佛山市达标名校2018年高考三月数学模拟试卷含解析

佛山市达标名校2018年高考三月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 2．已知三点A(1,0)，B(0，3 )，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．21 C ．25D ．433．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=5．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=6．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A ．22B．32C ．42D ．3227．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．88．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞9．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm10．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞12．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A．3(0,)4B．2(0,)2C．23(,)24D．2(,1)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若向量(1,2)x=-a与向量(2,1)b=垂直，则x=______.14．若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k，2k，若123k k=-，则该双曲线的离心率为________.15．函数()()2log1f x x x=+-的定义域为__________．16．若实数x，y满足约束条件32020440x yx yx y--≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y=+的最大值为________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，60BAD︒∠=4AB=.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为30︒，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值. 18．等差数列{}n a的前n项和为n S，已知3620a a+＝，535S＝．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设数列{12nS n++}的前n项和为n T，求使920nT＞成立的n的最小值．19．（6分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA为开红花，Aa和aA一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以12的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第n代的遗传设想为第n次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子A，如果抛出反面就选择因子a，概率都是12，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状AA，Aa(或aA)，aa在父系和母系中以同样的比例：::(1)u v w u v w ++=出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A 被选中的概率是2v p u =+，遗传因子a 被选中的概率是2v q w =+．称p ，q 分别为父系和母系中遗传因子A 和a 的频率，:p q 实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是Aa ，后代遗传性状为AA ，Aa (或aA )，aa 的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为AA 和Aa (或aA )的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A 被选中的概率为p ，a 被选中的概率为q ， 1p q +=．求杂交所得子代的三种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 所占的比例111,,u v w ．（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa 的个体假设得到的第n 代总体中3种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 所占比例分别为(),,1n n n n n n u v w u v w ++=．设第n 代遗传因子A 和a 的频率分别为n p 和n q ，已知有以下公式22,,1,2,11n nn n n n nv v u p q n w w +===⋅⋅⋅--．证明1n q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（4）求,,n n n u v w 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？20．（6分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏．（1）若当23OBC π∠=时，1sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；（2）设22y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6π，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．21．（6分）已知函数()xf x e =.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有212()221m f x km x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭恒成立，求最大的整数k . （参考数据：31.78≈）22．（8分）已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若存在x ∈R 满足不等式()4f x <，求实数a 的取值范围.23．（8分）已知向量()()22sin ,3,cos ,2cos 1=-=-a x b x x ， ()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,==a b ()3f A ABC ∆的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】 解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+,故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】 【详解】选B.考点：圆心坐标 3．C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图 4．A 【解析】 【分析】设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，由椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ， 解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π=∠=F F c F PF ，在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +=，即2212314e e +=. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-， ∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系． 6．A 【解析】 【分析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则22211212242y y y y y y -=+-=,所以211||222OMNSOF y y =⋅-=. 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题. 7．C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示： 当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.8．B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 9．B 【解析】 【分析】AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】如图所示，AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.【详解】设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，因为2()34g x x x '=-， 所以()0g x '=，0x ∴=或43x =， 因为403x << 时，()0g x '<，43x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩，3232ln 4323ln 5424a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩， 所以9322ln 2ln 5a <.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.11．C【解析】【分析】根据A φ≠，得到2()1f x ax x x =-+≤有解，则440a ∆=-≥，得01a <≤，12x x ==，得到12{|()}[],A x f x x x x ≤===，再根据{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，有(())()f f x f x ≤，即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为()()2222110ax x a x a +-+-≤，根据A B φ=≠，则2210a x a -≥+的解集包含求解，【详解】因为A φ≠，所以2()1f x ax x x =-+≤有解，即2()210f x ax x =-+≤有解，所以440a ∆=-≥，得01a <≤，12x x ==所以12{|()}[],A x f x x x x ≤===， 又因为{|(())()}B x f f x f x x =≤≤，所以(())()f f x f x ≤，即()()22212110a ax x ax x -+--++≤，可化为()()2222110ax x a x a +-+-≤，因为A B φ=≠，所以2210a x a -≥+的解集包含，所以1a a ≤或1a a≥， 解得314a ≤≤， 故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题， 12．C【解析】【分析】求导，先求出()f x在(x ∈单增，在)x ∈+∞单减，且max 1()2f x f ==知设()f x t =，则方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得. 【详解】 依题意，2432ln (12ln )()e x xe x e x x f x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2x =，x =x ∈时，()0f x '>，当)x ∈+∞，()0f x '<，且12f ==， 故方程2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根， 故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3)4m ∈. 故选：C.【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。