现代信号处理复习题资料

1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得

到采样信号?()a x

t 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω； （2）写出()a x t 和()x n 的表达式；

（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。 解：（1）

000()()2cos()()j t

j t

a a j t j t j t X j x t e

dt t e

dt

e e e dt

∞

∞

-Ω-Ω-∞

-∞

∞Ω-Ω-Ω-∞

Ω==Ω=+???

上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：

00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω （2）

0?()()()2cos()()

()2cos(),a a

n n x

t x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞

=-∞

=-∞

=-=Ω-=Ω-∞<<∞

∑∑

2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：

（1）最小记录时间min p T （2）最大取样时间max T （3）最少采样点数min N

（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。 解：（1）已知50F Hz ≤

min 11

0.0250p T s F =

≥= （2） max 3

min max 111

0.52210s T ms f f ====? （3） min 30.02400.510p T s N T s

-=

==? （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s 实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12）

min 30.04800.510p T s N T s

-===?

3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ 能有一根谱线，于是他用8KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。

采样频率由s f 到2s f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz N f N f s

s 10022== 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率)222(N

N ππ→ ，不能提高模拟频率的分辨率。

4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？

解：在D A / 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在A D / 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

5、已知10,)

1)(1(1)(1

2

<<---=-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。 解： )(z H 的极点为1,z a z a -==，

（1） 收敛域1z a -<≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应()()()n n h n a a u n -=-，这是一个因果序列，但不收敛。 （2）收敛域a z <≤0，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应

()()(1)n n h n a a u n -=---，这是一个非因果且不收敛的序列。

（3）收敛域1a z a -<<，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应()n h n a =，这是一个收敛的双边序列。

9：若序列()h n 是因果序列，其傅里叶变换的实部为()1cos()j R H e ω

ω=+，求序列的()h n 及其傅里叶变换()j H e ω

。

解：11()1cos()1[()]()22j j j j n R e e n H e e e

FT h n h n e ω

ωω

ωω∞

--=-∞

=+=++==∑ 1

,12()1,01

,12

e n h n n n ?=-??

==???=?

0,01,0()(),01,12(),00,e e n n h n h n n n h n n other n <=??????

====??????>???

/2()()12cos 2j j n j j n H e h n e e e ω

ωωωω∞

-=-∞

==+=∑

10、什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？

答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。 15、如图所示：

（1）在描述随机信号的频率特性时为什么不用信号的傅里叶变换而改用功率谱估计？ （2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。 （3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。

（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法的名称。

解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。

2.图中所示的是周期图法

21

1?()()N j j n

xx

n P e x n e

N

ωω--==∑

3. 1

*

1

?()()()N m xx n r

m x n x n m N

=-==+∑

??

()()j j n BT

xx

m P e r m e ωω∞

-=-∞

=∑

周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT 进行计算。

4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作

估计的观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。

16、如图所示的RC 电路，若输入电压的功率谱密度为X （ω），求输出电压的功率谱密度 Y （ω）。

解：RC 电路系统的频率响应函数为

H （ω） =

C j R C j ωω11

+

= 11

+RC j ω H （ω）

2

=

1

)(1

2

+RC ω 由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得：

Y （ω） = H （ω）2* X （ω）= 1

)()

X(2

+RC ωω 17、已知LTI 系统的传输函数为h （t ），输入是实平稳随机过程X （t ），输出是Y （t ），求)()()(t h R R Y X 和、ττ三者间的关系？

解：平稳随机过程经过LTI 系统输出还是平稳随机过程，所以

R

C

Y(ω)

X(ω)

)()()()()()()()()]()([]

)()()()([)]

()([)(ττττττττ-??=-+=

-+-=-+-=+=??????∞+∞-∞

+∞

-∞+∞-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-h h R dudv

v h u h v u R

dudv v h u h v t X u t X E dv v h v t X du u h u t X E t Y t Y E R X X

Y 其中?是卷积运算。

18、常用的自适应滤波理论与算法有哪些？

从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。

常用的自适应滤波理论与算法有： （1）、基于维纳滤波理论的方法。 （2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。 （3）、基于最小均方误差准则的方法。 （4）、基于最小二乘准则的方法。 22、从最速下降法出发：

1j j j W W μ+=-? 其中，1j W +

是第j+1个抽样时刻的滤波器权矢量，

μ 控制收敛稳定性和速率，? 是误

差-性能曲面的真实梯度，推导自适应噪声消除的 Widrow-Hopf 的LMS 算法。 解答：

梯度矢量▽，初级输入与刺激输入的互相关P 以及初级输入的自相关R 之间的关系为： ?=2+2RW P -

在LMS 算法中，使用?的瞬时估计，则有 j ? =-2j P +2j R j W =-2j X j y +2j X T j X j W (1)

=-j j 2()2j j j j X y X W e X -=-

其中 T

j j j j e y X W =-

用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Widrow-Hopf 的LMS 算法： 12j j j j W W e X μ+=+ 其中

j e =y

T j

j j W X -

23、自适应滤波器的特点及应用范围 答案：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。

25、怎样判断随机过程}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程？并证明随机过程

0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X θθ是宽平稳过程，其中，Y , Z 是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。 答：（1）如果)(t X 满足，如下条件： （a ）}),({T t t X ∈是二阶矩过程；

（b ）对任意T t ∈，==)()(t EX t m X 常数；

（c ）对任意T t s ∈,，)()]()([),(t s R t X s X E t s R X X -==。则判定}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程。 （2） 证明：

))

sin()cos(2]([)(sin ][)(cos ][)](sin )sin()cos(2)(cos [))]sin()cos(())sin()cos([()]([222222222t t YZ E t Z E t Y E t Z t t YZ t Y E t Z t Y t Z t Y E t X E θθθθθθθθθθθθ++=++=+?+=

因为Y ,Z 是相互独立的随机过程，且2

,0σ====DZ DY EZ EY ，所以

)]([2t X E =+∞<2σ 0)sin(][)cos(][)]sin()cos([)(=+=+=t Z E t Y E t Z t Y E t EX θθθθ=常数 )]

(cos[)]sin()sin())(sin()cos()cos([))]

sin()cos(())sin()cos([()]()([),(222t s t s Z s t YZ t s Y E t Z t Y s Z s Y E t X s X E t s R X -=+++=+?+==θσθθθθθθθθθ，)

,(t s R X 只与时间间隔有关，与时间起点无关。 所以，}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程。

26、若}),({T t t X ∈为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数)(τX R 具有那些常用性质？)(τX R 在计算其功率谱)(ωX S 时有什么作用？ 答：（1）)(τX R 具有如下常用性质： （a ）;0)0(≥X R

（b ）)(τX R =)(τ-X R ，)(τX R 是实偶函数； （c ）|)(τX R |≤)0(X R ；

（d ）若)(t X 是周期为T 的周期函数，即)(t X =)(T t X +，则)()(T R R X X +=ττ； （e ）若)(t X 是不含周期分量的非周期过程，当+∞→||τ时，)(t X 与)(τ+t X 相互独立，则

___

||)(lim X X X m m R =+∞

→ττ。

（2）若+∞

+∞

∞

-ττd R X |)(|，根据辛钦—维纳定理

ττωωτd e R S j X X -+∞∞

-?=)()( )(τX R =

ωωπωτd e S

j X

)(21

?+∞

∞

-

自相关函数)(τX R 和功率谱)(ωX S 是一对傅里叶变换对。

27、从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？

答案：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。

29、设有两个线性时不变系统如图所示，它们的频率响应函数分别为1()H ω和2()H ω。若两个系统输入同一个均值为零的平稳过程()X t ，它们的输出分别为1()Y ω、2()Y ω。问如何设计1()H ω和2()H ω才能使1()Y ω、2()Y ω互不相关。

解答：

1211-22-1122[()]()[()]0,[()]()[()]0;[()()]()

Y Y E Y t h t u E X t du E Y t h t v E X t dv E Y t Y t R τ∞∞

∞

∞=-==-==??

其中12t t τ=-，上式表明1()Y t 与2()Y t 的互相关函数只是时间函数τ的函数。由

121212()()()()()i Y Y Y Y X s R e d H H s ωτωττωωω∞

--∞

==?

故当设计两个系统的频率响应函数的振幅频率特性没有重叠时，则12()Y Y s ω=0，从而有

12()Y Y R τ=0=12()Y Y B τ，即1()Y t 与2()Y t 互不相关。

30、什么叫白噪声?

答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大 33、简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。

34、两个联合平稳信号()X t 和()Y t 的互相关函数为：

20()cos ()XY R e w i πτττ-=?

其中()i τ为单位阶跃函数。求互功率谱密度()XY S ω和()YX S ω。 解：直接查傅氏变换表，得

2022

2()[cos ()](2)XY j S F e w i j πω

ωττωω-+=?=

++ 利用互谱密度的性质有

()XY S ω= ()XY S ω-=

2

2)2(2ωωω

+--j j 35、观测信号为()()()y k s k e k =+,其中有信号是()s k 为恒量平稳序列，其统计特征已求得

为

?

??==2

2)]([0

)]([s k s E k s E σ 噪声()e k 是零均值白噪声，且与有用信号不相关，即

??

???

=-==0)]()([)()]()([0)]([2

k s k e E j i j e i e E k e E e δσ

求维纳滤波器？

解：观测()y k 的自相关函数为

22(){[()()]()}{[()()][()()}{()()()()()()()()}()

ys s R m E s k e k s k m E s k e k s k m e k m E s k s k m s k e k m e k s k m e k e k m m εδδδ=++=++++=+++++++=+

观测有()y k 与有用信号之间的互相关函数为：

2(){[()()]()}{()()()()}ys s R m E s k e k s k m E s k s k m e k s k m δ=++=+++=]

则维纳-霍甫方程式为：

2222

2s e s s s 222

2

2s s e s s 22

2222s s s s e s (0) (10 h h σσσσσσσσσσσσσσσσ????

+?? ? ? ?+ ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?+???

???

由此得维纳滤波器为：

2

s 22

s e

(0)(1)...(1)h h h N N σσσ===-=+ 故滤波输出为：

2

1

1

1

s 2

220

e

s e 2s

1?()()()()()N N N m m m s

k h m y k m y k m y k m N N σσ

σσσ

---====-=-=

-++

∑∑∑

38、设观测量()y k 由有用信号()s k 和与()s k 不相关的零均值白噪声()e k 相加而成，即

()()()y k s k e k =+

且已估计出它们的相关函数分别为

()0.8,()0.45()m

s e R m R m m δ==（m =…，-1，0，1…） 求非因果维纳滤波器的频率特性。 解：

[]()()

01

11

()()[0.45()]0.450.45

()[0.8]0.8

0.80.810.36

,(0.81/0.8)10.810.810.810.8e e m

m

m

m m

s m m S z Z R m Z m z S z Z z

z z z z z z δ-∞

∞

---=-=--======+=

+=<<----∑∑

又有

()[()()]{[()()]()}[()()]()ys s R m E y k s k m E s k v k s k m E s k s k m R m =+=++=+= 故有

10.36

()[()](10.8)(10.8)

ys ys S z Z R m z z -==

--

最后可得，非因果维纳滤波器的频率特性为

()()()()

()()

111

0.36

10.810.80.36

()0.36

0.360.4510.810.80.4510.810.8jwT

jwT

jwT

z z e z z H e z z z z ---=--=

=

+--+--

43、卡尔曼滤波的特点

卡尔曼滤波具有以下的特点：

答：(1) 算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。

(2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。

(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。 47、关于维纳滤波器的两个主要结论：

①维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量()u n 的自相关矩阵R ；（2）输入向量()u n 与期望响应()d n 的互相关向量γ。 ②维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。

48、已经信号的四个观察数据为(){(0),(1),(2),(3)}{3,6,4,2}x n x x x x ==分别用自相关法和协方差法估计AR （1）模型参数。 解：自相关法：

42

1()4n e n ρ==∑ 11()()(1)e n x n a x n =+-

44

00111111111111111()1()()(1)0223(63)6(46)4(24)4010

13

n n e n e n e n x n a a a a a a a ρ==??==-=??++++++==-

∑∑ 协方差法：

1322

11133

1111111111()(),()()(1)32()2()()(1)03350

61

N n p n n n e n e n e n x n a x n N p e n e n e n x n a a a ρρ-=======+--??==-=??=-

∑∑∑∑

49、假定{()}x n 是一个满足差分方程式

21()(1)()(),()~(0,)p N x n a x n a x n p e n e n W σ=-+

+-=的AR （p ）过程，且该过程

是在一与()x n 独立的加性观测白噪声()v n 中观测的，即()()()y n x n v n =+，其中{()}v n 的

方差为2

v σ，求{()}y n 的功率谱。

解：由已知差分方程式可得{()}x n 的谱密度

2

2

2

21()()

1j x j j p p z e A z a e

a e

ω

ω

ωσσρω--==

=

++

+

当()x n 与()v n 互相独立时，()()()y x v R R R τττ=+ 故{()}y n 的功率谱()()()y x v ρωρωρω=+

所以2

22()()

j y v z e A z ω

σρωσ==

+

50、分别解释“滤波”和“预测”。

解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)=?s

（n ）称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号?()()y n s

n N =+ ,N ≥0,称为预测。 51、介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。 解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解形式是状态变量值。 维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计维纳滤波器要求已知信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求已知状态方程和量测方程。

1. 某独立观测序列

12,,,,

N x x x 其均值为m ，方差为2

σ。现有两种估计算法：

算法A ：均值估计为111?N

n n m

x N ==∑，算法B ：均值估计为

211?1N

n n m x N ==-∑ 请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）

答：算法A ：均值估计为11

1

?N

n

n m

x

N ==∑，则

111

?()N

n E m

m m N

===∑，

2

1

21

11?()()N

n n D m D X N N δ

===

∑， ∴均值估计1?m 是无偏估计

2

22221

22

^1

)(δδδ=-+=-=

∴∑=m m m EX

N

E N

n n

6、BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 答：（1）相关图法又称BT 法，BT 谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （2）此方法的具体步骤是：

①给出观察序列)1(),...,1(),0(-N x x x ，估计出自相关函数：

∑--=-≤≤+-+=m

N n N m N ，m n x n x N

m R

10

1

1)()(1)(?

②对自相关函数在（-M ，M ）内作Fourier 变换，得到功率谱：

m j M

M

m e m m R S

ωωω--=∑

=)()(?)(?

式中，一般取

1-≤N m ，)

(m ω为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

))(()()(τττωωτ

x j x x R F d e R S ==-∞

∞-? ωωπτωτ

d e S R j x x ?∞∞-=

)(21)(

(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：

离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

m

j m x

j x e

m R e S ωω

-∞

-∞

=∑=

)()(

ω

π

ωπ

π

ωd e e S m R m j j x x ?-

=

)(21)(

12、AR 谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR 谱估计的基本原理是：p 阶的AR 模型表示为：∑=+--=p

i i n u i n x n x 1

)()()(?

其自相关函数满足以下YW 方程：

取p m ,...,2,1,0=，可得到如下矩阵方程：

在实际计算中，已知长度为N 的序列)(n x ，可以估计其自相关函数)(?m R x

，再利用以上矩阵方程，直接求出参数p ???,...,,21及2

σ，于是可求出)(n x 的功率谱的估计值。 13、已知信号模型为s （n ）=s(n-1)+w(n),测量模型为x(n)=s(n)+v(n),这里w(n)和v(n)都是均

值为零的白噪声，其方差分别为0.5和1，v(n)与s(n)和w(n)都不相关。现设计一因果IIR 维纳滤波器处理x(n)，以得到对s(n)的最佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。

??

??

?

??

???????=?????????????????????

?????--001)0()1()()1()0()1()()1()

0(21

σ??p x x x x x x x x x R p R p R p R R R p R R R

解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。将它们代入Ricatti 方程Q=P －a 2RP/(R+c 2P) 得 0.5=P －P/(1+P)

解此方程得P=1或P=-0.5，取正解P=1。

再计算维纳增益G 和参数f:G=cp/(R+c 2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c 2P) =1/ (1+1) =0.5 故得因果IIR 维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下： Hc(z)=G/(1－fz-1)=0.5/(1－0.5z-1) （n ）=0.5

(n-1)+0.5x(n)

14、简述AR 模型功率谱估计步骤。

步骤1：根据N 点的观测数据u N （n ）估计自相关函数，得

)(^

m r u ，m=0,1,2,…,p, 即

)()(1)(*

1

^

m n u n u N

m r N N n N u -=

∑-=

步骤2：用p+1个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin 算法），求解Yule-Walker 方程式，得到p 阶AR 模型参数的估计值

^

^2^1,,p a a a ? 和p

2

^σ

步骤3：将上述参数代入AR （p ）的功率表达式中，得到功率谱估计

^

)(w S AR ，即

∑=-+=

p

k jwk k p

AR e a w S 1

2

^

^

2^

|1|)(σ

3、已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及数学期望响应信号d(n)的互相关向量分别为

T ]45[p ,2112R =??????=

且已知期望相应d(n)的平均功率为E{d 2(n)}=30。 （1）计算维纳滤波器的权向量。（2）计算误差性能面的表达式和最小均方误差。 解：（1）根据维纳霍夫方程R ω0=p 得 ω0=R -1p

?????

?=12

（2）误差性能面的表达式为J （ω）=σ2d -p H ω-ωH p +ωH R ω

最小均方误差值为将ω0代入上面的误差性能面表达式得 Jmin=σ2d -p H ω-ωH p +ωH R ω =σ2d -p H ω0 =30-14=16。

10．用观测数据（y(n),y(n-1)）自适应估计随机变量x(n).已知Ryy=[1 0.4;0.4 1],为保证收敛，μ的值应限制在什么范围？若Ryy=[1 0.8;0.8 1],则自适应滤波器的收敛速度将会更快还是更慢？ 解：

2

102

][][0)1(1

01

1<

<==<<∑=--μλμμ即满足为保证收敛应使k k R tr R tr

器的收敛速度相同。

值相同，故自适应滤波的由于两几何比λμλyy k k mse R r r 22)21()()2(-==11、已知)(n u 满足AR(2)模型，即满足如下差分方程：

)()2()1()(21n v n u a n u a n u =-+-+

其中)(n v 是均值为零、方差为2

v σ的白噪声。试用自相关函数来表示系数1a 、2a 。 答案：AR 模型的正则方程式可以表示为2

1)()1()0(v u p u u p r a r a r σ=-++-+ 和

??????

??????---=?????????????????????

?????--+-+--)()2()1()0()

2()1()2()0()1()1()1()

0(21p r r r a a a r p r p r p r r r p r r r u

u u p u u u u u u u u u

将2=p 带入上面两式为：

221)2()1()0(v u u u r a r a r σ=-+-+

和

??

?

???--=????????????-)2()1()0()1()1()0(21u u u u u u r r a a r r r r

可以解得

[]

)

1()0()2()0()1(2

21u u u u u r r r r r a ---=

)

1()0()

1()2()0(2

222u u u u u r r r r r a ---=