北师大版七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称 3.简单的轴对称图形(三)
北师大版七年级下册数学《利用轴对称进行设计》生活中的轴对称PPT教学课件
利用轴对称变换设计美丽图案
轴对称变换：
像上面那样，由一个平面图 形得到它的轴对称图形叫作轴对称 变换.
典例精析
例1 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于 直线l对称的图形.
l
A A′
C B
C′ B′
∴△A′B′C′即为所求.
例2 某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地(如 下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案 由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且 使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边长方形中 画出你的设计方案．
是轴对称图形.
走进生活，动手创作
观察图案： （1）它们是轴对称图形吗？ （2）生活中这些图案可以代表什么含义？ （3）自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图.
利用两个圆、两条线段、两个三角形设计 一个轴对称图案，并说明你的设计意图和要表 达的含义.
当堂练习
1. 如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个
解：如图所示．
做一做
取一张长30厘米、宽6厘米的纸条，将它每3厘米一 段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来，并在折 叠好的纸上画出字母E.用小刀把画出的字母E挖去， 拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母E为图 案的花边.
在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再 折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时 会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？
（1）你会得到怎样的图案？先猜一猜，再做一做.
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过 的轴对称知识试一试.
两次对折折出了2条对称轴，因此图案中一定有2条对称轴.
（3）如果将正方形按上面方式对折3次，然后沿圆 弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？
三次对折折出了4条对称轴，因此图案中一定有4条对称轴. （4）当纸对折2次后，剪出的图案至少部分的面积相等． (2)答案不唯一，如图所示：
北师大版数学七年级下册《第五章 生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质》
3.如图， 在下面的等腰三角形中， ∠A 是顶角， 分别求出它们的底角的度数．
（1）60° （2）45° （3）30°
4.分别找出下图中各个图形的对称轴：
5. 一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍， 求它的各个内角的度数．
解：设该三角形的顶角度数为x，则底角 度数为2x.根据三角形的内角和为180°得 x+2x+2x=180°，解得x =36°
议一议
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？ 与同伴交流．
随堂演练
1.在△ABC 中，AB = AC. （1）若∠A = 40°，则∠C 等于多少度？ （2）若∠B = 72°，则∠A 等于多少度？
（1）70° （2）36°
A
B
C
2.下面是由大小不同的等边三角形组成 的图案， 请找出它的对称轴．
等腰三角形顶角平分线 所在的直线是它的对称轴.
A
顶角
腰
腰
底角 底角
B
C
底边
（3） 等腰三角形底边上的中线 所在的直线是它的对称轴吗？底 边上的高所在的直线呢？
等腰三角形底边上的中线所 在的直线是它的对称轴，底边上 的高所在的直线也是对称轴.
A B
（4） 沿对称轴对折， 你能发 现等腰三角形的哪些特征？说 说你的理由．
该三角形的顶角为36°，底角为72°
课堂小结
等腰三角形是轴对称图形． 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、 底边上的高重合（也称 “三线合一” ）， 它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴． 等腰三角形的两个底角相等．
课后练习
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
按迟遵候上穿超尊管不保听经师要课刻离并闭学时到守。课无短敬理做持教允爱桌划注开协电生上、课时袖裙老。与师期许必护意教助源课课早堂衣背、师有同间后须公门保室老。堂，退礼着心拖堂良问意离方按共窗持要师行是不。仪要、鞋服教好题后开可座财整关为：得，整吊等从学纪教离位物墙室理好规无与洁带进任律应起室开表，壁环好门范故老，上入课关秩先立须。就不境桌窗的缺师不衣教老的序举提经坐得涂卫椅、内课问得、室师事。手老在写生，关容、。，
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章 5.3.3简单的轴对称图形(三) 同步练习题
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章 5.3.3简单的轴对称图形(三) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．(1)已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝______．(2)在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，且AB＝5 cm，则BC＝______cm.2．(1)如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝______．(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC, BC＝5，则△ABC的周长为______．3．(1)如图，将边长为6 cm的等边△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE，AC相交于点G.若线段CF＝4.5 cm，则△GEC的周长是______cm.(2)如图，在△ABC中，BC＝16，BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，OD∥AB，OE∥AC，则△ODE的周长为______．4．如图，已知直线l∥l2，将等边三角形如图放置．若∠α＝30°，则∠β＝______．二、选择题5．如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A，B分别在直线l1，l2上，则∠1＋∠2＝( ) A．30° B．40°C．50° D．60°6．如图所示，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是( )A．7 B．6 C．5 D．47．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为( )A．30° B．20° C．25° D．15°8．下列条件中，不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形三、解答题9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．10．(1)如图，△ABC为等边三角形，AB＝AC，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．求证：AB∥CQ.(2)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1.①求证：AD＝BE；②求AD的长．B组(中档题)一、填空题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm, DE＝2 cm，则BC的长为______．12．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为______．13．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD. 其中正确的有______个．二、解答题14．如图，过边长为2的等边三角形的边上一点P作PE⊥AC于点E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于点D，求DE的长．C组(综合题)15．如图，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.求证：AE＝EF.参考答案2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章 5.3.3简单的轴对称图形(三) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．(1)已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°．(2)在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，且AB＝5 cm，则BC＝5cm.2．(1)如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝60°．(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC, BC＝5，则△ABC的周长为15．3．(1)如图，将边长为6 cm的等边△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE，AC相交于点G.若线段CF＝4.5 cm，则△GEC的周长是4.5cm.(2)如图，在△ABC中，BC＝16，BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，OD∥AB，OE∥AC，则△ODE的周长为16．4．如图，已知直线l∥l2，将等边三角形如图放置．若∠α＝30°，则∠β＝30°．二、选择题5．如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A，B分别在直线l1，l2上，则∠1＋∠2＝(D) A．30° B．40°C．50° D．60°6．如图所示，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是(A)A．7 B．6 C．5 D．47．如图，AD 是等边△ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为(D) A ．30° B ．20° C ．25° D ．15°8．下列条件中，不能得到等边三角形的是(D) A ．有两个内角是60°的三角形 B ．三边都相等的三角形C ．有一个角是60°的等腰三角形D ．有两个外角相等的等腰三角形 三、解答题9．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，且DE ＝DF.求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴∠AED ＝∠CFD ＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴AD ＝DC. 在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt △ADE ≌＝Rt △CDF(HL)． ∴∠A ＝∠C.∴BA ＝BC.∵AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC. ∴△ABC 是等边三角形．10．(1)如图，△ABC 为等边三角形，AB ＝AC ，P 为BC 上一点，△APQ 为等边三角形．求证：AB ∥CQ.证明：∵△ABC 和△APQ 都是等边三角形， ∴AB ＝AC ，AP ＝AQ ，∠BAC ＝∠PAQ ＝60°. ∴∠BAC －∠PAC ＝∠PAQ －∠PAC ， 即∠BAP ＝∠CAQ.在△ABP 和△ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAP ＝∠CAC ，AP ＝AQ ，∴△ABP ≌△ACQ(SAS)． ∴∠ACQ ＝∠B ＝∠BAC ＝60°. ∴AB ∥CQ.(2)如图，△ABC 为等边三角形，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，PQ ＝3，PE ＝1.①求证：AD ＝BE ； ②求AD 的长．解：①证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠C ＝60°. 在△BAE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝AC ，∠BAE ＝∠C ，AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD(SAS)． ∴AD ＝BE.②由ΔBAE ≌ACD ，可知∠ABE ＝∠PAE.∵∠BPQ ＝∠BAP ＋∠ABE ＝∠BAP ＋∠PAE ＝∠BAC ＝60°，BQ ⊥PQ ， ∴∠PBQ ＝30°，∴PB ＝2PQ ＝6. ∴BE ＝PB ＋PE ＝7，∴AD ＝BE ＝7.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°.若BE ＝6 cm, DE ＝2 cm ，则BC 的长为8_cm ．12．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，∠AOB ＝30°，则△PMN 周长的最小值为5_cm ．13．如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE ＝CD ；②BF ＝BG ；③BH 平分∠AHD ；④∠AHC ＝60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD. 其中正确的有6个．二、解答题14．如图，过边长为2的等边三角形的边上一点P 作PE ⊥AC 于点E ，Q 是BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于点D ，求DE 的长．解：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴△APF 为等边三角形． ∴PF ＝AP.又∵PE ⊥AF ，∴AE ＝EF. 又∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ. ∵PF ∥BC ，∴∠FPD ＝∠CQD.在△PFD 和△QCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FPD ＝∠CQD ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，∴△PFD ≌△QCD(AAS)．∴FD ＝CD.∴DE ＝EF ＋FD ＝12AF ＋12CF ＝12AC.∵AC ＝2，∴DE ＝1.C 组(综合题)15．如图，△ABC 是等边三角形，E 是BC 边上任意一点，∠AEF ＝60°，EF 交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点F.求证：AE ＝EF.证明：在AB 上截取AG ＝CE ，连接EG. ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠B ＝∠ACB ＝60° 又∵AG ＝CE ，∴BG ＝BE.∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGE ＝60°.∴∠AGE ＝120°. ∵CF 平分∠ACD ，∴∠ACF ＝12(180°－∠ACB)＝60°. ∴∠ECF ＝120°.∴∠AGE ＝∠ECF.∵∠AEC ＝∠B ＋∠GAE ＝∠AEF ＋∠CEF ， 且∠AEF ＝∠B ＝60°，∴∠GAE ＝∠CEF.又∵AG ＝EC ，∴△AGE ≌△ECF(ASA)． ∴AE ＝EF.。
北师大版七年级数学下册《五章 生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形 线段的轴对称性》公开课教案_1
5.3 简单的轴对称图形（第二课时）教学内容：北师大版七年级下册5.3简单的轴对称图形第二课时教学目标：◎知识与技能了解线段的垂直平分线的性质，会作线段的垂直平分线，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理，判断和计算。
◎过程与方法自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察力和动手操作能力。
◎情感、态度与价值观培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。
教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。
教学重点本节课的教学重点是线段的垂直平分线的性质和作法。
教学难点教学难点是线段的垂直平分线的应用。
教学准备多媒体纸片教学方法观察法自主学习法教学环节：第一环节知识回顾活动内容:1 什么是轴对称图形？2 下列图形哪些是轴对称图形？第二环节创设问题情境，激发学生的求知欲活动内容: 学生作品呈现：多彩的脸谱,美丽的蝴蝶、雪花……，一片迷人的景色。
出示课题：《简单的轴对称图形(二) 》第三环节探索研究，充分发挥学生的主体作用探索1：探索线段的对称性.线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？活动内容:按下面的步骤做一做：⑴在纸上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，折痕与AB的交点为O；⑵在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠；⑶把纸张展开，得到折痕CA和CB。
问题思考⑴CO与AB具有怎样的位置关系？⑵AO与BO相等吗？CA与CB呢？能说明你的理由吗？⑶在折痕上移动C的位置，结果会怎样？结论：⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是直线CD，直线CD垂直于AB又平分AB，称作AB 的垂直平分线。
⑵无论C点取在直线的何处，线段CA和CB都重合。
⑶线段垂直平分线的概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
⑷线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
最新北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称PPT
找(画)对应点的依据是什么?
对应点所连线段被对称轴垂直平分. (2)在完成图案的过程中,你采用了哪些方法步骤? 找出半个图形的关键点,确定这些点关于对称轴的 对应点,再顺次连接.
2.有两村庄在公路l的两旁,如下图,现在要在公路l上修一
个停车点C,并从停车点C到A,B两村庄各修建一条公路,
问停车点C建在何处能使C到A和B的路程和最小?在图 中画出C的位置,并说明理由. 解:连接AB交l于点C,则停车点修在C 处就能使A,B到C的路程和最小. 理由是:两点间的距离,线段最短.如图, 假如不在C,在C'处,连AC',BC',则 AC'+BC'>AB.
C
P E B
角平分线上的点到 角两边的距离相等。
利用此性质怎样书写推理过程?
角平分线的性质 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB， ∴PD=PE.(角的平分线上的点到角的两 边的距离相等) O A D P
漂亮的蝴蝶图案 , 但小华不小心把纸污损了一部分 , 如
图所示 . 那么小华应该怎样把“蝴蝶”恢复原样呢 ? 轴
对称又有哪些性质呢 ?
1.完成课本“做一做”,回答下列问题.
(1)如图,如何画点A关于已知直线l对称的点A'? 过点A画对称轴l的垂线,设垂足为B;延长AB至A',使得 BA'=AB,则点A'就是点A关于直线l的对称点.
O
B
A 结论： O B
C
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线， 对不能折叠的角怎样得到其角平分线？ 有一个简易平分角的仪器（如图），其中 AB=AD,BC=DC, 将 A 点放角的顶点， AB 和 AD 沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是∠ BAD 的平分线，为 什么？
新北师大版七年级数学下第五章《生活中的轴对称》学案及答案
第五章生活中的轴对称第一课时 5.1 轴对称现象一、学习目标:1、经历观察、分析现实生活实例和典型图案的过程，认识轴对称和轴对称图形培养学生探索知识的能力与分析问题、思考问题的习惯。
2、会找出简单对称图形的对称轴,了解轴对称和轴对称图形的联系与区别。
二、学习重点：通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识轴对称和轴对称图形,会找出简单的轴对称图形的对称轴.三、学习难点：找出简单轴对称图形的对称轴与理解轴对称和轴对称图形的联系与区别（一）预习准备（1）预习书115~117页（2)预习作业：1．如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是（）2．如图所示,下面的5个英文字母中是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图所示的图案中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（二）学习过程：1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做_______图形，这条直线叫做_______.2、对称轴是一条_______，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴.3、把一个图形沿着一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这_______图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
4、轴对称图形与轴对称的区别:区别：轴对称是_______图形的位置关系，而轴对称图形是_______具有特殊形状的图形. 5．你认识世界上各国的国旗吗？如图7-4所示，观察下面的一些国家的国旗，是轴对称图形的有（ )A．甲乙丙丁戊 B．甲乙丁戊 C．甲乙丙戊 D．甲乙戊6．小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到等腰直角三角形，然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案,她拿出剪出的图案问小冬，打开后的图案的对称轴至少有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条7．如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由．8．观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴?在图中画出所有的对称轴．9．如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？•请指出这个图形，并简述你的理由．拓展：1．如图所示，以虚线为对称轴画出图形的另一半．回顾小结：1．如果一个图形沿某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做。
七年级数学下册第五章生活中的轴对称3简单的轴对称图形第2课时线段的轴对称性课件新版北师大版
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北师大版七年级数学下册第五章5.简单的轴对称图形(共15张)
a
P2
P4
P1
b
B
C
C
P3
可供选择的地址有4处:分别作△ABC的内角和外角的平分
线，交点1， 2， 3， 4， 即为所选择的位置
4.如图5－2所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交
AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点E恰为AB的中点，若DE＝1，
BD＝2，求AC的长．
分析:AC的长可分为AD和CD两部分，根据
准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且
到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置点P，并说明理由．
解：作∠AOB的平分线OE,作线段CD的垂直平分
线FH，OE与FH相交于点P,则点P就是灯柱的位置。
理由： ∵ OE平分∠AOB，点P在OE上
∴点P到∠AOB两边的距离相等
2
例1、如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系
是（ B
）
A．PC＞PD B．PC=PD
C．PC＜PD D．不能确定
例2、在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相
等吗？为什么？
解：DE=DC
∵BD平分∠ABC的
∴∠EBD=∠CBD
∵ FH是线段CD的垂直平分线,点P在FH上
∴点P到点C,D的距离相等
A
C
F
E
D
P
O H
B
6.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交
于点D， ∠ADC=125°. 求∠ACB和∠BAC的度数．
解：∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
《简单的轴对称图形第1课时》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】
第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形第1课时教学设计一、教学目标1.掌握等腰三角形的定义，利用定义解决问题；2.掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性、相关性质及判定．二、教学重点及难点重点：等腰三角形的相关概念；掌握等腰三角形的轴对称性、有关性质及判定．难点：应用等腰三角形的概念和性质解决等腰三角形解决问题．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片，微课，动画五、教学过程【问题情境】在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．问题1：三角形是轴对称图形吗？有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．问题2：什么样的三角形是轴对称图形？满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．我们这节课就来认识一种是轴对称图形的三角形——等腰三角形．设计意图：通过回顾轴对称图形及轴对称性质，引出本节课所要探究的内容，让学生明确探究方向．【探究新知】探究一：认识等腰三角形 观察图片：这些三角形有什么共同特点？定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形探究二：等腰三角形的性质活动1.作等腰三角形（1）如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？（2）鼓励学生用不同的方法得到等腰三角形，例如还可以像下面这样来作一个等腰三角形．（顶角底角底角腰腰底边)作一条直线l ，在l 上取一点A ，在l 外取一点B ，作出点B 关于直线l 的对称点C ，连接AB ，BC ，CA ，则可得到一个等腰三角形．设计意图：以动手操作的形式得出一个等腰三角形，鼓励学生充分的进行交流，充分利用等腰三角形的特征，逆向思维，达到学以致用的目的.同时充分体现了数学来源于生活，同时也更好的服务于生活的理念.活动2.思考：（1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． （2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？ （4）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的那些特征？说说你的理由.因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是折痕所在的直线．学生通过折叠，发现折痕两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．由此可以得到:等腰三角形是轴对称图形.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．活动3.等腰三角形的性质1的证明：证法1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作底边BC 的中线AD ，则BD ＝CD ． 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．∴∠B ＝∠C ．证法2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ， ∴∠1＝∠2．在△ABD 和△ACD 中，1=2AB AC AD AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）． ∴∠B ＝∠C ．几何语言表示：在△ABC 中，∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ．活动4.等腰三角形性质2的证明：性质2可以分解为三个命题，下面我们来证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ．证明：∵AD 是底边BC 的中线， ∴BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）． ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∠ADB ＝∠ADC ．∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ADB ＝90°． ∴AD ⊥BC ．教师鼓励学生仿照示例口述另两个命题的证明过程． 几何语言表示：在△ABC 中，（1）∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ． （2）∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ． （3）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ．在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此得到：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．设计意图：通过引导学生动手操作，探索和发现等腰三角形的性质，加深学生对等腰三角形性质的直观感知，并尝试构造全等三角形给出推理证明，锻炼学生探索和发现问题并解决问题的能力．探究三：等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形.2.性质：（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴（2）你能发现它的哪些特征？结论：（1）等边三角形是轴对称图形；（2）等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。
北师大版七年级数学下册教案(含解析)：第五章生活中的轴对称章末复习
北师大版七年级数学下册教案（含解析）：第五章生活中的轴对称章末复习一. 教材分析本章主要内容是轴对称的概念和性质，以及生活中的轴对称现象。
通过本章的学习，使学生了解轴对称的基本概念，掌握轴对称的性质，能够识别生活中的轴对称现象，培养学生的观察能力和思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何基础，对于图形的变换和性质有一定的了解。
但是，对于生活中的轴对称现象可能接触较少，需要通过实例和活动来激发学生的兴趣和好奇心。
三. 教学目标1.知识与技能：了解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能够识别生活中的轴对称现象。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力、操作能力和思维能力。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生对数学的应用意识，感受数学与生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念和性质。
2.难点：生活中的轴对称现象的识别和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际操作，引发学生的兴趣和好奇心，激发学生的学习动机。
2.启发式教学法：通过提问和引导，引导学生思考和探索，培养学生的思维能力。
3.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的交流能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、实物模型、轴对称图形。
2.学具：学生手册、彩笔、剪刀、胶水。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称现象，如剪刀、飞机、树叶等，引导学生观察和思考，引发学生的兴趣和好奇心。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，介绍轴对称的概念和性质，让学生初步了解轴对称的基本概念和性质。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过实际操作，如剪裁轴对称图形，让学生亲身体验和感知轴对称的性质。
4.巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生巩固所学的轴对称的概念和性质。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考和探索，发现生活中的其他轴对称现象，如人体、建筑等，并让学生进行展示和交流。