)x a =+时，()h x 取得最小值[ln(1)](1)ln(1)h a a a a +=-++，……………〔10分〕令()ln(1)01as a a a a=-+>+，， 那么2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++.故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0h a a a a +=-++<.因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立. ……………………………………〔12分〕22.〔本小题总分值10分〕【选修4−1：几何证明选讲】 〔Ⅰ〕证明：PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠， 又P ∠为公共角，PAB PCA ∴△∽△，AB PAAC PC∴=， 所以，AB PC AC PA ⋅=⋅. ………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕解：PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2PA PB PC ∴=⋅，4540PC BC ∴==，，又222901600CAB AC AB BC ∠=︒∴+==，， 又由〔Ⅰ〕知13AB PA AC PC ==，AC AB ∴==，连接EC ，CAE EAB ∠=∠，ACE ADB △∽△，AB ADAE AC∴=，480.AD AE AB AC ∴⋅=⋅==……………………………………………〔10分〕变形得2213sin =+ρθ．由OA OB ⊥可设12π()2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，ρθρθ，所以2211OAOB+222212π13sin 1113sin 244⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=+=+θθρρ 2223sin 3cos 544++==θθ〔定值〕． ……………………………………………………〔7分〕1222222122229(13sin )(13cos )139sin cos 4sin 24AOB S ===+++++△ρρθθθθθ，易知当sin 20=θ时，max ()1AOB S =△.……………………………………………………〔10分〕24.〔本小题总分值10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕因为4(4)()4x x a x x a a -+----=-≥， 因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立，故431a a -=∴=，．……………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕当1a =时，假设1()()g x f x m=+的定义域为R ，那么()0f x m +≠恒成立，即()0f x m +=在R 上无解，又()441(4)(1)3f x x x a x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当14x ≤≤时取等号，3m ∴>-．………………………………………………………………………………〔10分〕。
云南省师范大学附属中学2018届高三上学期12月高考适应性月考卷(五)数学(理)试题扫描版含答案
知， OO1 3 ， OO2 4 ，则圆台的高为 O1O2 1， AC 2 ，所以 圆台的侧面积为 S侧 1 (8π 6 π) 2 7 2π.
2 （ 2）当两截面圆在球心的异侧时，如图 4，则 AB 为大截面圆的直
径， CD 为小截面圆的直径，梯形 ABDC 为圆台的轴截面，由题意
知， OO1 3 ， OO2 4，则圆台的高为 O1O2 7 ， AC 5 2 ，所 以圆台的侧面积为 S侧 1 (8π 6π) 5 2 35 2π，综上所述，故
12(1 k ) 3 4k 2
， 同 理 |CD |
12(1 3k 2
k) 4
， 特别 地当
k2
1时，
| AB | | CD | 24 ， 即 | AB | | CD | 48 ， 则 B 正 确 ； 由 于 AB CD ， 所 以
7
7
SABCD | AB | C|D ，又| | AB | | CD | 2
三、解答题 （共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） f ( x) 3sin 2 x 2cos 2 x 1 2
3sin 2x cos2x 2 =2sin 2x π 2 ， 6
所以 f ( x) 的最小正周期 T 2π π， 2
ππ
π 7π
0≤ x≤ ， ≤ 2x ≤ ，
所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( 1，0) ，单调递减区间为 (0， ) ．…………………（ 5
分）
（Ⅱ）由 x ln( x
，1 [1， ) ，故 3
10．如图 2，由 f ( x) ≥ xex ，需满足函数 f ( x) 的图象不在函数 xex 图
师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考卷(二)数学(理)试题缺答案
绝密★启用前云南省云南师范大学附属中学2018届高考适应性月考卷（二）数学（理）试题考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟;【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规,无偏难、怪出现，但其中第12题相对比较新颖，第9、10、11、12、16题突出考查逻辑思维能力与运算能力,同时也注重知识交汇性的考查，如第10题等，解答题重视数学思想方法的考查，如第20题考查分类讨论、构造函数、转化的思想、推理与计算能力，第19题探索性命题、考查了转化思想、推理和空间想象能力．第23题考查了恒成立问题，体现转化思想，本卷适合第一轮复习使用．一、选择题1．已知集合,，则（)A. B。
C。
D.2．设复数满足，则复数对应的点位于复平面内( ）A。
第一象限 B. 第二象限C。
第三象限 D. 第四象限3．命题,，若命题为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C。
D.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ）A. 4B. -4C. 5D. —55．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点,且直线与垂直,则实数的值为（)A. -2 B。
-3 C. -4 D. —56．若的展开式中常数项为,则实数的值为（)A。
B. C. -2 D.7．将函数(）的图象向右平移个单位，得取函数的图象,若在上为减函数,则的最大值为( )A。
2 B。
3 C. 4 D. 58．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A。
B。
C。
D。
9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，,，，，，，则球的表面积为（）A。
B。
C. D.10．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，,成等差数列,则此椭圆的离心率是（）A。
B. C。
D.11．已知函数,,如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C。
D。
12．已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（）,则的最小值为（）A。
云南省师范大学附属中学2018届高三上学期12月高考适应
云南省师范大学附属中学2018届高三上学期12月高考适应性月考卷（五）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合5|09xA xx-⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合{}|(3)(10)0B x Z x x=∈--≤，则（）A． B． C． D．2.复数，则复数的虚部是（）A． B． C． D．3.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A．各月的平均最高气温都不高于25度B．七月的平均温差比一月的平均温差小C．平均最高气温低于20度的月份有5个D．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度4.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（）A．140种B．70种C．35种D．84种5.在等差数列中，若，则数列的前15项的和为（）A．15 B．25 C．35 D．456.已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，则弦的中点到轴的距离为（）A． B． C． D．7.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A． B． C． D．8.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的，则输出的为（）A．2 B．3 C．4 D．59.已知函数，若，则的取值范围为（）A． B．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C． D．10.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A． B． C． D．11.已知半径为5的求被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）A．B．C．或D．或12.已知椭圆：22143x y+=的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是（）A．存在直线，使得值为7B．存在直线，使得值为C．四边形的面积存在最大值，且最大值为6D．四边形的面积存在最小值，且最小值为第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，满足约束条件11,11,x yx y-≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则的最小值为．14.已知为数列的前项和，，当时，，则．15.在中，，，点为外接圆的圆心，则．16.在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()22cos1f x x x++．（1）求函数的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在中，，，所对的边分别是，，，，，，求的面积．18.随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长．机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面．在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源．因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提．从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图； （2）建立机动车保有量关于年份代码的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量．附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb x nx==-=-∑∑，．19.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，．（1）证明：；（2）若点为的中点，求二面角的余弦值．20.椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点．21.已知函数ln(1)1()x x f x e ++=．（1）求的单调区间；（2）若21ln(1)2ln(1)20xx x x x ke++++++-≤在上恒成立，求正整数的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知抛物线的方程为，以抛物线的焦点为极点，以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系．（1）求抛物线的极坐标方程；（2），是曲线上的两个点，若，求11||||FP FQ+的最大值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()ln(|21||23|) f x x x=+--.（1）求不等死的解集；（2）当取何值时，恒成立.理科数学试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）2()22cos 12f x x x =+-+2cos22x x ++，所以的最小正周期，πππ7π022666x x ∴+≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数在区间的值域为． （2）由得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又，，，由及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，，又，代入上式解得，的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒=．18.解：（1）数据对应的散点图如图8所示.（2），515221515615.6105i ii i i x yx yb x x==-===-∑∑，，所以回归直线方程为．（3）代入2017年的年份代码，得15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．19．（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC 的中点M ， 所以，又，所以， 又因为，而，且， 所以平面，又因为， 所以．（2）解：如图9，以为原点，建立空间直角坐标系，则1(000)(210)(010)(00M B A A --，，，，，，，，，，，，11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，于是1(200)(01AB AA ==，，，，，， 求得平面的一个法向量为，由(200)(12AB AP ==，，，，，，求得平面的一个法向量为，则||cos ||||326m n m n m n 〈〉===，，所以二面角的余弦值为．20．（1）解：，又，联立解得：， 所以椭圆C 的标准方程为．（2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为， 联立得．00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：，故2020144y x =--，又002y k x =+，02y k x '=-(分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：，联立得，所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令，解得：，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 21．解：（1）函数的定义域为11ln(1)1(1)()e xx x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在上是减函数，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在上恒成立， 整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在上恒成立即可.令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==，当时，，以及在上，得ln(1)1()e ()xh x x f x ++=<在上恒成立， 由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．所以有，即恒成立，所以正整数k 的最小值为1．22．解：（1）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：．（2）由（1）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+=== ，当且仅当时等号成立，故的最大值为． 23．解：（1）由有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤， 解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．（2）由恒成立得即可.由（1）0|21||23|x x <+--得函数的定义域为，所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以，即．云南师大附中2018届高考适应性月考卷（五） 理科数学参考答案1．(5)(9)A =-∞+∞，，，{345678910}B =，，，，，，，，所以，故选C ．2．由221i 1i (1i)(1i)4i2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+--+-=-===-+-+-，故选A ．3．由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，故选C ．4．分两类：（1）2男1女，有种；（2）1男2女，有种，所以共有+种，故选B ． 5．设等差数列的公差为，首项为，由59101832133a a a a d a ++=+==，，故选A ．6．由题意知过点的直线方程为，联立方程21)4y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩，，消去得：. 设，，则，所以弦的中点的横坐标为，故到轴的距离为，故选D ．7．如图1所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知 正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且，故选B ． 8．由题意知：输入的，则程序运行如下： 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，，此时程序结束，输出，故选C ．9．由，知为上的偶函数，当时，为增函数，故等价于不等式，解得的取值范围为，故选A ． 10．如图2，由，需满足函数的图象不在函数图 象的下方，令，所以，则在上单调递减，在上单调递增，且当时， ，，，而由图可知函数2e2e [30]()3e 2e (02]x xf x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎪-+∈⎩，，，，，，则，由题意可知，不等式的解集为，故选B ．11．（1）当两截面圆在球心的同侧时，如图3，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为1(8π6π)2722S =+=侧. （2）当两截面圆在球心的异侧时，如图4，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为1(8π6π)522S =+=侧，综上所述，故选C ． 12．当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A 是正确的；当直线，的斜率都存在时，不妨令直线的斜率为，由题意知的直线方程为，联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，设，，由韦达定理知：，，所以212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，特别地当时，，即，则正确 ；由于，所以||||2ABCDAB CD S =，又2242224212(1)12(1)122412||||123434122512k k k k AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫++++=== ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭242221576121121121122512491225k k k k k ⎛⎫⎪⎛⎫⎡⎫ ⎪-=-∈ ⎪⎪⎢++⎛⎫ ⎪⎣⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故当不存在或，，故，综上所述C 选项正确，D 选项错误，故选D ．【解析】13．由题意可知，线性区域是如图5的阴影部分，由， 则为直线的截距，由图可知，当时，取到最 小值.14．由，且，所以，可得：，所以是以首项为，公比为的等比数列，则，所以.15．如图6，由是外接圆的圆心，取的中点，取 的中点，连接，，所以()AB AC AO AB AO AC -=-=()()AM MO AB AN NO +-+ 22()()1022AB AC AC AMAB AN AC =-=-=-．16．如图7，由于为的角平分线，且， ，由角平分线定理知：，令，，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边知：，在中，由余弦定理知：2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以12sin 2ABC S m m ABC m =∠=△m == ，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为3.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()22cos 12f x x x =+-+2cos22x x =++，所以的最小正周期，πππ7π022666x x ∴+≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数在区间的值域为．…………………………………………（6分） （Ⅱ）由得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又，，，由及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，，又，代入上式解得，的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒=．…………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数据对应的散点图如图8所示.………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ），515221515615.6105i ii i i x yx yb x x==-===-∑∑，，所以回归直线方程为．………………………………………………（10分）（Ⅲ）代入2017年的年份代码，得15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．…………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC 的中点M ， 所以，又，所以， 又因为，而，且， 所以平面，又因为，所以．…………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：如图9，以为原点，建立空间直角坐标系，则1(000)(210)(010)(00MB A A --，，，，，，，，，，，， 11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，[KS5UKS5U]于是1(200)(01AB AA ==，，，，，， 求得平面的一个法向量为，由(200)(12AB AP ==，，，，，，求得平面的一个法向量 为，则||cos ||||326m n m n m n 〈〉===，，所以二面角的余弦值为．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：，又，联立解得：，所以椭圆C 的标准方程为．…………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为， 联立得．00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：，故2020144y x =--，又002y k x =+，02y k x '=-(分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：， 联立得，所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令，解得：，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的定义域为11ln(1)1(1)()e xx x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在上是减函数，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为．…………………（5分）（Ⅱ）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在上恒成立， 整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在上恒成立即可.令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==，当时，，以及在上， 得ln(1)1()e ()xh x x f x ++=<在上恒成立，由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．所以有，即恒成立， 所以正整数k 的最小值为1．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+=== ，当且仅当时等号成立，故的最大值为．………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由恒成立得即可.由（Ⅰ）0|21||23|x x <+--得函数的定义域为，所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以，即．………………………………………………………………………………（10分）云南师大附中2018届高考适应性月考卷（五） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1．(5)(9)A =-∞+∞，，，{345678910}B =，，，，，，，，所以，故选C ．2．由221i 1i (1i)(1i)4i2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+--+-=-===-+-+-，故选A ．3．由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，故选C ．4．分两类：（1）2男1女，有种；（2）1男2女，有种，所以共有+种，故选B ． 5．设等差数列的公差为，首项为，由59101832133a a a a d a ++=+==，，故选A ．6．由题意知过点的直线方程为，联立方程21)4y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩，，消去得：. 设，，则，所以弦的中点的横坐标为，故到轴的距离为，故选D ．7．如图1所示三棱锥A −BCD ，三棱锥在边长为2的正方体中，可知 正方体体对角线AC 即为三棱锥最长的棱，且，故选B ． 8．由题意知：输入的，则程序运行如下： 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，，此时程序结束，输出，故选C ．9．由，知为上的偶函数，当时，为增函数，故等价于不等式，解得的取值范围为，故选A ． 10．如图2，由，需满足函数的图象不在函数图 象的下方，令，所以，则在上单调递减，在上单调递增，且当时， ，，，而由图可知函数2e2e [30]()3e 2e (02]x xf x x x ⎧+∈-⎪=⎨⎪-+∈⎩，，，，，，则，由题意可知，不等式的解集为，故选B ．11．（1）当两截面圆在球心的同侧时，如图3，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为1(8π6π)2722S =+=侧. （2）当两截面圆在球心的异侧时，如图4，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为1(8π6π)522S =+=侧，综上所述，故选C ．12．当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A 是正确的； 当直线，的斜率都存在时，不妨令直线的斜率为，由题意知的直线方程为，联立方程22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，设，，由韦达定理知：，，所以212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，特别地当时，，即，则正确 ；由于，所以||||2ABCDAB CD S =，又2242224212(1)12(1)122412||||123434122512k k k k AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫++++=== ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭242221576121121121122512491225k k k k k ⎛⎫⎪⎛⎫⎡⎫ ⎪-=-∈ ⎪⎪⎢++⎛⎫ ⎪⎣⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故当不存在或，，故，综上所述C 选项正确，D 选项错误，故选D ．【解析】13．由题意可知，线性区域是如图5的阴影部分，由， 则为直线的截距，由图可知，当时，取到最 小值.14．由，且，所以，可得：，所以是以首项为，公比为的等比数列，则，所以.15．如图6，由是外接圆的圆心，取的中点，取 的中点，连接，，所以()AB AC AO AB AO AC -=-=()()AM MO AB AN NO +-+22()()1022AB AC AC AMAB AN AC =-=-=-．16．如图7，由于为的角平分线，且， ，由角平分线定理知：，令，，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：，在中，由余弦定理知：2224959cos 2244m m ABC m m m +-∠==-⨯⨯，所以12sin 2ABC S m m ABC m =∠=△m== ，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为3.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2()22cos 12f x x x =+-+2cos22x x =++，所以的最小正周期，πππ7π022666x x ∴+≤≤，≤≤，π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛⎫∴++ ⎪⎝⎭≤≤，所以函数在区间的值域为．…………………………………………（6分） （Ⅱ）由得π2sin 2236B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，又，，，由及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，，又，代入上式解得，的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒=．…………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数据对应的散点图如图8所示.………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ），515221515615.6105i ii i i x yx yb x x==-===-∑∑，，所以回归直线方程为．………………………………………………（10分）（Ⅲ）代入2017年的年份代码，得15.66151.4245y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆．…………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC 的中点M ， 所以，又，所以， 又因为，而，且， 所以平面，又因为，所以．…………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：如图9，以为原点，建立空间直角坐标系，则1(000)(210)(010)(00M B A A --，，，，，，，，，，，，11(20(010)(02(11B C C P ，，，，，，，，，，于是1(200)(01AB AA ==，，，，，， 求得平面的一个法向量为，由(200)(12AB AP ==，，，，，，求得平面的一个法向量为，则||cos ||||326m n m n m n 〈〉===，，所以二面角的余弦值为．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：，又，联立解得：，所以椭圆C 的标准方程为．…………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为， 联立得．00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：220001(2)41x y x +=≠±，整理得：，故2020144y x =--，又002y k x =+，02y k x '=-(分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以2020144y kk x '==--，所以直线PB 的方程为：，联立得，所以以ST 为直径的圆的方程为：2225151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令，解得：，所以以线段ST为直径的圆恒过定点30⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的定义域为11ln(1)1(1)()e xx x f x --++'-+∞=，，，由于1(0)01ln(1)1f y x x '==--++，在上是减函数，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为．…………………（5分）（Ⅱ）由21ln(1)2ln(1)2e 0x x x x x k ++++++-≤在上恒成立， 整理得：21(2)[ln(1)1]e x x x k ++++≥在上恒成立即可.令211(2)[ln(1)1](2)[ln(1)1]()e e e x x xx x x x h x ++++++++==，当时，，以及在上，得ln(1)1()e ()xh x x f x ++=<在上恒成立，由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．所以有，即恒成立， 所以正整数k 的最小值为1．…………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由抛物线的定义得：1(0)4cos ρρρθ=>+，即：．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12ππ1cos 1cos 211112sin cos 24||||444FP FQ θθθθθρρ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭+=+=== ，当且仅当时等号成立，故的最大值为．………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由有：ln(|21||23|)ln1x x +--≤， 所以0|21||23|1x x <+--≤，即12021231x x x ⎧-⎪⎨⎪<--+-⎩≤，≤或1322021231x x x ⎧-<<⎪⎨⎪<++-⎩，≤或32021231x x x ⎧⎪⎨⎪<+-+⎩≥，≤，解得不等式的解集为1324x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）由恒成立得即可.由（Ⅰ）0|21||23|x x <+--得函数的定义域为，所以有13ln(42)22()3ln 42x x f x x ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，≥，所以，即．………………………………………………………………………………（10分）。