两角和与差的余弦公式经典习题课
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题、选择题给出如下四个命题①对于任意的实数a和B,等式cos (> • J =cos :・cos? -sin〉sin —：恒成立；②存在实数a , B,使等式COS (: • J =COS : COS 1③公式tan (::亠》令去成立的条件是竹尹Z)且一)④不存在无穷多个a和B,使sin(: -)二sin : cos其中假命题是A.①②B.②0) C -③④2.函数y = 2sin x(sin x - cosx)的最大值是sin : sin —：能成立; :-cos sin -；B. 2-1C. 2D. 23.当x [-32 ]时，函数 f (x) = sin x . 3cosx 的A・最大值为1 ,最小值为一1 B.最大值为1,C •最大值为2,最小值为D•最大值为2，则cos ( > ・■)Q 2,最小值为…2最小值为・14-已知tang )-7,tan : tan : 的值A.::一二COS(:B.—色65 3一,则sinD. — 65567.7.B、丫都是锐角，恥已伽叫伽⑴，则a + 0+丫等于(6.sin15 si n30sin 75的值等于A.— 4B.—8函数 f (x)二 tan(x ), g(x)4D.- 4tanX, h(x)二cot( x)其中为相同函数的是 -ta nx 4C.A. f (x)与 g(x)B. g(x)与h(x)c. h(x)与 f(x) D. f (x)与 g(x)及 h(x)8.A.9.设tan :和tan(---v)是方程x*2 - px- q=0的两个根，『\rrtrr x _____、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13•已知 sin(:;亠『.)sin( I : :;) = m ，则 cosmos 2 :的值为B.P 、q 之间的尖系是 A. p+q+1 =0 B. p — q+仁 0 C. p+q —仁 0D. p — q — 1=0A r\11.12.f 2A.心a —4C. a_4 -.1-a 2D.1 — 2— a在厶ABC 中，C90 ;,则tan A tanB 与1的尖系为A. tanA tanB 1 C. tanA tanB =1B. tanA tanB : D.不能确宗sin 20 cos70 sin10 sin50 的值是 A. 14B._22C. 12D.14•在△ ABC 中，tanAtanBtanC = 3、. 3 '七玄扁=tanA tanC 別 / B=19.求证：tan(x y) tan(x - y)sin 2x cos2 x sin2 y20. 已知a , B€(0, n)且tanC ・:) ,tan，求2■■的值.21. 证明:tan?x-tan r2 cosx+cos2x22.内角满足：A+C=2B +已知△ ABC勺三个c的值.=一L仝求cos —cos A cosC cosB 2222 •由题设 B=60°, A+C=120 、设 a知 A=60 ° + a ,C=60 ° -a,两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案 、1. C2. A3. D4. D5. B6. C7. C8. B9. B10. D11. B 12 .二、13 . m 14 . 115 . —2—J3 16 .【317 •原式=sin( 3x)cos( 3x) -sin(4 3 3x) 33X )=¥<2sin50 ± i(-V2sin 50)-4(sin 50「・_)18 . xsin(50±45 )，•为=sin95、二cos5 :x A sin5£=cos85M ,tan( 1 -2:) =tan75>2. 3 .19 证： 左 sin(x y) sin(x ・ y)sin[(x y) (x ・ y)]cos(x y) cos(x - y) cos x cos y sin x sin y sin2xcos 12 x -(cos 2x 亠 sin? x)sin 2ysin 2x2 :~2~ cos x-sin v2° tan :二一，tan (2 圧卜)=1,33 x sin XCOS3• x ・cos xsi n— 22 Xcos —2X cn X si 3)s 22sin x cosx 亠 cos2xA —C1516.17.18.L・cos A cosCcos =-2 2,即cos 2故cos 心2若sin( j 24 )二cos(24 ・ v),则tan(v ■ 60 ) = ________J2若sinx・ siny，则cosx cosy的取值范围是2解答题(本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分)八r、zr ・31 31 31 JI化间求值：sinq -3x) cos(§ -3x) ・cos(石3x) sin( : 3x).已知一＜90 ,且如,8「是方程八如50心『5。
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
2 .函数y =2sin x(sin x - cosx)的最大值是A. 1.2两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3cos(a? 3 = cos _ocos_^sin 一 o (sin 3 tan a±a n 3 tan(a _3=1?^门 a an 32.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a=2sin_ a os_a 2 . 2 2 . 2 cos 2a= cos a — sin a=2cos a — 1 =1 一 2sin a 小 2ta n a tan2 a= ~ ~ . 1 — tan a3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ aan_ 3.2 1 +cos 2a .2 1 — cos 2a(2)cos a=2 , sin a= 2 • (3)1 + sin 2 a= (sin a+cos c)2, 1 — sin 2 a= (sin a — cos ”2, sin a±cos a= 2sin4.函数 f(M = asin a+bcos o(a , b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2sin(a+ ©，其中 tanb©= a 一、选择题 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数a 和3 ,等式cos （-：」“）二cos 〉cos ：-sin 〉sin :恒成立； ②存在实数a , 3 ,使等式cos （二=cos > cos ：• sin 〉sin :能成立； ③公式 tan (二 1'-') tan ： an l成立的条件是：Z ）且 1 — tan 篇 tan - 2 (k ・ Z)；2 ④不存在无穷多个 a 和 3,使 sin(：；- \:,) = sin ： cos - cos ：sin : 其中假命题是A.①②B.②③ C •③④ D. 23. 当 x •[,]时，函数 f (x)二 sin x • 3cosx 的 2 24.5.6.7.8. A.最大值为1,最小值为—1 C •最大值为2,最小值为—2 已知 tan （隈亠『；）=7,tan ：tan : A. 已知 A. —< P <a <2 56 65 sin15 si n30 B.最大值为1,D.最大值为2, 2-,则 COS （「一-）的值最小值为一丄21最小值为- sin 75的值等于 函数 f(x) =tan(x), g(x) 4A. A.f (x)与g(x) B. B 、 都是锐角,B.D 」2C.C.1 tanx65 56D.- 4,h （x ）=cot （ x ）其中为相同函数的是1 - ta nx 4g(x )与 h(x)( C . h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)l,tan5 C.乞：6[•等于（ 3设tan 和tan(— ■- J 是方程x 2 px 0的两个根， 4 A . p+q+1=0 B . p — q+仁0 C . p+q —仁0 10 .已知 cos ： =a,si n> =4si n(-：」“'),则 ta n (二 ■■-')的值是 9. A 1 -a 2 a -4 D .P 、D . B . - a —4 C. • a _4 「1-a 2 D.11.在△ ABC 中, C 90，则 tan A tanB 与 1 的关系为 A. tanA tanB 1 C. tanA tanB =1 B. tanA tanB ：1 D.不能确定12. sin 20 cos70 sin10 sin50 的值是 A. 1B . AC. 1422二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） 13 .已知 sin （二■ ■■- ） sin （ 一： -〉）= m ，则 cos 2〉-cos 2 -的值为D.q 之间的关系是 p — q — 1=01 - a2 a —414.在△ ABC中, tan A tan B tan C =3、. 3 , tan2 B = ta nA ta nC 则/ B=15 .若sin( 24 )二cos(24 七),则tan(:? ,60 ) = _______ . _____16. 若sin x siny -,则cosx cosy的取值范围是2 ------------------------------------------------------------三、解答题(本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分)17. 化简求值：sin( 3x) cos( 3x) -cos(-3x) sin( 3x).4 3 '6 ' '4:::90 ,且cos , cos :是方程x2一 1「2sin50x曲50 --=0的两根,求tan（7 -2〉）的值.19.求证: tan(x y) tan(x - y) sin 2x_ 2 ~2~cos x -sin y20 .已知a , B €( 0, n T ta「4，求2—的值.21.证明: 3 xtan—x -tan—2sin xcosx cos2x22.已知△ ABC的三个内角满足：A+C=2B + = _丄乙求cos=C的值.cos A cosC cosB 2两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1. C 2 . A 3 . D 4 . D 5 . B 6 . C 7 . C 8 . B 9 . B 10 . D11. B 12 . A二、13 . m 14 . - 15 . —2—J3 16 .【0 込3 [_^'〒]三、17.原式=sin( 3x)cos( 3x) -sin( 3x) cos( 3x)=—2-.4 3 3 4 4、疚sin50 3J(Y'-sin50$2—4(sin 250 丄)18. x - sin(50 ±45 ),.x-i =sin95；=cos5【x2= sin5‘=cos85'',tan( 1 -2: ) =tan75>2 . 3 .19.20.21.22.证：左=sin(x y) sin(x - y) _ sin[(x y) (x - y)]cos(x+y) cos(x-y) cos2x cos2y — sin2x sin2ysin2xcos2 x -(cos2x 亠sin2 x)sin2ysin 2x2 :~2~cos x-sin y1 tan ,3 tan（2：「「）=1,n3-4-p.3 x 3 . x, sin 一x cos—- cos xsin —sin x 2si nx 右.左=- - - -3 x 3 x cosx 亠cos2xCOS cos—cos x cos—- - - -由题设B=60°A+C=120 设—捋知A=60+aC=60 ° - a ,1cos A cosCcos二2 3cos :42=-2 2,即cos -2。
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。
两角和与差的余弦、正弦、正切(学生用)
两角和与差的正弦、余弦、正切（两节）一、知识导引1. 两角差的余弦公式: βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-两角和的余弦公式:βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 两角和的正弦公式: βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ 两角差的正弦公式: sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切公式: βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=-+=++=+ 两角差的正切公式: βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-2. 由以上公式可知： A : ααπcos )2sin(=-； ααπsin )2cos(=-； ααπcot )2tan(=-； ααπtan )2cot(=-． B: ααπcos )2sin(=+； ααπsin )2cos(-=+；ααπcot )2tan(-=+； ααπtan )2cot(-=+．C: ααπcos )23sin(-=-； ααπsin )23cos(-=-； ααπcot )23tan(=-； ααπtan )23cot(=-． D: ααπcos )23sin(-=+； ααπsin )23cos(=+； ααπcot )23tan(-=+； ααπtan )23cot(-=+． 以上四组公式都是任意角三角比的诱导公式．(奇变偶不变，符号看象限)二、经典例题例1．（1）若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425（2）在ABC ∆中，,135cos ,53sin ==B A 求C cos 的值．（3） 已知：tan ⎪⎭⎫⎝⎛+απ4= 2，求：（Ⅰ）tan α的值；（Ⅱ）sin2ααα2cos sin 2++的值．(4) （优）已知锐角γβα,,满足βγαβγαc o s c o s c o s,sin sin sin =-=+，求βα-．例2.化简()sin7cos15sin81 .cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒()().50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 22︒︒+︒+︒+︒求值：(3)2cos10°－sin20°sin70°；(4)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．例3．（1）已知11027,(,),tan(),tan αβπαββ∈-==-，求2αβ-的值.（2）已知1312)2sin(,53)2cos(=--=-βαβα，且20,2πβπαπ<<<<，求2cosβα+．（3）已知()25sin sin ,αββ+=求证：()23tan tan .αβα+=例4．(两角和与差的正切专题)问题1.(1). 已知函数222y x x =--的图像与x 轴的交点坐标为()tan ,0α、()tan ,0β.求：()tan αβ+.(2). （优）若方程2(23)20mx m x m +-+-=的两根分别是tan ,tan αβ.求tan()αβ+的取值范围问题2.已知一元二次方程为20x px q ++=（1）如果该方程的两根为ππtan tan(),,042θθθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭、， 且πtan :tan()3:24θθ-=，求,p q .（2）如果该方程的两根为ππtan()tan()33θθ-+、，证明：0p =问题3.(1).设α，β都是钝角，tan tan αβ、是方程2560x x ++=的两根，求αβ+的值.（优）π-ππππ-πβ+α=++βαπ<β<ππ<α<π331)(331)(32)(31)(.___,0433tan tan ,2,2).2(2242-2-或或为则的两个根是方程、且若D C B A B x x探究：（优）(1)已知tan tan αβ、是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根，试探究 2()53tan()4f m m m αβ=+⋅++的值域.(2) 是否存在锐角α和β，使得①α+2β=32π； ②tan β=(2－3 )cot 2α同时成立？若存在,请求出α和β的值；若不存在,请说明理由.例6．（辅助角公式）(1)求值()00sin 501.(2)把下列各式化成A )sin(βα+，)0(>A 的形式：1）ααcos 3sin -; 2） ααcos sin b a + b a ,(都不为零）三、巩固练习1． =+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21D ．232． 若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ ）A ．97-B ．31-C ．31D ．973． 已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ） ()4A π()4B π或34π ()34C π()D 非以上答案 4． 设0sin15cos15,sin16cos16,a b =+=+则下列各式正确的是（ ）()()()()22222222,,2222a b a b a b a b A a b B a b C b a D b a ++++<<<<<<<< 5． 已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为（ ） A 、725 B 、1825C 、725-D 、1825-6． 110sin ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、147． 已知35sin ,αα=是第二象限角，且1tan()αβ+=，则tan β的值为（ ）A 、－7B 、7C 、34-D 、348． “()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的（ ）(A)充分必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9． 函数f(x) = xxx cos cos 3cos -的值域为（ ）A ．[0,4]B ．[)0,4-C ．[－4,0]D ．(]0,4- 10． 已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π)为（ ） A ．1813 B ．2313 C ．227 D ．18311． 已知14462sin(x )sin(x ),x (,)ππππ+-=∈，则4sin x = 。
(最新整理)两角和与差的余弦1(2019年12月整理)
3. 已知cos(a- 30°)=12/13, 30°<a<90°,
求cos a.
12 3 5 26
；壁炉 壁炉
；
管理文件明确了对生产部生产的、经检验合格的产成品发出、运输至三九医贸入库过程的管理要求与操作规范。 二、范围 本程序管理文件对产成品出库环节进行了规定，适用于生产部及下属各生产车间、核算办公室等相关部门。 三、相关程序及制度 四、业务流程 步骤完成时间涉及部门及岗 位 岗位岗步骤说明 1产成品检验合格后车间主任与三九医贸仓库联系，确定送货日期 2车间统计员开具《成品出库单》一式四联，注明批号、品名、数量等，交车间主任 3车间主任审核《成品出库单》，签字确认 4车间主任填制《放行条》，连同合格产成品的《检验报告书》交生产部部长 5生产 部部长审批《放行条》 6车间统计员清点须出库产成品数量，交生产部送货员 7送货员清点确认出库产成品种类和数量，在《成品出库单》上签字 8送货员持《成品出库单》及《放行条》押运产成品到三九医贸仓库 9送货员/医贸公式仓库管理员共同清点产成品种类和数量，检查外包装是否有明显 不合格处 10医贸公式仓库管理员/送货员医贸公式仓库管理员开具《入库单》，经送货员签字确认，一联交送货员。在《成品出库单》上填写实收品种和数量。如实收产成品品种和数量与《成品出库单》上出库数量不一致，应注明差异原因，并由送货员签字确认。《成品出库单》一联由医贸公式仓 库管理员留存 11送货员如发生全部或部分产成品外包装明显不合格，及时将不合格产成品运送回生产车间，通知车间主任、统计员、质量技术部质检员 12送货员带回《成品出库单》三联及三九医贸仓库《入库单》一联，交车间统计员 13车间统计员核对《成品出库单》和三九医贸仓库《入库单》， 登记产成品进销帐，将《成品出库单》一联存档 14车间统计员将产成品出库情况填写在《生产车间日统计表》中，连同《成品出库单》两联和三九医贸仓库《入库单》一联交核算办公室 15核算办公室核算员核对《成品出库单》和三九医贸仓库《入库单》，将《成品出库单》一联和三九医贸仓库 《入库单》存档 16月末核算办公室核算员将《成品出库单》一联汇总后交会计部成本会计进行会计处理 五、单据及报告 《成品出库单》 《放行条》 《入库单》（三九医贸仓库） 《生产车间日统计表》 委托加工定价制度（P2-Z2-J4-10） 一、目的 本管理文件明确了对委托其他企业加工半成 品、产成品业务中，委托加工价格制定过程的管理要求与操作规范。 二、范围 本程序管理文件委托加工定价环节进行了规定，适用于生产部、财务管理部、会计部、预算管理办公室等相关部门。- 三、相关程序及制度 四、业务流程 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1年末外加工 办公室根据以往年度委托加工价格、调查掌握的市场价格、对受托加工企业加工成本的了解以及其他相关因素，结合下年度生产预算所确定的委托加工数量，拟定《年度委托加工定价方案》，并在逐级审核过程中根据各部门及领导意见不断修改 2生产部部长审核《年度委托加工定价方案》 3财务管 理部财务分析员对核算办公室拟定的《年度委托加工定价方案》进行财务分析，提交书面分析意见，附于《年度委托加工定价方案》之后 4财务管理部部长审核《年度委托加工定价方案》及财务分析书面意见 5预算管理办公室预算编制员分析核算办公室拟定的《年度委托加工定价方案》是否符合年 度预算要求，提交书面意见，附于《年度委托加工定价方案》之后 6预算办公室主任审核《年度委托加工定价方案》及预算分析书面意见 7财务总监/分管副总审核《年度委托加工定价方案》及各部门分析意见，提交总经理 8总经理审核《年度委托加工定价方案》及分析意见 9总经理与受托加工企 业管理人员协商讨论委托加工价格；审核经核算办公室修改的《年度委托加工定价方案》，提交董事会审议 10董事会审议批准《年度委托加工定价方案》 11外加工办公室根据《年度委托加工定价方案》，拟定《委托加工合同》 12总经理与受托加工企业签订《委托加工合同》，外加工办公室、核 算办公室和会计部各存档一份 五、单据及报告 《年度委托加工定价方案》 《委托加工合同》 委托加工过程管理（P2-Z2-J4-11） 一、目的 本管理文件明确了公式委托其他企业加工半成品和产成品的业务中，对物料领用和生产加工过程的管理要求与操作规范，以规范委托加工过程管理。- 二、 范围 本程序管理文件对公式委托加工过程管理进行了规定，适用于生产部、供应部等相关部门， 并涉及受托加工企业。- 三、相关程序及制度 ?生产计划管理制度（P2-Z2-J4-1） ?委托加工产品管理制度（P2-Z2-J4-1） ?产成品检验制度（P2-Z2-J4-8） ?物料出库规程(P2-Z1-J4-13) ?退料规程 (P2-Z1-J4-14) 四、业务流程 1、领料管理 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1生产部部长/质量技术部部长经外加工办公室主任提名，选派驻点业务小组，该小组人员每两年更换一次；业务小组中质检员由质量技术部部长指派 2月末驻点业务小组将计划办公室下达的《月度生产任务 表》转交受托加工企业生产部及各生产车间 3受托加工企业生产车间根据《月度生产任务表》及本车间制定的《月度生产推进计划》，计算2－3天生产所需物料数量，填写《需料单》一式两联，填写所需物料种类与数量，交业务小组组长 4业务小组组长根据《月度生产推进计划》，核实《需料单》 填写所需物料种类与数量是否正确，核实无误在《需料单》上签字，《需料单》交受托加工企业生产车间 5受托加工企业领料员持受托加工企业开具的《派车单》及经业务小组组长签字的《需料单》到***，将《需料单》交外加工办公室 6外加工办公室业务员根据《月度生产推进计划》，核实《需 料单》填写所需物料种类与数量是否正确 7外加工办公室业务员核实无误后在《需料单》上签字，开具《请领单》一式三联，填写所需物料种类与数量 8外加工办公室主任审核《需料单》和《请领单》，签字确认 9外加工办公室业务员 《请领单》交受托加工企业领料员，《需料单》一联存档，一 联交还受托加工企业领料员 10受托加工企业领料员/外加工办公室业务员持《请领单》及《派车单》到供应部仓库领料 11供应部仓库发料员核实《派车单》上填写的领料人姓名及领料车辆车号与实际是否一致 12供应部仓库发料员/受托加工企业领料员/外加工办公室业务员供应部仓库发料员按照 《请领单》填写的物料种类和数量发料，开具《出库单》，并在《请领单》上填写实发种类与数量，留存一联，其余两联交外加工办公室业务员；如实发种类与数量和《请领单》不符，应注明原因；受托加工企业领料员和外加工办公室业务员核实物料种类与数量，在《出库单》上签字；《出库单》 受托加工企业领料员与外加工办公室业务员各留存一联 13受托加工企业领料员将领取的物料运送回受托加工企业，带回《需料单》一及《出库单》一联 14受托加工企业仓库管理员/业务小组监督员清点领取物料种类与数量，与《需料单》及《出库单》核对相符后，办理入库手续，业务小组物料监 督员在入库单上签字确认 15业务小组组长如入库时发现物料存在明显不合格，与外加工办公室联系，进行退库及重新领料，详见《物料退库制度（P4-Z2-J4-4）》 16外加工办公室业务员将《请领单》一联存档，另一联及《出库单》一联交核算办公室 17核算办公室核算员将请领单及出库单第三联 存档 2、生产加工过程控制 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1业务小组监督员每日监督物料的发放、使用过程是否存在缺陷，受托加工企业是否按照定额严格控制物料消耗，如发现问题及时向业务小组组长汇报，并通知受托加工企业有关部门负责人 2业务小组质检员每日抽检关键环 节半成品及产成品 3业务小组监督员每日监督半成品和产成品的入库、保管、发出过程是否存在缺陷，如发现问题及时向业务小组组长汇报，并通知受托加工企业有关部门负责人 4受托加工企业生产部门各车间每日向业务小组统计员报送有关物料使用、损耗、半成品或产成品产出的统计数据 5业务 小组统计员核实受托加工企业生产部门各车间报送的统计数据，并向业务小组监督员了解本日是否发生异常情况 6业务小组统计员将核实后的统计数据制作成《委托加工日报》，交业务小组组长 7业务小组组长审核《委托加工日报》 8次日早晨业务小组组长于次日早晨以电子邮件形式将《委托加工 日报》发送给核算办公室 9核算办公室核算员接收《委托加工日报》，打印后作为原始资料存档 10月度结束后3日内受托加工企业生产部门统计各车间、各品种物料使用、损耗和半成品、产成品产出情况，分品种、区分原辅料与包装物，制作《月度统计报表》一式三份，报送业务小组统计员 11业 务小组统计员将《月度统计报表》与《委托加工日报》的统计数据核对，核对无误签字后报送业务小组组长 12业务小组组长审核月度统计报表，签字确认 13业务小组组长《月度统计报表》一份存档，另外两份报送核算办公室 14核算办公室主任审核《月度统计报表》，一份存档，另一份与***各生 产品种的月度报表一起报送会计部成本会计 15受托加工企业生产部门各车间/业务小组/核算办公室按照与《月度统计报表》相同的报送程序，每年形成《年度统计报表》 五、单据及报告 《月度生产任务表》 《需料单》 《派车单》 《请领单》 《出库单》 《委托加工日报》 《月度统计报表》 《年度统计报表》 委托加工产品管理制度（P2-Z2-J4-12） 一、目的 本管理文件明确了对委托其他企业加工业务中，完工半成品和产成品的管理要求与操作规范。 二、范围 本程序管理文件委托加工产品管理进行了规定，适用于生产部及下属各车间、核算办公室以及质量技术部等相关部门，并 涉及受托加工企业、三九医贸等。- 三、相关程序及制度 ?产成品检验制度( P2-Z2-J4-8 ) 四、业务流程 1、委托加工产成品 步骤完成时间涉及部门及岗位 岗位岗步骤说明 1受托加工企业仓库管理员每批产成品完工后，办理产成品入库手续，放置在待验区，同时填制《请验单》，连同《批生
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1 •两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin acos B±cos osin 3 cos(a? 3 = cos ocos Pn — o(si n3 . .-------- tan a±a n 3tan ，a _3= 1 ?八门 aan 32 •二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin aos acos 2a= cos a — sin a= 2cos a —[=[ 一 縛0.啜a n a tan z~ 〜1 ——tan a3 •有尖公式的逆用、变形等 (1) tan a±an 3= tan( a±3(1 ?tan aan3. — 2 1 + cos 2a .2 1 一 cos 2a (2) cos a= 2 , sin a= 2 •4 •函数 f （M = asin a+ bcos o （a, b 为常数），可以化为 f （ a = a 2 + b 2sin （a+ ©，其中 tan b©= a一、选择题1 •给出如下四个命题①对于任意的实数a 和3，等式cos （-： j “）二cos 〉cos : -sin 〉sin :恒成 立； ②存在实数a , 3，使等式cos （—=cos> cos : • sin ） sin :能成立；③公式tan （二1，- 叫一^丄成立的条件是：Z ）且 (k ・ ') 1 — tan 篇 tan ・ 2 Z)； ④不存在无穷多个 a 禾CI 3,使 sin(： ； -= sin : cos - cos ：2sin :其中假命题是A.①②B.(2X3) C -③④2 •函数y =2sin x(sin x - cosx)的最大值是A. 1.2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c)2, 1sin 2 a= (sin aD. 2cos 7 sin a±cos a= 2sin23 •当x •口时、函数 f （x ）二 sin x • 3cosx 的 22 A.最大值为1，最小值为一1 B.最大值为1, C •最大值为2,最小值为一24・已知tan （隈亠『；）=7,tan ：tan : D.最大值为2,2■，则 COS （ 「一・）的值最小值为一丄2最小值为・1A.5.已知——<P<a<2A. 56 65C.65 566. sin15 si n30 sin 75 的值等于C.D.- 4tanx 、 ------- ,h 是1 ・ ta nx函数 f(x) =tan(x ), g(x)-4(x) =cot (X）其中为相同函数的A.f (x)与 g(x) B. g(x )与 h(x) c . h(x)与 f (x) D. f (x)与 g(x)及 h(x)8.B 、都是锐角,A.B.I,tan5C.乞：6[•等于（9.设tan 和tan(— ■- J 是方程x 2 px 0的两个根，4A . p+q+1 =0B ・ p — q+仁 0C ・ p+q 一仁 010 •已知cos ： A 1 -a 2a -4=a,si n> =4si n(-： _ ')的值是B ・・a ——4“'），则 tan（二C.・a_4「1-a 2q 之间的尖系是 p — q — 1=01 - a2 a —411 •在△ ABC 中，C 90 则tan A tanB 与1的尖系为A. tanA tanB 1 C. tanA tanB =1B. tanA tanB ： 1 D ・不能确定12. sin 20 cos70 sin10 sin50 的值是A.1 B . A 4 2 13 •已知 sin (二 COS? ■的值为)sin (214.在厶 ABC 中，tan A tan B tan C =3、. 3 , tan 2 B = ta nA ta nC 则 / B=15 •若 sin( 24 )二 cos(24 七)，则 tan( : ? ,60 ) = ______16.若sin x siny ■，则cosx cosy 的取值范围是2 .... .......... ....…… ............ .......... ... ……一三、解答题（本大题共74分，17- 21题每题12分，22题14分）―* 1：：：90 ,且 COS , COS :是方程 X 2 「2sin50x 曲 50 …=0 的两根,求 tan (7-2> )的 值.cos x ・sin y17.化简求值：sin(3x) sin( 433x) cos( 3x)・cos(- 3x).‘6'*419.求证：tan(x y) tan(x - y)sin 2x 20 •已知 a , B €( 0, n 严「 4 ,求J 的值.3 xtan— x -tan—2sin x cosx cos2x422 •已知△ ABC 的三个内角满足：A+C=2B + 二—丄乙 求cos=C 的值.cos A cosC cosB2两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、 1.C2.A3. D4. D5. B6.C7.C8. B9. B10. D11. B12 . A二、 13 . m 14 .・ 15 . —2—J3 16 .【Q 込Q〔-A r —I —丨、疚 sin50 3J(Y ,-sin50$2 —4(sin 250 丄)sin(50 ±45 )，三.17■原式二Sin(3x)cos( 3x) -sin( 4 33x) cos(3x)=—2 ・.3 44.x-i =sin 95； =cos5x 2= sin5c =cos85M ,tan( 1 -2:) =tan75>2 . 3 .19. 证:7r r=sin(x y) sin(x ・sin[(x y) (x - y)lcos(x+y) cos(x-y) cos2 x cos2 y — sirP x sin? ysin2x sin 2xcos2 x ・(cos2x - 亠sin? x)sin2y 2 >2-cos x・sin y20. 单，3 tan (2:4・3n r 「)T,3 x 3 . y21 . -7CCO __________________升hcco voin _________■ ■sin x 2si nx右.3 X 3 X acax _m<:2Yaca■ecu■ecu v ecu■ ■22. 由题设B=60°A+C=120 设一捋知A』屮C=60。
两角差的余弦公式(第一课时)课件——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
[解]∵sinα＋π4＝45，且π4<α<34π， ∴π2<α＋π4<π，
∴cosα＋π4＝－ 1－542＝－35，
∴cos α＝cosα＋π4－π4
＝cosα＋π4cos
π4＋sinα＋π4sin
π 4
＝－35× 22＋45× 22＝102.
16
巩固练习 3．将例 2(2)的条件改为“sinπ3－α＝－1123，α∈π6，56π”， 求 cosα－1π2的值． [解] ∵π6＜α＜56π，∴－π2＜π3－α＜π6，
即：(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)
单位圆与x轴–非1 负半 轴交于A(1,0), P1(cos α，sin α). A1(cos β，sin β)， P(cos(α－β)，sin(α－β))，
化简后得到：cos(α－β)＝cosαcosβ+ sinαsinβ.
A1(cos β,sin β).
α-β
α β α-β
O
P(cos (α-β),sin (α-β)).
.
A1(1,0)
x
【问题3】已知角α-β的终边 与单位圆的交点为P，请写 出点P的坐标
–1
连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性， 容易发现AP＝A1P1.
y
1
P1 (cos α , sin α).
巩固练习 1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
[解] (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°
课件9：3.1.1 两角和与差的余弦
跟踪训练
3．设 α，β 是锐角，sin α＝473，cos(α＋β)＝－1114， 求证：β＝π3. [证明] 由 0<α<π2，0<β<π2，知 0<α＋β<π， 又 cos(α＋β)＝－1114，
故 sin(α＋β)＝ 1－cos2 （α＋β） ＝ 1－－11142＝5143.
由 sin α＝473，可知 cos α＝ 1－sin2α＝
1－4
7
32＝17，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝5143×17－－1114×473＝ 23，∴β＝π3.
题型四 利用角的变换求三角函数值 [探究问题] 1．若已知 α＋β 和 β 的三角函数值，如何求 cos α 的值？ [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
3．sin 75°＝________.
解析：sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos
45°·cos
30°＋sin
45°·sin
30°＝
2 2×
23＋
22×12＝
6＋ 4
2 .
答案：
6＋ 4
2
4．设 α，β 都是锐角，且 cos α＝ 55，sin(α＋β)＝35， 求 cos β 的值． [解] ∵α，β 都是锐角且 cos α＝ 55<12，∴π3<α<π2， 又 sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－ 1－sin2(α＋β) ＝－45，
3 C. 2
3 D. 3
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第三节三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝01cos αcos β＋sin αsin β．(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝02cos αcos β－sin αsin β．(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝03sin αcos β－cos αsin β．(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝04sin αcos β＋cos αsin β．(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝05tan α－tan β1＋tan αtan β．(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝06tan α＋tan β1－tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin2α＝072sin αcos α．(2)公式C 2α：cos2α＝08cos 2α－sin 2α＝092cos 2α－1＝101－2sin 2α．(3)公式T 2α：tan2α＝112tan α1－tan 2α．3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.1．两角和与差正切公式的变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.2．降幂公式：sin αcos α＝12sin2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，tan 2α＝1－cos2α1＋cos2α.3．升幂公式：1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2，1±sin αsin α2±cos .4．其他常用变形sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．半角公式(1)sin α2＝±1－cos α2；(2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()(2)当α是第一象限角时，sin α2＝1－cos α2.()(3)存在实数α，使tan2α＝2tan α.()答案(1)√(2)×(3)√2．小题热身(1)(多选)cos α－3sin α化简的结果可以是()A ．12cos B ．C ．12sin D ．答案BD解析cos α－3sin α＝α－32sin αcos π3－sin α故选BD.(2)(人教A 必修第一册习题5.5T4改编)已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2＝()A ．2－5B ．2＋5C ．5－2D ．±(5－2)答案C 解析∵sin α＝55，cos α＝255，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝5－2.故选C.(3)(人教B 必修第三册习题8－2B T3改编)已知θsin θ＝45，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案－255－55解析∵θsin θ＝45，∴cos θ＝－35，θ2∈sin θ2＝－1＋352＝－255，cos θ2＝－1－352＝－55.(4)(人教A 必修第一册复习参考题5T13改编)已知α为锐角，且(tan10°－3)sin α＝－2cos40°，则α＝________．答案80°解析因为(tan10°－3)sin α＝－2cos40°，所以sin α＝－2cos40°tan10°－3＝－2cos40°cos10°sin10°－3cos10°＝＝－2cos40°cos10°－2sin50°＝cos10°＝sin80°，又α是锐角，所以α＝80°.第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式考点探究——提素养考点一和、差、倍角公式的简单应用例1(1)(2024·海南海口模拟)若tan αtan β＝2，则cos(α－β)cos(α＋β)的值为()A ．－3B ．－13C ．13D ．3答案A解析由题意，得cos(α－β)cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝1＋21－2＝－3.故选A.(2)(2024·九省联考)已知θtan2θ＝－，则1＋sin2θ2cos 2θ＋sin2θ＝()A ．14B ．34C ．1D ．32答案A解析由θtan2θ＝－得2tan θ1－tan 2θ＝－4(tan θ＋1)1－tan θ，则－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝－12，因为θ所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－12，则1＋sin2θ2cos 2θ＋sin2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝tan 2θ＋1＋2tan θ2＋2tan θ＝14＋1－12＋(－1)＝14.故选A.【通性通法】直接利用和、差、倍角公式化简求值的策略策略一记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”策略二注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用策略三注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用【巩固迁移】1．(2024·安徽亳州模拟)已知sinα＝35，α，若sin(α＋β)cosβ＝4，则tan(α＋β)＝()A．－167B．－78C．167D．23答案C解析因为sinα＝35，α所以cosα＝－1－sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，因为sin(α＋β) cosβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosβ＝sinα＋cosαtanβ＝35－45tanβ＝4，所以tanβ＝－174，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－34－1741＝167.故选C.2．(2023·河北保定模拟)已知锐角θ满足2cos2θ＝1＋sin2θ，则tanθ＝()A．13B．12C．2D．3答案A解析∵2cos2θ＝1＋sin2θ，∴2(cos2θ－sin2θ)＝(sinθ＋cosθ)2，即2(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)＝(sinθ＋cosθ)2，又θ为锐角，∴sinθ＋cosθ>0，∴2(cosθ－sinθ)＝sinθ＋cosθ，即cosθ＝3sinθ，∴tanθ＝13.故选A.考点二和、差、倍角公式的逆用与变形用例2(1)(2023·湖北武汉模拟)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝()A．12B．22C．32D．1答案B解析sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝sin(180°－71°)cos(360°－64°)＋cos71°sin64°＝sin71°cos64°＋cos71°sin64°＝sin(71°＋64°)＝sin135°＝22.故选B.(2)(2024·广西梧州模拟)1＋tan7π121－tan7π12＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3答案A解析因为1＋tan7π121－tan 7π12＝tan π4＋tan7π121－tan π4tan7π12＝tan 10π12＝tan5π6＝tan π6＝－33.故选A.【通性通法】公式逆用与变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用．提醒：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的．【巩固迁移】3．(2024·福建永安三中模拟)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为()A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案B解析由两角差的余弦公式，得cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12.故选B.4．(2023·江苏常州二模)已知sin α－3cos α＝1，则sin2________．答案12解析已知sin α－3cos α＝1，则α－32cos1，所以＝12，令β＝α－π3，则α＝β＋π3，即sin β＝12，所以22β2cos2β＝1－2sin 2β＝12.5．tan50°－tan20°－33tan50°tan20°＝________．答案33解析tan50°－tan20°－33tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20°＝33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33.考点三角的变换例3(1)(2024·四川绵阳模拟)已知＝23，则α()A ．－59B ．59C ．－13D ．13答案A解析απ＋2αα2＝－1－2sin－＝－59.故选A.(2)已知α，βsin(α＋β)＝－35，＝1213，则________．答案－5665解析因为α，β所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35，1213，所以cos(α＋β)＝45，513，所以cos α＋βcos(α＋βsin(α＋β＝45××1213＝－5665.【通性通法】1．三角公式求值中变角的解题思路思路一当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式思路二当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2.常用的拆角、配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－．【巩固迁移】6．(2023·山东烟台模拟)已知tan(α＋β)＝12，tan(α－β)＝13，则tan(π－2α)＝()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案B解析∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1.又tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan(π－2α)＝－1.故选B.7．已知0＜x ＜π4，＝513，则cos2x________．答案2413解析cos2x ＝cos 2x －sin 2x 22(cos x －sin x )＝2(cos x ＋sin x )＝由0＜x ＜π4得0＜π4－x ＜π4，∴＝1213，所以原式＝2×1213＝2413.课时作业一、单项选择题1．sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案A解析sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝cos(70°－10°)＝cos60°＝12.故选A.2．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝－35，则cos C 的值为()A．725B．1825C．2425D．－2425答案C解析在△ABC中，由cos A＝45，得sin A＝1－cos2A＝35，由cos B＝－35，得sin B＝1－cos2B＝45，∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－45×＋35×45＝2425.故选C.3．(2023·广东茂名模拟)tan70°tan10°＋1tan70°－tan10°＝()A．－33B．33C．－3D．3答案B解析tan70°tan10°＋1tan70°－tan10°＝1tan70°－tan10°1＋tan70°tan10°＝1tan60°＝33.故选B.4．已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos2α，则sin α()A．－710B．710C．－7210D．7210答案D解析sin2α－2＝2cos2α⇒sin2α－2＝2(1－2sin2α)⇒sinα＝±255，因为α为第三象限角，所以sinα＝－255，cosα＝－1－sin 2α＝－55，所以sin2α＝2sinαcosα＝45，cos2α＝1－2sin2α＝－35，所以α＝22(sin2α－cos2α)＝7210.故选D.5．(2023·保定模拟)已知＝223，则sin2θ的值为()A．79B．－79C．29D．－29答案B解析由＝223，得sin θcos π4－cos θsin π4＝22(sin θ－cos θ)＝223，即sin θ－cos θ＝43，等式两边同时平方，得1－sin2θ＝169，所以sin2θ＝－79.6．若sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，则sin2αcos β＝()A ．23B ．13C ．16D ．112答案B解析由sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，得sin2αcos β－cos2αsin β＝16①，sin2αcos β＋cos2αsin β＝12②，由①＋②，得2sin2αcos β＝23，所以sin2αcos β＝13.7．已知α，β＝45，＝513，则sin(α－β)的值为()A ．1665B ．3365C ．5665D ．6365答案A解析由题意可得α＋π6∈β－5π6∈－π2，所以＝－35，＝－1213，所以sin(α－β)＝－＝－45×513＋＝1665.8．(2023·重庆南开中学质检)已知α2，则sin αcos α＋32cos2α的值为()A ．15B ．25C ．35D ．45答案D解析由α且2，得sin αcos α＋32cos2α＝12sin2α＋32cos2α＝α＝sincostan 1＝2×222＋1＝45，所以sinαcos α＋32cos2α的值为45.故选D.二、多项选择题9．(2023·云南昆明模拟)已知α，β，γsin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是()A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案AD解析由题意，知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sinβsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝12，故A 正确，B 错误；∵α，β，γsin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴0<β－α<π2，∴β－α＝π3故C 错误，D正确．故选AD.10．设θ的终边在第二象限，则1－sin θcos θ2－sin θ2的值可能为()A ．1B ．－1C ．－2D ．2答案AB解析∵θ的终边在第二象限，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2k ∈Z ，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin 2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cos θ2cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2|sin θ2－cos θ2|cos θ2－sinθ2，故当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2>0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin θ2－cos θ2cos θ2－sin θ2＝－1；当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2<0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2＝1.故选AB.11．(2023·海南海口模拟)已知α∈(π，2π)，sin α＝tan α2＝tan β2，则()A ．tan α＝3B ．cos α＝12C ．tan β＝43D ．cos β＝17答案BD解析因为sin α＝tan αcos α＝tan α2，所以cos α＝12，又α∈(π，2π)，所以sin α＝－32，tan α＝－3，故A 错误，B 正确；因为tan β2＝sin α＝－32，所以tan β＝2tanβ21－tan 2β2＝－43，cos β＝cos 2β2－sin 2β2sin 2β2＋cos 2β2＝1－tan 2β21＋tan 2β2＝17，故C 错误，D 正确．故选BD.三、填空题12．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝________．答案4解析(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.13．(2023·青岛模拟)已知tan2θ＝－22，π4<θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin＝________．答案－3＋22解析由tan2θ＝－22，即2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22.因为π4<θ<π2，所以tan θ＝2且cos θ≠0，则2cos 2θ2－sin θ－12sin＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－21＋2＝－3＋2 2.14．(2023·邢台模拟)已知α，β均为锐角，35，＝513，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________．答案3365204325解析因为＝－35，＝513，所以α＋π3为第二象限角，β－π3为第一象限角，所以＝45，＝1213，所以sin(α＋β)＝＝3365，cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)＝－cos2＝－cos 2sin 2＝－1213cos 2513sin 2－12132cos 1－1013sin ＝204325.15．已知αβtan α＝cos2β1－sin2β，则()A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案B解析tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2β(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝∵αβ∈α＝π4＋β，即α－β＝π4.故选B.16．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为()A ．－18B ．－8C ．8D ．18答案A解析将π＝4sin52°代入1－2cos 27°π16－π2，可得1－2cos 27°π16－π2＝－cos14°4sin52°16－16sin 252°＝－cos14°16sin52°cos52°＝－cos14°8sin104°＝－cos14°8sin(90°＋14°)＝－cos14°8cos14°＝－18.17．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则()A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．＝6＋236D ．＝23－66答案AC解析∵sin α2＝33，α∈(0，π)，∴α2∈cos α2＝1－sin 2α2＝63，∴cos α＝1－2sin 2α2＝1－＝13，故A 正确；sin α＝2sin α2cos α2＝2×33×63＝223，故B 错误；sin α2cosπ4＋cos α2sin π4＝33×22＋63×22＝6＋236，故C 正确；sin α2cos π4－cos α2sin π4＝33×22－63×22＝6－236，故D 错误．故选AC.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α、钝角β的终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解(1)由题意，知OA ＝OM ＝1，因为S △OAM ＝12OA ·OM sin α＝55，所以sin α＝255，又α为锐角，所以cos α＝55.因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是210，所以sin β＝210，cos β＝－7210，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×＋255×210＝－1010.(2)因为sin α＝255，cos α＝55，sin β＝210，cos β＝－7210，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝255×－55×210＝－31010，又cos(α－β)＝－1010，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－22，因为α为锐角，sin α＝255＞22，所以α所以2α又β所以2α－β－π2，所以2α－β＝－π4.。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)
tan(α-β)=
tanα-tanβ= tan(α-β)(1+tanαtanβ)
公式应用 (1) tan15 = tan(4530)
tan45 - tan30 o o 1+ tan45 tan30
3 1 3 3 12 6 3 3 2 3 6 3 3 3 1 3
练习2 已知函数f ( x) 2 sin x 2 3 cos x, x R （1）求f(x)的最值
（2）求f(x)的周期、单调性
3.已知A、B、C为△ABC的三内角，向量 m (1, 3) ，
n (cos A, sin A) ，且m n 1，求角A。
五、练习
= sin 180 17 sin 180 43 sin 180 73 sin 360 47 = sin17 43 - sin 73 - sin 43 - sin 47
= sin 73 cos 43- cos 73 sin 43 = sin 73 43 = sin 30 1 = 2
例2.求下列各式的值: (2)tan 70 tan10 3 tan 70 tan10 .
tan 70 tan10 (2)解:由tan 70 10 1 tan 70 tan10
得 tan 70 tan10 tan 70 10 1 tan 70 tan10
2 2
令
cos sin
a
a 2 b2 b a 2 b2
a2 b2 sin x cos cos x sin a b sin x a b cos x