动能定理
动能定理知识梳理 一、动能（一）动能的表达式1.定义：物体由于运动而具有的能叫做动能.2.公式:E k =mv 2,动能的单位是焦耳. 说明:(1)动能是状态量,物体的运动状态一定,其动能就有确定的值,与物体是否受力无关.(2)动能是标量,且动能恒为正值,动能与物体的速度方向无关.一个物体,不论其速度的方向如何,只要速度的大小相等,该物体具有的动能就相等.(3)像所有的能量一样,动能也是相对的,同一物体,对不同的参考系会有不同的动能.没有特别指明时,都是以地面为参考系相对地面的动能. （二）动能定理1.内容:力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程中动能的变化.2.表达式:W=E -E ,W 是外力所做的总功,E 、E 分别为初末状态的动能.若初、末速度分别为v 1、v 2,则E =mv 21,E =mv . 3.物理意义:动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系,即外力对物体做的总功,对应着物体动能的变化,变化的大小由做功的多少来度量.动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系,即做功的过程是能量转化的过程.利用动能定理来求解变力所做的功通常有以下两种情况： ①如果物体只受到一个变力的作用，那么：W=E k2-E k1.只要求出做功过程中物体的动能变化量ΔE k ，也就等于知道了这个过程中变力所做的功.②如果物体同时受到几个力作用，但是其中只有一个力F 1是变力，其他的力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出这几个恒力所做的功，然后再运用动能定理来间接求变力做的功：W 1+W 其他=ΔE k .可见应把变力所做的功包括在上述动能定理的方程中. ③注意以下两点：122k 1k 1k 1k 1k 122k 1222a.变力的功只能用表示功的符号W来表示，一般不能用力和位移的乘积来表示.b.变力做功，可借助动能定理求解，动能中的速度有时也可以用分速度来表示.4.理解动能定理（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
这就是动能定理，其数学表达式为W=E k2－E k1。
通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。
这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：①外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。
②合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
（三）应用动能定理1、动能定理应用的基本步骤应用动能定理涉及一个过程，两个状态．所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．动能定理应用的基本步骤是：①选取研究对象，明确并分析运动过程．②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．③明确过程始末状态的动能E k1及E K2④列方程W=E K2一E k1，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．2、应用动能定理的优越性(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．(2)一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．(3)用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．二、重力势能（1）定义：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．（2）表达式：p E mgh =，其中h 是物体的重心到参考平面（即高度取为零，零势能面）的高度．在参考面以上，0h >；在参考面以下，0h <． 重力势能是状态量，是标量，可正可负．单位：同功的单位相同，国际单位制中为焦耳，符号为J ． （3）重力势能的特点 ①重力势能的相对性：重力势能p E mgh =是相对的，为了确定物体的重力势能，预先规定一个水平面的高度为零，处于此平面的物体重力势能为零，此平面叫做参考平面，也叫做零势面．选择哪个水平面为参考平面，可视研究问题的方便而定，通常选择地面作为参考平面．参考平面不同，重力势能值不同，因而重力势能具有相对性． ②重力势能的变化量是绝对的，具有绝对性：我们所关心的往往不是物体具有多少重力势能，而是重力势能的变化量，虽然重力势能具有相对性，但重力势能的变化p E mg h ∆=∆却是绝对的，与参考平面的选取无关．③系统性：重力势能是地球与物体共同具有的，是由地球和地面上物体的相对位置决定的，即2p GMmE mgh h R ==．没有地球，物体的重力势能就不存在． （4）重力做功的特点①由功能关系G p W E =-∆可知重力所做的功只跟初位置的高度1h 和末位置的高度2h 有关，跟物体运动的路径无关．只要起点和终点的位置相同，不论是沿着直线路径由起点到终点，或是沿着曲线路径由起点到终点，做功结果均相同．②重力做功只与物体初、末位置的高度差有关，与路径无关． ③重力做功可以使物体的重力势能发生变化． （5）重力势能的变化与重力做功的关系重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少，重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少．即G p W E =∆．三、弹性势能（1）定义：物体由于发生弹性形变，各部分之间存在着弹性力的相互作用而具有的势能叫做“弹性势能”． （2）理解：①弹性势能是状态量，标量，单位是焦耳．②确定弹性势能的大小需选取零势能的状态，一般选取弹簧未发生任何形变而处于自由状态的情况下其弹性势能为零，被压缩或伸长的弹簧具有的弹性势能等于弹簧的劲度系数与弹簧长度改变量x 的平方乘积的一半，即212p E kx =．③弹力对物体做功等于弹性势能增量的负值，即弹力所做的功只与弹簧在初状态和末状态的伸长量有关，而与弹簧形变过程无关．④弹性势能是以弹力的存在为前提，所以弹性势能是在发生弹性形变时，各部分之间有弹性作用的物体所具有的．如果两物体相互作用都发生形变，那么每一物体都有弹性势能，总弹性势能为二者之和． ⑤动能、重力势能和弹性势能之间可以相互转化．【例1】 图中ABCD 是一条长轨道，其中AB 段是倾角为θ的斜面，CD 段是水平的，BC 是与AB 和CD 都相切的一小段圆弧，其长度可以略去不计．一质量为m 的小滑块在A 点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D 点，A 点和D 点的位置如图所示，现用一沿轨道方向的力推滑块，使它缓缓地由D 点推回到A 点，设滑块与轨道间的动摩擦系数为μ，则推力对滑块做的功等于（ ） A ．mgh B ．2mghC ．()sin hmg s μθ+ D ．cos mgs mgsh μμθ+变式1 如图所示，AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R ．一个质量为m 的物体（可以看做质点）从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与直轨道AB 间的动摩擦因数为μ，求： （1）物体做往返运动的整个过程中，在AB 轨道上通过的总路程． （2）最终当物体通过圆弧最低点E 时，对圆弧轨道的压力．【例2】 如图长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，已知链条与水平面间静摩擦系数为μ0，滑动摩擦系数为μ．求： （1）满足什么条件时，链条将开始滑动？（2）若下垂部分长度为b 时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？变式：2、如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间的速度多大？变式3、如图所示，一粗细均匀的U型管内装有同种液体且竖直放置，右管口用盖板A封闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U型管中液柱总长度为4h．现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液柱刚好相齐时右侧液面下降的速度大小为多少？【例3】轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图所示，然后静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，试求：（1）AB杆转到竖直位置瞬时，角速度 多大?（2）AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能增量多大?变式4、如图所示，轻杆两端各系一质量均为m的小球A、B，轻杆可绕O的光滑水平轴在竖直面内转动，A 球到O的距离为L1，B球到O的距离为L2，且L1＞L2，轻杆水平时无初速释放小球，不计空气阻力，求杆竖直时两球的角速度为______．例4、如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R 。
一质量为m 的小物块（视为质点）从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
（g 为重力加速度）(1)要使物块能恰好通过圆轨道最高点，求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 多大；(2)要求物块能通过圆轨道最高点，且在最高点与轨道间的压力不能超过5mg 。
求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围。
变式5、如图所示，一个半径R=1.0m 的圆弧形光滑轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B 和圆心O 的连线与竖直方向夹角θ=60°，C 为轨道最低点，D 为轨道最高点．一个质量m=0.50kg 的小球（视为质点）从空中A 点以v 0=4.0m/s 的速度水平抛出，恰好从轨道的B 端沿切线方向进入轨道．重力加速度g 取10m/s 2．试求：（1）小球抛出点A 距圆弧轨道B 端的高度h ． （2）小球经过轨道最低点C 时对轨道的压力F C ．（3）小球能否到达轨道最高点D ？若能到达，试求对D 点的压力F D ．若不能到达，试说明理由．【例4】 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以方向不变、大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点由静止开始上升．若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为12W W 、，滑块经B C 、两点时的动能分别为kB kC E E 、，图中AB BC =，则一定有（ ） A ．12W W > B ．12W W < C ．kB kC E E > D ．kB kC E E <mRhA BC【例5】 如图所示，一物体从高为H 的斜面顶端由静止开始下滑，滑上与该斜面相连的一光滑曲面后又返回斜面，在斜面上能上升到的最大高度为12H ．若不考虑物体经过斜面底端转折处的能量损失，则当物体再一次滑回斜面时上升的最大高度为（ ）A ．0B ．14HC ．H 与12H 之间D ．0与14H 之间【例6】 如图所示，DO 是水平面，AB 是斜面，初速度为0v 的物体从D 点出发沿DBA 滑动到顶点A 时速度刚好为零，如果斜面改为AC ，让该物体从D 点出发沿DCA 滑动到A 点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，物体过B （或C ）点时无机械能损失）（ ） A ．大于0v B ．等于0vC ．小于0vD ．取决于斜面的倾角【例7】 以初速度0v 竖直向上抛出一质量为的小物体．假定物块所受的空气阻力大小不变．已知重力加速度为，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（ ） A ．和B ．和C ．和D ．和【例8】 如图所示，物体以100J 的初动能从斜面底端沿斜面向上运动，当它向上通过斜面上某一点M 时，其动能减少了80J ，克服摩擦力做功32J ，则物体返回到斜面底端时的动能为（ ） A ．20J B ．48J C ．60J D ．68Jm f g 202(1)v f g mg+0mg fv mg f-+202(1)v f g mg+0mgv mg f+12x x -0mg fv mg f-+2022(1)v f g mg+0mgv mg f+【例9】子弹以某速度击中静止在光滑水平面上的木块，当子弹进入木块的深度为x时，木块相对光滑水平面移动的距离为2x，则木块获得的动能和子弹损失的动能之比为（）A．1:1B．1:2C．1:3D．2:1【例10】运动员从悬停在空中的直升机上跳伞，伞打开前可看作是自由落体运动，开伞后减速下降，最后匀速下落．如果用h表示下落高度、t表示下落的时间、F表示人受到的合外力、E表示人的机械能、E p表示人的重力势能、v表示人下落的速度．在整个过程中，下列图象可能符合事实的是（）【例11】如图所示，长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中（）A．支持力对物块做功为零B．支持力对小物块做功为mgL sinαC．摩擦力对小物块做功为mgL sinαD．滑动摩擦力对小物块做功为【例12】如图，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为（）A．mgLωB．32mgLωC．12mgLωD．36mgLω【例13】如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各套有质量分别为 2.0kgAm=和 1.0kgBm=的小球A和B，A球与水平杆间的动摩擦因数0.20μ=，A B、间用不可伸长的轻绳相连，图示位置处 1.5mOA=， 2.0mBO=．重力加速度g取210m/s．（1）若用水平力1F沿杆向右拉A，使A由图示位置向右缓慢地移动0.5m，则该过程中拉力1F做了多少功？ααsin212mgLmv-αA（2）若用水平力2F 沿杆向右拉A ，使B 以1m/s 的速度匀速上升，则在B 由图示位置上升0.5m 的过程中，拉力2F 做了多少功？【例14】 在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取210m/s g =）．求： （1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离S max 为多少？（3）若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数0.2μ=，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？课堂检测1、 如图所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s ．若木块对子弹的阻力f F 视为恒定，则下列关系式中正确的是（ ）A ．212f F L Mv =B ．212f F s mv = C.22011()22f F s mv M m v =-+ D ．22011()22f F L s mv mv +=-mRFω2、 如图所示，长度为l 的轻绳上端固定在O 点，下端系一质量为m 的小球（小球的大小可以忽略）．（1）在水平拉力F 的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F 的大小； （2）由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力．不计空气阻力．3、如图所示，质量为m 的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R ，物块随转台由静止开始运动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时，转台已开始做匀速运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（ ）A.0B. mgR πμ2C. mgR μ2D. 2/mgR μ4、一个质量为m 的小球拴在绳一端，另一端受大小为F1拉力作用，在水平面上作半径为R1的匀速圆周运动，如图所示，今将力的大小变为F2，使小球在半径为R2的轨道上运动，求此过程中拉力对小球所做的功。
动能定理
第十二章动能定理12-1 功和功率2、变力在曲线运动中的功Mvr Fr dsM ′rr ∆rr r r ′为弧的路程上所作的总功在力21M M F r∫=21M M W W δ∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx rd F M M rr ∫⋅=21F W r ⋅δrd F W M M rr ∫⋅=21∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx W ds F W M M ϕcos 21∫=dtv F W M M ∫⋅=21rr影为重力在三坐标轴上的投运动到沿曲线轨迹设质点,21M M M mgG Z Y X −=−===,0δδk F F =成正比。
弹簧变形的大小与在弹性极限内，弹性力r)(212221δ−δ=k W 上式表明，当初始变形大于末变形时，弹性力作功为正。
反之为负。
的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr AB B r d F ⋅=的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr221ii V m T ∑=1、刚体平动的动能221k k V m T ∑=设瞬心在P点2)(21ωk k r m ∑=2221kk r m ∑=ω221ωz J =均质圆柱体作纯滚动时的动能RCCV r r得到两边同乘以,dt V r d r r =2121由动力学基本方程有FdtVd mr r=W r d F δ=⋅r r FdtV m d r r=)(或r d F dt V dtV m d rr r r⋅=⋅)()21()(2)(2mV d V V d m dt V dt V m d =⋅=⋅r r r r W mV d δ=⇒)21(2力的元功。
用于质点上微分等于作质点动能的W mV d δ=)21(2δ二、质点的动能定理的积分形式质点动能在某一路程上的改变量，等于作用于质点上力在同一路程上所作的功。
§12-5 质点系的动能定理)21(2i i V m d ∑∑=)21(2i i V m d *ii W W δδ∑+∑=质点系动能的微分等于作用在该质点系的全部外力和内力的元功的总和。
动能定理原理
动能定理原理
动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动能与其速度的关系。
根据动能定理，一个物体的动能等于其质量与速度平方的乘积的一半。
动能定理可以表示为以下公式：
动能 = 1/2 ×质量 ×速度²
其中，动能用K表示，质量用m表示，速度用v表示。
根据动能定理，当一个物体的速度增加时，它的动能也会增加。
同样地，当一个物体的质量增加时，它的动能也会增加。
这说明物体的动能与其速度和质量直接相关。
动能定理的应用广泛。
在机械工程中，我们可以根据物体的动能来计算其所需的能量或者进行能量转化的分析。
在运动学中，我们可以利用动能定理来计算物体的速度或者质量。
在碰撞分析中，动能定理也起到了重要的作用。
需要注意的是，动能定理只适用于质点的分析，即只考虑物体的整体运动而忽略其形状和内部结构的影响。
在实际应用中，我们需要结合具体情况来确定使用动能定理的合理性与准确性。
总之，动能定理是一个重要的物理定律，在物体的运动分析和能量转化的研究中具有广泛的应用价值。
它为我们理解物体运动和能量转化的过程提供了重要的理论基础。
动能定理
口抛出，则小球落地时的速度大小为多少？(g取 口抛出，则小球落地时的速度大小为多少？ 取 10 m/s2)
1 1 mgh＝ mv2－ mv2 ＝ 2 2 0 小球落地时的速度大小v＝ 2 小球落地时的速度大小 ＝ v0＋2gh
图7—7—2
＝ ( 5 2)2＋2×10×10 m/s＝5 10 m/s. ) × × ＝
动 能 定 理
W=W1+W2+W3+… W=F合lcosα lcosα
W＝mv22/2－mv12/2 ＝ －
改 写
W＝Ek2－Ek1 ＝
合力做的 功即总功 末动能 初动能
说明：对任何过程的恒力 变力； 恒力、 说明：对任何过程的恒力、变力；直线
运动 运动、曲线运动；多过程、瞬间过程都 运动、曲线运动；多过程、瞬间过程都 能运用。 能运用。
议一议
两个物体,甲的质量大于乙的质量 在同一水平 两个物体 甲的质量大于乙的质量,在同一水平 甲的质量大于乙的质量 面上滑动,最后都静止 问它们滑行的距离谁大? 最后都静止,问它们滑行的距离谁大 面上滑动 最后都静止 问它们滑行的距离谁大
①µ、Ek1一定： 、 一定： 一定： ② f 、Ek1一定： 一定： ③ f 、v0一定： 一定： ④ v0、µ一定： 一定
v=0
F S
v L=?
v=0
常 规 题
一辆质量为m、速度为 一辆质量为 、速度为v0的汽车 在关闭发动机后在水平地面上滑行 了距离s后停下 后停下， 了距离 后停下，试求汽车受到的 阻力f大小 大小。 阻力f大小。
答 案
mv02/2l
乙 相等 甲 相等
例题
用拉力F使一个质量为 的木箱由静止开始在水平冰 用拉力 使一个质量为m的木箱由静止开始在水平冰 使一个质量为 道上移动了s，拉力F跟木箱前进的方向的夹角为 跟木箱前进的方向的夹角为α， 道上移动了 ，拉力 跟木箱前进的方向的夹角为 ， 木箱与冰道间的摩擦因数为µ，求木箱获得的速度？ 木箱与冰道间的摩擦因数为 ，求木箱获得的速度？
动能定理
2 受 力 分 析
1.8 104 N
启发：此类问题，牛顿定律和动能定理都适用， 但动能定理更简洁明了。解题步骤:1、2、3、4
例2、一质量为 m的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉 θ 力F作用下，从平衡位置P点很缓慢 地移动到Q点，如图所示，则拉力 F所做的功为（ B ） P A. mgLcosθ B. mgL(1－cosθ) C. FLcosθ D. FL
分析：物体受力如图，
N
设上升的最大位移为s， 上滑过程：
f
- mgsin 37º s–f s = 0– m v02/2
下滑过程：
mgsin 37º s–f s = m（v0/2 ）2/2– 0 全过程： N f
v0
mg
–2 f s = m（v0/2 ）2/2– m v02/2
mg
式中f =μ mgcos 37º ，任意两式相除，得μ=0.45。
s F
FN
f
G
解：对飞机 s
F1
1找对象（常是单个物体） 2运动情况分析
由动能定理有
F2
3 确 定 各 力 做 功
1 2 Fs kmgs mv 2
m v2 F km g 4建方程 2s 5.0 103 602 3 0 . 02 5 . 0 10 9.8 2 2 5.3 10
(3)在动能定理中,总功指各外力对物体做功的代数 和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、 电场力或其他的力等． (4)动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有 相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于 此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如 内能）的转化． (5)各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不 同时，分别求力做功，然后求代数和． (6)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物 体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受 力等情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须 根据不同情况分别对待.
理论力学 动能定理
第11章动能定理即质点系的动能等于其随质心平BCθABθCPA2rOr C力的功2rOr CAP2rOr CAP2rOr CAPs汽车驱动问题能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8水平悬臂梁AB，B端铰接滑轮B，匀质滑轮质量m1，半径r；绳一端接滚，轮C，半径r，质量m2视为质量集中在边缘；绳另端接重物D，质量m3。
求重物加速度。
CωDv BωCv 解：末位置是一般位置hconst 01==T T =2T 2321D v m 221B B J ω+221CP J ω+运动学关系rr v v B C C D ωω===2121rm J B =2222222rm r m r m J P=+=2321222121Dv m m m T ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=CωDv BωCv h1212W T T =−gh m T v m m m D 30232122121=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++对t 求导h g m vv m m m D D &&33210)221(=−++Dv h =&D D a v=&gm m m m a D 3213221++=例11-9匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
1212W T T =−01=T 2222212121mvJ mv T A ++=ω解()sF F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θμcos mg F F B A ==取导221,mrJ v r A ==ω2245mvT =()θμθcos sin 2452−=gs v a v v s==&&,()θμθcos sin 54−=g a F A 是静摩擦力，理想约束，不作功。
动能定理公式是什么样的
动能定理(work-energy theorem)。
所谓动能，简单的说就是指物体因运动⽽具有的能量。
下⾯是百分⽹店铺给⼤家整理的动能定理公式简介，希望能帮到⼤家! 动能定理公式 其中，Ek2表⽰物体的末动能，Ek1表⽰物体的初动能。
ΔW是动能的变化，⼜称动能的增量，也表⽰合外⼒对物体做的总功。
1.动能定理研究的对象是单⼀的物体，或者是可以堪称单⼀物体的物体系。
2.动能定理的计算式是等式，⼀般以地⾯为参考系。
3.动能定理适⽤于物体的直线运动，也适应于曲线运动;适⽤于恒⼒做功，也适⽤于变⼒做功;⼒可以是分段作⽤，也可以是同时作⽤，只要可以求出各个⼒的正负代数和即可，这就是动能定理的优越性。
动能定理概念 动能具有瞬时性，是指⼒在⼀个过程中对物体所做的功等于在这个过程中动能的变化。
动能是状态量，⽆负值。
合外⼒(物体所受的外⼒的总和，根据⽅向以及受⼒⼤⼩通过正交法[1]能计算出物体最终的合⼒⽅向及⼤⼩) 对物体所做的功等于物体动能的变化。
即末动能减初动能。
动能定理⼀般只涉及物体运动的始末状态，通过运动过程中做功时能的转化求出始末状态的`改变量。
但是总的能是遵循能量守恒定律的，能的转化包括动能、势能、热能、光能(⾼中不涉及)等能的变化。
动能定理公式 推导过程 分析 (1)确定研究对象，研究对象可以是⼀个质点(单体)也可以是⼀个系统。
(2)分析研究对象的受⼒情况和运动情况，是否是求解“⼒、位移与速度关系”的问题。
(3)若是，根据动能定理ΔW=ΔEk列式求解。
处理多过程问题 应⽤动能定理处理多过程运动问题关键在于分清整个过程有⼏个⼒做功，及初末状态的动能，采⽤动能定理处理问题⽆需考虑其具体的运动过程，只需注意初末状态即可，求往复运动的总路程及次数问题，若⽤⽜顿定律和运动学公式求解，必须⽤数列求和的⽅法，但对于其中的某些问题求解，如⽤动能定理求解，可省去不少复杂的数学推演，使解题过程简化。
推导 对于匀加速直线运动有： 由⽜顿第⼆运动定律得， ① 匀加速直线运动规律有， ② ①×②得， 外⼒做功，记， 即 对于⾮匀加速直线运动, 进⾏⽆限细分成n段，于是每段都可看成是匀加速直线运动(微元法思想) 对于每段运动有, W1=Ek1-Ek0 W2=Ek2-Ek1 …… Wn=Ekn-Ek(n-1)将上式全部相加得 推导完毕【动能定理公式是什么样的】。
第四节 动能 动能定理
2 2 v v 2 1 2 2 x ( ) v2 v1 2ax 2a 2 2 1 2 1 2 v2 v1 m a ( ) mv 2 mv1 2 2 2a
外力对物体所做的功
末状态
初状态
1 2 ①外力对物体所做的功W等于物理量 mv 的变化 2
②而功是能量变化的量度； ③
1 2 mv 由m、v决定； 2
所以
1 2 mv 表示了动能的大小 2
2．表达式
1 2 Ek mv 2
3．单位：J（焦耳）1J=1N· m=1kg· (m/s)2
你的速度小 所以我的动能大！
一质量为10g，飞行 速度为300m/s的子弹
谁的动能大呢？
你的质量小 所以我的动能大！
一质量为4kg，飞行速 度为10m/s的铅球
类型三: 多过程运动
例1.一沙堆正上方2m处有一小金属球由静止释放，最终没 入沙堆2cm深，求沙堆对小金属球的平均阻力是重力的几 倍。
mg H=2m
f
解题注意:
mg
h=2cm
多过程问题,往往可忽略中间状态,直 接选择全过程的初末状态进行研究.
例2. 质量为2kg的滑块,以4m/s的速度在光滑的水平面上向 左滑行.从某时刻起,对滑块施加一水平向右的力,经过一段 时间,滑块的速度变为向右,大小为5m/s, 试求水平力对滑 块所做的功.
例4.人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物 体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为，当人匀速提 起重物由A点沿水平方向运动而到达B点，此时绳与水平 方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？
G
60
A
30
B
例 5．用汽车从井下提重物，重物质量为 m，定滑轮高为 H， 如图所示， 已知汽车由 A 点静止开始运动至 B 点时的速度为 v， 此时轻绳与竖直方向夹角为 θ.这一过程中轻绳的拉力做功多 大？
动能定理概述
(2m
6M 9m1)l 2
注意：轮Ⅰ、Ⅱ接触点C不是 理想约束，其摩擦力Fs尽管 在空间是移动的，但作用于 速度瞬心，故不作功。
例12-5：均质杆OB=AB=l, m在铅垂面内；M=常
量，初始静止，不计摩擦。
求：当A运动到O点时，A ？
解：W
M
2mg(1
cos
)
l 2
T1 0
C
ABCC
3 2
T1 0,
T2
1 2
( ml 2 3
) 2
1 2
m1012
1 2
( m1r12 2
) 2
1 ( m 3m1 )l 2 2
23 2
(01
l,1
01
r1
l )
r1
W M
T2 T1 W
M 1 ( m 3m1 )l 2 2
(a)
23 2
12M
(2m 9m1)l 2
式(a)对任何φ均成立，是函数关系，求导得
l
AB
AB
B
l
,OB
B
l
AB OB
A AB·2l
T2
TAB
TOB
1 2
mC2
1 2
J
C
2 AB
1 2
J
0
2 OB
4 3
ml
2
2 AB
W T2 T1
AB
1 2l
3 M mgl(1 cos )
m
A AB·2l
解： T1 0,T2 0
0 0 mgl(1 cos1) mgl(1 cos2 ) Wk
得冲断试件需要的能量为 Wk 78.92J
例12-4：已知：r1 ， m1 均质；杆m均质，O1O2=l , M=常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。
【高中物理】动能定理
湛江市二中物理
组
、3
一、动能EK 1.定义：物体由于运动而具有的能叫动能， 2.公式：Ek=1/2mv2，单位：J. 3.动能是标量，是状态量，V 4.动能的变化△Ek=1/2mVt2-1/2mV02. △Ek＞0， 表示物体的动能增加； △Ek＜0，表示物体的 动能减少.
二、动能定理
我们在处理问题时可以从能量变化来求功，也可以从物体做功的多少来求能量的变化．
P初
P末,
力做功等于重力势能的增加量W =ΔE =E -E 动能是标量，是状态量，V是瞬时速度。
(2)动能定理适用于单个物体，也适用于系统； 外力对物体做的总功为正功，则物体的动能增加；
克
P增 P末 P
初应用：利用动能定理求变力的功
(3)应用动能定理解题，一般比牛顿第二定律解题要简便. 一般牵扯到力与位移关系的题目中，优先考虑使用动能 定理
3.应用动能定理解题的基本步骤： (1) (2)分析研究对象的受力情况和各个力的做功情 况：受哪些力?每个力是否做功，做正功还ห้องสมุดไป่ตู้做 负功?做多少功?然后求各个力做功的代数和. (3)明确物体在过程的始未状态的动能EK0和EKt (4)列出动能的方程W合=EKt-EK0，及其他必要辅 助方程，进行求解.
P91 题型二
4、使用动能定理应注意的问题：
①物体动能的变化是由于外力对物体做功 引起的.外力对物体做的总功为正功，则 物体的动能增加；反之将减小.外力对物 体所做的总功，应为所有外力做功的代数 和，包含重力.
②有些力在物体运动全过程中不是始终存在的， 若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动 状态、受力等情况均发生变化，因而在考虑外力 做功时，必须根据不同情况分别对待.
动能定理与机械能守恒
动能定理与机械能守恒动能定理和机械能守恒定律是物理学领域中非常重要的两个概念。
它们在力学和能量转化的过程中发挥着重要的作用。
本文将介绍动能定理和机械能守恒定律的定义、原理以及它们在实际应用中的意义。
一、动能定理动能定理是描述物体动能变化的定律。
它表明，在没有外力或者合外力为零的情况下，物体的动能变化等于对物体施加的合力所做的功。
动能（Kinetic energy）是物体由于运动而具有的能量。
它是与物体质量和速度平方成正比的量，即动能等于质量乘以速度的平方再乘以一个常数（1/2），可以用下式表示：K = 1/2 * m * v²其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
根据动能定理，如果物体的速度发生变化，其动能也会发生相应的改变。
当物体受到外力作用时，会产生加速度，从而改变速度，进而改变动能。
合外力所做的功等于物体动能的变化，可以用下式表示：W = ΔK其中，W代表合外力所做的功，ΔK代表动能的变化。
二、机械能守恒机械能守恒定律是描述物体在机械能转化过程中能量守恒的规律。
在没有外力做功或者外力做功为零的情况下，一个封闭系统的机械能保持不变。
机械能（Mechanical energy）是指物体由于位置或者运动而具有的能量。
它可以分为动能和势能两个部分。
动能在前文已经介绍过。
而势能（Potential energy）是指物体由于位置而具有的能量。
它可以是重力势能、弹性势能或者其他形式的势能。
机械能就是动能和势能的总和，可以用下式表示：E = K + U其中，E代表机械能，K代表动能，U代表势能。
根据机械能守恒定律，当一个封闭系统内没有外力做功时，物体的机械能保持不变。
这意味着动能和势能之间可以相互转化，总能量不会改变。
实际应用中，动能定理和机械能守恒定律被广泛应用于各个领域。
例如，在交通工程中，为了减少车辆的耗能，可以通过改变路面材料、优化行车路线等方式来减小摩擦力，从而提高汽车的动能和机械能的利用效率。