高一下学期数学期末试卷(含答案)
高一数学下学期期末考试第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数积化和差公式 三角函数和差化积公式sin αcos ρ=21[sin(α+ρ)+sin(α﹣ρ)] sin α+sin ρ=2sin 2+ραcos 2ραcos αsin ρ=21[sin(α+ρ)﹣sin(α﹣ρ)] sin α﹣sin ρ=2cos 2+ραsin 2ραcos αcos ρ=21[cos(α+ρ)+cos(α﹣ρ)] cos α﹣cos ρ=2cos 2+ραcos 2ραsin αsin ρ=－21[cos(α+ρ)－sin(α﹣ρ)] cos α﹣cos ρ=--2sin 2+ραsin 2ραy=Asin ωx+Bcos ωx=22+B A sin(ωx+θ)，其中cos θ=22+BA A ，sin θ=22+BA B θ∈[)π2,0一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．已知点（3，4）在角α的终边上，则sin α+cos α+tan α的值为A 、37 B 、73 C 、2043 D 、1541 2．用sin 34π，cos 65π，tan 4π，cot 43π，2sin 3π·cos 3π作为集合A 中的元素，则集合A 中元素的个数为A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3．已知|a|=8, |b|=6, 向量a 、b 所夹角为120°,则|a ﹣b|为 A 、237 B 、37 C 、213 D 、134．已知集合M={a|a=2k π k ∈z} P={a|a=(2k+1)π k ∈z)} Q={a|a=(4k+1)π k ∈z} a ∈M, b ∈P 则a+b ∈（ ）A 、MB 、PC 、QD 、不确定5．若非零向量a 、b ，a 不平行b,且|a|=|b|，那么向量a+b 与a ﹣b 的关系是 A 、相等 B 、相交且不垂直 C 、垂直 D 、不确定 6．下列命题中正确的是 ①|a·b|=|a||b| ②(ab)2=a 2·b 2 ③a ⊥(b －c)则ab －ac=0 ④a·b=0,则|a+b|=|a －b| A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、②④7．在△ABC 中，∠B 为一内角，sinB －cosB>0, cotB<cosB, 则△ABC 为A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等边三角形 8．下列不等式正确的是 A 、sin21<cos 31 B 、sin 21≤cos 31 C 、sin 21>cos 31 D 、sin 21≥cos 31 9．如图扇形ABB 1A 1的中心角APB=θ，θ∈（0，2π），设PA 1=x, AA 1=L, 给出下列四个结论①θ=x L AB x B A +=11 ②AB<AB ③θ=LB A AB 11- ④S 扇环A BB 1A 1=2θ(L 2+2Lx)其中正确的个数 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个10．有向线段AB 上有异于A 、B 的100个等分点P 1P 2……P 100，则Pi(i=1、2、3…100)分有向线段AB 的比λ的最大值与最小值分别为 A 、101，1021 B 、101，1011 C 、100，1001 D 、99，991 11．若函数y=cos(2x －3π)+1的图像按a =(h·k), (h>0, 且h 为最小角)平移后得到的图形是函数y=cos2x 的图像，那么a =（ ） A 、a =（6π，1） B 、a =（6π，1） C 、a =（6π，-1） D 、a =（65π，-1） 12．已知cos α=23cos 2α+cos 2β，则sin 2α+sin 2β的范围为 A 、[23，+∞） B 、[2，27] C 、[23、27] D 、[914，2]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 13．若sin 2β=169，β为第二象限角，则tan2β=_________。
14．若OA =（1，0），OB =（1+3，1），OC =（1，2），则△ABC 的形状为______。
15．已知函数f(x)=x 2，那么21[f(a)+f(b)]与f(2+b a )的大小关系为_______________，化简后为_____________。
16．如图（一）边长为3的正方形中，有16个交点，从中任取2个组成向量，则与AC 平︵︵︵ ︵︵行且长度为22的向量个数f(3)=8.如图（二）边长为4的正方形中，有25个交点，从中任取2个组成的向量与向量AC 平行且长度为32的向量个数f(4)=____________。
三、解答题（本大题共6小题，17题至21题每题12分，22题14分，共74分） 注意事项：要求写出必要的推理、证明、演算的过程。
17．（本题12分）已知在△ABC 中，tanA=-41 （1）求∠A （可用反三角表示）； （2）求AA A 2cos cos sin 21的值。
18．（本题12分）如图：在直角坐标系中OA =a, OB =b ，M 为平面内的一点，M 关于A 的对称点S ，S 关于B 的对称点为N 。
（1）试用a,b 表示向量MN ；（2）若A 、B 是动点，且OA =(cos α,sin α)， OB =(2cos β,2sin β)，求|MN |的取值范围。
19．（本题12分）若a 、b 、c ∈R ，且a=x 2－2y+2π,b=y 2+3π,c=z 2－2x+6π,求证：a 、b 、c 中至少有一个大于零。
20．（本题12分）已知|OA |=|OB |=1，OA ，OB 的夹角为120°。
（1）若四边形OACB 为平行四边表，试用OA 、OB 表示OC ，并求|OC |； （2）若|OC |=5，OC 与OA 的夹角为30°，试用OA ，OB 表示OC 。
21．（本题12分）已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx,(A,B, ω∈R 且ω>0)，若f(x)的最小正周期为1，且当x=121时f(x)取得最大值2。
（1）求f(x)的解析式；（2）在[0，1）内求f(x)的单调区间，并说明单调性； （3）在区间[613，3]上是否存在对称轴，若存在请求出对称轴方程，若不存在，请说明理由。
22．（本题满分14分）如图：扇形的半径为1，中心角为3π，请设计一种方案，使得扇形内接矩形的面积最大，求最大值，并说明理由。
（内接矩形是指矩形的四个顶点都在扇形的弧上和半径上）高一数学下学期期末考试8答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1、D2、C3、A4、B5、C6、B7、C8、A9、D 10、C 11、D 12、D二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 13、37 14、等边三角形（正三角形） 15、21[f(a)+f(b)]≥f(2+b a )a 2+b 2≥2ab 当且仅当a=b 时取等号 16、f(4)=8三、解答题（本大题共6小题，17至21题每题12分，22题14分，共74分） 17、解：（1）∵tanA=-41∴∠A 为钝角 ………………………………2分 即A=π－arctan41……………………………………5分 (2)2417=2111+161=1tan 21+tan =cos cos sin 2cos +sin =cos cos sin 2122222A A A A A A A A A A …12分 18、解：（1）（法一）连接AB ，得向量AB =b －a由三解形的中位线及平行向量得MN =2(b －a) （法二，可用坐标法） ……3分 （2）（法一）|MN |=2|b －a|,||a|－|b||≤|b －a|≤|a|+|b| 即|MN |∈[2，6]（法二）|MN |=2)cos(45=)sin 2(sin +)cos 2(cos 22βαβαβα∵|cos(α－β)|≤1 ∴2≤|MN |≤619、证明：设a ≤0, b ≤0, c ≤0 ………………3分 则有a+b+c ≤0而a+b+c=(x 2－2y+2π)+(y 2－2z+3π)+(z 2－2x+6π) =(x －1)2+(y －1)2+(z －1)2+(π－3) ……………………8分∵(x －1)2≥0 (y －1)2≥0 (z －1)2≥0 π－3>0 ……………………10分 ∴a+b+c>0与a+b+c ≤0矛盾∴原命题正确 ……………………12分 20、解：（1）如图∵AC =OB ，由向量的加法法则得OA +AC =OC ……………………3分 ∴OC =OA +OB ，|OC |=°60cos |||2)(+)(22OB OA OB OA =1 …………5分（2）如图，设OC =m OA +n OB ，(m, n ∈R)∴OA ≠0, OB ≠0 ………………7分 ∴OC ·OA =m OA ·OA + n OB ·OB即 5×1×23=m －21n5×1×0=2m +n ⇒m=3310 n=335 ∴OC =3310OA +335OB …………………12分 21、解：（1）f(x)=22+B A Sin(ωx+θ) Cos θ=22+BA A Sin θ=22+BA B[θ∈[0,) 则ω=2π，22+B A =2，Sin （122π+θ）=1，θ=3π………………4分 ∴f(x)=2Sin(2πx+3π) （2）当2k π－2π≤2πx+3π≤2π+2π，即k －125≤x ≤k+121 k ∈z 时增 …………5分 当2k π+2π≤2πx+3π≤2π+23π，即k+121≤x ≤k+127k ∈z 时减 …………6分∵x ∈[0,1) ∴在[0，121]上增，[121，127]上减，[127，1）上增 …………8分（3）令2πx+= k π+2π, x=2k +121………………9分即1226≤121+6k ≤1236 k=5 ………………11分存在对称轴x=1231………………12分22、解：如图（一）取AB 上一点P ，连OP ，作矩形PQRS 设∠POA=θ(0<θ<6π) ………………1分 在△POS 中，∠OSP=65πPS=2Sin θ …………………2分 OS=2Sin(6π－θ) 在△OSR 中RS=OS ………………3分S 1=PS ·RS=4Sin θ·Sin(6π－θ) ………………4分 =2[Cos(2θ－6π)－Cos 6π] ≤2－3 当θ=12π时取等号 ………………6分（合计6分） 如图（二）取AB 上一点P ，作矩形PQRS 设∠POA=θ，（0<θ<3π） ……………………1分 在△PSO 中，PS=Sin θ在△PQO 中，∠POQ=3π－θ ∠PQO=32πPQ=332=32)3(πSin θπSin Sin(3π－θ) S 2=PQ·PS=332Sin θ·Sin(3π－θ)=33[(Cos(2θ－3π)－Cos 3π]≤33(1－21)=63︵︵当θ=6时取等号 …………………………6分（合计6分） S 1－S 2=6147144=63712<0 即S 1<S 2∴如图二的矩形面积最大为63…………………………14分。
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A. B. C. D.2．设复数z 满足( )A. B. C. D.3．设,,A. B. C. D.4．已知( )5．平面与平面平行的充分条件可以是( )A.内有无穷多条直线都与平行B.直线,,且,C.直线,直线,且,D.内的任何一条直线都与平行6．如图,为直角三角形,,,C 为斜边的中点,P 为线段的中点,则( )7．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为,其母线长为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,则该圆台的高为( ){}25A x x =∈-<<Z {}24B x x x =<A B = (0,4){1,2,3}{}1-(2,4)-(1i)3i z -=-=2i+2i-12i -12i+0.48a = 1.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭c =a c b <<a b c<<c b a <<c a b<<tan α=α=αβαβm ⊄m β⊄//m α//m βm α⊂n β⊂//m β//n ααβAOB △1OA =2OB =AB OC AP OP ⋅=12180︒A.8．已知函数,若方程有4个不同的根,,,,且,则的值为( )A.3B.0C.2D.6二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.任意向量,与同向,则B.若向量,且,则A,B,C 三点共线C.若,则与的夹角是锐角,,则在上的投影向量为10．已知函数,满足,且,则( )A.的图象关于C.在上单调递减D.的图象关于点对称11．正方体的棱长为2,已知平面,则关于平面截正方体所得截面的判断正确的是( )A.截面形状可能为正三角形B.平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值为C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为三、填空题12．已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数,当时,,则的值为____________．__________.41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x k =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<3412x x x x --a b ba b> PA PB PC λμ=+ 1(01)λμλ+=<<0a b ⋅>a b 6b 3,π4b = a b -()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()f x x 1φ2=-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 13π,012⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1AC α⊥αα()f x 01x <<()2xf x =72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=14．已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且,当该三棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为____________．四、解答题15．已知向量,且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直,求k 的值．16．已知函数的部分图象如下图所示．（1）求函数的解析式．（2）若将函数的图象,求不等式的解集．17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知．（1）求B ;（2）若．18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,E ,F 分别为,的中点,G 为线段上一动点,平面．（1）证明：平面平面;（2）当时,证明：平面;（3）若,四面体的体积等于四棱锥的S ABC -SA AB SB ==(1,1a =-()3a b b +⋅= a bka b + a kb -π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x (f x ()g x ()1g x >ABC △2cos 2b C a c =+b =sin A C =c +P ABCD -ABCD PB PC AC PD ⊥ABCD ⊥BDF A E G 3CG AG =//EG BDF 2AD PD =BGEF P ABCD -．19．对于三个实数a,b,k ,若（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”,并说明理由;（2）若,具有“性质k ”,求实数k 的最大值．()()()(22111a b k a b --≥--22x --x ≤≤x cos x参考答案1．答案：B解析：,,所以.故选：B.2．答案：C,.故选：C.3．答案：D解析：因为函数在R 上单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,所以,所以.故选：D.4．答案：B解析：依题意,故选：B.5．答案：D解析：对于A,若内有无穷多条直线都与平行,则,平行或相交,故充分性不成立,故A 错误;对于B,如图,在正方体中,平面,平面,{}{}251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-Z {}{}2404B x x x x x =<=<<{1,2,3}A B = ()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+2x y =. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭lg y x =(0,)+∞1lg lg103c =<=c a b <<2222222211cos sin 1tan 2cos2cos sin 1cos sin 1tan 12ααααααααα---=-=====+++αβαβ1111ABCD A B C D -11//C D ABCD 11//C D 11ABB A而平面平面,故充分性不成立,故B 错误;对于C,如图,在正方体中,平面,平面,而平面平面,故充分性不成立,故C 错误;对于D,由面面平行的定义知能推出平面与平面平行,故充分性成立,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：因为,取中点Q ,连接,故选：B.7．答案：C解析：设圆台的上底面的圆心为H ,下底面的圆心为O ,设圆台的母线交于点S ,11ABB A ABCD AB =1111ABCD A B C D -11//A B ABCD //CD 11ABB A 11ABB A ABCD AB =αβ()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14BA ==AO PQ 144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221514164PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-=⎢⎥⎣⎦为圆台的母线,且,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,,所以,由圆台侧面展开图扇环的圆心角为,所以下底面圆的周长为,所以,所以,,在直角梯形中,易求得故选：C.8．答案：A解析：作出函数的图象如下由对称性可知,由图可知,所以,则,,,故选：A.9．答案：BD解析：对于A,向量不能比较大小,故A 错误,对于B,向量且时,由向量共线定理的推论,知A,B,C 三AB 2AB =HA OB ==2=4SB =180︒4π2π4πOB ⋅=2OB =1HA =HABO OH ==41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x +=-434log x =3401x x <<<43log 0x <444344log 0log log x x x ⇒-=>434log 0x x =341x x ∴=34121(2)3x x x x ---=-=PA PB PC λμ=+1(01)λμλ+=<<点共线,故B 正确,对于C,当,同向共线时,,此时夹角不是锐角,故C 错误,,故D 正确.故选：BD 10．答案：BD解析：因为函数函数,满足,所以的图象关于所以,所以,,因为,,即,所以,,所以则,由,可得,所以在上不单调,故C 错误;由,所以的图象关于点对称,故D 正确．故选：BD ．11．答案：ACD解析：如图,在正方体中,连接,,,,a b 0a b a b ⋅=⋅>3π4=-()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin(2)f x x ϕ=+x =πsin(2)3ϕ⨯+=±πk ϕ+=+∈Z ππ6k ϕ=-k ∈Z ()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()sin πsin 2πϕϕ+>+sin 0ϕ<2k n =n ∈Z sin ϕ=π()sin(26f x x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π11π(,)2666x ∈-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-()f x 13π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1A B 1A D BD AC因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,又因为,,平面,所以,平面,因为平面,则,同理可证,因为,,平面,则平面,所以平面与平面平行或重合,所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形,故A 正确;平面与平面所成二面角正弦值为即为平面与平面所成的角,设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,又平面,又平面,所以,又,,平面,又平面,所以,所以是平面平面与平面所成二面角的平面角,由题意可得,进而可得所以所以平面与平面的1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥ABCD BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C 1AC ⊂11AA C C 1BD AC ⊥11A B AC ⊥1A B BD B = 1A B BD ⊂1A BD 1AC ⊥1A BD α1A BD 1A BD αABCD 1A BD ABCD AC BD 1OA ABCD AC BD ⊥1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂1AA O 1AO ⊂1AA O 1BD AA ⊥1AOA ∠1A BD ABCD 12A A =12AO AC ==1AO ==111sin AA AOA A O ∠===α当E,F,N,,M,G,H 分别为对应棱的中点时,截面为正六边形,因为E ,H 分别为,的中点,则,因为平面,平面,则平面,同理可得平面,又因为,,平面,则平面平面,所以,平面,此时截面为正六边形,故C 正确;如图设截面为多边形,设,则,则,所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,所以,因为EFNMGH 1BB 11A B 1//EH A B EH ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD //EH 1A BD //EF 1A BD EH EF E =I EH EF ⊂EFNMGH //EFNMGH 1A BD 1AC ⊥EFNMGH GMEFNH 1A G x =02x ≤≤,)GH ME NF MG HN EF x ======-MN =GMEFNH 1211()()22S GH MN h MN EF h =+⋅++⋅1h ==所以=时,故选：ACD.12．答案：解析：根据题意,是定义在R上周期为2的奇函数,所以故答案为：13．答案：414．答案：解析：依题意,三棱锥的底面面积是个定值,侧面是等边三角形,顶点S到边的距离也是一个定值,所以当该三棱锥的体积取得最大值时,平面平面,取的中点,连接,,N,M分别为正三角形,的中心,所以,,所以为二面角平面角,可得,过N,M分别作平面,平面的垂线,,两垂线交于O,的2h==11)22S x=+-11)22S x=+++-221)x=++=-+1x=maxS=()f x127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin301041sin202︒-︒==︒15πS ABC-ABC△SAB ABSAB⊥ABCAB SH CH SAB ABCSH AB⊥CH AB⊥SHC∠S AB C--SH CH⊥SAB ABC NO MO则O 为外接球的球心,由正三角形的性质可求得进而可得易得四边形是正方形,所以由勾股定理可得其外接球的表面积为.故答案为：.（2）或解析：（1）由,得设向量与的夹角为,由,,所以,所以,解得所以向量与（2）由向量向量与互相垂直,得,所以,即,解得或．16．答案：（1）（2）,解析：（1）由图象知,即,又,,所以SH CH ==NH HM ==CM ==OMHN OM =OC ==24π15π=15π1k =1k =-()1,1a =-||a == a b[0,π]θ∈()3a b b +⋅= 2a b b ⋅+= 1a b ⋅= ||||cos 1a b θ⋅= cos θ=a b ka b + a kb -()()·0ka b a kb +-= 2220ka k a b a b kb -⋅+⋅-= 22120k k k -+-=1k =1k =-1π()2sin()26f x x =+ππ(π,π)66k k -+k ∈ZA =8π2π2π33=-=4πT =0ω>4π=ω=1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点,所以,所以,,解得,.又．（2）将函数可得函数,的图象,所以,由,可得,所以所以,,所以,所以不等式的解集为,．（2）2解析：（1）因为余弦定理可得,所以,因为,所以,,2π(,2)32π12π(2sin()2323f ϕ=⨯+=πsin()3ϕ+=π2π2k ϕ+=+k ∈Z 2ππ6k ϕ=+k ∈Z ||ϕ=1π()2sin(26f x x =+(f x ()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+()g x ()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=()1g x >2cos 21x >cos 2x >ππ2π22π33k x k -<<+k ∈Z πππ6k x k -<<+∈Z ()1g x >ππ(π,π66k k -+k ∈Z 222222a b c b a c ab+-⨯=+222a b c ac -+=-2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈B =2sin sin b c B C====sin =sin C =又,由余弦定理得,即,因为,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,且O 为的中点,又平面,又平面,所以,因为E 是的中点,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;（2）连接交于点M ,连接,连接,则O 为的中点,因为,的中点,所以M 为所以,又平面,平面,所以平面;（3）由平面,可得,因为E,F 分别为,的中点,sin sin A C =2c =1=2222cos b a c ac B =+-221322a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+,0a c >2a c +=AC BD OE ABCD AC BD ⊥BD PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥PB //PD OE OE BD ⊥OE AC O = OE AC ⊂A E G BD ⊥A E G BD ⊂BDF ⊥BDF A E G CE BF EF OM AC 3CG ==PB PC PBC △==//OM GE OM ⊂BDF EG ⊄BDF //EG BDF PD ⊥ABCD 22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==PB PC所以,所以,所以又四面体的体积等于四棱锥,所以点G ,A平面.19．答案：（1）（答案不唯一）,理由见解析.（2）（3）0解析：（1）与2具有“性质1”.当时,即,则2与2具有“性质1”（2）若所以,即,令,,所以,所以,解得即所以因此x 的取值范围,具有“性质k ”,14BEF PEF PBC S S S ==△△△4A PBC A BEF V V --=228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===BGEF P ABCD -A BEF G BEF V --=BEF 34=2a =4{|log x x ≤4log x ≥2a =2a =()()()(22212112212--≥⨯--⨯90>22x x --()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦()22210442104430xxx x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥4xt =0t >2131300t t t t t-++-≥⇒≥2310t t -+≥0t <≤≥04x <≤x ≥4log x ≤4log x ≥4{|log x x ≤4log x ≥x ≤≤x cos x所以,,化简得令,,两边平方得令求导得令,求导得令,解得,当,,在上单调递减;当,,在上单调递增;又因为,所以,因此,即y 在单调递减,当时,y 取最小值为0,进而得到,实数k 的最大值为0.()()()(22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x --≥--x ≤≤x >cos x cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->()()22cos sin sin cos 1sin cos x x k x x xx k ≥--⇒≤sin cos t x x =-[]0,1t ∈sin cos x x =2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭43212,22t t y t t++-=()()()()()33242234422122622t t t t t t t y t t -++--++='=+462551()h t t t t =+--534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-()0h t '=0,1t t ==<t =()0h t '<()h t t =()0h t '>()h t (0)1h =-(1)0h =()0h t <0'<y []0,11t =0k ≤。
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。
河南省新乡市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
新乡市2023-2024学年高一期末（下）测试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册占25%，第二册占75%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}Z 21A x x =∈-<-，{}220B x x x =--≤，则A B = （）A.{}1B.{}1,0-C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.22i3i 4-=+（）A.17i 1313- B.214i 2525-C.214i 2525+ D.17i 2525-+3.已知函数()21x f x x a-=+是奇函数，则=a （）A .B.1C.1- D.24.已知平面向量a ，b满足1a = ，2b = ，且2a b -= ，则cos ,a b = （）A.12B.14 C.16D.185.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则8π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.0B.1C.2D.36.将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）A.甲分得黄球B.甲分得白球C.丙没有分得白球D.甲分得白球，乙分得黄球7.已知2sin 23sin 2αβ=，且()tan 1αβ-=，则()tan αβ+=（）A.1B.3C.5D.78.在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，M 是AB 的中点，N 是棱11B C 上的动点，则直线MN 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为（）A.12B.22 C.32D.34二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别在棱11A B ，11A D ，11B C ，11C D 上，且平面AMN ∥平面EFDB ，下列结论正确的是（）A.MN EF ∥B.EF BD ∥C.AN DF∥ D.BE ∥平面AMN10.Z 国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z 国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z 国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：下列结论正确的是（）A.2023年Z 国从B 国进口的液化天然气比从A 国进口的多B.2023年Z 国没有从A 国进口液化天然气C.2023年Z 国从C 国进口的液化天然气一定比从D 国进口的多D.2023年Z 国从B 国进口的液化天然气一定比从D 国进口的多11.在ABC 中，D 是BC 的中点，4BC =，AD =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则=ABB.ABC 面积的最大值为C.7BA CA ⋅= D.若2B C =，则3AB =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.函数()222x f x -=的最大值为______.13.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A 类样本，30个B 类样本.若A 类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B 类样本的平均数为______.14.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O 与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O 的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()cos f x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.16.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2c bB a+=.（1）证明：2A B =；（2）若2a =，3π4C =，求ABC 的周长.17.为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组[)30,50，第二组[)50,70，…，第六组[]130,150.整理数据得到如图所示的频率分布直方图.（1）该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；（2）若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在[)50,70和[)110,130内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在[)110,130内的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且EF BP ⊥，四边形ABCD 为正方形，2PD CD ==.（1）证明：BP DF ⊥；（2）求三棱锥F BDE -的体积；（3）求二面角F DE B --的余弦值.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.新乡市2023-2024学年高一期末（下）测试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册占25%，第二册占75%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}Z 21A x x =∈-<-，{}220B x x x =--≤，则A B = （）A.{}1B.{}1,0-C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，A 集合里的元素为整数，B 集合需解出具体解集，结合交集，得解.【详解】因为{}{}Z 211,2,3,A x x =∈-<-= ，{}{}22012B x x x x x =--≤=-≤≤，所以{}1,2⋂=A B .故答案选：C2.22i3i 4-=+（）A.17i 1313- B.214i 2525-C.214i 2525+ D.17i 2525-+【答案】B 【解析】【分析】由复数除法运算法则可得答案.【详解】()()()()22i 43i 22i 214i 214i 3i 43i 443i 252525----===-++-.故选：B3.已知函数()21x f x x a-=+是奇函数，则=a （）A.0 B.1C.1- D.2【答案】A 【解析】【分析】利用奇函数定义，列式计算即得.【详解】由函数()f x 是奇函数，得()()0f x f x +-=，则22110x x x a x a--+=+-+，解得0a =，函数21()x f x x-=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，是奇函数，所以0a =.故选：A4.已知平面向量a ，b满足1a = ，2b = ，且2a b -= ，则cos ,a b = （）A.12B.14C.16D.18【答案】D 【解析】【分析】对2a b -= 两边平方可得a b ⋅，再由向量的夹角公式计算可得答案.【详解】因为()2222447-=+-⋅=a ba b a b ，因为1a =，2b = ，所以14a b ⋅= ，1cos ,8⋅==a b a b a b .故选：D.5.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则8π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.0B.1C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】由图中周期可得ω，由5π112f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得ϕ，后可得答案.【详解】由图可得，15πππ41264T =-=，则2ππT ω==.因为0ω>，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+.因为5π5πsin 211212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ，解得π2π3k ϕ=-+，k ∈Z .因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故8π8ππsin 2sin 5π0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）A.甲分得黄球B.甲分得白球C.丙没有分得白球D.甲分得白球，乙分得黄球【答案】C 【解析】【分析】由对立事件的概念即可得解.【详解】甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球，乙分得红球，即丙分得白球，与丙没有分得白球互为对立事件.故选：C.7.已知2sin 23sin 2αβ=，且()tan 1αβ-=，则()tan αβ+=（）A.1B.3C.5D.7【答案】C 【解析】【分析】利用凑角、两角和与差的正弦展开式化简可得答案.【详解】因为()()2ααβαβ=++-，()()2βαβαβ=+--，所以()()2sin αβαβ⎡⎤++-=⎣⎦()()3sin αβαβ⎡⎤+--⎣⎦，展开化简()()()()()()2sin 2sin cos 2cos sin αβαβαβαβαβαβ⎡⎤++-=+-++-⎣⎦()()()()3sin cos 3cos sin αβαβαβαβ=+--+-，所以()()()()5cos sin sin cos αβαβαβαβ+-=+-，故()()tan 5tan 5αβαβ+=-=.故选：C.8.在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，M 是AB 的中点，N 是棱11B C 上的动点，则直线MN 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为（）A.12B.2 C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，先画出图象，作MG BC ⊥，然后由面面的垂直的性质可得MG ⊥平面11BCC B ，进而可知MNG ∠为直线MN 与平面11BCC B 所成的角，当MNG ∠取得最大值时，tan MGMNG NG∠=取得最大值，NG 取得最小值，从而可得直线MN 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值.【详解】如图，作MG BC ⊥，垂足为G ，连接NG .在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，因为平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，MG ⊂平面ABC ，MG BC ⊥，所以MG ⊥平面11BCC B .故MNG ∠为直线MN 与平面11BCC B 所成的角.当MNG ∠取得最大值时，tan MGMNG NG∠=取得最大值，NG 取得最小值.不妨设1AA AB a ==，则133cos 224MG MB B a ==⋅=，NG 的最小值为a ，于是3tan 4MG MNG NG ∠==.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别在棱11A B ，11A D ，11B C ，11C D 上，且平面AMN ∥平面EFDB ，下列结论正确的是（）A.MN EF ∥B.EF BD ∥C.AN DF ∥D.BE ∥平面AMN【答案】ABD【解析】【分析】利用面面平行的性质结合线面平行的判定定理逐个选项判断即可.【详解】因为平面AMN ∥平面EFDB ，平面1111D C B A 与平面EFDB 和平面AMN 的都相交，,MN EF 是交线，所以MN EF ∥，故A 正确；因为长方体1111ABCD A B C D -，所以平面1111∥A B C D 平面ABCD ，而平面EFDB 与这两个平行平面的都相交，EF BD ,是交线，所以EF BD ∥，故B 正确，如图，连接MF ，此时平面DAMF 与平面1111D C B A 和平面ABCD 的都相交，,DA MF 是交线，所以DA MF ∥，而1111,DA D A DA D A =∥，所以11MF D A ∥，又因为11D F MA ∥，所以四边形11D FMA 是平行四边形，所以11MF D A =，MF DA =，所以四边形DAMF 是平行四边形，所以DF AM ∥，因为AM AN A = ，所以AN 与DF 不平行，故C 错误；如图，连接NE ，由长方体性质得面11BCC B ∥面11AA D D ，NA EB是交线，此时平面NEBA与这两个平面的都相交，,∥，所以BE AN又因为AN⊂面AMN，BE⊄面AMN，所以BE∥平面AMN，故D正确.故选：ABD10.Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：下列结论正确的是（）A.2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多B.2023年Z国没有从A国进口液化天然气C.2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多D.2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多【答案】ABC【解析】【分析】由饼状统计图的实际含义逐一验算各个选项即可求解.【详解】对于B，2023年Z国从A国进口天然气2480吨，全部为气态天然气，所以2023年Z国没有从A国进口液化天然气，B正确.对于A，2023年Z国从B国进口天然气2435吨，其中气态天然气1630吨，液化天然气805吨，所以2023年Z 国从B 国进口的液化天然气比从A 国进口的多，A 正确.对于C ，假设2023年Z 国气态天然气其余部分全部来自C 国，共486524801630340415---=吨，则Z 国从C 国进口液化天然气24164152001-=吨，仍然大于从D 国进口的天然气的总量，所以2023年Z 国从C 国进口的液化天然气一定比从D 国进口的多，C 正确.对于D ，2023年Z 国从B 国进口液化天然气24351630805-=吨，2023年Z 国从D 国进口的天然气总量为1666吨，若全部为液化天然气，则2023年Z 国从B 国进口的液化天然气比从D 国进口的少，D 错误.故选：ABC.11.在ABC 中，D 是BC 的中点，4BC =，AD =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则=ABB.ABC 面积的最大值为C.7BA CA ⋅=D.若2B C =，则3AB =【答案】BCD【解析】【分析】根据勾股定理可判定A;根据三角形面积公式可判定B;根据向量运算可判定C;结合正余弦定理可判定D.【详解】在ACD 中，222AC CD AD +=，所以π2C =，AB ==，A 错误.当AD BC ⊥时，AD 最大，所以ABC 面积的最大值为12BC AD ⋅=，B 正确.()()()()227BA CA BD DA CD DA BD DA BD DA DA BD ⋅=+⋅+=+⋅-+=-= ，C 正确.在ABC 中，由正弦定理可得sin 2sin AC AB C C=，得2cos AC AB C =.在ACD 中，由余弦定理可得222224cos 7cos 28cos AC CD AD AB C C AC CD AB C+--==⋅，即227cos 48C AB AB =-.在ABD △中，由余弦定理可得222227cos 22cos 124AB BD AD AB C C AB BD AB+--===-⋅，即2278cos 4AB AB C AB -=-，所以22778448AB AB AB AB AB-=⋅--，整理得22150AB AB +-=，解得3AB =（5AB =-舍去），D 正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.函数()222x f x -=的最大值为______.【答案】4【解析】【分析】根据二次函数的性质得222x -≤，再由指数函数的性质即可求解.【详解】因为222x -≤，所以()222224x f x -=≤=，故函数()222x f x -=的最大值为4.故答案为：4.13.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A 类样本，30个B 类样本.若A 类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B 类样本的平均数为______.【答案】3.5【解析】【分析】设B 类样本的平均数为x ，通过总体的平均数列方程，进而解方程可得B 类样本的平均数.【详解】设B 类样本的平均数为x ，则10 5.530440x ⨯+=，解得 3.5x =.故答案为：3.5.14.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O 与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O 的表面积为______．【答案】8π【解析】【分析】把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及勾股定理建立等式求解．【详解】解：如图，在轴截面梯形ABCD 中，3AD BC ==，22AB BF ==，设球O 的半径为r ，222EF OE OM r ===．()111122222ABCD S CD AB EF CD OE BC OM AB OF =+⋅=⋅+⨯⋅+⋅梯形，解得：4CD =，因为()()2222BC r CE BF =+-，所以22r =，所以球O 的表面积为24π8πr =，故答案为：8π．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()cos f x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）2π（2）()2ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）[]1,2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x ，进而求得的最小正周期；（2）利用辅助角公式化简()f x ，进而求得单调递增区间；（3）利用整体代换的方法，求得在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【小问1详解】()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.()f x 的最小正周期为2π.【小问2详解】令πππ2π2π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得2ππ2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.【小问3详解】因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以ππ2π,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin ,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈.故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2.16.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2c b B a +=.（1）证明：2A B =；（2）若2a =，3π4C =，求ABC 的周长.【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等变换即可得证；（2）由正弦定理以及三角恒等变换即可得解.【小问1详解】因为cos 2c b B a+=，所以2cos c b a B +=，所以sin sin 2sin cos C B A B +=.因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，则B A B =-（或πB A B +-=，舍去），即2A B =.【小问2详解】因为3ππ4C A B =--=，2A B =，所以π6A =，π12B =.πππ62sin sin sin 12464B ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.由sin sin sin a b c A B C==，可得22sin 1sin 22a c C A =⋅=⋅=，2sin 1sin 42a b B A =⋅=⋅=故ABC 的周长为2a b c ++=+.17.为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组[)30,50，第二组[)50,70，…，第六组[]130,150.整理数据得到如图所示的频率分布直方图.（1）该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；（2）若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在[)50,70和[)110,130内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在[)110,130内的概率.【答案】（1）200人（2）15【解析】【分析】（1）用学生成绩在[]110,150内的频率乘以1000即可得解；（2）写出从6人中任选3人的样本空间，以及抽取的3人中恰有1人成绩在[)110,130内的样本空间写出来，结合古典概型概率计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图，可得学生成绩在[]130,150内的频率为0.04，在[)110,130内的频率为0.16，故估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数为1000(0.040.16)200⨯+=.【小问2详解】学生成绩在[)50,70内的频率为0.08，在[)110,130内的频率为0.16，则抽取的6人中，成绩在[)50,70内的有2人，在[)110,130内的有4人.记成绩在[)110,130内的4名学生为a ，b ，c ，d ，在[)50,70内的2名学生为E ，F ，则从6人中任选3人，样本空间可记{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF ,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共包含20个样本.用事件A 表示“这3人中恰有1人成绩在[)110,130内”，则A ={aEF ，bEF ，cEF ，dEF }，A 包含4个样本.故所求概率()41205P A ==.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且EF BP ⊥，四边形ABCD 为正方形，2PD CD ==.（1）证明：BP DF ⊥；（2）求三棱锥F BDE -的体积；（3）求二面角F DE B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）49（3）13【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定求证；（2）由12F BDE E BDF C BDF V V V ---==转化求解；（3）由线面垂直的性质得BEF ∠即二面角F DE B --的平面角，即可求解．【小问1详解】证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥.因为四边形ABCD 为正方形，所以DC BC ⊥.因为PD DC D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD .因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥.在PCD 中，PD CD =，E 是PC 的中点，则DE PC ⊥.因为BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC .因为PB ⊂平面PBC ，所以DE PB ⊥.因为EF BP ⊥，DE EF E = ，所以BP ⊥平面DEF .因为DF ⊂平面DEF ，所以BP DF ⊥.【小问2详解】连接AC 交BD 于点M ，如图所示：则AC BD ⊥，又PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PD ⊥，而PD BD D ⋂=，则AC ⊥平面PDB ，则点C 到平面PDB 的距离为CM =因为E 是PC 的中点，所以12F BDE E BDF C BDF V V V ---==BD =，BP =，3BD DP DF BP ⋅==，3BF ==，所以123BDF S BF DF =⋅=△，18339C BDF V -=⨯=，所以49F BDE V -=.【小问3详解】解：由（1）可得DE ⊥平面PBC ，因为EF ⊂平面PBC ，EB ⊂平面PBC ，所以DE EF ⊥，DE EB ⊥.BEF ∠为二面角F DE B --的平面角.12PE PC ==，BE ==.因为PFE PCB ∽△△，所以PE EF PB BC =，解得3EF =.因为EF BP ⊥，即90EFB ∠=︒，所以1cos 3EF BEF BE ∠==.故二面角F DE B --的余弦值为13.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是1 3，每场比赛的结果相互独立.（1）求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.【答案】（1）4 27（2）79 81【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A球队在3场比赛中都是平局，其概率为1111 33327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年河北省石家庄市高一下学期期末教学质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为()A. B.1 C. D.i2.若D为的边BC的中点，则()A. B. C. D.3.已知a，为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确．．．的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩，则下列说法不正确的是()A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差5.正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是()A.6cmB.8cmC.D.6.如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，，则塔高AB为()A. B. C. D.7.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为A. B. C.3 D.8.如图，已知在中，，D是BC边上一点，且，将沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是()A.z的模等于13B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的共轭复数为D.若是纯虚数，则10.中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是()A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则b取值范围是D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为11.如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有()A.动点F轨迹的长度为B.三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解
【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
． ．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题含答案
奉化区2023学年第二学期期末试卷高一数学（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由实部与虚部概念可得1a =-，代入计算可求出结果.【详解】易知i z a =-的实部为a ，虚部为1-，由题意可知1a =-，则i 1i i 12i z -=---=--==故选：B2.两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（）A.13B.16C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】由古典概型的计算公式即可求解.【详解】两名男生，一名女生记为,,a b c两名男生，一名女生排成一排可能为：,,,,,abc acb bac bca cab cba ，故总可能数6N =，女生站在中间的可能为：,acb bca ，故可能数2n =，则女生站在中间的概率2163n p N ===.故选：A.3.已知平行四边形ABCD ，()1,2B -，()2,4C ，则AC BD +=（）A.()2,2- B.()3,3 C.()4,6 D.()6,4【答案】D 【解析】【分析】由,B C 两点的坐标求得()3,2BC = ，由平行四边形的性质有2AC BD BC +=，求值即可.【详解】由()1,2B -，()2,4C ，有()3,2BC =，平行四边形ABCD 中，有AB DC =，即0AB CD +=，().26,4AC BD AB BC BC CD BC +=+++==故选：D.4.已知平面,αβ，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（）A.若m β⊥，//l m ，则αβ⊥B.若//m β，//l m ，则//αβC.若//αβ，//m β，则//l mD.若αβ⊥，l m ⊥，则//m β【答案】A 【解析】【分析】运用面面垂直判定定理可判断A ，借助长方体举反例可判断BCD.【详解】对于A ，若m β⊥，//l m ，则l β⊥，且l ⊂α，则αβ⊥.故A 正确.对于B,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//m β，//l m ，此时αβ⊥，故B 错误.对于C,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//αβ，//m β，此时,l m 异面，故C 错误.对于D,如图所示，l ⊂α，m α⊄，αβ⊥，l m ⊥，此时m β⊂，故D 错误.故选：A ．5.某射击初学者在连续6次射击练习中所得到的环数：4,3,7,5,1,x ，该组数据的平均数与中位数相等，则x =（）A.1B.4C.7D.以上答案均有可能【答案】D 【解析】【分析】表示出数据的平均数，由中位数的定义分类讨论求解.【详解】这组数据的平均数为134572066x x++++++=，若中位数为342+，则有03342026Z x xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得1x =；若中位数为442+，则有4442026x x =⎧⎪++⎨=⎪⎩，解得4x =；若中位数为452+，则有510452026Zx xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得7x =.故选：D.6.在ABC ∆中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆半径R 与内切圆半径r 的比值是（）A.43B.53C.73D.83【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解.【详解】在ABC 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，设5,7,8a b c ===，由余弦定理得22222278511cos 227814b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin 14A =，则22sin 5314a R R R A =⇒=⇒=，所以()11sin 22S bc A r a b c ==++，则()11785782142r r ⨯⨯⨯=⨯++⇒=所以73Rr ==，故选：C7.已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,AB A B AA ===，球O 与上底面1111D C B A 以及各侧棱1111,,,AA BB CC DD 均相切，则该球的表面积为（）A.28π B.24πC.20πD.16π【答案】B 【解析】【分析】作出过正四棱台的截面，再求出正四棱台的高，从而根据勾股定理求出球的半径，最后代入球的表面积公式，即可求解．【详解】设过棱台上下底面的中心以及一条侧棱作该棱台的轴截面如下图：正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =，∴正四棱台的高为12O O ，设球O 的半径为R ，球与侧棱1AA 切于M ，则在图中11Rt A O O V 中，2222111R A O R A M +=+，则111A O A M ==，所以1AM A M ==，在图中2Rt AO O 中，222222O A OO R AM +=+，(2222)R R∴+=+，解得R =，∴球O 的表面积为24π24πR =．故选：B8.已知R a ∈，在复数范围内12,x x 是关于x 的方程220x x a -+=的两个根，则关于a 的函数()1212122920x x x x f a x x ++=-+的零点的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】根据根与系数的关系得12122,x x x x a +=⎧⎨=⎩，进而根据方程的的虚根和实数根分类讨论，即可求解.【详解】若12,x x 是方程220x x a -+=的两个虚数根，所以12122Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-<⎩，且1211x x =+=-，则12x x ==，()1212122929010*******x x x x f a a x x ++=-=-=⇒-+=+2920±=，（满足1a >），若12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，所以12122,Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-≥⎩，且1211x x ==1211x x =+=-，当01a ≤≤时，1211x x =+=-()12121229229902022010x x x x a f a a x x +++=-=-=⇒=+，当a<0时，1211x x =+=，()121212292902020x x x x f a x x ++=-=-=+，2910=2910=，t =，由于20a -≤<，所以1t <≤故函数()3g t t t =-在1t <≤单调递减，且()291210g =<，故29310t t=-在1t <≤综上可得，零点个数为3，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个命题为真命题的是（）A.已知平面向量,,a b c ，若//a b ，//b c，则//a cB.若()1,2a =-r ，()3,6b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底C.()1,a λ= ，()4,b λ=- ，若a b ⊥，则2λ=D.()5,0a = ，()4,3b =- ，则b 在a方向上的投影向量为()4,0-【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：根据向量共线的坐标表示分析可知,a b不共线，结合基底向量的定义分析判断；对于C ：根据向量垂直的坐标表示运算求解；对于D ：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】对于选项A ：例如()()1,0,0,0,1a b c ===，可知//a b ，//b c ，但,a c不共线，故A 错误；对于选项B ：因为1623⨯≠-⨯，可知,a b不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，故B 正确；对于选项C ：若a b ⊥，则240a b λ⋅=-+=r r，解得2λ=±，故C 错误；对于选项D ：若()5,0a = ，()4,3b =- ，则20,5a b a b ⋅=-==，所以b 在a 方向上的投影向量为()244,05a b a a a ⎛⎫⋅ ⎪=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BD.10.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0,1,2,2,4,5的极差与众数之和为7B.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件A =“至少有2个红球”，事件B =“都是白球”，则事件A 与事件B 是对立事件C.甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为23，乙每次投中的概率为12，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为13D.一组不完全相同数据12,,...,n x x x 的方差为2，则数据1221,21,...,21n x x x +++的方差为4【答案】AC 【解析】【分析】利用极差与众数定义可判断A ；由对立事件概念可判断B ；根据独立事件概率乘法公式计算可判断C ；由方差的概念代入计算可判断D.【详解】对于A ，数据0,1,2,2,4,5的极差为505-=，众数为2，它们的和为7，故A 正确；对于B ，事件A 包括“2个红球1个白球”和“3个红球”两个基本事件，与事件B =“都是白球”不能同时发生，可知事件A 与事件B 是互斥事件；但还有可能出现“1个红球2个白球”的情况，所以事件A 与事件B 是互斥但不对立事件，故B 错误；对于C ，由相互独立事件的乘法公式可得甲乙各投篮一次同时投中的概率为211323⨯=，故C 正确；对于D ，设数据12,,...,n x x x 的平均数为12...nx x x x n+++=，则其方差为()()()222121...2n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦，所以数据1221,21,...,21n x x x +++的平均数为122121...21221n x x x nx ny x n n+++++++===+；所以方差为()()()22212121212121...2121n x x x x x x n ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦()()()()()()22222212121444...4...8n n x x x x x x x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-=⎣⎦⎣⎦，故D 错误.故选：AC11.在ABC 中，π6A =，2AB =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则1BC = B.若BC =π4C =C.若ABC 有两解，则(1,2)BC ∈ D.若ABC 是锐角三角形，则3AC ∈⎪⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用余弦定理求解判断，对于B ，利用正弦定理求解判断，对于C ，根据正弦定理结合图形分析判断，对于D ，由正弦定理得5π2sin 2sin 6sin sin C B AC C C⎛⎫- ⎪⎝⎭==，化简后，再求出角C 的范围，从而可求出AC 的范围.【详解】对于A ，在ABC 中，π6A =，2AB =，AC =1BC ===，所以A 正确，对于B ，在ABC 中，π6A =，2AB =，BC =，则由正弦定理得sin sin BC AB A C =，2πsin sin 6C =，得2sin 2C =，因为AB BC >，π5π66C <<，所以π4C =或3π4C =，所以B 错误，对于C ，如图，过B 作BD AC ⊥于D ，则1sin 212BD AB A ==⨯=，因为ABC 有两解，所以BD BC AB <<，即12BC <<，所以C正确，对于D ，由正弦定理得sin sin AB ACC B =，2sin sin AC C B=，所以5π2sin 2sin cos 16sin sin sin tan C B C C AC C C C C⎛⎫- ⎪+⎝⎭====+因为ABC 为锐角三角形，所以π025ππ062C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ32C <<，所以πtan tan3C >=，所以10tan 3C <<，1tan 3C <+<3AC <<，所以D 正确.故选：ACD12.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1B C 的中点，点,P Q 分别是在线段111,A C BD 上的动点，下列结论正确的是（）A.异面直线11A C 与1AB 所成角为45B.1BD ⊥平面1AB CC.三棱锥1P ACB -的体积是定值D.QM QN +【答案】BCD 【解析】【分析】由定义法求异面直线所成的角判断选项A ；利用线线垂直证明线面垂直判断选项B ；由底面积和棱锥的高计算体积判断选项C ；利用翻折到同一平面求距离和的最小值判断选项D.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC =，11//AA CC ，则四边形11ACC A 为平行四边形，有11//A C AC ，异面直线11A C 与1AB 所成角等于直线AC 与1AB 所成角，正方体1111ABCD A B C D -中，1ACB 为等边三角形，所以异面直线11A C 与1AB 所成角为60 ，A 选项错误；正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1BB AC ⊥，正方形ABCD 中，有BD AC ⊥，1,BB BD ⊂平面11BDD B ，1BB BD B ⋂=，则有AC ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，B 选项正确；11//A C AC ，11A C ⊄平面1ACB ，AC ⊂平面1ACB ，则11//A C 平面1ACB ，点P 是线段11A C 上的动点，则点P 到平面1ACB 的距离为定值，1ACB 是边长为的等边三角形，面积为定值，所以三棱锥1P ACB -的体积是定值，C 选项正确；正方形11BCC B 中，点N 是线段1B C 的中点，也是线段1BC 的中点，以1BD 为轴，把11BD C △和11BD B 旋转到同一平面内，则QM QN +的最小值为MN ，由1112D C BB ==，111BC D B ==，1BD =，1111BD C BD B ≅ ，222221111111BD D C BC BB D B =+=+，平面四边形111BB D C 为矩形，N 是线段1BC 的中点，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，设T 为11B D 的中点，则Rt MTN 中，12NT BB ==，111242MT D B ==，所以2MN ===，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：立体图形上的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 12i z ⋅=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为____.【答案】()2,1-【解析】【分析】由复数的除法求得z ，由共轭复数的定义可得出复数z ，再由几何意义求z 在复平面内对应的点的坐标.【详解】由i 12i z ⋅=-，得2212i i 2i 2i i iz --===--，则2i z =-+，z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-.故答案为：()2,1-.14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为____.【答案】3π3【解析】【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积.【详解】设圆锥的母线长l 为2，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r ，高为h ，则得到2π2πr =，解得：1r =，这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高h ===所以圆锥的体积为：21π33r h =.故答案为：3.15.如图，相距1l ，2l 之间是一条小路（1l ，2l 可看作两条平行直线），为测量点A 到2l 的距离h （1l ，2l 在点A 的同侧），某研究小组在2l 一侧东边选择点B ，作为测量起始位置，AB 与1l 交于点M ，从点B 出发向西走N ，测得2MN l ⊥，继续向西走6米到达点C ，AC 与1l 交于点P ，继续向西走2米到达点Q ，测得2⊥PQ l ，则h =___.【答案】【解析】【分析】根据两角差的公式，可解出()sin sin BAQ PCQ MBN ∠=∠-∠，再根据正弦定理可得出AC ，再利用直角三角形的性质求解距离h 即可.【详解】由题意知相距米的1l ，2l 之间是一条小路，所以PQ MN ==BN =，2CQ =，)661BC =-+=，所以,34PCQ MBN ππ∠=∠=，则())1sin sin sin cos cos sin 4BAC PCQ MBN PCQ MBN PCQ MBN ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=，在BAC 中根据正弦定理知sin sin BC AC BACMBN=∠∠，解得12AC =，由sin hPCQ AC∠=，得到h =.故答案为：16.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，120,2,3ABC AB BC ∠=== ，且PA ⊥面ABCD ，则向量PC 在向量BD方向上的投影向量是____(结果用BD表示).【答案】57BD【解析】【分析】运用投影向量的概念，结合数量积，基底只是求解即可.【详解】向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为2||||||PC BD BD PC BD BD BD BD BD ⋅⋅⋅=⋅.运用运用余弦定理求得222||2cos604967BD AB AD AB AD =+-⋅︒=+-= .PC PA AC PA BC BA =+=+- ，BD BA AD BA BC =+=+ ，()()PC BD PA BC BA BA BC ⋅=+-⋅+，展开化简得到，2222PC BD PA BA PA BC BC BA BC BA BA BC PA BA PA BC BC BA ⋅=⋅+⋅+⋅+--⋅=⋅+⋅+- ，由于且PA ⊥面ABCD ，则0,0PA BA PA BC ⋅=⋅=,则225PC BD BC BA ⋅=-= .代入2||PC BD BD BD ⋅⋅，得到57BD .则向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为57BD .故答案为：57BD.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，第18—22题每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面向量,a b ，满足3,2a b == ，且a 与b 的夹角为3π.（1）求a b ⋅的值；（2）求a 与b a -夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2）277-【解析】【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果；（2）由向量夹角的计算公式代入（1）中结论即可.【小问1详解】由3,2a b == 可得π1cos 32332a b a b ⋅==⨯⨯= ；即可得1a b ⋅= .【小问2详解】易知b a -== 所以()227cos ,7a b a a b a a b a a b aa b a ⋅-⋅--=====---.即可得a 与b a -夹角的余弦值为7-.18.全国中学生奥林匹克数学竞赛是由中国数学会主办的获得教育部批准的全国性赛事，相应的赛区初赛也是该项活动的一个环节.按照中国数学会有关全国中学生奥林匹克数学竞赛组委会的精神，以及浙江省科协的要求，2024年5月19日全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛如期举行.已知某中学有40人参加此次数学竞赛（满分为150分），其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m 的值及学生成绩的第75百分位数；（2）若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[)100,120内的学生中抽取3人参加座谈会，求成绩为107分的学生甲恰好被抽到的概率.【答案】（1）0.035m =，第75百分位数96；（2）1.2【解析】【分析】（1）利用所有小矩形面积之和为1即可求得0.035m =，根据百分位数定义计算即可得出结果；（2）由分层抽样比计算出各组抽取的人数，再由古典概型计算可得结果.【小问1详解】由题意可知()0.010.0150.0250.010.005101m +++++⨯=，解得0.035m =；易知60分到90分的人数频率之和为0.6，60分到100分的人数频率之和为0.85.所以第75百分位数位于90分到100分之间，且90分到100分之间的频率为0.25；估计第75百分位数为0.750.69010960.25-+⨯=，【小问2详解】在[)[)100,110,110,120的学生频率分别为0.1和0.05，则其人数分别为4和2，设在[)100,110中的4人为a b c d ,,,，在[)110,120中的2人为,e f ，令a 为甲，且其成绩为107.由分层随机抽样可得在[)[)100,110,110,120分别抽取2人与1人，则总共有以下12种可能：()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,e a b e a c e a d e b c e b d e c d ,()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,f a b f a c f a d f b c f b d f c d ;其中学生甲恰好被抽到的情况共有6种，所以抽到107分的学生甲的概率12P =.19.如图，已知在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱AC 的中点，1AB AA =.（1）证明：1AB //面1C BD ；（2）求直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）法一：作出辅助线，构造平行四边形，得到线线平行，进而得到面面平行，证明出线面平行；法二：作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）法一：证明出线面垂直，得到1BD C D ⊥，设11AB AA ==，求出其他各边长，得到1158BDC S =，利用等体积法得到点C 到平面1C BD 的距离，进而得到直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值；法二：作出辅助线，证明出线面垂直，得到CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，设11AB AA ==，求出各边长，得到线面角的正弦值.【小问1详解】法一：取11A C 中点M ，连接1AM B M DM，，因为1B M BD =，1DM BB =，所以四边形1B BDM 为平行四边形，所以1B M BD //.又因为1B M⊄平面1C BD ，BD ⊂平面1C BD ，所以1//B M 平面1.C BD 因为1C M 平行且等于AD ，所以四边形1ADC M 为平行四边形，所以1AM C D //.又因为AM ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AM 平面1.C BD 又因为AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M 且1AM B M M ⋂=.所以平面1//AB M 平面1C BD .因为1AB ⊂平面1AB M ，所以1AB //平面1.C BD 法二：连接1B C ，记1B C 与1BC 的交点为N ，连接DN .在1AB C V 中，1AD DC B N CN ==，，所以DN 为1AB C V 的中位线，所以1DN AB //，又因为DN ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ，所以1AB //平面1C BD .【小问2详解】法一：ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，故BD ⊥AC ，因为1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥BD ，因为AC ，1CC ⊂平面1C DC ，1AC CC C = ，所以BD ⊥平面1C DC ，又因为1C D ⊂平面1C DC ，所以1BD C D ⊥.设11AB AA ==，则sin 602BD AB =︒=，1cos 602CD AB =︒=，由勾股定理得12C D ===，故111122228BDC BD C D S ⨯⨯⋅===；设点C 到平面1C BD 的距离为d ，其中1111111111332322224C BCD BCD V S CC CD BD CC -=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，又1111332458C C BD C BCD C C BDBDC V V V d S ---==⇒== .所以5sin 15d BC θ===.法二：设11AB AA ==，取1AA 的中点E ，连接CE ，交1C D 于点F ，连接BF .因为AB BC AD DC ==，，所以BD AC ⊥又因为平面ABC⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ⊥，因为11,,90CD AE AC CC EAC DCC ==∠=∠=︒，所以EAC ≌1DCC △，所以1ACE CC D ∠=∠，故11190ACE FCC CC D FCC ∠+∠=∠+∠=︒，故1C D CE ⊥，又因为1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC .所以CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，有勾股定理得221115142C D CD C C =+=+=，故111152552CD CC CF C D ⨯⋅===，所以555sin 15CF CBF BC ∠===.20.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.（1）若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；（2）若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.【答案】（1）112-；（2）1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD为基底表示出EF得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【小问1详解】如下图所示：由2DE EC =可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；【小问2详解】法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=-，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--= 显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1c =且()2cos a C B -=.（1）请在以下两个条件中任选一个（若两个条件都选，则按①的解答过程给分）①sin sin 2sin b B c C a A-=②cossin 2A Ca b A +=，求ABC 的面积S ；（2）求3a b -的最大值.【答案】（1）4；（2）3【解析】【分析】（1）由三角恒变换可得π6C =，若选择①利用余弦定理可得2π3B =，代入面积公式即可得结果；若选择②，由诱导公式以及二倍角公式可得结果；（2）利用正弦定理以及辅助角公式即可求得结果.【小问1详解】由1c =可得，原式可化为()2cos cos a C B -=利用正弦定理可得2sin cos cos cos A C B C C B =，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A ≠，所以cos 2A =，又()0,πA ∈，可得π6C =.选择①由sin sin 2sin b B c C a A -=利用正弦定理可得2222b c a -=，222cos 22b ac C ab +-==，解得,b a c ==；易知2221cos 22c a b B ac +-==-，所以2π3B =.选择②原式可化为πsin cos sin sin 22B A B A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，可得sin sin 2B B =；因为0B ≠，所以π2B B +=.所以2π3B =.因此ABC的面积为111sin12024ABC S =⨯⨯⨯= .【小问2详解】由正弦定理可知121sin 2c C ==，因此2sin ,2sin a A b B ==；可得5π2sin 2sin sin 3336a b A B A A ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭πsin cos 336A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；又5π06A <<可知，当2π3A =时，πsin 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭取到最大值1，即3a b -有最大值322.如图，在ABC 中，π,2,42ACB AC BC ∠===，点P 满足AP PB λ= ，沿CP 将ACP △折起形成三棱锥1A PBC -.（1）若1λ=，1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上，求二面角1A CP B --平面角的余弦值；（2）若二面角1A CP B --为直二面角，当1A B 取到最小值时，求λ的值及点P 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）14；（2）69【解析】【分析】（1）根据二面角定义，作出二面角的平面角并由边长求出其余弦值；（2）由直二面角性质，结合余弦定理和线面垂直的性质可得1A B 的长度表达式，结合三角函数值域可得当1A B 取到最小值时12λ=，再利用等体积法可得点P 到平面1A BC 的距离.【小问1详解】过点A 作CP 的垂线交CP 于点D ，交BC 于点H ，如下图所示：翻折后仍有1,A D CP HD CP ⊥⊥，又因为1A D HD D ⋂=，且1A D ⊂平面1A DH ，HD ⊂平面1A DH ，所以⊥CP 平面1A DH ，所以1A DH ∠为二面角1A CP B --所成的平面角.由1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上得1A H ⊥平面BPC ，所以11cos DH DH A DH A D AD∠==，由1λ=可知PA PC =，因为sin sinACD CAB ∠=∠=所以sinAD AC ACD =⋅∠=又易知cos cosCAH ABC ∠=∠=所以cos AC CAH AH =∠，可得AH =，所以5DH AH AD =-=；所以11cos 4DH A DH AD ∠==，即二面角1A CP B --平面角的余弦值为1.4【小问2详解】过点1A 作CP 的垂线交CP 于点G ，如下图所示：设1,2sin ,2cos ACP A G CG ααα∠===，由二面角1A CP B --为直二面角可知平面1ACP ⊥平面BPC ，平面1A CP ⋂平面BPC PC =，1A G CP ⊥，又1A G ⊄平面BPC ，CP ⊂平面BPC ，所以1A G ⊥平面BPC ，又BG ⊂平面BPC ，所以1A G BG ⊥，则有()2222cos 4πcos cos sin 2242cos BG BCG αααα+-⎛⎫∠=-== ⎪⨯⨯⎝⎭，可得224cos 16sin cos 16BG ααα=-+，又22211A B A G BG =+，所以22214sin4cos 16sin cos 16208sin 2A B ααααα=+-+=-，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当π4α=时，1A B 取到最小值π3πsin sin πsin 4410APC A A ⎛⎫⎛⎫∠=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin sin AC AP APC ACP =∠∠，可得,33AP BP ==，所以1.2λ=（注：π4ACP BCP ∠=∠=，12AC BC =，由角平分线定理得12AP BP =也可）则有118sin ,23BCPA BC S BP BC CBP S =⋅⋅∠== ,11181333A BCP P A BC V V d --==⨯=⨯，解得469d =.即点P 到平面1A BC 的距离为9.【点睛】关键点点睛：本题在求解二面角问题大小时，关键是根据题意作出二面角的平面角，并结合余弦定理和三角形相似等求出结论.。
广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案
肇庆市2023—2024学年第二学期高一年级期末教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，{}2,3B =，则()P A B =（）A.34 B.12C.14D.162.若向量()1,7a =- ，则下列与向量a垂直的向量是（）A.()1,7- B.()1,7 C.()7,1 D.()7,1-3.某射手射靶5次，命中的环数分别为5，6，9，8，7，则命中环数的方差为（）A.2B.2.2C.3D.74.欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知2i 3e π在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知()1tan15tan 1tan15α+︒=-︒，则tan2α=（）A.B.2C. D.6.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2224b a c =+-，4B π=，则ABC 的面积为（）A.12B.1C.D.27.将函数()sin cos f x x x =图象上的所有点都向左平移π5个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则（）A.()12πsin 25g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()12πsin 425g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()πsin 5g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 45g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭8.已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B 在第二象限且在单位圆上．若13OB OA ⋅=-，劣弧AB 的中点为C ，则OC =（）A.36,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.63,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.25,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.52,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =-，则下列命题为真命题的有（）A.z 的虚部为3-B.z =C.10i z z⋅=D.若z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则9p q +=10.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件=i A “第一次向上的点数为i ”()1,2,3,4,5,6i =，j B =“第二次向上的点数为j ”()1,2,3,4,5,6j =，C =“两次向上的点数之和为7”，则（）A.()16i P A =B.()319P B C =C.11A B 与22A B 是互斥事件D.1A 与C 相互独立11.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>，[]0,πx ∈，对[]0,πx ∀∈都有()m f x M ≤≤，且()f x 的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（）A.0M m +=B.ω的取值范围为811,33⎛⎫⎪⎝⎭C.使()0f x M =的0x 有且只有2个D.方程()f x =的所有根之和为6π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若()()1i 3i m -+为纯虚数，则实数m =________．13.已知函数()cos 2sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，cos x =________．14.如图，M 到N 的电路中有5个元件1T ，2T ，3T ，4T ，5T ，电流能通过1T ，2T ，3T ，4T 的概率都为0.8，电流能通过5T 的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在M 与N 之间通过的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150，并绘制成了频率分布直方图，如图所示：注：90分及以上为及格．（1）求a 的值，并估计数学成绩的中位数及众数；（2）在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人．16.一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同．（1）从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率；（2）每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率．17.已知向量1e ，2e 满足11e = ，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6．（1）求12e e ⋅；（2）122a e e =+ ，13b e =- ，求cos ,a b的值；（3）若1e 在2e 方向上的投影向量为c，求()1e c λλ-∈R 的最小值．18.如图1，天津永乐桥摩天轮是天津市的地标之一，又称天津之眼，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．永乐桥摩天轮最高点距桥面121m ，转盘直径为110m ，设置48个均匀分布的透明座舱，开启后逆时针匀速旋转，旋转一周所需时间为28min ．如图2，设座舱距桥面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与桥面平行的直线为x 轴建立直角坐标系．游客从点P 进舱，游客甲、乙的位置分别用点()55cos ,55sin A αα，()55cos ,55sin B ββ表示，其中α，β是终边落在OA ，OB 的正角．（1）证明：sin sin 2cossin 22αβαβαβ+--=；（2）求游客甲的位置A 距桥面的高度()m h 关于转动时间()min t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若游客甲、乙的座舱之间还有三个座舱，乙的位置B 距桥面的高度为h '，求在转动一周的过程中h h '-的最大值．19.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos sin 0b A B +=，a =O 为平面内一点，且满足OA OB OC ==．（1）求A ；（2）求()AB AC AO +⋅的最小值；（3）若13BD BC =，求3OA OD + 的取值范围．肇庆市2023—2024学年第二学期高一年级期末教学质量检测数学注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，{}2,3B =，则()P A B =（）A.34 B.12C.14 D.16【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为{}1,2,3,4Ω=，且事件{}1,2A =，{}2,3B =，则{}1,2,3A B = ，所以()34P A B ⋃=.故选：A2.若向量()1,7a =- ，则下列与向量a垂直的向量是（）A.()1,7- B.()1,7 C.()7,1 D.()7,1-【答案】C 【解析】【分析】根据数量积的坐标表示判断即可.【详解】对于A ：()()1177500⨯-+⨯-=-≠，故A 错误；对于B ：()1177480⨯+⨯-=-≠，故B 错误；对于C ：()17170⨯+⨯-=，故C 正确；对于D ：()()1717140⨯-+⨯-=-≠，故D 错误.3.某射手射靶5次，命中的环数分别为5，6，9，8，7，则命中环数的方差为（）A.2B.2.2C.3D.7【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，命中的环数的平均数为()15698775++++=，则方差为()()()()()222221576797877725⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦.故选：A4.欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知2i 3e π在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2πi 31ei 22=-+，可得结论.【详解】由欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ），可得2πi 32π2π1ecosisin i 3322=+=-+，所以23eπ在复平面内对应的点1(,22-位于第二象限.故选：B .5.已知()1tan15tan 1tan15α+︒=-︒，则tan2α=（）A.B.32C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式可得tan α=，再由正切函数的二倍角公式，代入计算，【详解】由()1tan15tan 1tan15α+︒=-︒可得1tan15tan 45tan15tan tan 601tan151tan 45tan15α+︒︒+︒===︒=-︒-︒⋅︒，则()222tan 23tan21tan 1ααα===--.故选：C6.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2224b a c =+-，4B π=，则ABC 的面积为（）A.12B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求解三角形的面积即可.【详解】由余弦定理得2222222π42cos 4b ac a c ac a c =+-=+-=+，则4=，则ac =，则ABC 的面积为1sin 1.2ac B =故选：B.7.将函数()sin cos f x x x =图象上的所有点都向左平移π5个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则（）A.()12πsin 25g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()12πsin 425g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()πsin 5g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 45g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式结合图像变换的知识求解即可.【详解】()112sin cos sin 2,22f x x x x =⨯=将所有点都向左平移π5个单位长度后,得到π1π12πsin 2sin 252525f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()12πsin 25g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A.8.已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B 在第二象限且在单位圆上．若13OB OA ⋅=-，劣弧AB 的中点为C ，则OC =（） A.36,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭ B.63,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.25,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D.52,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】通过单位圆、A 点坐标及13OB OA ⋅=- ，得1(,33B -，设OB 与x 正半轴的夹角为2α，则1cos 2,sin 233αα=-=，求出sin ,cos αα即可.【详解】由题意可知，(1,0)A ，则()1,0OA =，B 在第二象限且在单位圆上，设(,)B a b ，且2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨⎪⎩，则(),OB a b = ，因为103OB OA a ⋅=+=- ，所以13a =-，即223b =，故1(,33B -.设OB 与x 正半轴的夹角为2α，则2122cos 212sin ,sin 22sin cos 33ααααα=-=-==，因为sin 20α>，且()20,πα∈，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,cos 33αα==，所以C 点坐标为,33C ，故(,33OC = .故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =-，则下列命题为真命题的有（）A.z 的虚部为3-B.13z =C.10i z z⋅=D.若z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则9p q +=【答案】ABD 【解析】【分析】求得复数的虚部与模可判断AB ，求得10i z ⋅，可判断C ；由已知可得25(123)i 0p q p +-+--=，可求得p q +判断D.【详解】对于A ：由23i z =-，可得复数z 的虚部为3-，故A 正确；对于B ：222(3)13z =+-=B 正确；对于C ：242102i (23i)i (23i)2i 3i z z +⨯==---≠+⋅= ，故C 错误；对于D ：因为z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以2(23i)(23i)0p q -+-+=，所以4912i 23i 0p p q --+-+=，所以25(123)i 0p q p +-+--=，所以2501230p q p +-=⎧⎨--=⎩，解得4,13p q =-=，所以9p q +=，故D 正确；故选：ABD.10.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件=i A “第一次向上的点数为i ”()1,2,3,4,5,6i =，j B =“第二次向上的点数为j ”()1,2,3,4,5,6j =，C =“两次向上的点数之和为7”，则（）A.()16i P A =B.()319P B C =C.11A B 与22A B 是互斥事件D.1A 与C 相互独立【答案】ACD 【解析】【分析】由古典概型计算()i P A ，()3P B C ，判断A,B;运用互斥事件概念判断C ；利用独立事件的定义，结合古典概型判断D.【详解】抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，i A 表示第一次向上出现i 点()1,2,3,4,5,6i =，第二次向上任一点,1()6i P A =()1,2,3,4,5,6i =，则A 正确.3B C 表示第二次向上出现3点且两次向上点数之和不是7，则第一次向上出现不是4,则等价于说第一次出现1,2,3,5,6，第二次向上是3点.满足题意的有(1,3),(2,3),(3,3),(5,3),(6,3)，共5种，则概率为()3536P B C =.故B 错误．11A B 表示点数组合(1,1)，22A B 表示出现(2,2)，不能同时发生，故11A B 与22A B 是互斥事件，故C 正确．由A 知道，()116P A =,C 表示两次点数之和是7，则C 包含结果数为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种,则概率61()366P C ==．1AC 表示第一次出现1点，且两次和为7．满足题意的有(1,6).则11()36P AC =.故11()()()P AC P A P C =.则1A 与C 相互独立.故D 正确．故选：ACD.11.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>，[]0,πx ∈，对[]0,πx ∀∈都有()m f x M ≤≤，且()f x 的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（）A.0M m +=B.ω的取值范围为811,33⎛⎫⎪⎝⎭C.使()0f x M =的0x 有且只有2个D.方程()f x =的所有根之和为6π【答案】AC 【解析】【分析】()πsin 2sin()3f x x x x ωωω==+，始终把3x πω+看做一个整体，借助正弦函数的图象、最值、方程的根来对选项逐一分析即可.【详解】()πsin 2sin()3f x x x x ωωω=+=+，令3t x πω=+，则2sin y t =，令()0f x =，即sin 0t =，[]0,πx ∈ ，πππ,π333t x ωω⎡⎤∴=+∈+⎢⎥⎣⎦，则()f x 在[]0,π上有3个零点，则max 3π4πt ≤<，即π3ππ4π3ω≤+<，解得81133ω≤<，故B 错误；[]0,πx ∈ ，πππ,π333x ωω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，则=2,2M m =-，所以0M m +=，故A 正确；若0()2f x M ==，即0πsin(13x ω+=，0π32x πω+=或0π532x πω+=，故C 正确；()0f =，且()f x 的零点有且只有3个，所以方程()f x =有四个根，从小到大分别为1230,,,x x x .()f x =，即sin 2t =，则112233π2ππ7ππ8π,,333333t x t x t x ωωω=+==+==+=，则12314π(0)3x x x ω+++=，故12314π03x x x ω+++=，即方程()f x =14π3ω，故D 错误.故选：AC .【点睛】方法点睛：解决ω的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住ω的大致范围，如本题B 选项，具体方法为：（1）根据x 的范围，求出x ωϕ+的范围；（2）把x ωϕ+看成一个整体，即利用换元法，把sin()y A x ωϕ=+变成sin y A t =来降低解决问题的难度，再借助正弦函数的图象，要使()f x 有3个零点，则x ωϕ+的最大值就必须在[3π,4π)之间，列出不等式即可求出ω的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若()()1i 3i m -+为纯虚数，则实数m =________．【答案】3-【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为()()()()21i 3i 3i i 3i 33i m m m m m -+=+--=++-，又()()1i 3i m -+为纯虚数，所以3030m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-.故答案为：3-13.已知函数()cos 2sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，cos x =________．【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可.【详解】()cos 2sin ),f x x x x ϕ=-=+其中cos ,sin ,55ϕϕ==当()f x 取得最大值时，cos()1,x ϕ+=sin()0,x ϕ+=所以()()()cos cos cos cos sin sin 155x x x x ϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=+-=+++=⨯=⎣⎦故答案为：514.如图，M 到N 的电路中有5个元件1T ，2T ，3T ，4T ，5T ，电流能通过1T ，2T ，3T ，4T 的概率都为0.8，电流能通过5T 的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在M 与N 之间通过的概率为________．【答案】0.99216【解析】【分析】先应用独立事件的概率乘法公式，再结合互斥事件的概率和公式计算即可.【详解】设12345,,,,T T T T T 能通过电流分别为事件12345,,,,A A A A A ,事件相互独立,设电流能在M 与N 之间通过为事件B,所以()()()()()()()()()512345110.910.20.210.20.20.10.99216P B P A P A A P A A P A =+--=+-⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：0.99216.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150，并绘制成了频率分布直方图，如图所示：注：90分及以上为及格．（1）求a 的值，并估计数学成绩的中位数及众数；（2）在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人．【答案】（1）0.0125a =；中位数102.5；众数100（2）15【解析】【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质代入计算，即可求得a ，再由中位数与众数的计算公式代入计算，即可求解；（2）根据题意，由频率分布直方图可得及格的人数，再由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，()0.00250.010.020.005201a ++++⨯=，解得0.0125a =，设中位数为x ，因为()0.00250.01200.250.5+⨯=<，()0.00250.010.02200.650.5++⨯=>，所以中位数在[)90,110范围内，则()()0.00250.0120900.020.5x +⨯+-⨯=，解得102.5x =，则中位数为102.5，再由频率分布直方图可知众数为100.【小问2详解】由频率分布直方图可知，及格的人数为()0.020.01250.0052012090++⨯⨯=人，再由分层抽样可得，及格的学生应抽取902015120⨯=人.16.一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同．（1）从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率；（2）每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率．【答案】（1）925（2）27100【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）首先利用列举法求出取一次球取到两球都是红球的概率，取到一个红球一个白球的概率，取得两球都是白球的概率，再分两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】设第一次与第二次摸到的都是红球为事件A ，则()3395525P A =⨯=.【小问2详解】记3个红球分别为a ，b ，c ，2个白球分别为D 、E ，则从盒子中任取两个球所有可能结果为ab ，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，DE 共10种，所以取到两球都是红球的概率为310，取到一个红球一个白球的概率为63105=，取得两球都是白球的概率为110；经过2次抽取后盒中恰好都是红球分两种情况:①第一次取出两个红球，概率为310，第二次取出两个白球，概率为110，故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为3131010100⨯=；②第一次取出一个红球一个白球，概率为35，第二次取出一个红球一个白球，概率为42105=，故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为3265525⨯=；综上，经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为362710025100+=.17.已知向量1e ，2e 满足11e = ，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6．（1）求12e e ⋅；（2）122a e e =+ ，13b e =- ，求cos ,a b的值；（3）若1e 在2e 方向上的投影向量为c，求()1e c λλ-∈R 的最小值．【答案】（1）32-（2）7（3）4【解析】【分析】（1）由向量的数量积的定义即可求解；（2）利用向量的夹角公式求解即可；（3）先求得投影向量，进而计算可求()1e c λλ-∈R的最小值.【小问1详解】因为11e =，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6，所以12125π3||||cos 1(622e e e e ⋅=⋅=-=- ；【小问2详解】因为21211213)(3)3636()6(22b e e e e e e a -=----=-+=⨯=，||a ==== ，1|||3|=3b e =-，所以cos ,7||||a b a b a b ===.【小问3详解】1e 在2e 方向上的投影向量为122222231232||e e c e e e e -===- ，所以1e c λ-==== 当34λ=时，()1e c λλ-∈R的最小值为4．18.如图1，天津永乐桥摩天轮是天津市的地标之一，又称天津之眼，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．永乐桥摩天轮最高点距桥面121m ，转盘直径为110m ，设置48个均匀分布的透明座舱，开启后逆时针匀速旋转，旋转一周所需时间为28min ．如图2，设座舱距桥面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与桥面平行的直线为x 轴建立直角坐标系．游客从点P 进舱，游客甲、乙的位置分别用点()55cos ,55sin A αα，()55cos ,55sin B ββ表示，其中α，β是终边落在OA ，OB 的正角．（1）证明：sin sin 2cossin 22αβαβαβ+--=；（2）求游客甲的位置A 距桥面的高度()m h 关于转动时间()min t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若游客甲、乙的座舱之间还有三个座舱，乙的位置B 距桥面的高度为h '，求在转动一周的过程中h h '-的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）()ππ55sin 660142h t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（3）552m【解析】【分析】（1）利用和差角的正弦公式计算可得；（2）由周期求出旋转角速度，即可得到ππ142t α=-，从而求出解析式；（3）依题意可得π6βα=+，即可得到ππ55sin 66143h t ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，从而表示出h h '-，结合（1）中公式及余弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为sin sin sin +sin 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sinsin cos cos sin cos cos sin 22222222αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+-+-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=2cossin 22αβαβ+-=，所以sin sin 2cos sin 22αβαβαβ+--=.【小问2详解】依题意可得()0,55P -，点O 到桥面的距离为66m ，又摩天轮旋转一周所需时间为28min ，所以旋转角速度为()2ππrad/min 2814=，所以ππ142t α=-，所以()ππ55sin 660142h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；【小问3详解】因为2ππ4486AOB ∠=⨯=，则π6βα=+，所以πππππ55sin 6655sin 661426143h t t ⎛⎫⎛⎫'=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππ55sin 55sin 143142h t h t ⎛⎫⎛⎫'---⎪ ⎪⎝⎝-=⎭⎭ππππsin sin 14315452t t ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=π5ππcos sin141212110t =⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭π5π1421t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=()028t ≤≤，所以当π5π01412t -=（或π）时h h '-取得最大值，最大值为552m ，其中πππππππ1sinsin sin cos cos sin 1234343422224-⎛⎫=-=-=⨯ ⎪⎝⎭.19.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos sin 0b A B +=，a =O 为平面内一点，且满足OA OB OC ==．（1）求A ；（2）求()AB AC AO +⋅的最小值；（3）若13BD BC =，求3OA OD + 的取值范围．【答案】（1）2π3（2）1（3）(2,1+【解析】【分析】（1）根据正弦定理和商关系得出角的值；（2）利用余弦定理、基本不等式和向量数量积公式，计算得出结果；（3角的取值范围求得3OA OD +的取值范围；【小问1详解】正弦定理得1sin tan sin sin cos sin cos cos a b b A A A B b A A A A==⇒=⇒==--因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】O 为平面内一点，且满足OA OB OC ==，则O 为ABC 外接圆圆心，设外接圆半径为R ,由（1）知2π3A =，22,1sin 32a R R A====，所以1OA OB OC === 余弦定理得22222222cos 3321a b c bc A b c bc bc b c bc bc =+-⇒=++⇒-=+≥⇒≤当b c =时取等号；()cos cos AB AC AO AB AO AC AO AB AO BAO AC AO CAO+⋅=⋅+⋅=⋅∠+⋅∠222211113=12222c b b c bc c b c b +-+-+-=⨯+⨯=≥，所以()AB AC AO +⋅的最小值为1；【小问3详解】若13BD BC =，所以333332OA OD OA OB BD OA OB BC OA OB BO OC OA OB OC+=++=++=+++=++=====根据正弦定理得π2,πsin sin sin 3a b c B C A A B C ===+=-=,所以3OA OD +==========因为(]ππππ0<+2π,sin(2)0,13333C C C <⇒<<+∈，((π4+2)4,4,2,13C +∈++因此3OA OD + 的取值范围为(2,1+．。
安徽省蚌埠市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A .OCB.BCC.CBD.CA2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.23.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.64-B.4-C.64D.1044.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA 边上的高为（）A. B. C.2 D.45.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，πsin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.10-B.10C.10D.108.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M 分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A .//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为3011.已知向量a ，b满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m =，(b =- ，则0m =或-B.若||a b +=，则||b =C.若||a =||2b =r，则向量b 在向量aD.向量b 在向量a 上的投影向量为2a-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．14.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB =，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A.OCB.BCC.CBD.CA【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则及运算律计算可得.【详解】OA OB AC OA BO AC BO OA AC BC -+=++++==.故选：B 2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C3.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.4-B.4-C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出2m ，再由定义计算可得.【详解】因为点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且2cos 4m α=，即cos 4m α==，解得25m =，所以sin 4α===-.故选：A4.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA边上的高为（）A. B. C.2 D.4【答案】B 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，即可得OAB 的原图，根据长度关系即可求解.【详解】根据题意可得OAB 的原图如图所示，其中D 为AB 的中点，由于D ¢为A B''的中点，O D ''=且2OD O D ''==，则OAB中OA 边上的高为2OD =故选：B.5.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ，举例判断，对于D ，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.【详解】对于A ，如图当m α⊂，n β⊂，m ∥n 时，α与β相交，所以A 错误，对于B ，如图，当m α⊥，m β⊥时，α∥β，所以B 错误，对于C ，如图当m α⊂，n β⊂，m n ⊥时，α∥β，所以C 错误，对于D ，设l αγ= ，在平面α内作b l ⊥，因为αγ⊥，所以b γ⊥，因为β∥γ，所以b β⊥，因为b α⊂，所以αβ⊥，所以D 正确.故选：D 7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.210-B.210C.210D.310【答案】C 【解析】【分析】由π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出πcos 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案.【详解】因为π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以ππ0,122x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2ππ25cos 1sin 12125x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin 2cos cos 2sin124124x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππsin 2cos 221212x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22πππ2sin cos 2cos 12121212x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦225552212555⎡⎤⎛⎢⎥=⨯+⨯- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦210=.故选：C8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得2B A =，由正弦定理得sin A B =，再利用正弦的二倍角公式可得答案.【详解】因为()cos cos cos cos +=-+B C B A B cos cos cos sin sin 2sin sin =-+=B A B A B A B ，所以()cos cos cos sin sin cos =+=-B A B A B A B ，因为0,πA B <<，所以B A B =-，或B A B =-+舍去，可得2B A =，因为a =，由正弦定理得sin A B =，所以sin 22sin cos B B B B ==，因为0πB <<cos B =，可得π6B =，π23A B ==，所以π2C =.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，由共轭复数的概念即可判断A ，由复数的模长公式即可判断B ，由复数的四则运算，即可判断CD【详解】对A 因为复数11i z =-，21i z =+，则121i z z =+=，故A 正确；对B,12z z ====12||||z z =，故B 正确；对C,()()()()121i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ----====-++-，故C 错误；对D,()()2222121i 1i 2i 2i 0z z +=++-=-=，()()12221i 1i 4z z =-+=，所以2212122z z z z <+，故D 错误；故选：AB10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A.//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为30【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线的定义可判断A ；连接BD ，取BD 中点O ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在MEC 中由余弦定理求出cos ∠EMC 可判断B ；设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线EM 与直线1CC 所成的角即为EMO ∠，求出EMO ∠可判断C ；连接BD 、AC 相交于点O ，利用线面垂直的判定定理得1AD O ∠即为EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，求出1sin ∠AD O 可判断D .【详解】对于A ，因为E ∈平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，E BC ∉，M ∉平面ABCD ，所以EM 与BC 是异面直线，故A 错误；对于B ，连接BD ，取BD 中点O ，连接,,,MO EO OC EC ，可得1//MO DD ，所以OM ⊥平面ABCD ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则11,22====OE OM OC BD ，225=+=CE EB BC ，222=+=ME OM OE ，223=+=MC OM OC 由余弦定理得222235cos 02223+-∠===⋅⨯⨯ME MC CE EMC ME MC ，所以90∠= EMC ，所以EM MC ⊥，故B正确；对于C ，由B ，1//MO DD ，11//DD CC ，所以1//MO CC ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以直线EM 与直线1CC 所成的角即为EM 与直线MO 所成的角，即为EMO ∠，因为1==OE OM ，OM ⊥平面ABCD ，所以45∠= EMO ，即直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45 ，故C 正确；对于D ，连接1AD ，因为,E M 分别为AB ，1BD 的中点，所以1//EM AD ，连接BD 、AC 相交于点O ，则AO BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1DD AO ⊥，且1DD BD D =I ，1、⊂DD BD 平面11BB D ，所以AO ⊥平面11BB D ，所以1AD O ∠等于EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则122AD =，2AO =，所以111sin 2AO AD O AD ∠==，1π02<∠<AD O ，所以130AD O ∠= ，所以EM 与平面11BB D 所成的角大小为30 ，故D正确.故选：BCD.11.已知向量a ，b 满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m = ，(3b =- ，则0m =或23-B.若||5a b += ，则||5b = C.若||5a = ||2b =r ，则向量b 在向量a 5D.向量b 在向量a 上的投影向量为2a - 【答案】ABD【解析】【分析】A选项，计算出(20,a m b =++ ，根据向量垂直得到方程，求出0m =或-，A 正确；B选项，||a b +=||b = C 选项，根据垂直关系得到21522a b a ⋅=-=- ，从而根据投影向量的模长公式求出C 正确；D 选项，在C 选项基础上，根据投影向量的公式进行求解.【详解】A选项，(20,a m b =++ ，因为()2a b a +⊥ ，所以()(()(20,2,0b m a a m m m +⋅=+⋅+== ，解得0m =或-，A 正确；B选项，||a b += 两边平方得，2225a a b b +⋅+= ，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅= ，故25b =，则||b = B 正确；C 选项，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅=，||a = 21522a b a ⋅=-=- ，则向量b 在向量a上的投影数量为252b a a-⋅==- ，C 错误；D 选项，由C 选项知，212a b a ⋅=- ，向量b 在向量a 上的投影向量为2b a a a a a⋅⋅=- ，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．【答案】1【解析】【分析】先利用根与系数的关系，再利用两角和的正切公式可求得答案.【详解】因为()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，所以()3tan tan 2αββ-+=，()1tan tan 2αββ-⋅=-，所以()tan tan αββ⎡⎤=-+⎣⎦()()tan tan 1tan tan αββαββ-+=--321112==⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：114.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．【解析】【分析】设,,AM x BM y CM z ===，根据ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 可得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理可得2223x y z ++=，再求出2()x y z ++可得答案.【详解】设,,AM x BM y CM z ===，因为22AC AB ==，AB BC ⊥，所以BC =，因为2π3AMC BMC ∠=∠=，所以2π3AMB ∠=,因为ABC AMB BMC AMC S S S S =++ ，所以11()24xy xz yz ⨯⨯=++，得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 分别由余弦定理得221x y xy ++=，223y z yz ++=，224x z xz ++=，所以2222()8x y z xy xz yz +++++=，所以2222()28x y z +++=，得2223x y z ++=，所以2222()2()347x y z x y z xy xz yz ++=+++++=+=，所以7x y z ++=，即7AM BM CM ++=.故答案为：7【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，解题的关键是在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理找出,,AM BM CM 的关系，再结合ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 又得到,,AM BM CM 的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．【答案】（15（2）1a <.【解析】【分析】（1）由已知求出a ，再由模的意义求出结果.（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.【小问1详解】由z 为纯虚数，得232020a a a ⎧-+=⎨-≠⎩，解得1a =，则i z =-，所以|2||2i |z +=-=.【小问2详解】由复数z 在复平面内对应的点在第四象限，得232020a a a ⎧-+>⎨-<⎩，解得1a <，所以实数a 的取值范围是1a <.16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AF FB = ，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF ；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．【答案】（1）12BE b a =- ，23DF a b =- （2）59,24m n =-=-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；（2）对AC mBE nDF =+ 结合（1）化简用a ，b 表示，而A C a b =+ ，然后列方程组可求得结果；（3）设BG BE λ= ，DG DF μ= ，由AG AB BG =+ ，AG AD DG =+ ，用用a ，b 表示，列方程组求出,λμ，从而可得12AG AH = ，进而证得结论.【小问1详解】因为在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB = ，所以1122BE AE AB AD AB b a =-=-=-uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r r r ，2233DF AF AD AB AD a b =-=-=- ．【小问2详解】由（1）知12BE b a =- ，23DF a b =- ，所以12212332AC mBE nDF m b a n a b n m a m n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为A C a b =+ ，所以213112n m m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5294m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【小问3详解】12AH AB BH a b =+=+ ，设BG BE λ= ，DG DF μ= ，则()11122AG AB BG a b a a b λλλ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，又()22133AG AD DG b a b a b μμμ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭ ，所以213112μλμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124AG a b =+ ，∴111222AG a b AH ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，∴AG AH，即A ，G ，H三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）112．【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理证明；（2）应用面面垂直判定定理证明；（3）等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】连接1AB ，因为直三棱柱111ABC A B C -，1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，又11BB AA BC ==∴11BB C C 是正方形且O 为线段1B C 的中点，又M 为线段AC 中点，∴1//MO AB ，又OM ⊄平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴//OM 平面11ABB A ；【小问2详解】∵1BB AB ⊥，1B C AB ⊥，1111,BB B C B B C ⋂=⊂平面111,BCC B BB ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥平面11BCC B ，又AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11BCC B ；【小问3详解】∵M 为线段AC 中点，∴111111111111222362212B BOM M BB O A BB O BB O V V V S AB ---===⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，即三棱锥1B BOM -的体积为112．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）2（3）ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）先化简，再根据正弦函数的单调性求解；（2）根据函数两个不相等的实数根，结合正弦单调性及值域求参；（3）把恒成立问题转化为解三角不等式即可.【小问1详解】()333π3cos2sin2222262f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈，解得()ππππZ 36k x k k -≤≤+∈，令()ππ3π2π22πZ 262k x k k +≤+≤+∈，解得()π2πππZ 63k x k k +≤≤+∈，故函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】由（1）知函数()f x 在区间π[0,]6单调递增，在区间ππ[,]62单调递减，又()0f =π3362f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()f x 图象可知a 的取值范围是2．【小问3详解】即不等式2π3sin 20616m x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对R m ∈恒成立，有2π31π1Δ3sin 20,sin 264262x x ⎛⎫⎛⎫=+-≤-≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π22π+666k x k -+≤+≤或5ππ7π2π22π666k x k +≤+≤+解得πππ6k x k -+≤≤，或ππππ32k x k +≤≤+故x 的取值范围是ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）7（3）1434⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则OEAC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，故OE BE ⊥，故1BE ==，又因为1AE BE CE ===，得到AB BC ⊥；（2）求出AB BC ==BE OE ⊥，得到线面垂直，线线垂直，求出BD =，由余弦定理和同角三角函数关系得到sin 4BCD ∠=，得到△BCD 外接圆的半径，进而得到点到平面的距离；（3）作出辅助线，得到0BDE ∠为BD 与平面OAC 所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，表达出02cos sin BE θθ=，202cos CE θ=，由余弦定理求出0DE =，得到0tan BDE ∠=由基本不等式，求出线面角的正切值的最大值，从而得到余弦值的最小值为1434⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】证明：取AC 中点E ，连接BE ，OE ，OC ，因为2OA OB OC OD ====，所以平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则2AC CD ==，60OAC ∠=︒，故OE AC ⊥，且OE =又平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，OE ⊂平面OAC ，所以OE ⊥平面ABC ，因为BE ⊂平面ABC ，所以OE BE ⊥，故221BE OB OE =-=，又因为1AE BE CE ===，所以,ABE BAE CBE BCE ∠=∠∠=∠，因为180ABE BAE CBE BCE ∠+∠+∠+∠=︒，所以90ABE CBE +=︒∠∠，AB BC ⊥．【小问2详解】因为AB BC =，2AC =，又AB BC ⊥，所以2AB BC ==BE AC ⊥，又3OE =1BE =，2OB =，故222BE OE OB +=，故BE OE ⊥，又AC OE E = ，,AC OE ⊂平面OAC ，所以BE ⊥平面OAC ，因为DE ⊂平面OAC ，所以BE DE ⊥，在ODE 中，OE ⊥AC ，故OE ⊥OD ，由勾股定理得222237DE OE OD =+=+=在△BDE 中，由勾股定理得2222BD BE DE +=，所以在△BCD 中，易知2222cos 24222BC CD BD BCD BC CD +-∠==-⋅⨯，则214sin 1cos 4BCD BCD ∠=-∠，记△BCD 外接圆的半径为r ，故872sin 8BD r BCD ==∠，即477r =，所以点O 到平面BCD距离7d ==．【小问3详解】作0BE AC ⊥于0E ，因为平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，0BE ⊂平面ABC ，所以0BE ⊥平面OAC ，因为0DE ⊂平面OAC ，所以00BE DE ⊥，故0BDE ∠为BD 与平面OAC所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，其中cos 2cos BC AC θθ==，0sin 2cos sin BE BC θθθ==，20cos 2cos CE BC θθ==，在0CDE 中，0120E CD ∠=︒，由余弦定理得222420002cos12044cos 4cos E D CD E C CD E C θθ=+-⋅︒=++，故0DE =，故000tan BE BDE DE ∠===≤当且仅当2tan θ=时，等号成立，143cos4BDE⎛⎫∠=≥ ⎪⎝⎭，故BD与平面OAC所成角的余弦值的最小值为1434⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.。