高二上学期数学复习试题一 (2)
1 144 4 1 144 36
……………5 分
（3）甲先转，得 5 分，且甲获胜的基本事件为（5，4） （5，3） （5，2） （5，1） 则甲获胜的概率 P（D）＝ ……………8 分
4. (1)
7 15
（ 2）
1 15
2
(3)
8 15
2
(4)
14 15
5.解 （1）（x-1) +(y-2) =5-m,∴m＜5. （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 x1=4-2y1，x2=4-2y2， 则 x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2 ∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0 ∴16-8（y1+y2）+5y1y2=0 由
3. 甲、乙两人玩转盘游戏，该游戏规则是这样的：一个质地均匀的标有 12 等分数字格的转盘（如图） ，甲、乙两人各转转盘一 次，转盘停止时指针所指的数字为该人的得分。 （假设指针不能指向分界线）现甲先转，乙后转，求下列事件发生的概率 (1)甲得分超过 7 分的概率. (2)甲得 7 分，且乙得 10 分的概率 (3) 甲得 5 分且获胜的概率。
2 2 2 2 2 2
①
，B 等价于 直线与圆交于两个不同的点 A [4( k 3) 2 ] 4 36(1 k 2 ) 4 2 (8k 2 6k ) 0 ，
解得
3 3 0 ． k 0 ，即 k 的取值范围为 ， 4 4
∵
2 ＝ ， 2
) 3 ………（3 分） 6
……（4 分）
0 A 1 3 bc sin A 2 2
∴ 2A
5 ，即 A＝ 3 6 6
∴
2
…（8 分）
又
∴
3 3 c 4 2
2 2
c2
…（10 分）
在△ABC 中由余弦定理有 a b c 2bc cos A 1 4 2 1 2 ∴ 2.
（Ⅱ）设 A( x1，y1 )，B ( x2，y2 ) ，则 OA OB ( x1 x 2，y1 y 2 ) ，由方程①，
x1 x2
4( k 3) 1 k 2
② ③
又 y1 y2 k ( x1 x2 ) 4 ． 而 P (0， 2)，Q (6，， 0) PQ (6， 2) ．
8 5
16 y=0. 5
2 2
6. 解 假设存在直线 l 满足题设条件，设 l 的方程为 y=x+m,圆 C 化为（x-1） +(y+2) =9,圆心 C（1，-2），则 AB 中点 N 是两直 线 x-y+m=0 与 y+2=-(x-1)的交点即 N
m 1 m 1 , ,以 AB 为直径的圆经过原点， 2 2 2
1 3 2
a 3
…………（12 分）
3. 解：(1)甲先转，甲得分超过 7 分为事件 A, 记事件 A1:甲得 8 分，记事件 A2:甲得 9 分， 记事件 A3:甲得 10 分，记事件 A4:甲得 11 分， 记事件 A5:甲得 12 分， 由几何概型求法，以上事件发生的概率均为
1 , 12
……………2 分
x1 f ( x0 ) ；
②若 x1 D ，则数列发生器结束工作；若 x1 D ，则 将 x1 反馈回输入端再输出 x2 f ( x1 ) ,并且依此规律继续下去.
4x 2 现定义 f ( x ) . x 1 49 (I)若输入 x0 ，则由数列发生器产生数列 {xn } ，请写 65
出数列 {xn } 的所有项； (II)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始
输入
f ( x)
输出 打印
x1 D
Yes
数据 x0 的值；
No (III)若输入 x0 时，产生的无穷数列 {xn } 满足：对任意正整数 n ，均 取值范围. 结束
有 xn xn 1 ，求 x0 的
所以 OA OB 与 PQ 共线等价于 ( x1 x2 ) 6( y1 y2 ) ， 将②③代入上式，解得 k
3 ． 4
由（Ⅰ）知 k ， 0 ，故没有符合为(x－1)2+(y+2)2=9, 假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M 的坐标为(a,b). 由于 CM⊥l,∴kCM·kl=－1,即 ∴b=－a－1,
x 4 2 y
2 2 x y 2x 4 y m 0
2
①
得 5y -16y+m+8=0 ∴y1+y2=
16 8 m 8 ,y1y2= ,代入①得，m= . 5 5 5
（3）以 MN 为直径的圆的方程为 （x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 2 2 即 x +y -(x1+x2)x-(y1+y2)y=0 ∴所求圆的方程为 x +y - x2 2
高二上学期数学复习试题一
1. 已知向量 m ( 3 sin 2 x 2, cos x ), n (1, 2 cos x ), 设函数f ( x ) m n. （I）求 f ( x ) 的最小正周期与单调递增区间； （II）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 f ( A) 4, b 1, ABC 的面积
3 ，求 a 的值。 2
2. 已知函数 f ( x ) cos( x
2 ABC 内角 A、B、C （1） 求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间； （2） ) cos x ( x R) ． 3
3 , b 1, c 3, 求 a 的值． 2
的对边长分别为 a、b、c ，若 f ( B )
参考答案
1．解析：(Ⅰ) f ( x ) m n 3 sin 2 x 2 2 cos 2 x 2 sin( 2 x ∴ f ( x) 的最小正周期为 T 由 2k
2 x 2k , 得 k x k , 2 6 2 3 6 ∴ f ( x) 的单调递增区间为 [ k , k ], k Z …（6 分） 3 6 1 (Ⅱ) f ( A) ＝4 得 2 sin( 2 A ) 3 4 即 sin( 2 A ) 6 6 2
设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是： L＝2 2 a2－ 2|2－a|2 ＝2 －2a2＋12a－8＝2 －2a－32＋10. ∵0＜a≤4，∴当 a＝3 时，L 的最大值为 2 10. |m－2a| (2)因为直线 l 与圆 C 相切，则有 ＝ 2 a， 2 即|m－2a|＝2 2a. 又点 C 在直线 l 的上方，∴a＞－a＋m，即 2a＞m. ∴2a－m＝2 2a，∴m＝( 2a－1)2－1. ∵0＜a≤4，∴0＜ 2a≤2 2. ∴m∈[－1,8－4 2]． ——————————————————14 分 ——————————10 分 ——————————7 分 ——————————8 分 ——————————5 分
4. 在一只袋子中装有 7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率； (3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率．
5. 已知方程 x y 2 x 4 y m 0 . （1）若此方程表示圆，求 m 的取值范围；
b2 ×1=－1, a 1
①
直线 l 的方程为 y－b=x－a,即 x－y+b－a=0,∴ | CM | ∵以 AB 为直径的圆 M 过原点，∴|MA|=|MB|=|OM|， 而|MB|2=|CB|2－|CM|2=9－
|b a 3| , 2
(b a 3) 2 , 2
②
(b a 3) 2 2 2 |OM| =a +b ,∴9－ =a +b , 2
2
2
（2）若（1）中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M、N 两点，且 OM⊥ON（O 为坐标原点），求 m ； （3）在（2）的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程.
（12 分）
6. 已知圆 C : x y 2 x 4 y 4 0 ,问是否存在斜率是 1 的直线 l ， 使 l 被圆 C 截得的弦 AB ， 以 AB 为直径的圆经过原点， 若存在，写出直线 l 的方程；若不存在，说明理由.
2
2
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x y 12 x 32 0 的圆心为 Q ，过点 P (0， 2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A ，B ． （Ⅰ）求 k 的取值范围；
2
2
（Ⅱ）是否存在常数 k ，使得向量 OA OB 与 PQ 共线？如果存在，求 k 值； 如果不存在，请说明理由．
w .w.w. k.s.5 .u.c. o.m
2
2
10. 已知命题 p：不等式|x－1|>m－1 的解集为 R，命题 q：f(x)=－(5－2m) 是减函数，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，求 实数 m 的取值范围.
x
11. 对任意函数 f ( x ), x D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据 x0 D ，经数列发生器输出
8. 已知圆 x ＋y ＋2ax－2ay＋2a －4a＝0(0＜a≤4)的圆心为 C，直线 l：y＝x＋m. (1)若 m＝4，求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值； (2)若直线 l 是圆心下方的切线，当 a 在(0，4]的变化时，求 m 的取值范围．
湖南省长沙市长郡湘府中学高二上学期数学期末复习试题资料(1)直线与圆
长郡湘府中学2022年高二第一学期期末复习数学资料（1）直线与圆一、单选题1．已知两条直线1l ：10mx y +-=和2l ：()220x m y +-+=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．1C ．0或1D ．22．经过点5)A 和(2,2)B -，且圆心在x 轴上的圆的一般方程为（ ） A ．2260x y y +-= B ．2260x y y ++= C ．2260x y x ++=D ．2260x y x +-=3．圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内含D ．外切4．若圆()()22:138C x y -+-=上存在四个点到直线:0l x y m ++=2m 的取值范围是（ ）A ．6m <-B ．2m >-C ．62m -<<-D ．6m <-或2m >- 5．已知过点()0,2的直线l 与圆心为C 的圆()()222110x y -+-=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y -+=或220x y +-= C ．0x = D ．0x =或220x y +-=二、多选题6． 若过点(1,a )，(0,0)的直线l 1与过点(a ,3)，(-1,1)的直线l 2平行，则a 的取值可以为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．27．(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则（ ） A ．圆心坐标为(1，－2) B 22C ．直线与圆相交D 2 8．已知动圆22:(cos )(sin )1C x y αα-+-=，[0,2)απ∈，则（ ） A ．圆C 与圆224x y +=相交B ．圆C 与直线cos sin 0x y αα+=相切C ．若点(1,0)在动圆C 外，则4,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．圆C 上一点M 满足(0,1)CM =，则M 的轨迹的长度为2π 三、填空题9．直线:10l x my m +--=被圆O ；223x y +=截得的弦长最短，则实数m =___________. 10．已知直线()110a x ay +--=与圆22(1)(1)2x y -+-=相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为___________.11．已知圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，(),P x y 为圆C 上一点，则2x y -的最大值为__________．12．当曲线y =240kx y k -++=有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． 四、解答题13．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与y 轴相切于点0,1. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅰ）若圆C 与直线l ：0x y m -+=交于A ，B 两点，_____________，求m 的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件Ⅰ：120ACB ∠=︒；条件Ⅰ：AB =注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.14．（1）圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1),(1,3)A B -两点，求圆C 的方程； （2）圆C 经过(1,5),(5,5),(6,2)P Q R --三点，求圆C 的方程．15．求经过直线l1：2x﹣y+4＝0和直线l2：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程．（1）与直线x﹣4y+4＝0垂直；（2）到原点的距离等于1．16．已知方程22244m0+-++=．x y x y(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，求圆F 的一般方程．参考答案：1．B【解】12l l ⊥，显然0m ≠且2m ≠，()112m m ⎛⎫∴-⨯-=- ⎪-⎝⎭，解得1m =.2．D【解】设圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆心在x 轴上，所以02E-=，即0E =．又圆经过点A 和(2B -，，所以222210,2(20,D F D F ⎧+++=⎪⎨+-++=⎪⎩即60,2120,D F D F ++=⎧⎨++=⎩解得6,0.D F =-⎧⎨=⎩ 故所求圆的一般方程为2260x y x +-=． 3．D【解】由题，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆2286160x y x y +--+=，即()()22439x y -+-=，所以圆心为()4,3，半径为3；523==+，所以两圆外切.4．C【解】由题设，(1,3)C 且半径r =:0l x y m ++=ⅠC 到:0l x y m ++=的距离d =<62m -<<-. 5．A【解】圆()()222110x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径为r =由CA CB ⊥，且CA CB ==ABC 是以ACB ∠为直角的等腰直角三角形， 所以，点C 到直线l 的距离为cos 455d r ==若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为0x =，此时点C 到直线l 的距离为2，不合乎题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，则有d =()220k -=，解得2k =，所以直线l 的方程为22y x =+. 6．AC【解】若直线l 1与l 2平行，则()031101a a --=---，即a (a +1)=2，故a = -2或a =1.当2a =-时，12k =-，2221k a ==-+，符合题设； 当1a =时，11k =，2211k a ==+，符合题设； 7．AD【解】把圆的方程化为标准形式得(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，2，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d 22 8．BD【解】A. 动圆22:(cos )(sin )1C x y αα-+-=圆心C ()cos ,sin αα，半径1r =， 22cos sin 1αα+=，正好为两半径差，故两圆内切，错误； B. 圆心C ()cos ,sin αα到直线cos sin 0x y αα+=22cos cos sin sin 1cos sin αααααα+=+，故圆C 与直线cos sin 0x y αα+=相切，正确；C. 点(1,0)在动圆C 外，则22(1cos )(0sin )1αα-+->，整理得1cos 2α<， 又[0,2)απ∈，解得5,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，错误； D.设点(),M x y ，又C ()cos ,sin αα，则()(cos 0,,sin 1)x CM y αα=--=，cos 0sin 1x y αα-=⎧∴⎨-=⎩，消去α得()2211x y +-=， 故点M 的轨迹是半径为1的圆，故轨迹的长度为2π，正确； 9．1【解】直线MN 的方程可化为10x my m +--=，由1110y x -=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线MN 过定点A （1，1），因为22113+<，即点A 在圆223x y +=内.当OA MN ⊥时，|MN |取最小值， 由1OA MN k k =-，得111m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，Ⅰ1m =，10．2【解】直线()110a x ay +--=恒过()1,1点，圆()()22112x y -+-=的圆心()1,1，2，直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段AB 的长为22 11．20【解】方程22240x y ax y +-+=可化为()()22224x a y a -++=+，所以圆22:240C x y ax y +-+=的圆心为(),2C a -因为圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，所以()3220a +⨯-+=，所以4a =，令2z x y =-≤所以1010z -≤，所以020z ≤≤，所以2x y -的最大值为20， 12．3[1,)4--【解】因为y ()2204y x y +=≥，其表示圆心为()0,0，半径为2的圆的上半部分； 因为240kx y k -++=，即()42y k x -=+， 其表示过点()2,4A -，且斜率为k 的直线. 在同一坐标系下作图如下：不妨设点()2,0B ，AB 直线斜率为1k ，且过点A 与圆相切的直线斜率为2k数形结合可知：要使得曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点， 只需12k k k ≤<即可. 容易知：140122k -==---； 不妨设过点A 与224x y +=相切的直线方程为()242y k x -=+， 2=，解得234k =-，故31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.13．【解】（Ⅰ）设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =. 又Ⅰ圆C 与y 轴相切于点0,1，Ⅰ1b =，2a =，则02r a =-=.Ⅰ圆C 的圆心坐标为()2,1，则圆C 的方程为()()22214x y -+-=.（Ⅰ）如果选择条件Ⅰ：120ACB ∠=︒，而2CA CB ==， Ⅰ圆心C 到直线l 的距离1d =，则21111m d -+==+，解得21m =或21--.如果选择条件Ⅰ：23AB =2CA CB ==， Ⅰ圆心C 到直线l 的距离1d =，则21111m d -+==+，解得21m =或21--.14．【解】（1）(1,1),(1,3)A B -的中点为(0,2)，因为3111(1)AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的斜率为1-，所以线段AB 的中垂线的方程为2y x -=-， 当0y =时，2x =，则圆心为(2,0)22(21)(01)10++- 所以所求圆的方程为22(2)10x y -+=； （2）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则125502525550364620D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 所以圆的方程为2242200x y x y +---=.15．【解】（1）由于直线l 2：x ﹣y +5＝0与直线x ﹣4y +4＝0不垂直故设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，故()()21450x y λλλ+-+++=， 因为此直线与直线x ﹣4y +4＝0垂直，故()()2410λλ+++=，故65λ=-，故所求直线为4100x y +-=.（2）由于原点到直线l 2：x ﹣y +5＝0的距离12d =≠故设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，故()()21450x y λλλ+-+++=， 221(2)(1)d λλ==+++ 解得1λ=-或1123-故直线方程为：10x -=或3512370x y -+=16．【解】(1)若此方程表示圆，则22(2)4440m -+-⨯>，解得54m <. (2)由(1)可知m =1，此时圆E ：22+2+4+4=0x y x y -， 圆心坐标为E (1，-2)，半径为1， 因为圆F 和圆E 关于y 轴对称，所以圆F 圆心坐标是(-1，-2)，半径是1，故圆F 方程为(x +1)2+(y +2)2=1，化为一般方程为:22+2+4+4=0x y x y .。
2021年高二数学上学期期末复习模拟一(选择性必修一、选择性必修第二册数列)
x1 x2
y1 y2
z1 z2
C． cos a,b
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ，则
a
为单位向量
10．设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y x称为高斯函数，也叫取 整函数，如： 1.5 1 ，1.3 2 ，则下列结论正确的是（ ）
绝密★启用前
期末复习模拟一
一、单选题
范围：选择性必修一 + 数列
第 I 卷（选择题）
1．若圆 x a2 y b2 1a R, b R 关于直线 y x 1对称的圆的方程是 x 12 y 32 1, 则 a b等于（ ）
A．4
B．2
C．6
D．8
2．在等比数列 an 中，若 a4 ， a8 是方程 x2 4x 3 0 的两根，则 a6 的值是（ ）
A． 3
B． 3
C． 3
D． 3
3．平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中，M
为
AC
与
BD
的交点，若
AB
a
， AD
b
，
AA1 c ，则下列式子中与 D1M 相等的是（ ）
A．
1
a
1
b
c
22
C．
1
a
1
b
c
22
4．抛物线 y2 x 的准线方程为（ ）
B．
1
a
1
b
c
22
D．
A． C1C// 平面 OMN
B．平面 A1CD / / 平面 OMN
河南省安阳市第一中学2024-2025学年高二上学期阶段二考试数学试题
安阳一中2024-2025高二上阶段二考试数学试题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列是等差数列，其中，则（ ）A ．4050B ．4048C ．2025D ．20242．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ）ABCD3．若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且满足、、成等比数列，则（ ）A ．B ．C ．D ．5. 已知圆，圆相交于，两点，其中，分别为圆和圆的圆心，则四边形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．6. 已知数列是首项大于的等比数列，记的公比为，前项和为. 设命题甲：；命题乙：对任意的，恒成立，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分又不必要条件7. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于 两点，设为的中点，为坐标原点. 若，则 =（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题{}n a 252640,41a a ==50S =1:210l x y -+=2:20l x ay --=12l l //1l 2l E e =()3,4M -22177x y -=22177x y -=2212y x -=2212y x -=12F F 、22197C x y +=:P C 1||PF 12||F F 2||PF 12cos F PF ∠=34-18-1834221:20C x y x ++=222:60C x y y +-=P Q 1C 2C 1C 2C 12PC QC {}n a 0{}n a q n n S 0q >*n N ∈0n S >24y x =F l ,A B C AB O OC =AB 5678{}n a {}n b n S n T {}n a {}n b n ln 1ln 34n n S n T n +=-1010ln ln a b 2053381126611目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（ ）A ．到的距离为B ．的渐近线方程为C ．的离心率为D ．10. 若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．中的最大项为D ．中的不同数值有个11. 在平面几何中，有这样一个著名的命题：“如图所示，设是圆中弦的中点，过点做两条弦，连结交于两点，则是线段的中点.” 由于题目的的图形像一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”.这一命题最早出现在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》上，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，这是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一. 而且后人在对此定理的研究中发现，将“蝴蝶定理”中的圆改成椭圆、双曲线、抛物线，这个命题的结论仍然成立. 请在椭圆中直接运用蝴蝶定理解决如下问题：如图，已知椭圆的右焦点为，左右顶点为. 过做直线与交于，连接，过直线轴与交于，交直线于，交直线于，设直线的斜率为，直线的斜率为，直线、交于点，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．在定直线上三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．()222:109x y a a Γ-=>F :0l ax y +=ΓP ΓO F l 3Γ30x y ±=Γ2min PF ={}n a d 1a n n S *n N ∈10a >200S =*119,i i N ≤≤∈*1100,j j N ≤≤∈0d <110a >i i S a 1010S a j S 91M O AB M CD EF 、DE CF 、AB P Q 、M PQ 22:195x y Ω+=F A B 、F 1l ΩM N 、AM BN 、F 2l x ⊥ΩP Q 、AM R BN S AM 1k BN 2k AM BN G 53PQ =PR SQ =1259k k =G 92x =C12. 已知数列满足：，，则 ．13. 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 .14. 设为双曲线：在第一象限上的一动点，，. 过做的平行线交于点，过做的平行线交于点，若直线的斜率，则双曲线的离心率取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（13分）已知三点，记的外接圆为.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，求的面积.16.（15分）如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为.（1）证明：平面平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.17. （15分）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；18.（17分）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的{}n a12a =111nn na a a ++=-2025a =M 24x y =F A ()()22:161C x y ++-=MA MF +P E ()222210,0x y a b a b -=>>1:bl y x a =2:bl y x a=-P 1l 2l M P 2l 1l N MN 3MN k =E ()()()0,0,2,0,1,1O A B --AOB V C e C e :10l x y --=C e ,M N CMN V P ABCD -2AB =PA PB ⊥P ABCD -43PAB ⊥ABCD PAB PCD {}n a n n S 22a =11n n S a +=-{}n b n n B 210n n n B =-{}n a {}n b n n T P 28y x =O Q OP Q轨迹为曲线.（1）求的轨迹方程.（2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点.19.（17分）已知椭圆：过，，，中的三点，是坐标原点.（1）求椭圆方程的标准方程.（2）设是椭圆上的两个动点,若，求的取值范围.（3）设点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，写出定圆的方程，若不存在，请说明理由.C Q C ()1,2A C BD AB AD 1k 2k 121k k +=BD C 22221x y a b +=1R 2(1,R 31(0,)2R 4(2,0)R -O C A B 、C OA OB ⊥AB P C 222):0(O x y r r +=>P O PM PN M N C PM PN =。
高二上数学复习卷
高二（上）数学复习卷圆班级______姓名_____一、基础训练1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2) ( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外2.函数y=的图象是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半圆弧3.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是( )A.(x-2)2+(y+3)2=1B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=524.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于()A.πB.2πC.2πD.4π5.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=06.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是.7.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为.二、例题选讲例1写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线与的交点，半径长为．变式1：已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．变式2：已知圆P过点)0,1(A，)0,4(B.（1）若圆P 还过点)2,6(-C ，求圆P 的方程；（2）若圆心P 的纵坐标为2，求圆P 的方程.例2. 已知直角的斜边为，且，求：（1）直角顶点的轨迹方程；（2）直角边中点的轨迹方程．例3．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R)表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．例4．已知圆M 与圆N ：222)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)35,31(-D 在圆M 上.（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)35,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.三、课后训练1．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．（0,2），2B ．（2,0），2C ．（-2,0），4D ．（2,0），42.方程()2111x y -=-+表示的曲线是（ ）A ．一个圆B ． 两个半圆C ．两个圆D ．半圆3.圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含4.若直线()24y k x =-+与曲线24y x =-有两个交点，则的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(],1-∞- 5.要使圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有( )A.D=0,F=0B.F>0C.D ≠0,F ≠0D.F<06.已知两点A (-2,0),B (0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点,则△ABC 的面积最小值是( )A .3-B .3+C .3-D .7．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连结的线段的中点的轨迹方程（ )A ．()()22211x y -++=B ．()()22214x y -++=C ．()()22424x y ++-=D ．()()22211x y ++-=8.如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么y x的最大值是 ． 9．方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围___________.10.已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A (1,2),要使过定点A (1,2)作圆的切线有两条,则a 的取值范围是 .11．已知两圆的方程分别为2240x y x +-=和2240x y y +-=，则这两圆公共弦的长等于_____.12.已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.13.设△ABC 的顶点坐标A (0,a ),B (-,0),C (,0),其中a>0,圆M 为△ABC 的外接圆.(1)求圆M 的方程;(2)当a 变化时,圆M 是否过某一定点?请说明理由.14.已知圆C 的方程22240x y x y m +-+-=．（1）若点(),2A m -在圆C 的内部，求m 的取值范围；（2）若当4m =时，①设(),P x y 为圆C 上的一个动点，求()()2244x y -+-的最值；②问是否存在斜率是1的直线，使被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．。
2021年高二数学上学期期末复习试卷
2021年高二数学上学期期末复习试卷1、已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A ．B ．C ．D ．3、若双曲线的右支上一点P （,b ）到直线的距离为+b 的值（ ）A ．B ．C ．－2D ．24、如图F 1，F 2分别是椭圆的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为：A ．B ．C ．D ．5、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ） A . B. C. D.6、已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则d 1+d 2+…+d n =_____________解析：当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1由｜x 1－x 2｜=，得d n =，∴d 1+d 2+…+d n1)111(lim )(lim 1111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=∞→∞→n d d d n n n n n n n n7．（xx 年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为________.11218、定点N (1,0)，动点A 、B 分别在图中抛物线y 2＝4x 及椭圆x 24＋y 23＝1的实线部分上运动，且AB ∥x 轴，则△NAB 的周长l 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5116，4 D ．(2,4)[答案] B[解析] 易知N 为抛物线和椭圆的焦点，设A (x 1，y 1 )，B (x 2，y 2)，由抛物线及椭圆的定义知，焦半径|AN |＝x 1＋1，|BN |＝12(4－x 2)，又|AB |＝x 2－x 1，∴周长l ＝|AB |＋|AN |＋|BN |＝3＋12x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 24＋y23＝1得交点的横坐标为23，∴23<x 2<2.∴103<l <4.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过(2p,0)作直线交抛物线于A 、B 两点，给出下列结论：①OA ⊥OB ；②△ABO重心必是抛物线焦点；③△ABO 面积最小值为4p 2.其中正确的结论是________． [答案] ①③[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2p y 2＝2px 得：y 2－2pmy －4p 2＝0，∴y 1y 2＝－4p 2，y 1＋y 2＝2pm ，x 1x 2＝4p 2，k OA ·k OB ＝－1，S ＝p |y 1－y 2|＝p ·(2pm )2－16p 2≥4p 2.1、如图，四边形与都是边长为的正方形，点E 是的中点， (1) 求证：平面BDE ；(2) 求证：平面⊥平面BDE (3) 求平面BDE 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值。
高2020级高二上期期末复习数学练习题二(理科含详细答案)
高2020级高二上期期末复习练习题二（理科）一、选择题1、设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2、已知命题p ：x ∃∈R ，使sin x ＝q ：∀x ∈R ，都有x 2+x+1＞0．下列结论： ①命题“p ∧q”是真命题 ②命题“￢p Ⅴq”是真命题 ③命题“￢p Ⅴ￢q ”是假命题 ④命题“p ∧￢q ”是假命题 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③3、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( ) A.2 B.92 C.32D.34、已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m ∥n ；②若α∥β，则m ∥β；③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α⊥β；④若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β.其中真命题的个数是( ) A.0 B.1C.2D.35、直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)6、设),(y x P 是曲线C ：22(2)1x y ++=上任意一点，则xy的取值范围是 （ ）.A ]3,3[- .B (,)-∞+∞U .C ]33,33[-.D (,)33-∞-+∞U7、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，18、设12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，P 在双曲线上，若12120,||||2PF PF PF PF ac ⋅=⋅=(c为半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）9、已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A.0 B.1C.2D.2 210、已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右支上，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，若2221212PF PF a -=，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3]11、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)12、(2018·许昌模拟)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫33，1二、填空题13、已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________.14．已知直线(2)210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则a 的值是直线33020x y x y -+=--=关于对称的直线方程为_____________．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________.15、过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为 .16、（1）设双曲线22196x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则22||||AF BF +的最小值等于 ．（2）已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，则直线l 的方程为 .（3）已知12F F 、分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B、两点，若1ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ．三、解答题17、（1）已知直线l 1：2(1)40x m y +++=与直线l 2：320mx y +-=．①若l 1⊥l 2，求m 的值；②若l 1∥l 2，求m 的值．（2）已知直线l 经过点P （5，10），且原点到它的距离为5，求直线l 的方程．18、已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为 C 和圆 O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点,M N ，求MN 的最小值及相应p 的值．19、如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD . (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D －AE －C 的余弦值.20、如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点. (1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)求二面角B －DF －P 的余弦值.21、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值.22、设椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12，E上一点P到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E于不同的两点A，B，求OA OB⋅的取值范围．（备选）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，M，N分别是AB，A1C的中点.(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值.高2020级高二上期期末复习练习题（理科）答案一、选择题1、设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2，所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.12、已知命题p ：x ∃∈R ，使sin x ＝q ：∀x ∈R ，都有x 2+x+1＞0．下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“￢p Ⅴq ”是真命题 ③命题“￢p Ⅴ￢q ”是假命题 ④命题“p ∧￢q ”是假命题其中正确的是（ B ） A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③3、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是(D ) A.2 B.92C.32D.34、已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m ∥n ；②若α∥β，则m ∥β；③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α⊥β；④若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β.其中真命题的个数是( B ) A.0 B.1 C.2D.3解析 ①若α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m ∥β，正确； ③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，l 与n 不一定相交，不能推出α⊥β，不正确. 5、直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3.6、设),(y x P 是曲线C ：22(2)1x y ++=上任意一点，则xy的取值范围是 （C ）.A ]3,3[- .B (,)-∞+∞U .C ]33,33[-.D (,)-∞+∞U7、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 8、设12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，P 在双曲线上，若12120,||||2PF PF PF PF ac ⋅=⋅=(c为半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D 【解析】由题意得，12PF F ∆是直角三角形，由勾股定理得()22222121212|||||244||||2|c PF PF PF PF PF PF a ac =+=+-=+，∴220c ac a --=，∴210e e --=，∵1e >，∴12e =．故选D ． 9、已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.2 2解析 椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1，因为原点O 是线段F 1F 2的中点，所以PF 1→＋PF 2→＝2PO →，即|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝2|PO |，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO |的最小值为b ＝1，所以|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2.10、已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右支上，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，若2221212PF PF a -=，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3] 【解析】因为12||||2PF PF a -=，所以1212||||6,||4,||2PF PF a PF a PF a+===， 又2||PF c a ≥-，所以213a c a e ≥-⇒<≤，选D.11、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( C )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞) 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a ＞2，∴e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＞1＋4＝ 5.12、(2018·许昌模拟)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫33，1解析 如图，由题意可知，|PF 1|>|PF 2|且|PF 1|>|F 1F 2|，所以要使△PF 1F 2为等腰三角形，则只能是|F 1F 2|＝|PF 2|，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，则直线x ＝a 2c与x 轴的交点为D ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0，则|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ≥a 2c －c ，即3c 2－a 2≥0，即e 2≥13. 解得33≤e <1.答案 D二、填空题13、已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________.解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.14．已知直线(2)210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则a 的值是 403、- 直线33020x y x y -+=--=关于对称的直线方程为_____________．3110x y --= 已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________. 解析 设过M (1，1)点的方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0，以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，故b ＝32，所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.15、过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为 . 解析 依题意，设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0).∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b ＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号.因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.16、（1）设双曲线22196x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则22||||AF BF +的最小值等于 ．【解析】22211226||||2||2||4||443163b AF BF a AF a BF a AB a a ⨯+=+++=+≥+=⨯+=.（2）已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，则直线l 的方程为 .解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1，2).①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.（3）已知12F F 、分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B、两点，若1ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ．【解析】在双曲线22221x y a b -=中，当c x =时,2a b y ±=所以A,B 两点的纵坐标分别为,2a b ,2ab - 因为1ABF ∆是锐角三角形，所以，124AF F π∠<,212tan tan 124b a AF Fc π∠=<=，所以1222<-ac a c 所以,012,02222<--<--e e a ac c 解得2121+<<-e ，又因为1>e ，所以∈e 1).三、解答题17、（1）已知直线l 1：2(1)40x m y +++=与直线l 2：320mx y +-=．①若l 1⊥l 2，求m 的值；②若l 1∥l 2，求m 的值．解：(1) ∵ 12l l ⊥∴ 23(1)0m m ++= ∴ 35m =-(2) ∵ 12//l l ∴ 23(1)0m m ⨯-+=∴ 32m m =-=或 代入l 1，l 2验证知都符合题意∴ 32m m =-=或（2）已知直线l 经过点P （5，10），且原点到它的距离为5，求直线l 的方程．解：(1) 当直线l 的斜率不存在时，直线与x 轴垂直根据题意，得所求直线l 的方程为x = 5 (2) 当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为y = kx + b∴105k b =+⎧⎪，解得34254k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 所求直线l 的方程为34250x y -+=综上，直线l 的方程为x = 5或34250x y -+=18、已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为 C 和圆 O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点,M N ，求MN 的最小值及相应p 的值． 【解析】（1）由题意得F (1，0)，从而有C ：x 2＝4y ．解方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，x 2＋y 2＝1，得y A ＝5－2，所以|AF |＝5－1．（2）设M (x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p (x －x 0)＋y 0，整理得x 0x －py －py 0＝0．由|ON |＝1得|py 0|＝x 20＋p 2＝2py 0＋p 2，所以p ＝2y 0y 20－1且y 20－1＞0， 所以|MN |2＝|OM |2－1＝x 20＋y 20－1＝2py 0＋y 20－1＝4y 20y 20－1＋y 20－1＝4＋4y 20－1＋(y 20－1)≥8， 当且仅当y 0＝3时等号成立，所以|MN |的最小值为22，此时p ＝3．19、如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD . (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D －AE －C 的余弦值.(1)证明 由题设可得△ABD ≌△CBD .从而AD ＝CD ，又△ACD 为直角三角形，所以∠ADC ＝90°， 取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO ，又由于△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC ，所以∠DOB 为二面角D －AC －B 的平面角，在Rt △AOB 中，BO 2＋OA 2＝AB 2，又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°，所以平面ADC ⊥平面ABC .(2)解 由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点， OA →为x 轴正方向，OB →为y 轴正方向，OD →为z 轴正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A ()1，0，0，D ()0，0，1，B ()0，3，0，C (－1，0，0)，由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，故AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12，AD →＝()－1，0，1，OA →＝()1，0，0.设平面AED 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面AEC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n 1＝0，AD →·n 1＝0，解得n 1＝(1，33，1)， ⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n 2＝0，OA →·n 2＝0，解得n 2＝(0，－1，3)，若二面角D －AE －C 为θ，易知为锐角，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝77.20、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4.又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4，则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）， 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋（4－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝2时上式等号成立，故△P AB 面积的最大值为2.21、如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.(1)求证：BF ∥平面ADP ；(2)求二面角B －DF －P 的余弦值.(1)证明 取PD 的中点为G ，连接FG ，AG ， ∵F 是CE 的中点，∴FG 是梯形CDPE 的中位线，∵CD ＝3PE ，∴FG ＝2PE ，∵FG ∥CD ∥AB ，AB ＝2PE ， ∴AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形.∴BF ∥AG ，又BF ⊄平面ADP ，AG ⊂平面ADP ，∴BF ∥平面ADP.(2)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥PD ，又AD ⊥DC ，PD ⊥DC ， ∴AD ，DC ，PD 两两垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设PE ＝1.则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，3，0)，D (0，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，2). ∴DB →＝(2，2，0)，又F (0，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)，设平面BDF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝－2，x ＝－1，∴n ＝(－1，1，－2)，∵平面PDF 的一个法向量为DA →＝(2，0，0)，且二面角B －DF －P 的平面角为钝角， ∴二面角B －DF －P 的余弦值为－|cos 〈DA →，n 〉|＝－66.22、设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA OB ⋅的取值范围． 【解析】（1）由题意得12c a =，且1a c -=，∴2a =，1c =，故2223b a c =-=，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）①当k不存在时，(0,A，B，∴(0,3OA OB ⋅=⋅=-；②当k 存在时，设直线方程为2y kx =+，则有222,1,43y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得22(34)1640k x kx +++=，∴1221634k x x k +=-+，122434x x k =+，（i ） 又12121212(2)(2)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+++21212(1)2()4k x x k x x =++++ 2221322424143434k k k +-=+-+++225334k=-++，（ii ） 2225616(43)0k k ∆=-+>，从而214k >，（iii ） （iii ）代入（ii ）中得：25133314OA OB ⋅≤-+=+， ∴13(,]4OA OB ⋅∈-∞．1、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值.(1)证明 连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，故MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 由A 1A ⊥平面ABC 且CC 1∥A 1A ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1.又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ， 以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CC 1＝2λ(λ>0).则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，∴CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1). 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0.得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ).同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ)， ∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0，解得λ＝22，得n ＝⎝⎛⎭⎫22，1，322，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66.所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66.2、已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7.(1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.解 (1)由|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b 2＝2217，a >b >0，计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e＝1－b 2a 2＝12. (2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y 得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.3、(2018·沈阳质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4， 则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2.4、(2016·全国Ⅱ卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)， 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2. t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).。
高二上期期末数学复习试卷(精编版)
高二上期期末数学复习试卷(精编版)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 不等式x ≤1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．1-≤x ≤1 B.x ≥1或x ≤1- C.1>x 或1-<x D.0≤x ≤12. 若直线l 过点(30)，与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ） Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．4条3. 已知方程1||2-m x +m y -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．2m < B. 12m << C. 1m <-或12m << D. 1m <-或312m <<4. 已知0208:2>--x x p ，012:22>-+-a x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．10a >或2a <-B ．9a <C ．03a <<D ．30≤<a 5.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）（A ）3 （B （C ）23 （D 6. 在双曲线)0,(12222>=-b a by a x 中,25=a c ,且双曲线与椭圆369422=+y x 有公共焦点,则双曲线方程是（ ）A ． 1422=-x y B. 1422=-y x C. 1422=-y x D. 1422=-x y 7. 在空间上一质点受到四个力1234,,,F F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知123,,F F F 两两成060角，且123,,F F F 的大小都是1，则4F 的大小为（ ）A.8. 下列三图中的多边形均为正多边形，,M N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的12,F F 为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为123,,e e e ，则（ ）A ．321e e e >>B ．321e e e <<C ．231e e e <=D ． 231e e e >=二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在答题卡的横线上）9．命题：“若12>x ，则1>x ”的否命题是 ． 10、双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2， 一个焦点的坐标为()0,2，则此双曲线的标准方程是 ．11．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 .12、已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ， =x +21 +31，则x 的值为13. 空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是 14．有下列命题：①椭圆2214x y +=的长轴长是2；②双曲线22(0)x y a a -=≠③抛物线24y x =的准线方程是1y =-；④“1-=a ”是“06=++ay x 和023)2(=++-a y x a 平行”的充分条件. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的所有命题的序号都填上）F 22F三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、(本题满分12分)巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为G 上一点到两个焦点的距离之和为12. （1）求椭圆G 的方程；（2）求以椭圆G 的两个顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线标准方程.16.（本小题满分12分）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点.（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线； （Ⅱ）求二面角M BC B ''--的大小；（Ⅲ）求三棱锥M －OBC 的体积.17.（本小题满分14分）如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5（1）证明：EB ⊥FD（2）求点B 到平面FED 的距离.∙D 'A B C DM O A 'B 'C '∙18. （本小题满分14分）试求2210(0)ax x a ++=≠至少有一个负根的充要条件．19（本小题满分14分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .20. (本题满分14分)设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过抛物线上一点G 作抛物线的切线，切线恰好经过椭圆的右焦点1(1,0)F ．（1）求椭圆方程和切线1FG 方程； （2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？说明理由,并求APB ∠为钝角时点P 横坐标的取值范围．图高二上期期末数学复习试卷(精编版)答案DDCDBCDD9. 若21x ≤，则1x ≤ 10.2213y x -= 11.4 12 6113. 0 14. ②④ 15．解：（1）2126a a =⇒= ………………2分2c c a ∴=⇒=………………4分 即2229b a c =-= ………………6分所以椭圆G 的方程是221369x y += ………………7分 （2）设双曲线方程是22221(0,0)x y m n m n-=>>，其焦点是(6,0)±，顶点是(± ………………9分得2227,36279m n ==-= (11)分所以双曲线方程是221279x y -= ………………12分 16.解法一：（1）连结AC ，取AC 中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK 因为M 是棱AA ’的中点，点O 是BD ’的中点所以AM 1//'//2DD OK所以MO //AK由AA ’⊥AK ，得MO ⊥AA ’ 因为AK ⊥BD ,AK ⊥BB ’，所以AK ⊥平面BDD ’B ’ 所以AK ⊥BD ’ 所以MO ⊥BD ’又因为OM 是异面直线AA ’和BD ’都相交 故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线（2）取BB ’中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC ’B ’ 过点N 作NH ⊥BC ’于H ，连结MH 则由三垂线定理得BC ’⊥MH从而,∠MHN 为二面角M -BC ’-B ’的平面角MN =1,NH =Bnsin 45°=122224=在Rt △MNH 中，tan ∠MHN=4MN NH ==故二面角M -BC ’-B ’的大小为arctan (3)易知，S △OBC =S △OA ’D ’，且△OBC 和△OA ’D ’都在平面BCD ’A ’内点O 到平面MA ’D ’距离h ＝12V M -OBC =V M -OA ’D ’=V O -MA ’D ’=13S △MA ’D ’h =124解法二：以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),A ’(1,0,1),C ’(0,1,1),D ’(0,0,1) (1)因为点M 是棱AA ’的中点,点O 是BD ’的中点所以M (1,0, 12),O (12,12,12)11(,,0)22OM =-,'AA =(0,0,1),'BD =(-1,-1,1)'OM AA =0, 11'22OM BD =-++0=0所以OM ⊥AA ’,OM ⊥BD ’又因为OM 与异面直线AA ’和BD ’都相交故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线.………………………………4分 (2)设平面BMC '的一个法向量为1n =(x ,y ,z )BM =(0,-1,12), 'BC ＝(－1,0,1) 110'0n BM n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即1020y z x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 取z ＝2,则x ＝2,y ＝1，从而1n =(2,1,2)取平面BC 'B '的一个法向量为2n ＝(0,1,0)cos 1212121,3||||9n n n n n n <>===由图可知，二面角M -BC '-B '的平面角为锐角故二面角M -BC '-B '的大小为arccos 13………………………………………………9分(3)易知，S △OBC ＝14S △BCD 'A '＝121244=，设平面OBC 的一个法向量为3n ＝(x 1,y 1,z 1)'BD ＝(－1,－1,1), BC ＝(－1,0,0)31'00n BD n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即111100x y z x --+=⎧⎨-=⎩ 取z 1＝1,得y 1＝1，从而3n ＝(0,1,1)点M 到平面OBC 的距离d＝31||2||BM n ==V M －OBC ＝11221334424OBC S d ∆==…………………………………………12分 17.（1）证明： 点E 为弧AC 的中点18.解：必要条件：①方程有一正根和一负根4400 1aaa∆=->⎧⎪⇔⇔<⎨<⎪⎩，；②方程有两负根4402010a a a⎧⎪∆=-⎪⎪⇔-<⎨⎪⎪>⎪⎩，，≥01a ⇔<≤．综合①，②，原方程至少有一负根的必要条件是0a <或01a <≤． 充分条件：由以上推证的可逆性知，当0a <时，方程有异号两根，当01a <≤时，方程有两负根．所以方程至少有一负根的充要条件是0a <或01a <≤．19.20．解：（1）由22211b b b -=⇒=，………………1分即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；………………3分设过点G 的切线方程为(1)y k x =-，由22(1)88(1)08(1)y k x x kx k x y =-⎧⇒-++=⎨=-⎩………………5分 由相切得：22121(8)48(1)02101,2k k k k k k -⨯+=⇒--=⇒==-所以，切线方程为10x y --= 和 210x y +-= ………………7分（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，11同理∴以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。
2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二年级上册学期期末复习(二)数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末复习（二）数学试题一、单选题1．设复数，是z 的共轭复数，则（ ）3i1i z +=-z z z ⋅=A ．-3B ．-1C ．3D ．5【答案】D【分析】先利用复数的除法化简，进而得到共轭复数，再利用复数的乘法运算求解.【详解】解：∵，()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===++-+∴，．12i z =-()()2212i 12i 125z z ⋅=+-=+=故选：D ．2．已知向量，，且，则实数的值为（ ）．(),2,1a m =()1,0,4b =-a b ⊥m A ．4B ．C ．2D ．4-2-【答案】A【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.0a b ⋅=【详解】解：因为，，且，(),2,1a m =()1,0,4b =-a b ⊥ 所以，解得.40a b m ⋅=-+=4m =故选：A3．抛物线的准线方程是（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．12x =12x =-18y =18y =-【答案】D【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可化为x 2y12=故128p =其准线方程为y 18=-故选：D4．已知双曲线C ：有相等的焦距，则22221x y a b -=2215x y +=C 的方程为（ ）A ．B ．2213x y -=2213y x -=C ．D ．22193x y -=22139x y -=【答案】B【分析】根据椭圆的焦距可得双曲线C ：的焦距，根据双曲线C ：2215x y +=22221x y a b -=2c求得，即可得出答案.22221x y a b -=ba =222c ab =+22,a b【详解】解：因为双曲线C ：22221x y a b -=所以，ba =b =椭圆的焦距为，2215x y +=4所以双曲线C ：的焦距，即，22221x y a b -=24c =2c =又因，解得，所以，2222234c a b a a =+=+=21a =23b =所以C 的方程为.2213y x -=故选：B.5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（ ）米．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把B （x 0，﹣3）代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A （2，﹣2）代入x 2＝my ，得m ＝﹣2∴x 2＝﹣2y ，B （x 0，﹣3）代入方程得x 0，=故水面宽为．故选：B ．6．如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60︒与所成角的余弦值为（ ）．AC BFA ．B ．CD 1412【答案】A【分析】根据题目条件可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，将异面直EBC ∠ABCD ABEF 线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值即可.AC BF 【详解】根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，所以EBC ∠ABCD ABEF ，60EBC ∠= 设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，AC BF θ，，AC AB BC =+ BF BE EF =+EF BA ==- 所以()))(()(BF BE E AC AB BC AB BC F BE AB +==++- 即210(1)11cos 6002BF BE B AC AB AB BC BC E AB =-+-=+-+⨯⨯-=-所以；4c os 1,A A BF BF B C AC C F==-= 即，1cos cos ,4F AC B θ==所以，异面直线与所成角的余弦值为.AC BF 14故选：A.7．对于直线：（），现有下列说法：l 10ax ay a +-=0a ≠①无论如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；a ②无论如何变化，直线l 一定不经过第三象限；a ③无论如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；a ④当取不同数值时，可得到一组平行直线．a 其中正确的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．1234【答案】C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【详解】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率l 10ax ay a +-=0a ≠210x y a +-=21y x a =-+为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故1-135︒y 210a >②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确；a 1-故选：C8．已知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的12F F ，22:18x y C m +=C P 1290F PF ∠=︒m 取值范围是（ ）A ．B ．(][)0,216,+∞ (][)0,416,+∞ C ．D ．(][)0,28,+∞ (][)0,48,+∞ 【答案】B【分析】利用圆的直径所对圆周角为，将椭圆上存在点满足，转化为以90︒C P 1290F PF ∠=︒为直径的圆与椭圆有交点，即可求解.12F F 【详解】解：若椭圆上存在点满足，只需满足以为直径的圆与椭圆有交点，C P 1290F PF ∠=︒12F F即,即，122F F b c ≤=22b c ≤当时,椭圆的焦点在轴上,此时，则，解得：，8m <x 2228,,8a b m c m ===-8m m ≤-4m ≤当时，椭圆的焦点在轴上，此时，则，解得：.8m >y 222,8,8a m b c m ===-88m ≤-16m ≥综上，.(][)0,416,m ∈+∞ 故选：B【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于较易题。
河南高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．若的展开式中的常数项为－20，则a =（ ） 6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．2B ．－2C ．1D ．－1 【答案】D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项. 【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621r r r r T C a x -+=⋅⋅620r -=3r =可得展开式的常数项为：，解得：. 63320C a ⋅-=1a =-故选：D.2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一111,,101520盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（ ）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A 1，A 2，A 3分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，P =，P =，P =， ()1A 510()2A 310()3A 210P =，P =，P =； ()1|B A 110()2|B A 115()3|B A 120则由全概率公式，所求概率为P =P +P +P()B ()()11|A P B A ()()22|A P B A ()()33|A P B A =×+×+×=0.08. 510110310115210120故选：A3．的值等于0121834521C C C C ++⋯++A ．7351B ．7355C ．7513D ．7315【答案】D 【详解】原式等于，故选D.433344452122......7315C C C C C ++++==4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）()2a =12b ⎛= ⎝ a b A ． B ． C ． D ．)()(14⎛ ⎝【答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】在上投影向量 a b)212a b a b b b⋅=⋅===r r r r r r 故选：A5．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为C 22221x y a b+=0a b >>()00,P x y ．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C C 心率为（ ）A ．BCD12【答案】C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大， (),0a ±2minb R a =()0,b ±则，因为，所以，所以，2max a R b =max min 8R R =228a b b a =⨯2a b =e =故选：C.6．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小2:4C y x =F PC ()2,2A PA PF +值为 （ ）A B ．2 C D ．3【答案】D【分析】求出抛物线C 的准线l 的方程，过A 作l 的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l ：，显然点A 在抛物线C 内，过A 作AM ⊥l 于M ，交抛2:4C y x ==1x -物线C 于P ，如图，在抛物线C 上任取不同于点P 的点，过作于点N ，连PF ，AN ，， P 'P 'P N l '⊥,P A P F ''由抛物线定义知，，||||||||||||||||||||PA PF PA PM AM AN P A P N P A P F ''''+=+=<<+=+于是得，即点P 是过A 作准线l 的垂线与抛物线C 的交点时，min (||||)||2(1)3PA PF AM +==--=取最小值，PA PF +所以的最小值为3.PA PF +故选：D7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 16141312【答案】A 【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，2242=62=12C A ⋅⨯要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能. 22=2A所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率. 21126P ==故选：A 8．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ）A ．种B ．种 10201280C ．种D ．种15601680【答案】C【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"2,2,1,1"共有种分配方法； 22464422C C A 1080A ⨯=若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"3,1,1,1"共有种分配方法.3464C A 480⨯=故共有种分配方法.10804801560+=故选：C9．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动221:2440C x y x y ++++=222:4210C x y x y +-++=M N 1C 2C 点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）P :2l y x =+MP NP+A ．B ． CD333-3【答案】A【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点1C 2C 1C l C 'C '与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问M '1C M P C '2C 题，据此分析可得答案．【详解】圆，即，圆心为，半径， 221:2440C x y x y ++++=()()22121x y +++=()1,2--1R =圆，即，圆心为，半径， 222:4210C x y x y +-++=()()22214x y -++=()2,1-2r =设点关于直线对称的点为()1,2--:2l y x =+(),a b 则 ，解得：， 21121222b a b a +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪=+⎪⎩41a b =-⎧⎨=⎩圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为1C :2l y x =+C '()4,1-1R '=， ()()22411x y ++-=设圆上的点与圆上点对称，则有，C 'M '1C M PM PM '=原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，P C '2C连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，2C C 'l P P PN PM '+此时，即的最小值为，233PN PM C C ''+=-=MP NP +3故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆1C :2l y x =+()()22411x y ++-=P 和圆上的动点距离之和最小值问题.C '2C 10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为次.假1k +设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p 值能使得混合检测方式()01p p <<10k =优于逐份检测方式.（参考数据：）（ ）lg 0.7940.1≈-A ．0.1B ．0.3C ．0.4D ．0.5【答案】A【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要Y ()E Y 检测的总次数，知，利用求解可得p 的范围，即可得出选项. X ()10E X =()()E Y E X <【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1，11.，， ()()1011P Y p ==-()()101111P Y p ==--故Y 的分布列为： Y1 11 P()101p -()1011p --()()()()10101011111111101E Y p p p ∴=⨯-+⨯--=-⨯⎦-⎡⎤⎣设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X ，则()10E X =要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需()()E Y E X <即，即，即 ()101110110p -⨯-<()101110p ->0.1011p -->又，lg 0.7940.1≈-，lg0.7941010.794p >=∴-，.0.79.140206p ∴=<-00.206p <<∴故选：A.二、多选题11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E 、F 、G 、111ABC A B C -1AB BC BB ==M 分别为的中点．则（ ）1111B C A B AB BC ，，，A ．与平面B ．与所成角为 1GB 11ACC A 1AB 1BC 3πC ．平面EFBD ．平面⊥平面 1//A M 1AB C 1A MC 【答案】BCD【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断AB ，根据线面平行的判定定理可判断C ，利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥1AB ⊥，然后根据面面垂直的判定定理即得．1A BC 【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：2AB =，()()()()()()110,2,00,0,02,0,00,1,02,0,20,0,2A B C G C B ，，，，， ∴，，，，，()10,1,2GB =- ()2,2,0AC =- ()10,0,2CC = ()12,0,2BC = ()10,2,2AB =- 设平面ACC 1A 1的法向量为(),,n x y z = 则有，令x ＝1，则， 122020n AC x y n CC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ()1,1,0n =r 则，111cos ,n GB n GB n GB ⋅=== ∴与平面，A 错误； 1GB 11ACC A∵， 1111111cos ,2BC AB BC AB BC AB ⋅=== ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为，则夹角为，B 正确； 12π3如图2：连接，设，连接OF ，1EF BE B M ，，1BE B M O =E 、M 分别为的中点，则且，11B C BC ，1//B E BM 1B E BM =∴为平行四边形，则O 为的中点，1EMBB 1MB 又∵F 为的中点，则，11A B 1//OF A M平面EFB ，平面EFB ，OF ⊂1A M Ë∴平面EFB ，C 正确；1//A M 由题可知平面即为平面，1A MC 1A BC 由题意可得：，1BC AB BC BB ⊥⊥，又，平面， 1AB BB B Ç=AB ，1BB ⊂11ABB A ∴平面，BC ⊥11ABB A 平面，则，1AB ⊂11ABB A 1BC AB ⊥又∵为正方形，则，11ABB A 11A B AB ⊥又，平面，1BC A B B ⋂=,BC 1A B ⊂1A BC 所以平面，平面，1AB ⊥1A BC 1AB ⊂1AB C ∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D 正确.1AB C 1A BC 1AB C 1A MC 故选：BCD ．12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A ，与半椭圆()3,0F ()0y t t =>交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A B ．点关于直线的对称点在半圆上 F 12y x =C ．面积的最大值是 ABF △)914D ．线段AB 长度的取值范围是(0,3+【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；求出关于直线F的对称点即可判断B ；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，12y x =,A B ABF △判断C ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断D ；【详解】由题意得半圆的方程为，()22+90x y x =≤设椭圆的方程为， ()222210,0x y a b x a b+=>>≥所以 ，所以， 33b c =⎧⎨=⎩218a =a =所以椭圆的方程为． ()2210189x y x +=≥A ．椭圆的离心率是，故A 正确； c e a ===B ．设关于直线的对称点为， ()3,0F 12y x =(),m n 可得且， 23n m =--113222m n +=⨯解得，即对称点为， 912,55m n ==912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭因为半圆的方程为，()22+90x y x =≤所以对称点为不在半圆上，故B 错误； 912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．由题得面积， ABF △1||2S AB t =⨯设，())22111,,9,03A x t x t x t ∴+=∴=<<设 ()22222,,1,189x t B x t x ∴+=∴所以，||AB =所以12S t t =⨯=，当且仅当时等号成立，故C 正确； )914≤=t =D ．当时，时，，0t →||3AB →+3t →||0AB →所以线段AB 长度的取值范围是，故D 正确；(0,3+故选：ACD.三、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =()5,0曲线的标准方程为__________.C 【答案】 221916x y -=【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解. 43b a =5c =a b 【详解】双曲线的渐近线方程为， ()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =可得，其右焦点为，可得，又， 43b a =()5,05c =222c a b =+解得，，3a =4b =则双曲线的方程为：． C 221916x y -=故答案为：． 221916x y -=14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过112AA =AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点.当底面ABC 水平放置时，液面高为__________.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC 水平放置时，液面高度.【详解】设的面积为x ，底面ABC 水平放置时，液面高为hABC A 则水的体积为 1121294V x x x =-⨯=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，解得9V x h x =⋅=9h =故答案为:9 15．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.【答案】 67【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.D B C =⋃【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D 为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，D B C =⋃B C 又，，， ()11223225710C C C P A C +==()122515C P AB C ==()11222525C C P AC C ==故. ()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=故答案为：. 67【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法： （1）；()()()P AB P B A P A =（2）；()()()n AB P B A n A =（3）转化为古典概型求解.四、双空题16．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数()2nn x *⎫+∈⎪⎭N n =最大的项________． 【答案】 9925376x -【分析】由题意得：，得，又二项式的展开式通项为：()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n =，得即可解决. 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩【详解】由题意得：，解得：或，()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n=10-因为，n *∈N 所以（舍去），从而， 10n =-9n =因为二项式的展开式通项为：， 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭所以系数为，要求其最大值，9C 2rr⋅所以只要满足，即， 11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩()()()()()()119!9!22!9!1!10!9!9!22!9!1!8!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+-⎩解得：， 172033r ≤≤因为， r ∈N 所以，6r =所以系数最大项为69362792C 5376T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：9；925376x -五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知圆：．xOy C 22(1)(2)9x y ++-=(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程； l 10kx y k -+-=C M M (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值． C ()11,P x y C Q PQ PO=PQ 【答案】(1)； 210x y --=【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直l ()1,1M CM 线即可；（2）根据题意得到，即，即，化简22||9PQ PC =-22||9PO PC =-22221111(1)(2)9x y x y +=++--得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值. P 220x y --=O PO 【详解】（1）直线的方程变形为，l ()()110k x y -+-=令，解得，1010x y -=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩所以无论取何值，直线过定点， k l ()1,1M 又因为圆的圆心，C ()1,2C -因为过点的最短弦与垂直，且直线CM 的斜率， M CM 211112CM k -==---所以最短弦所在直线的斜率为，2故最短弦的直线方程为，即；()121y x -=-210x y --=（2）由于，2222||||9PC PQ r PQ =+=+所以，22||9PQ PC =-又，PQ PO =所以，22||9PO PC =-所以，化简得，22221111(1)(2)9x y x y +=++--11220x y --=所以点的轨迹方程为， P 220x y --=因为，PQ PO =所以取得最小值，即取得最小值， PQ PO点到直线的距离 O 220x y --=d即的最小值为．PQ 18．甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，23，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为()01p p <<. 295p (1)求的值；p (2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.【答案】(1)35(2) 1930【分析】（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得.【详解】（1）由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，若乙，丙采用“三局两()01p p <<胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局21=p p 且第三局丙胜，概率为，所以丙获胜的概率为，计算得1222(1)p p p =-C 2122C (1)p p p +-=295p p =. 35（2）设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，事件为：丙比赛获胜，则1A 2A B ，，，，所以()112P A =()212P A =()123P A B =()235P A B =.()()()()()1122121319==232530P B P A P B A P A P B A =+⨯+⨯19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且X Y 和的分布列如下表：X YX 0 1 2P 35 110 310Y 012P1231015试对这两名工人的技术水平进行比较． 【答案】乙的技术更稳定．【分析】根据分布列分别求甲和乙的期望和方差，再进行比较. 【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为 X ，()3130120.751010E X =⨯+⨯+⨯=．()()()()22231300.710.720.70.8151010D X =-⨯+-⨯+-⨯=工人乙生产出次品数的均值和方差分别为 Y ，()1310120.72105E Y =⨯+⨯+⨯=．()()()()22213100.710.720.70.612105D Y =-⨯+-⨯+-⨯=由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技()()E X E Y =()()D X Y D >术更稳定．20．如图，在四棱锥中，平面平面，是P ABCD -PAD ⊥,2,4,ABCD PA AD BD AB ====BD的平分线，且.ADC ∠BD BC ⊥(1)若点为棱的中点，证明：平面；E PC BE A PAD (2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值. P AB D --60 PBD PCD 【答案】(1)证明见解析.(2). 35【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；,CB DA F PF BE PF ∥(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.AD O 【详解】（1）延长交于点，连接， ,CB DA F PF 在中，CDF A 是的平分线，且， BD Q ADC ∠BD BC ⊥是等腰三角形，点是的中点，∴CDF A B CF 又是的中点，E PC ，BE PF ∴∥又平面平面，PF ⊂,PAD BE ⊄PAD 直线平面.∴BE A PAD（2）在中，， ABD △2,4,AD BD AB ===则，即，90BAD ∠=BA AD ⊥由已知得， 60,8BDC BDA CD ∠∠=== 又平面平面平面 PAD ⊥,ABCD BA ⊂ABCD 所以平面，即，BA ⊥PAD BA PA ⊥所以以为二面角的平面角，PAD ∠P AB D --所以，60PAD ∠= 又，所以为正三角形，2PA AD ==PAD A 取的中点为，连，则平面 AD O OP ,OP AD OP ⊥⊥,ABCD 如图建立空间直角坐标系，则，()()()()(1,0,0,1,,5,,1,0,0,A B C D P --所以，(()(),2,,4,DP BD DC ==--=- 设分别为平面和平面的法向量，则()()111222,,,,,m x y z n x y z ==PBD PCD ，即，取，则，00m DP m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩1111020x x ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩11y =-)1,1m =-- ，即，取，则，00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222040x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩21y=)1n =- 所以.3cos ,5m n m n m n ⋅==⋅则平面和平面所成夹角的余弦值为.PBD PCD 3521．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数 51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；X X （2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为，然后依次求出、、a 38a =39a =40a =、、时的工资以及概率，即可列出的分布列并求出数学期望；41a =42a =X p X （2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为， a 当时，，； 38a =386228X =⨯=515010p ==当时，，； 39a =396234X =⨯=101505p ==当时，，； 40a =406240X =⨯=101505p ==当时，，； 41a =40617247X =⨯+⨯=202505p ==当时，，， 42a =40627254X =⨯+⨯=515010p ==故的所有可能取值为、、、、， X 228234240247254故的分布列为：XX 228 234 240 247 254P 110 15 1525110故. 11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则甲公司送餐员日平均工资为元，80439.7238.8+⨯=因为乙公司送餐员日平均工资为元，， 241.8238.8241.8<所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.22．已知点，点M 是圆A ：上任意一点，线段MB 的垂直平分线交半径MA()10B ,()22116x y ++=于点P ，当点M 在圆A 上运动时，记P 点的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)作轴，交轨迹E 于点Q （Q 点在x 轴的上方），直线与轨迹E 交于BQ x ⊥():,l x my n m n =+∈R C 、D （l 不过Q 点）两点，若CQ 和DQ 关于直线BQ 对称，试求m 的值.【答案】(1)22143x y +=(2) 2m =【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E 的方程；（2）先将直线的方程与轨迹E 的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到l 0CQ DQ k k +=的关系式，从而求得m 的值.m n 、【详解】（1）圆的圆心，半径，()22:116A x y ++=()1,0A -4r =点为线段的垂直平分线与半径的交点，，P MB MA PM PB ∴=，42PA PB PA PM AM AB ∴+=+==>=点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，P ∴E A B ()222210x y a b a b +=>>则，，所以，，24a =22c =2a =1c =b =因此，轨迹的方程为.E 22143x y +=（2）设、，轴，点在轴的上方，()11,C x y ()22,D x y BQ x ⊥ Q x 将代入方程，可得，则， 1x =22143x y +=32y =±31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立可得， 223412x my n x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mny n +++-=，可得，()()222236123440m n m n ∆=-+->2234n m <+由韦达定可得，. 122634mn y y m +=-+212231234n y y m -=+因为、关于直线对称，则，CQ DQ BQ 0CQ DQ k k +=则，()()1212211233332201101122y y x y x y x x --⎛⎫⎛⎫+=⇒--+--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又，，11x my n =+22x my n =+则，()12123213302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭即， 222312362133034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅--+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭化简得： ，即()2328440m n m n +--+=()()23220m m n -+-=则或，2m =3220m n +-=当时，，3220m n +-=312n m =-此时，直线的方程为，l 331122x my m m y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭直线过点，不合题意.l 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，.2m =。
2022-2023学年北京大学附属中学高二上学期期末考复习数学试卷(2)含详解
期末复习二一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （）A .1- B.1C.3- D.32.已知直线20l y ++=，下列说法中正确的是（）A.直线l 的倾斜角为120︒B.(是直线l 的一个方向向量C.直线lD.)1-是直线l 的一个法向量3.的是（）A.22142x y += B.221x y -= C.2213y x -= D.24y x=4.设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,5.若直线l ：0x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则下列说法中错误的是（）A.抛物线的焦点为()2,0B.2m =C.抛物线的准线为4x =- D.16AB =6.下列关于圆C ：22(1)4x y +-=的说法中正确的个数为（）①圆C 的圆心为(0,1)C ，半径为2②直线l ：3410x y -+=与圆C 相交③圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交④过点2)作圆C 50y --=A.1B.2C.3D.47.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点，且|AB |=4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（）A.到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线B.到,A B 两点距离之比等于2的点的轨迹是圆C.到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆D.到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线8.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为（）A.25144 B.512C.1320D.159.已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，则下列说法中错误的个数为（）①椭圆的短轴长为；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率恰好为椭圆C 1离心率的两倍；④ PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形.A.0B.1C.2D.310.已知动圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，若直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则圆C 的面积（）A.有最小值为16π9B.有最大值为16π9C.有最小值为16πD.有最大值为16π二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.若直线l 与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l 的方程：________.12.与双曲线224312y x -=有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为_________.13.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，1B ，2B 为椭圆的上、下顶点，若四边形1122F B F B 是一个正方形，则椭圆的离心率为__________.14.过点()2,5作圆22:(1)4C x y +-=的切线，则切线方程为__________.15.已知O 为坐标原点，抛物线的焦点F 在x 轴上，且过点(1,2)-，P 为抛物线上一点，||3PF =，则抛物线的标准方程为___________，OPF △的面积为_____________.16.若点()2,0到直线l 的距离小于1，则在下列曲线中：①28y x =；②()2234x y -+=；③22195x y +=；④2213y x -=；与直线l 一定有公共点的曲线的序号是_________.(写出你认为正确的所有序号)三、解答题（共3题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.19.已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B .（1）记AFO V 和BFO V 的面积分别为12,S S ，若212S S =，求直线l 的方程；（2）判断在x 轴上是否存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，并说明理由.期末复习二一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （）A.1-B.1C.3- D.3C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.2.已知直线20l y ++=，下列说法中正确的是（）A.直线l 的倾斜角为120︒B.(是直线l 的一个方向向量C.直线lD.)1-是直线l 的一个法向量A【分析】先根据方程得斜率，进而得到直线的倾斜角，以及方向向量和方法向量，从而判断各选项.【详解】因为直线:20l y ++=，所以斜率k =120︒，故A 正确，C 不正确；因为直线l 经过点()0,2A -，()B ，所以直线l 的一个方向向量为()AB =，因向量(与()AB =不共线，故(不是直线l 的一个方向向量，故B 不正确；又因为)13360AB -⋅=--=-≠，所以)1-不是直线l 的一个法向量，故D 不正确.故选：A.3.的是（）A.22142x y += B.221x y -= C.2213y x -= D.24y x=B【分析】根据标准方程逐个求出离心率，即可得到.【详解】对于A ：22142x y +=中2,a b c ===22c e a ==，所以A 错误；对于B ：221x y -=中1,1,a b c ====，则ce a==B 正确；对于C ：2213y x -=中1,2a b c ===，则2c e a ==，所以C 错误；对于D ：24y x =中1e =，所以D 错误；故选：B4.设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,C【详解】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C点睛：这是一道关于充分条件和必要条件判断的题目．考查的主要是充分条件，必要条件，熟练掌握掌握充分条件和必要条件的判定方法．本题中，利用直线平行的条件是解决问题的关键．5.若直线l ：0x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则下列说法中错误的是（）A.抛物线的焦点为()2,0B.2m =C.抛物线的准线为4x =-D.16AB =C【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，将焦点坐标代入直线方程求出实数m ，将直线方程与抛物线方程联立，求出焦点弦长，依次判断选项即可.【详解】设抛物线方程为22y px =（0p >），则焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2px =-，∵抛物线方程为28y x =，∴4p =，22p=，∴抛物线的焦点坐标()2,0F ，准线方程为2x =-，将焦点()2,0F 代入直线l 的方程：0x y m --=得200m --=，∴2m =，∴直线l 的方程为20x y --=，设直线l 与抛物线28y x =两交点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，点A ，B 到准线的距离分别为A d ，B d ，由2820y x x y ⎧=⎨--=⎩消去y ，化简得21240x x -+=（0∆>），∴1212x x +=，∴由抛物线的定义，12A p AF d x ==+，22B p BF d x ==+，∴1212416AB AF BF x x p =+=++=+=.对于A ，抛物线的焦点坐标()2,0F ，选项A 正确；对于B ，实数m 的值为2m =，选项B 正确；对于C ，抛物线的准线方程为2x =-，选项C 错误；对于D ，弦长16AB =，选项D 正确，故以上说法中，错误的是C 选项.故选：C.6.下列关于圆C ：22(1)4x y +-=的说法中正确的个数为（）①圆C 的圆心为(0,1)C ，半径为2②直线l ：3410x y -+=与圆C 相交③圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交④过点2)作圆C 50y --=A.1 B.2C.3D.4C【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点2)在圆C ，可知点2)在圆C ，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确.【详解】对于①，由22(1)4x y +-=可知，圆心为(0,1)C ，半径为2，故①正确；对于②，圆心(0,1)C 到直线3410x y -+=的距离35d ==2<，所以直线l ：3410x y -+=与圆C 相交，故②正确；对于③，圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=的圆心1(1,2)C -，半径为3，因为圆心距1||CC ==，且3232-<<+，所以圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交，故③正确；对于④，因为点2)在圆C ：22(1)4x y +-=上，所以点2)为切点，所以切点与圆心C3=，所以切线的斜率为，所以切线方程为：2y x -=-50y +-=，故④不正确.故选：C7.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点，且|AB |=4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（）A.到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线B.到,A B 两点距离之比等于2的点的轨迹是圆C.到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆D.到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线D【分析】判断到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断C,D .【详解】对于A ，到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，正确；对于B ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()2,0,2,0A B -，设动点(,)P x y ，由题意知||2||PA PB =,2=，化简为221064(39x y -+=，即此时点的轨迹为圆，B 正确；对于C ，不妨设动点P 到,A B 两点距离之和等于5，即5PA PB +=，由于54>，故到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，C 正确；对于D ，设动点P 到,A B 两点距离之差等于3，即||||3-=PA PB ,由于34<，故到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线靠近B 侧的一支，D 错误，故选：D8.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为（）A.25144 B.512C.1320D.10515B【分析】过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM AB ⊥于点N ，连接PN ，则PN 即为所求，【详解】解：如图，过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM AB ⊥于点N ，连接PN ，则PN 即为所求，因为满足1311534AP AB AD AA =++，所以35AN =，13MN =，14MP =，所以512PN ==，故选：B ．【点睛】本题考查了求点到直线的距离的方法，属于基础题．9.已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，则下列说法中错误的个数为（）①椭圆的短轴长为；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率恰好为椭圆C 1离心率的两倍；④ PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形.A.0 B.1C.2D.3A【分析】根据椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，求得m ,n ,再逐项判断.【详解】解：因为椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，所以2216949m n ⎧-=⎨+=⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩则①椭圆的短轴长为，故正确；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率32e =，椭圆C 1离心率的34e =，故正确；④由22221167145x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得833P ⎛ ⎝⎭，则16PF =，211222,6PF a PF F F =-==，所以 PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形，故正确.故选：A10.已知动圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，若直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则圆C 的面积（）A.有最小值为16π9B.有最大值为16π9C.有最小值为16πD.有最大值为16πD【分析】已知直线:50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则直线l 与圆相切或相离，而圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，则直线l 与圆相切时圆最大，直线l 与圆相离时圆最小，数形结合求出半径即可得到圆C 的面积.【详解】解：已知直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则直线l 与圆相切或相离，当直线l 与圆相离时圆最小，满足经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切的圆如图所示，此时以原点O 为圆心，1为半径，圆C 的面积2min π1πS =⋅=，故A ，C 选项错误；当直线l 与圆相切时圆最大，满足经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切的圆如图所示，此时直线l 与直线1y =-为圆2C 的公切线，则圆心需在两直线所成角的角平分线上，因为直线l 60︒，所以角平分线的倾斜角为30︒，斜率为33，联立501y y -+==-⎪⎩，可得63,13A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭所以角平分线的方程为133y x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即13y x =+，恰好点1(0)F ，在角平分线上，则222r AF r =+，所以222224r r r r ===+，解得24r =，圆C 的面积2max π416πS =⋅=，故B 选项错误；故选：D.二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.若直线l 与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l 的方程：________.112y x =--（答案不唯一）【详解】由直线l 与直线210x y --=垂直，设直线l 的方程为12y x c =-+∵直线l 不经过第一象限∴0c ≤∴可令1c =-，即直线l 的方程为112y x =--故答案为112y x =--（答案不唯一）.12.与双曲线224312y x -=有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为_________.22129x y +=【分析】双曲线化为标准形式，求出焦点，即可由共焦点进一步求出椭圆短半轴，即可求得标准方程.【详解】224312y x -=即22134y x -=，焦点为(0,，椭圆长轴26a =，即3a =，故短半轴b ==22129x y +=.故答案为：22129x y +=.13.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，1B ，2B 为椭圆的上、下顶点，若四边形1122F B F B 是一个正方形，则椭圆的离心率为__________.22【分析】四边形1122F B F B 是个正方形，则其对角线12F F 与12B B 相等，即22c b =，由此结合a ，b ，c 的关系，即可求出离心率.【详解】∵四边形1122F B F B 是一个正方形，∴正方形1122F B F B 的对角线相等，1212F F B B =，∵焦距122F F c =，短轴长122B B b =，∴22c b =即c b =，∴a ===，∴离心率22c e a ===.故答案为：2.14.过点()2,5作圆22:(1)4C x y +-=的切线，则切线方程为__________.2x =或34140x y -+=【分析】当斜率不存在时，检验即可；当斜率存在时，设出直线，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆22:(1)4C x y +-=的圆心为()0,1，半径2r =过点()2,5的直线，当斜率不存在时，直线方程为2x =，符合与圆C 相切；当斜率存在时，设直线方程为()25y k x =-+，即250kx y k --+=，2=，解得34k =，此时直线方程为34140x y -+=.故答案为：2x =或34140x y -+=.15.已知O 为坐标原点，抛物线的焦点F 在x 轴上，且过点(1,2)-，P 为抛物线上一点，||3PF =，则抛物线的标准方程为___________，OPF △的面积为_____________.①.24y x =②.【分析】设抛物线方程为22y ax =(0)a ≠，将点(1,2)-代入求出a ，可得抛物线的标准方程；设00(,)P x y ，根据||3PF =以及抛物线的定义求出0x 和0y ，根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】依题意，设抛物线方程为22y ax =(0)a ≠，因为抛物线过点(1,2)-，所以2(2)2a -=，所以2a =，所以抛物线的标准方程为：24y x =.由24y x =可知，准线方程为：=1x -，设00(,)P x y ，则0||1PF x =+，因为||3PF =，所以013x +=，即02x =.所以2004428y x ==⨯=，所以0||y =，所以OPF △的面积为：011||||122OF y ⋅=⨯⨯=.故答案为：24y x =.16.若点()2,0到直线l 的距离小于1，则在下列曲线中：①28y x =；②()2234x y -+=；③22195x y +=；④2213y x -=；与直线l 一定有公共点的曲线的序号是_________.(写出你认为正确的所有序号)①②③④【分析】将问题转化为直线l 必经过圆()2221x y -+=的内的点，分别作出每个选项与圆()2221x y -+=的图象，根据包含关系可确定结果.【详解】若点()2,0到直线l 的距离小于1，则直线l 必经过以()2,0为圆心，1为半径的圆的内部，即直线l 必经过圆()2221x y -+=的内的点；对于①，作出28y x =与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与28y x =都有交点，①正确；对于②，作出()2234x y -+=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与()2234x y -+=都有交点，②正确；对于③，作出22195x y +=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与22195x y +=都有交点，③正确；对于④，作出2213y x -=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与2213y x -=都有交点，④正确.故答案为：①②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中各种曲线图象之间的关系，解题关键是能够将问题转化为经过圆内部的点的直线与曲线永远有公共点，从而根据曲线方程作出图象，根据图象包含关系来确定结果.三、解答题（共3题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.(1)证明见解析；(2)1010.【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面PAB 内找一条直线与MN 平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角．【详解】(1)在四棱锥P ABCD -中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，因为M 是PD 的中点，所以EM AD ，且12EM AD =．又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点，所以BN AD ∥，且12=BN AD ，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形MNBE 是平行四边形．所以MN BE ∥．由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以可以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ，(0,1,1)M ,(2,1,0)N ．(2,2,2),(2,0,0)PC CD →→=-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩，令1y =，则=1z ，所以(0,1,1)m = ．(2,0,1)MN =- ，设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，有：sin cos ,MN m θ= =MN m MN m⋅⋅10．所以直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为1010．【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.（1）22143x y +=（2）证明见解析，定值为6【分析】（1）根据24AB a ==、离心率和椭圆,,a b c 之间关系可直接求得结果；（2）设(),P m n ，可得直线,PA PB 方程，进而确定,M N 两点坐标，设椭圆右焦点为F ，利用平面向量数量积的坐标运算可证得FM FN ⊥，可知以MN 为直径的圆过点()1,0F ，由此可确定线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长.【小问1详解】由题意知：24AB a ==，解得：2a =，又离心率12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】由（1）得：()2,0A -，()2,0B ，设(),P m n ，则223412m n +=，即224123n m =-；直线():22n PA y x m =++，直线():22n PB y x m =--，M ∴点纵坐标62M n y m =+，N 点纵坐标22N n y m =-，即64,2n M m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，24,2n N m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又椭圆右焦点为()1,0F ，63,2n FM m ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭ ，23,2n FN m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()()22222231239412999990444m m n FM FN m m m --∴⋅=+=+=+=-=--- ，即FM FN ⊥，∴以MN 为直径的圆过点()1,0F ，又圆心横坐标为4，∴以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为()2416⨯-=.即以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值6.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，本题求解定值问题的关键是能够利用平面向量数量积的坐标运算说明椭圆右焦点即为所求圆与x 轴的其中的一个交点，由圆的对称性可确定定值.19.已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B .（1）记AFO V 和BFO V 的面积分别为12,S S ，若212S S =，求直线l 的方程；（2）判断在x 轴上是否存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，并说明理由.（1）440x -=；（2）不存在，理由见详解.【分析】（1）设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理及212y y =-计算可得答案；（2）假设存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，根据抛物线的性质推出OA OB ⊥不成立，则可得不存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形.【小问1详解】设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y ty --=，得124y y t +=①，124y y =-②，又因为212S S =，则212y y =-③由①②③解得24t =±，即直线l 的方程为14x y =±+，即440x ±-=【小问2详解】假设存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，则,OM AB 互相平分所以线段AB 的中点在x 上，则AB x ⊥轴，此时()()1,2,1,2A B -41OA OB k k ∴=-≠-则OA OB ⊥不成立.故在x 轴上不存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形。