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f :x y xD
或
y f x x D
数集D叫做函数f的定义域，称x为自变量，按照法则f，x所 对应的数y称为f在x点的函数值，全体函数值的集合
W f D y y f x, xD
称为函数f 的值域。
采用如上函数的记号，要注意区别函数与函数值，函数 y = f (x)
o
(
a
x·
)
b
x
图1.11
函数也不必一定在坐标平面上表示为一条曲线，例如著名的
狄利克雷函数：
1 (x为有理数) y 0 (x为无理数) 它符合函数的定义，但不存在解析表达式，也无法绘制图形。
下面再举几个常用的函数作为例子，以便加深对函数概念的 理解。
例6
函数
y
x
x, x,
数,其定义域是[-1,1],值域是[0,π]，并在定义域上单调递减,如图1.10。
y=arctanx是正切函数y=tanx在区间(
2
,2
)内的反函数,叫做
反正切函数,其定义域为(－∞,+∞),值域是(


2
,
),并在定义域上
2
单调递增。
y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,π)内的反函数,叫做反余切
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第二讲
主讲：杨荣 副教授
记为

a,


。或称为 a 点的δ去心邻域。
例1 求函数 y
1
的定义域
x2 x 2
例2 求函数 f (x) = x2－3x＋5 在 x＝2 , x＝ x0＋1，x＝ x0＋h各点的函
数值。 例3 例4
设有两个函数 f (x) = sinx和 g(x) xsin x，它们是否相等？ x
函数的对应关系不必一定是一个解析式，坐标平面中的许多曲 线，不一定能用解析式表示，但它可以表示为一个函数。
以 x为横坐标，为 y 纵坐标就在 xoy
y
平面上确定一点(x, y)，若 x取遍D中每一
个数值，就得到点(x, y)的集合C：
f (x)
y = f (x)
·
C {(x, y) y f (x), x D} C 称为函数的图形。如图1.11 .
在 x0 ∈D 的函数值记为 f (x0)或 y xx0 .
只有 x0 ∈D时，才有对应的函数值，这时称函数 f (x)在 x0 有 定义，否则称 f (x)在 x0 无定义。
在同时出现多个不同函数的场合，可以用各种字母，如：f、
g、F、G、 、 等分别表示。
上述定义中所说的函数只有一个自变量，这样的函数就称为一 元函数。
微积分学所讲述的具体内容为： 第一章 函数与极限 第二章 导数及其应用 第三章 一元函数的积分学 第四章 常微分方程的基础知识
第一章 函数与极限
§1 函数
1.1 函数概念
定义1 设x 和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对D 中每一个数x，按照一定的法则f，总有惟一确定的数值y与之对应， 则称f是D上的一个函数，记为：
其中自变量要用弧度做单位来表达。
正弦函数 y sin x 的定义域 D , ，它是以2π为周期
的周期函数，且 sin x 1 ，其图形在直线 y 1 之间。
y sin x
是奇函数，且在


2
,

2

上单调递增，如图1.6。
y
y cosx
y sin x
有时变量 x只需在 a 点附近变化，δ为一个小正数，称开区间
（a-δ，a+δ）为以a为中心、δ为半径的邻域，记为 a即,
a, {x x a
而把集合 x 0 x a 称为以 a 为中心、δ为半径的去心邻域，
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学时：64
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第一讲
主讲：杨荣 副教授
微积分学
初等数学研究的对象是不变的量——常量，微积分 学则以变量为研究对象。
对于文科大学生，微积分学是比较重要的基础课之 一，它主要立足培养学生严密的逻辑思维能力、抽象思 维能力。对于文科学生来说，培养一定的理性思维对专 业的发展有很大的益处。
· ·
o
·
·

·x
2
2
图 1.6
余弦函数 y cosx 的定义域为 , ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ也以为2π周期，
因为 cosx 1 ，所以，其图形也在直线 y 1之间。y cosx 是
偶函数，且在[0，π]上单调递减。如图1.6。
正切函数
y

tan
x
的定义域D
{x
,
x

k
y=c
o
x
图 1.1
y=x
1·
图 1.3
y=x-1 y=x-2
x
3. 指数函数
y ax a 0, a 1 ，它的定义域 D , ，值域W 0,，
其图形均过（0，1）点。当a >1时，ax 为单调递增函数，当0< a <1 时， ax 为单调递减函数，如图1.4所示。
y
y log a x(a 1)
0 1·
x
y log a x(a 1)
图 1.5
函数 y e x 的反函数 y log e x 为简记为 y ln x ，称为自然对数。
5. 三角函数 我们现在只介绍四个基本的三角函数。
y sin x y cosx
y tan x y cot x
22
弦函数。其定义域是[-1,1]，值域是[


2
,

2
]
，并在定义域上单调
递增，如图1.9。
y
·
2
· 1
o
· 2
y arcsin x
1x
y
· y arccosx

·2
· 1 o 1 x
图 1.9
图 1.10
y=arccosx是余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函
函数,其定义域为(-∞,+∞),值域是(0,π),并在定义域上单调递减的。
我们称以上各函数为基本初等函数，以后将用这些函数构造
出各种解析式，这种以解析式表示的函数是微积分计算的主体的
内容。中学课本中我们称使一个解析式有意义的点的全体为定义
域，例如y=sinx，x∈(－∞,+∞)。但是现在我们称这种区域为存在
（0，c）且平行于x 轴的直线，如图1.1。
2. 幂函数
y
y xa a为常数 ，它的定义域随不同
的a而异，但无论a 为何值，在(0,＋∞) 内 幂函数总是有定义的。其图形过点(1，1)，
a>0和a<0时的图形分别如图1.2和图1.3。
y=x
y
y=x2
y
1·
y x
1·
0
1· x
0
图 1.2
c
y a >1
· 1
y ax
a <1
0
x
图 1.4
在下一节将介绍一个特殊的无理数 e, e 2.71828 。在科学技术
中时常会用到以e为底的指数函数 y e x 。
4. 对数函数
y loga xa 0, a 1，对数函数是指数函数的反函数。其定义域
D 0, 其图形均过(1,0)点，当a >1时，log a x 为单调递增函数。 当0<a <1时，log a x 为单调递减函数。如图1.5。
x 0, x 0.
其定义域D = (－ ∞, ＋ ∞)，值域W = (0, ＋ ∞)，
它的图形如图1.12。
y y x
o
x
例7 函数 y＝[x],
图1.12
[x] :表示不超过 x 的最大整数。例如：[0.5]=0，[－ 3.5]= － 4,[ 2 ] = 1通常称 y＝[x]为取整函数。它的定义域D = (－ ∞, ＋ ∞) ，值域W＝Z
一元函数的定义域常用区间表示。
区间是微积分中常用到的数集，包括四种有限区间和 五种无穷区间，它们的名称、记号和定义如下：
设a，b是两个实数，且 a < b
a,b x a x b
a,b x a x b
分别称为开区间 a,b 和闭区间 a,b 。
类似地，a,b x a x b , a,b x a x b称为半

π 2
,
k

0,1,
2,} 它是以π为周期的周期函数。因为 tan x tan x，故
为奇函数。如图1.7。
余切函数 y cot x 的定义域 D {x , x k, k 0,1,2,}
也为周期函数，周期为π，且为奇函数。如图1.8。
y
y tan x
已知函数
2x, 1 x 0
f
(x)


2
,
0 x1

x
1,
1 x3
求 f (2) ， f (0.5) ， f (－0.5)及 f (x) 的定义域。
下面我们回顾一下中学时学过的一些函数。 1. 常数函数
y＝c（c为常数）；D = (－∞,＋∞)，W＝{C}，其图形为过点
开半闭 区间。而
a, x x a
a, x x a
, b x x b
, b x x b
, x x R
都称为无穷区间。 其中a , b∈R ，分别称为区间的左端点和右端点 ；＋∞和－∞分别读 作“正无穷大”和“负无穷大”，它们不表示数值，仅仅是记号。在 有限区间情况，称b－a为区间长度。有时候，在不一定要指明区间是 开的或闭的，以及有限的或无限的场合，我们就简单地称之为区间， 并且常用字母 I 来表示。