数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)nk k =-=∑2135(21)n n ++++-=.例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加） )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5例4 函数()1x f x x =+，求()()()()1111220121201220112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.三.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b ⋅叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和. 如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的.例5 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S …………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{}21n -的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）即：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+变式 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，22n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项是等差数列{}2n 的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………② （设制错位） ①－②得，1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴1242n n n S -+=-四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭，其中{}n a 是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
其基本方法是()()1n a f n f n =+-. 常见裂项公式： （1）111(1)1n n nn ++=-，1111()()n n k k nn k++=-；111111()n n n n a a d a a ++=-⋅（{}n a 的公差为d ）；（2）1d =.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； （5）nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则； （6）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+； （7）11(1)!!(1)!n n n n ++=-；（8）常见放缩公式：212=<=.例6 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n例7 求和1111133557(21)(21)n S n n =++++⨯⨯⨯-+.例8 在数列{}n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{}n b 的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n＝ 18+n n例9 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立变式 求11113153563n S =+++.解：1111315356311111335577911111111111(1)()()()2323525727911111111(1)()()()2335577911(1)2949+++=+++⨯⨯⨯⨯=-+-+-+-⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦=-= 五.分段求和法：例10 在等差数列{}n a 中102523,22a a ==-，求：（1）数列{}n a 前多少项和最大；（2）数列{}n a 前n 项和.六.分组求和法: 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当1a =a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---. 例12 求数列()(){}121n n n ++的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k ====++∑∑∑ （分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n变式 求数列11111,2,3,,,2482n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的前n 项和.解： 231111123()24821111(123)()222211(1)122n n n n S n n n n =+++++=+++++++++=++- 七.并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论. 例13 求cos1°+ cos2°+ cos3°+…+ cos178°+ cos179°的值. 解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+…..+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）++（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0例14 数列{}n a ：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求2002S . 解：设2002S ＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴2002S ＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a＝5例15 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和） ＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10变式 求和2222222212345699100n S =-+-+-++-.八.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例16 求11111111111n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个之和.解：由于111111119999(101)99k k k ⋅⋅⋅=⨯⋅⋅⋅=-个个 （找通项及特征）∴ 11111111111n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝()123111(10101010)111199n n +++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+个 ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ 例17 已知数列{}n a ：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征） ＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组） ＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝418)4131(4⋅++⋅＝313变式 求55555555555n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个的前n 项和.解：∵()51019n na =-()()()()12355551011011011019999n n S ∴=-+-+-++-()1235101010109n n ⎡⎤=++++-⎣⎦ ()151091081n n +=-- 以上8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或进行消项处理来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解.。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。
一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。
二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。
三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。
Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。
四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。
递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。
例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。
五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。
斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。
六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。
设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。
七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。
数列求和常用方法(含答案)
数列专题 数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72， 所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5， 所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0， 因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *， 因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7， 故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000， 故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1， 因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3， 所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1． 跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3． 跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列， 则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ， 则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2， 两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2， 即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)， 则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列， 则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)， 设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ， 化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和． 解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， 即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值． 解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2， 得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022， 当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716， 所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1； 当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法总结数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
关键是找数列的通项结构。
1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。
例：已知数列}{n a 的通项为：n n n a 32+=，求n S例：在等差数列{}n a 中，11=a ，2=d ，依次抽取这个数列的第1，3，23，……，13-n 项，组成数列{}n b ，求数列{}n b 的通项n b 和前n 项和n S2、错位相减法：利用等比数列前n 项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。
例：已知数列}{n a 的通项为：nn n a 2)12(-=，求n S说明：（1）一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列且公比为q ，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和时，可采用这一思路和方法。
具体做法是：乘以常数q ，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。
要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。
（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“n n qS S -”的表达式；3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。
常见裂项有：)11(1)(1k n n k k n n +-=+、)(11n k n k nk n -+=++例：已知数列}{n a 的通项为：)1(1+=n n a n ，求前n 和n S例：在等差数列}{n a 中21=a 、83=a ，若nn n a a b +=+11，求数列的}{n b 前n 和n T4、倒序相加法：利用等差数列前n 项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。
例：}{n a 中，已知)30cos(cos ︒-︒︒=n n a n ，求60S 的值5、有关绝对值的问题：例：在等差数列}{n a 中201-=a 、2=d ，（1）求数列}{n a 前n 和n S ；（2）求数列|}{|n a 前n 和n T ；由数列递推关系式求通项公式。
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法一、公式法1、 差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn例1、设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．二、倒序相加法若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.例2、设函数222)(+=x x x f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2, y 2)，若)(2121OP OP +=且点P 的横坐标为21. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n nn f nf nf nf S ∈+⋯+++=三、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：（1）n n n n -+=++111（2）111=- （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n若数列}{n a 为等差数列，0≠n a ，公差0≠d ，)11(11,11111111++++++-=∴=-=-n n n n n n n n n n n n a a d a a a a d a a a a a a则数列}1{1+n n a a 的前n 项和)11(1)11(1)11(113221+-++-+-=n n n a a d a a d a a d S111111111)11(1++++=-⋅=-=n n n n a a na a a a d a a d 。
数列的求和的常用方法
数列的求和的常用方法一、公式法：（1）等差数列前n 项和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n（3）重要公式①=∑=nk k 11+2+…+n=21n(n+1)； ②=∑=n k k 1212+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1)； ③=∑=nk k 1313+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=[21n(n+1)]2=41n 2(n+1)2； ④∑=nk k 12=2+4+6+…+2n=n(n+1)⑤∑=-nk k 1)12(=1+3+5+…(2n-1)=n 2二、 倒序相加法（利用等和性）等差数列前n 项和公式2)(1n n a a n S +=就是用倒序相加法推导出来的， 这种方法主要用于求数列{a n },首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数。
例1．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项例2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6=36,S n =324,S n-6=144(n>6),则n 为（ ）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）15例3．求和nnn n o n n C C C C S 1)(n 3221+++++=例4．已知a,b 为不相等的两个正数，若在a,b 之间插入n 个正数，使它们构成以a 为首项，b 为末项的等比数列，求插入的这n 个正数的积P n .三、 乘q 错位相减法等比数列前n 项和公式)1(1)1(1≠--=q q q a S n n 就是用乘q 错位相减法推导出来的，这种方法主要用于求数列{a n ∙b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列例5．求数列{n ∙2n }的前n 项和S n例6．求和)1(32112≠++++=-x nx x x S n n例7．求和n n n S 212854321-++++=例8. 求数列10,200,3000,40000, …的前n 项和S n四、 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，即a n =f(n+1)－f(n)，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和, 一般情况下，若{a n }是等差数列，则)11(1111++-=n n n n a a d a a ，)11(21122++-=∙n n n n a a d a a ，用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：①)1(1+n n =n1－11+n ，)211(21)2(1+-=+n n n n ，)11(1)(1k n n k k n n +-=+②)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n③])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n④n n n n -+=++111⑥)(11n k n k kn n -+=++，)(11b a b a ba --=+ ⑦m n m n m n C C C -=+-11，或mn m n m n C C C 111----=⑧)!1(+n n =!1n －)!1(1+n ⑨n ·n ！=(n+1)!－n! ⑩)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=等例9．已知数列{a n }的通项公式a n =)12)(12(1+-n n ，求前n 项和S n例10．已知数列{a n }:1,211+,3211++, …,n++++ 3211, … 求它的前n 项和S n例11.已知数列,841,631,421,2112222++++, 求它的前n 项和S n五、 分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可将这类数列适当拆开，分别求和而后相加减。
求数列前n项和的七种办法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和：q=1时，1n S na =()1111nn a q q S q -≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S n k n2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式） ＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤ ∴当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ……………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1①①两边同乘以x ，得xS n =x+5x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa an ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123n n nn k k k S k k k ====++∑∑∑（分组） ＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++（分组求和） ＝2)2()1(2++n n n 练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
高中数列求和方法大全
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x Sn x x x x x x nn 2)111()(242242++++++++= （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
数列求和的七种方法是什么
数列求和的七种方法是什么
1、数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
2、倒序相加法。
倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。
3、分组求和法。
分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。
4、错位相减法。
错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
5、裂项相消法。
裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
6、乘公比错项相减（等差×等比）。
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。
7、公式法。
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
8、迭加法。
主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
数列求和的常用方法
数列求和的经典方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n【例】 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =． 设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=， 解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．二、错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。
【例】设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++ ，② ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ， 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-．三、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 等。
数列求和的几种常用方法
专题: 数列求和的几种常用方法知识点归纳1等差数列的前n 项和公式, 等比数列的前n 项和公式： S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(--当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)； 当q≠1时，S n =qq a n--1)1(1 S n =qq a a n --112．基本公式法：○1等差、等比数列的前n项和公式、○2()()2221121216n n n n +++=++ 、○3()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦ 、○40122nnn n n n C C C C ++++=3拆项法求数列的和，如a n =2n+3n4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5分裂项法求和，如a n =1/n(n+1)111n n =-+（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式） 6反序相加法求和，如a n =nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如a n = -2n 2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 nn a a (a n >0) 如a n =nnn 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =1562+n n题型讲解例7 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b abba b ab a a S n n n n n nn ∈++++++=----解：①当a=0或b=0时，)(n n n a b S =②当a=b 时，n n a n S )1(+=； ③当a ≠b 时，ba baS n n n --=++11例8（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S则12(1)32322n nn a a n d n a =+-=-⇒=⋅- 22423(222)2n na a a n ∴+++=+++- 12(12)32322612nn n n +-=-=⋅---练习（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132， (3)＋13n的各项的和解：其和为： (1＋3＋ (3))＋(13132+＋……＋13n)=3121321n n+--+-=12(3n ＋1-3-n )例9（裂项求和法）)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 练习（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-ni i ia a d 11)11(1则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a na a d.242n a a a +++点评：已知数列{}na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11n ni id===∑∑例10（错位相减法）1.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，na n，…的前n项和解：①若a=0时，S n=0②若a=1，则S n=1+2+3+…+n=)1n(n21-③若a≠1，a≠0时，S n-aS n=a（1+a+…+a n-1-na n），S n=]naa)1n(1[)a1(a1nn2+++--练习（错位相减法）2.已知1,0≠>aa，数列{}n a是首项为a，公比也为a的等比数列，令)(lg Nnaabnnn∈⋅=，求数列{}n b的前n项和n S解：,lgn nn na ab n a a==⋅232341(23)lg(23)lgnnnnS a a a na aaS a a a na a+∴=++++=++++……①……②①-②得：anaaaaSa nnnlg)()1(12+-+++=-3.求和Sn=nnnn212232252321132-+-++++-解由原式乘以公比21得:21Sn=1322122322321+-+-+++nnnn原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,∴S n-21Sn=21+112212212121+---+++nnn即S n=32232++-nn一般地, 当等比数列{b n}的公比为q, 则错位相减的实质是作“S n- qS n”求和.点评：设数列{}n a的等比数列，数列{}n b是等差数列，则数列{}n n ba的前n项和nS求解，均可用错位相减法例11（递推法）已知数列{}n a的前n项和n S与n a满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S解：由题意：21(),2n n n S a S =-1n n n a S S -=-∴211111()()()22n n n n n n n n S S S S S S S S ---=--⇒-=1111112(1)2211.21nn nn n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=-点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法例12 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈ ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ； ⑶设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴（2）若50210≤≥-n n 则，5,n ≤时12||||||n n S a a a =+++ 21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765214092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n故229940n n n S n n ⎧-=⎨-+⎩ 65≥≤n n（3）)111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n ∴n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n nnn .)1(2+=n n若32m T n >对任意*N n ∈成立，即161mn n>+对任意*N n ∈成立，)(1*N n n n ∈+ 的最小值是21，,2116<∴m m ∴的最大整数值是7 即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32m T n >说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题 例13（倒数法）已知函数13)(+=x x x f ,数列{a n }满足a 1 = 1,a n+1 = f(a n ) (n ∈N *)(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ) 记S n = a 1a 2 +a 2a 3+…+a n a n+1 , 求S n 解: (Ⅰ) 由131+=+n n n a a a 得 3a n a n+1 +a n+1 = a n ,从而 1113+=+n na a ,即 3111=-+nn a a ,数列}1{na 是以111=a 为首项3为公差的等差数列∴233)1(11-=⋅-+=n n a n, ∴231-=n a n(Ⅱ) 设b n = a n a n+1 ,则 )131231(31)13)(23(1+--=+-=n n n n b n ,∴ )1312311017171414111(3121+--++-+-+-=+++=n n b b b S n n ∴ 13)1311(31+=+-=n nn S n ,1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列 2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础练习1（倒数法）已知数列{a n }中，a 1=53，a n +1=12+n n a a ，求{a n }的通项公式．解：211211+=+=+nnn n a a a a∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351=na +2（n －1）=316-n ∴a n =163-n练习2（倒数法）已知数列{a n }中，a 1=1，S n =1211+--n n S S ，求{a n }的通项公式．解：21121111+=+=---n n n nS S S S∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是以1为首项，公差为2的等差数列． ∴nS 1=1+2（n －1）=2n －1，即S n =121-n ．∴a n =S n －S n －1=321121---n n =)32)(12(2---n n∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧---3211211n n )2()1(≥=n n例14（叠加法）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3×（－21）n －1（n ≥3），且S 1=1，S 2=－23，求{a n }的通项公式．解：先考虑偶数项有：S 2n －S 2n －2=－3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n －2－S 2n －4=－3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4－S 2=－3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n －S 2=－3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，所以S 2n =－2+)1(2112≥⎪⎭⎫⎝⎛-n n ．再考虑奇数项有：S 2n ＋1－S 2n －1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n －1－S 2n －3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3－S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n ＋1=2－)1(212≥⎪⎭⎫⎝⎛n n．所以a 2n +1=S 2n +1－S 2n =4－3×n221⎪⎭⎫⎝⎛，a 2n =S 2n －S 2n －1=－4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n ．综上所述a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⎪⎭⎫⎝⎛⨯---为偶数，为奇数n n n n 112134,2134，即a n =（－1）n －1·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--12134n ． 例15（a n +1=pa n +r 类型数列）在数列{a n }中，a n +1=2a n －3，a 1=5，求{a n }的通项公式．解：∵a n +1－3=2（a n －3）∴{a n －3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴a n －3=2n ∴a n =2n +3．练习．在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=212+n a ，求{a n }的通项公式．解：a n +12=21a n 2+21∴a n +12－1=21（a n 2－1）∴{a n +12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列．∴a n +12－1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ，即a n =1231-+n例16（a n +1=pa n +f （n ）类型）已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =a n －1+3n －1，求{a n }的通项公式．解：（待定系数法）设a n +p ·3n =a n －1+p ·3n －1则a n =a n －1－2p ·3n －1，与a n =a n －1+3n －1比较可知p =－21．所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23nn a 是常数列，且a 1－23=－21． 所以23nn a -=－21，即a n =213-n．。