高中数学 电子题库 1.1.2知能演练轻松闯关 新人教b版选修21

人教版B 数学选修2-1电子题库 1.1.2知能演练轻松闯关
1.下列命题中是全称命题的是( )
A ．圆有内接四边形 B.3> 2
C.3≤ 2
D ．若一个三角形的三边边长分别为3，4，5，则这个三角形为直角三角形
答案：A
2.下列命题中是存在性命题的是( )
A ．∀x ∈R ，x 2≥0
B ．∃x ∈R ，x 2<0
C ．平行四边形的对边不平行
D ．矩形的任一组对边都不相等
答案：B
3.三个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈R ，x 2＋1＝0；③∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．
答案：0
4.命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，用符号表示为________．
答案：存在性命题 ∃x ，y ∈R ，x ＋y >1
[A 级 基础达标]
1.下列是全称命题且是真命题的是( )
A ．∀x ∈R ，x 2>0
B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q
C ．∃x 0∈Z ，x 20>1
D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0
答案：B
2.下列命题中，是存在性命题且是真命题的是( )
A ．实数都可以写成小数形式
B ．凸多边形的外角和等于360°
C ．存在一个实数，它的相反数是它本身
D ．至少存在一个无理数x ，使x 2－x ＝0成立
解析：选C.A 、B 为全称命题；C 为存在性命题，且当实数为0时，相反数为它本身，
为真命题；D x 2－x ＝0，∴x ＝0或1，为假命题．
3.(2010·高考湖南卷)下列命题中的假命题是( )
A ．∃x ∈R ，lg x ＝0
B ．∃x ∈R ，tan x ＝1
C ．∀x ∈R ，x 3>0
D ．∀x ∈R ，2x >0
解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4
时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R ，2x >0，正确．
4.命题“存在实数是有理数”用数学符号语言可以表示为________．
解析：存在用“∃”表示．
答案：∃x ∈R ，x ∈Q
5.下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x －1|<2；③存在实数a 使方程x 2－ax ＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等．其中是全称命题且为真命题的序号是________．
解析：①为全称命题但为假命题；②不是命题；③是存在性命题；④为全称命题且为真命题．
答案：④
6.用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题．
(1)一定有整数x ，y ，使得3x ＋2y ＝10成立；
(2)对所有的实数x ，都能使x 2＋2x ＋2≤0成立．
解：(1)∃x ，y ∈Z ，3x ＋2y ＝10；
(2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.
[B 级 能力提升]
7.(2012·温州高二检测)下列命题中，真命题是( )
A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5
B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x
C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1
D ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>x －1
解析：选D.A 选项中sin x ＋cos x ＝ 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤ 2， ∴不可能等于1.5.B 选项中x ＝π6
时cos x >sin x ，故为假命题． 不存在这样的x ，使x 2＋x ＝－1，∴C 不正确．易知x ∈(0，＋∞)时，x 2－x ＋1>0恒成
立，故选D.
8.下列命题中，是全称命题且为真命题的是( )
A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0
B ．菱形的两条对角线相等
C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0
D ．对数函数在定义域上是单调函数
解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，又a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，
故A 是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是存在性命题．所以选D.
9.(2012·潍坊高二检测)给出下列命题：
①∀x ∈R ，x 是无理数；
②∀x ，y ∈R ，如果x ＋y ≠0，则x ，y 至少有一个不为0；
③存在实数既能被3整除又能被19整除；
④x >1与1x
<1同解． 其中真命题的序号是________．
解析：对①，取x ＝0，则x ＝0不是无理数；对④，两不等式不同解，由1x <1，得x －1x
>0，∴x <0或x >1.
答案：②③
10.判断下列命题的真假．
(1)∀x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数；
(2)至少有一个整数，它既能被3整除，又能被5整除；
(3)∃x ∈(0，＋∞)，y ∈(0，＋∞)，使x 2＋y 2＝0.
解：(1)为假命题，例如：∃x 0＝3但x 20＝3是有理数；(2)为真命题，如整数15就满
足题意；
(3)∵x 2＋y 2＝0时，x ＝y ＝0，故不存在x ，y ∈(0，＋∞)，使x 2＋y 2＝0，故它是假命
题．
11.(创新题)若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0，如果∀x ∈R ，r (x )为假命题
且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．
解：由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，所以如果对任意的x ∈R ，r (x )为假命题，即对任意的x ∈R ，不等式sin x ＋cos x >m 恒不成立，所以m > 2.又对任意的x ∈R ，
s (x )为真命题，即对任意的x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0，所以Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2.故如
果对任意的x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，应有2<m <2.。